Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

650 Гпава 12

2' 2к\ а

sin^

^^0^

^^^^

t sin tf + (За sin^ t cos 0^ ^^ =

9 f/^ 4 2 9 s iV 12 9

= 12л:а sin

cos^fi?^

= -кa sin Л;;^ = —ка .

Jo 5 '' 5

6) При y

cos^ =

r = 0 и r = 2л:. Циклоида при t

= 27i

имеет координату х

2ка. Следовательно, ось симметрии (рис.

7.64) проходит через точку с координатами {па

,0).

Воспользу-

емся формулой (5):

= л:a-a(r-sinr) = a(л:-^ + sin/)5

dl = ^J(xy+(yfdt = 7^'

cos

tf +

sin^ tdt = ay/l^ll-cos tdt =

= 2a

sin—rf^.

Поверхность вращения образуется вращением по-

ловины арки циклоиды вокруг оси симметрии, т. е. переменная t

изменяется от

до л:.

Таким образом,

Г^ t -) С^ t t С^ t

4na \ (;r-r

sinOsin—rf^

= 47ra [2л: sin—J—

tsin—dt-^

Jo ^ 9 •- Jo 9 9 Jo 9

+4 Г

sin^

-dsin-]

Ыа^

Jo 9 9

'^ ^ t ^ . t 2 , ^t^

-л:cos—+/COS—2sin—+—sm —

V 2 2 2 3 2^,

= 8л:а'

л:-2 + -

= -л:л^(Зл:-4).

5.3.

Найти площадь поверхности, образованной вращени-

ем:

а) лемнискаты р^ =

2а^

cos2(p вокруг полярной оси; б) кар-

диоиды p = a(l + cos^) вокруг полярной оси и вокруг

касательной в ее вершине (2а,0).

Решение, а) Вследстие симметрии лемнискаты относитель-

но полярной оси достаточно найти половину поверхности вра-

щения (рис. 12.13). Тогда по формуле (4) имеем

ПРИЛОЖЕНИЕ

ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА

651

5 = 2• 2л:f-^л/2 aJcoslcpsin<р,lla^cos2(р + 2а'^HL?£^<7):

Jo ^ ^ • '^^ '^ cos2<p

= 87ГаЧ 8Ш^Й?<Р = -8Л:А'СО8(Р|^ =S7ra^

б) Воспользуемся формулой (4). Пределы интегрирования

0<(р<к легко установить из рассмотрения рис. 3.64. Площадь

поверхности равна

8-2л\ а{\

cos

(р)

sin

(pyja^

+ cos ^f + a^ sin' ^^f^ =

= 4ка I (l + cos^)sin^cos—J(p = -16;r(2 J cos —(icos—=

5<P

= л:а cos —

32 2

= —Tca .

12.6.

Вычисление статических моментов

и моментов инерции

1°.

Статическим моментом материальной точки массы т

относительно оси / называется произведение

ее

массы на рассто-

яние

JOT

оси

т^

= md .

Статическим моментом системы

материальных точек на-

зывается сумма произведений масс этих точек Wp

^2,...

,т^ на

расстояния их от оси т^=^ m-d-, причем расстояния точек, ле-

жащих по разные стороны от оси /, берутся

разными знаками.

Если массы непрерывно заполняют линию y

f(x),

a<x<b, то статические моменты относительно осей выража-

ются интегралами

652

Гпава

m^ =

8{x)ydl =

S(x)yJl + (У) dx;

= j'5(jc)jcJ/ = |'5(х)х7ьк7)^^, (1)

где S{x) — плотность,

— дифференциал дуги.

Статические моменты относительно координатных осей

дуги кривой, уравнение которой дано в полярных координатах

р = р(ф), выражаются формулами

т^

= { ' psin(pJp^

р^d(p,

т^

= Г р

cos

(pJp^

p^d(p,

(2)

здесь плотность полагается равной единице.

Статические моменты плоской фигуры, ограниченной кри-

вой у

f{x), осью Ох и прямыми х

а, х

Ь,

выражаются ин-

тегралами

1 г^о.,,. .^ 1 сь

w^ = - f 8(M)ydS = - f S(M)y^dx;

=-f5{M)xdS

-fS{M)xydx; (3)

где 8(M) — плотность в точке М, dS = ydx — дифференциал

площади.

Для случая геометрических фигур плотность считается рав-

ной единице.

Статический момент тела относительно данной плоскости,

если известны площади поперечных сечений тела параллельных

этой плоскости S(x)

функции расстояния

от

нее,

при плотно-

сти,

равной единице, определяется интегрированием статичес-

кого момента элементарного слоя тела на расстоянии х от

плотности dm =

^^(JC)^^^

заданных пределах

ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА

653

т^^.= I xS{x)dx,

(4)

Статический момент тела вращенрм относительно плоскости,

перпендикулярной оси вращения х, определяется по формуле

т -к\ ху dx.

(5)

Если поверхность образована вращением кривой у

f{x)

ia<x<b) вокруг оси Ох

(рис.

12.38) и поверхностная плотность

ее

равна единице, то статический момент относительно плоско-

сти,

перпендикулярной оси вращения, находится интегрировани-

ем элементарного кольцевого слоя Inydl в заданных пределах

гь сЬ I ГТ

(6)

т^ =

2л:

xydl =

2л:

J хуф + (y'^dx.

Статические моменты относительно координатных плоско-

стей для цилиндрической поверхности х

x(t), у = y{t) с обра-

зующими параллельными

оси

(рис.

12.39) и

ограниченной сверху

кривой

Z =

z{t) находятся по формулам

'w,,

\^xzdl;

m^=\jzdl;

m^^=-\^z^dl,

(у)

где dl

^Jx^+y^dt;

L —проекция поверхности на плоскость

хОу.

654 Гпава

z(t)

Рис.

12.39

2°.

Моментом инерции материальной точки массы т отно-

сительно оси /называется произведение

ее

массы на квадрат рас-

стояния

JOT

оси

/^ = md^.

Моментом инерции системы

материальных точек называ-

ется сумма произведений масс этих точек

т^, т^,.^-

,т^

наквад-

рат расстояния их

от

оси

/^ = V

m^d^

1=1

Моменты инерции относительно координатных осей плос-

кой кривой

f{x)

(a<x<b) вычисляются

по

формулам

f 5(x)xV/=

{''S{x)x^J\

{yfdx,

(8)

где

(x) — плотность, dl—дифференциал дуги.

Моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной

кривой

f(x),

осью Ох

двумя прямыми

=аих

b вычис-

ляются по формулам

i £ 6(M)/dx;

/, =

£ SiM)x'ydx.

(9)

Моменты инерции плоской фигуры

(рис.

12.40), ограничен-

ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА

655

НОЙ

кривыми

jVi

(х),

у2 = /2

(х),

относительно осей коорди-

нат вычисляются по формулам

b X

Рис, 12.40

I,=[5{M)/{(pM-(p,{y))dy;

I^=[5(M)x'{f,(y)^My))dx;

(10)

здесь функции

ср^

(у) = х,,

ср^

(у) =

Х2

представляют уравнения

заданных кривых, разрешенных относительно переменной х.

6.1.

Найти статические моменты и моменты инерции отно-

сительно оси Ох дуги: а) кривой у-е""

(О

< х <

1);

б) астроиды

лежащей в первом квадранте, 5 (х) =

в) окружности

х^

+у^ =а^, расположенной в первом квадранте, если в каждой

ее

точке плотность пропорциональна произведению координат

точки.

Решение, а) Статический момент относительно оси Ох на-

ходим по первой из формул (1), полагая плотность равной еди-

нице

^ Jo

Делая замену

е"",

e'^dx,

получим т^ = \ ^ll

t^dt.

656 Гпава 12

Интегрируя по частям: „ = л/Г+Т^, dv = dt; du = / ^ ,

о,

будем иметь

rff

w_^=j'

л/Гь^^?=-

Vi77+\п{1+Vi+7))

гл/1 +

е^-л/2

1п

+ yl\ + e^

+ V2

По первой из формул (8) находим момент инерции относи-

тельно оси Ох

1 f

/, = £ е'"

у1\ +

е'Чх = - £

+ е'"

)'^'

d(\

+ e^'')

б) Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде

acos^t, y

asin^t.

При нахождении статического момента относительно оси

Ох воспользуемся формулами (1), для этого вычислим диффе-

ренциал дуги

= ^Jx^ +

y^dt

Sflvcos"^

t sin^

t +

sin"^

cos^

tdt =

sin

/ cos

tdt,

m, = \ ydl

= 3a^

| sin^^sin/cos/flf^ = sm4\

^ Jo -^ Jo <: I(

" 5

3a^

Момент инерции по формулам (8) равен

/ =

f'^/j/

= 3a' C'^hin'tsintcostdt

=—sm'

tp =-а

" Jo -^ Jo 8 '° 8

ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА 657

Следует заметить, что в силу симметрии астроиды относи-

3 2 , , 3 3

тельно координатных осей

т^=т^=—а

1^=1у=

— а ,

в) Статический момент и момент инерции находим по фор-

мулам (1) и (8).

Дифференциал дуги равен dl - ^\-\- {у'У dx , где / на-

ходим из дифференцирования уравнения окружности

2х

2уу=0, У= —

Окончательно

\ у у

Jl-\'-Ydx

= — yJy

+х dx

—dx.

Таким образом,

т^

= \ kxyy—dx-ka] xyja^-x^dx

| (а^-x^y^^d(a^-х^)

-у wo 2 •'^

ка,

43/21"

^а"

3 ''0 3

/^ = kxy-y—dx^kaX ху dx

ka\ x(a^-x'')dx

Jo -у Jo Jo

= ka

2 X X

V 2 4^

ka'

Здесь /:—коэффициет пропорциональности.

6.2. Найти статический момент и момент инерции полуок-

ружности радиуса а относительно

ее

диаметра.

Решение. Расположим декартову систему координат таким

образом, чтобы ось Ох совпала с диаметром, а начало коорди-

нат с центром окружности.

этом случае уравнение окружнос-

ти в параметрической форме примет вид: х

cos

t, у

а sin t.

658 Гпава 12

Тогда дифференциал дуги будет dl

\1а^

sin^ t

cos^ tdt

adt.

Воспользовавшись формулами (1) и (8), получим

т^

j""

ydl =

а^

sin tdt

= 2a^ /^ = Г

y^dl

аЧ""

sin^

tdt = -Ka\

6.3.

Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу

дуги окружности р

= 2а

sin

(р.

Решение. Воспользуемся формулами (2). Поскольку

^р^

+ р'2 ^^4а'sin'(р

4а^cos'(р=2а (0<(p<7i) (рис. 12.41),

то

т^=4а^\

sm^(pd(p

= 2a^{ {l-cos2(p)d(p =

2Ka^;

тПу^Аа

sin(pcos(pd(p

= 0.

То,

что т^, =

и следовало ожидать, так как дуга окружно-

сти симметрична относительно оси Оу.

6.4. Найти статические моменты и моменты инерции пря-

моугольника со сторонами аиЬ относительно его сторон.

Решение. Расположим оси координат так, как показано на

рис.

12.42.

Воспользуемся формулами (3),(9), полагая плотность рав-

ной

единице.

Будем иметь:

ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА

659

" 2Jo-^ 2

Г"

Г" 1 2

m^,= | хуй5с=1

bxdx

=—ab,

I=lry^dx

-rb'dx^-ab\

/^, =

xydx=\ X

bdx =

— a b.

Pwc.

72.42

6.5. Найти статические моменты и моменты инерции треу-

гольника, ограниченного линиями х = 0, у

Оих

а;

а) от-

носительно координатных осей; б) прямой, параллельной

основанию и проходящей через вершину; в) прямой, параллель-

ной основанию

проходящей через центр тяжести треугольника.

Решение, а) Статический момент и момент инерции треу-

гольника (рис. 12.43) относительно оси Ох находим по форму-

лам (3) и (9)

т.

а х-ах +•

-ry'dx

-\\a-xfdx

/ =- ydx

-\ (а-х) dx