Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

470 Гпава 9

93. Кривизна плоской кривой

Кривизной кривой в точке М (рис. 9.2 ) называется предел

отношения угла поворота в касательной к длине s дуги MN,

когда N^>М ,т.^. к

lim—.

.^duL

Рис. 9.2

Кривизна кривой у - /(х) в некоторой точке характеризу-

ется отклонением кривой от своей касательной в этой точке и

определяется по формуле

\у

к=-

чЗ/2

(1)

Если кривая задана параметрически

jc(/),

y(t), то

её

кривизна определяется выражением

\xy-yx'

к =

чЗ/2

(2)

Если кривая задана уравнением в неявном виде F(x, у)

то ее кривизна

IF"

(^;

ху

'+F:

к\\

о|

2ЧК

(3)

ПРИПО?КЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 471^

Если кривая задана в полярной системе координат

р = р

(<р),

то её кривизна

^—Г1—:;^^- (4)

Величина, обратная кривизне, называется радиусом кри-

визны и определяется по формуле R

= — .

Вершиной кривой на-

зьгоается такая точка

кривой,

которой кривизна имеет максимум

или минимум. Для определения вершин кривой выражение кри-

визны к исследуют на экстремум. В некоторых случаях при на-

хождении вершин кривой целесообразнее исследовать на

экстремум радиус кривизны.

Рис. 9.3

Кругом

кривизны кривой

в некоторой её точке М называется

окружность с радиусом R, равным радиусу кривизны кривой

этой

точке, и центром С, расположенным на нормали к кривой в точке

Мсо стороны

её

вогнутости

(рис.

9.3 ). Координаты ((^,7]) центра

кривизны кривой

в её

точке М(х,у) определяются по формулам

^=х —у =х- у;

у 5^-ух

+ /' х^Л-у' .

^ =

.У

+ 77-

У^ ... ...^' (5)

у ху-ух

472 Гпава 9

Геометрическое место центров кривизны данной кривой

называется её эволютой. Обратно, данная кривая по отноше-

нию к своей эволюте называется её эвольвентой. Уравнения (5)

являются параметрическими уравнениями

эволюты.

Если исклю-

чить из них параметр

г,

то получим уравнение эволюты в неяв-

ном виде F(^,r7) = 0.

3.1.

Найти кривизну кривых: а) у

х^-4х в точке (2,-4);

2 2

б) —

-у =

1 В

вершинах; в) р^ =

а^

cos

2(р в

произвольной точ-

а b

ке;г) x

a{t-sint), y

a{\-cost) при t

n .

Решение, а) Находим производные: У = 2х-4; У = 2 и

вычисляем их значения

заданной точке уХ2) = 0,

у''-2.

Под-

ставляя найденные значения в формулу (1), получим

б) Функция задана неявно. Находим производные:

,^2х ^-^2 р'^^^ F"

^, F" = 0 и их значения в

^ ^2 ' XX 2 ' У I 2 ' УУ I 2 ' ху

а а О О

вершине эллипса (а,0):

= ~, i^;' = —, F;

0, К

ТГ^

0, Подставляя найденные значения в формулу (3),

получим ^ =

'^'

\\а

Р"

?.||

а\\

ПРИПОЖЕНИЕ ПИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

473

Значения производных в вершине эллипса (0,6) будут:

// 2 , 2 „ 2

^/ = 0, F^

-j, Fy=-.

^^^ТГ^

/^/^'= 0. Отсюда кривизна

а о о

\~2

а\

В силу симметрии, кривая в точке {-а,

равна л = тт

^ ^

точке (0,-6) равна

А:

= -у.

в) Находим производные 2pp'

-2a^sin2<p, р'

sin2(j!>,

„ (З^р' 2а^ а^ 2 2(3^

р =—^sin2^ cos2<p =

i-sin

2(р cos2^ и под-

р'

р р' р

ставляем их в формулу (4), тогда

p^+2^-sin~2(p + p

/^4 2

—ysin

2(р

+ 2—cos

2(р

(

а' Y''

л^

cos 2^ +

—г-sin^

р )

_ р" +

2а*

sin^ 2ф+a*sin^2(p+2a^p^ cos 2ф _

р'((а^ cos'

2(р +

а*

sin'

2(р)1

p^f^ ~

а^cos'2^ + а"*sin'2(р + 2а''sin'2(р

+ 2а*cos'2<;о

_Ъа*р _Ър

474

Гпава 9

г) Находим производные:

i = a(l--cos/),

= sin^, x-asint, у

cost и их значения при

t-к: х

2а, у

Зс

О,

= -l. Подставляя производные в

формулу (2), получим к =

г^

= —-.

{2а) 4а

3.2.

Найти радиусы кривизны в любой точке данных кри-

2 2 2

вых: а) у

х^; б) х^+у^=а^; в) x

acos^ t, y

asin^ t;

г) p

a(p,

Решение, a) Находим производные у'

Зх^, у''

6х и по

формуле R

= —

определяем радиус кривизны

R =

+ /')^_(1 + 9JC')^

У1 |6Х|

У У У

б) функция задана неявно F{x, у)

х^^

у^^

-а^^ = О.

Находим производные:

Радиус кривизны находим по формуле

• 3

с 2 -X

R =

\{^:'

\\к

\к:

\\F:

+к

.)!

F:\

о|

(г.

V /

?\2

2 -- 2 --

1 ^ 1

ПРИПО^КЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

475

3 3

(г 2 \

(х>.)3

( _2 _4 4 2 Л

^у

Л-Х ^у ^

•

Ъа

{xyf

ху

( l 1

х^

Л-у'^

= 3ащху\.

в) Находим производные: х = -3acos^ ^sin^,

у = 3asin^

^cos^

,x=--3(2(-2cos^sin^

^+cos^

=3(2Cos/(2sin^

^-cos^

t),

3a(2 sin t

cos^

t -

sin^

/) =

sin

^(2

cos^

t -

sin^

0. Радиус кри-

визны находим по формуле

\ху —

ух\

{9а^

cos^

t sin^

t+9(2^

sin"^

cos^

-9a^

cos^

^sin^ ^f2cos^ r-sin^ t)-9a^ sin^ /cos^ /(2sin^ /-cos^ П

3(2sin^rcos^^ 3^|sin2/|

|sin'r cos'r (-2 +

1)1

r) Находим производные: p'

a, p''

0 и no формуле

/^ -

—.—\—T.

находим радиус кривизны R

-^ г—.

рЧ2р''-рр'

p'-^2a'

3.3.

Найти наибольшую кривизну параболы

У =

—.

Решение. Находим производные у'

х, у''

= ^-

Подставляя

найденные значения в формулу

(1),

получим к = ^. Кри-

(i+xY^

476 Гпава 9

визна будет наибольшей, когда знаменатель будет наименьшим,

т.

е.

при

О.

Таким образом, наибольшая кривизна равна /: = 1.

3.4. Найти вершины кривых: а) л[х

у[у=^1а;

Решение. а) Функция задана неявно

р(х,у)

= л[х +

-^у-у/а-0. Находим производные:

1 -- 1 --

^ 2 ' ^ 2^ '

сюда кривизна

= -

1 -- 1 --

-X 2 F" = --v 2 F" = 0 от-

— X ^

\ 2

1 -1

-4^

1 4

-у

-Л

1 -I

11 11

+•

X yYi у j^X

Га

Л'^У'

ху

1{х

у)

Из уравнения кривой находим, что у = (Va - 4xY, тогда

^(^)= Г

2(х

(у[^-у[^УУ '

Исследуем эту функцию на экстремум:

к'=-

1 ,

х + (л/^-л/^)')2(1-2(>/^-л/]^)—7=

2л1х

2-ix

(yf^-yf^ff

ПРИПОУКЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

All

Отсюда x+{y[a-4xf=0, х+а-2л/^+х = 0, аЧ4х'=0 —

корней нет;

\-2{yJa-yjx)—7=^

= 0, yjx-yja+\fx=0, 2v^=J—,

2л]х VA:

а Г Г Г Г ^^ ^

Поскольку функция кривизны в точке

а а \

—,— имеет экстре-

4 4 )

мум, т. к. при переходе через точку

—

производная меняет

знак, то это вершина кривой.

б) Находим производные: p' = asin^—cos—,

,, а . (р(^ ,(р . .(р\

р = — sin

—

COS"

sin'

—

НПО формуле (4) кривизну

а sm^ ^ +

1а^

sin

— cos

— sm —

3 3 3 3 3

2 Ф • 2 Ф

2cos —-sm —

^ 2 • лФ 2-4Ф 2(Р^

а sin —-ha sin

— cos

—

^.4Ф^.4Ф 2ф •4ф 2ф •4ф

—

— cos —

- sin

— cos —

+ sm —

3 3 3 3 3 3

3a'sin^^

1 . Ф

= —sin

—

3a 3

+cos

Рассматривая кривизну как функцию угла ф, исследуем её

на экстремум:

1 (р

—cos—

3 3

4 +

C0S

—

^ 2 . (р Ф . Ф

—sin—cos—sin

—

3 3 3 3

478

Гпава 9

= —COS—

5-3sin

—

9а

3 ^

Зл:

т.к. sin^< J-, cos^ = 0, ср ^

5-sin'^^O,

Зтг

При переходе

(р

через значение

<р

= — производная меня-

ет знак с плюса на минус, т. е. кривизна максимальна. Следова-

тельно, при этом значении (р радиус кривизны к

= — = —а

к 4

минимален.

3.5.

Найти окружность кривизны гиперболы у

= —

в точке

М(1;1).

/ 1 // 2

Решение. Находим производные: У = —г-, У = -^ и их

X X

значения в точке М: у =

-1,

у''= 2 и радиус кривизны

(рис.

9.4). Очевидно, что точка М

центр окружности О' лежат

на биссектрисе первого координатного угла. Спроектируем

центр окружности на ось Ох, а точку М на перпендикуляр O'N.

Это возможно, если MN = N0' -1

•

Построим гиперболу и окружность

ПРИПОЖЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 479

Таким образом, координаты центра окружности будут (2;2).

Отсюда, уравнение окружности примет вид (х -

2)^

(j;

2)^

= 2.

3.6. Найти координаты центров кривизны и написать урав-

нения окружностей кривизны кривых: а)

у^е'""

в точке (0;1);

б)

= a{t - sin t), у^а{\-

cos

t) в точке М{ка, 2а).

Решение, а) Находим производные: у'

-г""",

у'' =

в""",

их

значения в точке: У =

-1,

У =

и радиус кривизны

Координаты центра кривизны кривой находим по форму-

лам(5)(^=х ^7=2,

+ -^ = 3.

Отсюда, уравнение окружности будет (х -

2)^

+(>»--

3)^

= 8.

б) Находим производные: x

a(l-cost), y

asint,

asmt,

acost.

Определяем параметр t в точке М:

2а

а{\

cos

/),

cos

-1,

K .

Вычисляем при

= -1 значения

производных: х

2а, у

0, х

0, y

-a.Uo формулам (5)

находим координаты центра кривизны кривой ^ =ка,Г1

-2а.

Радиус кривизны вычисляем по формуле

\ху-ух\ \2а{-а)\

Зная координаты центра кривизны и радиус кривизны, за-

пишем уравнение окружности кривизны кривой в точке М:

{x-Kaf ^{y

6af

=\6а^.

ЪЛ.

Написать уравнение эволюты кривой и построить кри-

3 2/ 2/ 2/

вую и её эволюту: а)

у^—х^',

б) х^^

Л-у^^ =

а^^;

в)

cos

sin г; г) р =

ае'''^.