Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ

В. Д. Черненко

ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА

В примерах

и задачах

в трех томах

том

ПОЛИТЕХНИКА

ИЗДАТЕЛЬСТВО

Санкт-Петербург 2003

УДК 517 (07)

ББК 22.11

Ч-49

Рецензенты:

Ф.

Черных,

доктор физико-математических наук,

профессор Санкт-Петербургского государственного университета,

Н. В

Югов,

член-корреспондент Центра прикладной математики

и механики Академии наук РФ

Черненко

В.

Д.

Ч-49 Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие

для вузов. В

т.: Т.

3.—

СПб.:

Политехника,

2003.—

476 с: ил.

ISBN

5-7325-0766-3

— общ.

ISBN

5-7325-0769-8

—Т. 3

Предлагаемое учебное пособие содержит краткий теоретический материал по

тензорному исчислению, численным методам высшего анализа и решения диффе-

ренциальных уравнений

частных производных, линейному

динамическому

про-

граммированию, теории вероятностей и математической статистике, случайным

функциям, теории массового обслуживания

теории оптимизации, а также боль-

шое количество примеров, иллюстрирующих основные методы решения.

УДК 517(07)

ББК

22.11

ISBN

5-7325-0766-3

— общ.

ISBN

5-7325-0769-8

— Т. 3 ©

В.

Д. Черненко, 2003

Оглавление

Глава

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

21.1.

Некоторые сведения о векторах

—

21.2.

Определение ортогонального тензора второго ранга

21.3.

Операции над тензорами

, 17

21.4.

Функции вектора

21.5.

Фундаментальный

тензор.

Символы Кристоффеля

Глава

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСШЕГО АНАЛИЗА

22.1.

Действия с приближенными числами

—

22.2.

Методы решения алгебраических и трансцендентных

уравнений

22.3.

Решение системы двух уравнений

22.4.

Интерполирование функций

22.5.

Численное дифференцирование функций

22.6.

Вычисление определенных интегралов

22.7.

Численное интегрирование обыкновенных

дифференциальных уравнений

22.8.

Метод коллокаций

Глава

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

23.1.

Конечно-разностный метод (метод сеток)

—

23.2.

Дифференциально-разностный метод (метод прямых)

23.3.

Метод характеристик численного решения

гиперболических систем квазилинейных

уравнений

23.4.

Метод конечных элементов

100

Глава 24

ЛИНЕЙНОЕ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ . 109

24.1.

Решение системы линейных неравенств —

24.2.

Основная задача линейного программирования и

геометрическая реализация ее в случае двух и трех

переменных 116

24.3.

Симплекс

метод 124

24.4.

Табличный алгоритм отыскания оптимального решения 127

24.5.

Транспортная задача 133

24.6.

Задачи динамического программирования 143

Глава 25

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 157

25.1.

Основные понятия теории вероятностей —

25.2.

Алгебра событий 163

25.3.

Теорема сложения вероятностей

несовместных событий 165

25.4.

Теорема умножения вероятностей 167

25.5.

Следстивия теорем сложения и умножения 173

25.6.

Формула Бернулли. Биномиальное распределение

вероятностей 177

25.7.

Наивероятнейшее число появлений события 180

25.8.

Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона 181

25.9.

Интегральная теорема Лапласа 182

Глава 26

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ 185

26.1.

Дискретная случайная величина и ее распределение —

26.2.

Математическое ожидание и его свойства 188

26.3.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 190

26.4.

Закон больших чисел 193

26.5.

Начальные

центральные моменты 197

26.6.

Простейший поток событий 199

26.7.

Непрерывные случайные величины и их числовые

характеристики 200

26.8.

Функция распределения вероятностей случайных величин .. 207

26.9.

Функции случайных аргументов

214

26.10.

Системы случайных величин

224

26.11.

Условные законы распределения вероятностей

составляющих системы

231

26.12.

Числовые характеристики системы двух случайных

величин

235

Глава

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

245

27.1.

Основные понятия математической статистики

—

27.2.

Средние значения признака совокупности

254

27.3.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

258

27.4.

Мода

медиана

265

27.5.

Доверительные интервалы

для

средних.

Выборочный

метод... 267

27.6.

Моменты,

асимметрия и эксцесс

282

27.7.

Условные

варианты.

Метод расчета

сводных характеристик выборки

284

27.8.

Элементы теории корреляции

287

Глава

СЛ^АТИСгаЧОЕСКАЯГТРОВЕРКАСГАТИСГИЧЕСКИХГТШ ..

303

28.1.

Основные понятия

—

28.2.

Сравнения двух дисперсий нормальных генеральных

совокупностей

304

28.3.

Сравнение двух средних генеральных совокупностей

310

28.4.

Сравнение предполагаемой вероятности с наблюдаемой

относительной частотой появления события

319

28.5.

Сравнение нескольких дисперсий нормальных

генеральных совокупностей

321

28.6.

Проверка гипотезы

нормальном распределении

генеральной совокупности

324

28.7.

Проверка гипотез о других законах распределения

генеральной совокупности

331

28.8.

Проверка гипотезы

значимости выборочного

коэффициента корреляции

336

28.9.

Однофакторный дисперсионный анализ

340

28.10.

Разыгрывание дискретной случайной

величины.

Метод Монте-Карло (статистических испытаний)

347

28.11.

Разыгрывание непрерывной случайной величины

350

28.12.

Оценка погрешности метода Монте-Карло

353

28.13.

Вычисление определенных интегралов методом

Монте-Карло

357

Глава

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

361

29.1.

Случайные функции и их характеристики

—

29.2.

Производная и интеграл случайной функции

365

29.3.

Стационарные случайные функции и их характеристики

370

29.4.

Корреляционная функция производной и интеграла

стационарной случайной функции

373

Глава

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

375

30.1.

Основные понятия системы массового обслуживания

(СМО)... —

30.2.

Определение цепи

Маркова.

Матрица перехода

377

30.3.

Непрерывные марковские цепи.Уравнения Колмогорова

для

вероятностей состояния

383

30.4.

Универсальные марковские цепи

388

28.5.

Одноканальная и многоканальная

СМО

с отказами

391

28.6.

Одноканальная

СМО

с ожиданием

395

30.7.

Многоканальная СМО с ожиданием

401

30.8.

СМО

с ограниченным временем ожидания

405

30.9.

Замкнутые системы

СМО 408

30.10.

СМО

со

"взаимопомощью"

между каналами

412

Глава

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

417

31.1.

Оптимизация планирования комплекса работ

—

31.2.

Оптимизация размещения узлов почтовой связи

422

31.3.

Расчет оптимального числа работников на предприятии

427

31.4.

Задача нахождения кратчайшего пути

431

31.5.

Алгоритмы определения максимального потока

439

31.6.

Задача замены оборудования

443

31.7.

Метод наименьших квадратов

444

31.8.

Методы расчета надежности

449

ЛИТЕРАТУРА

465

ПРИЛОЖЕНИЕ

466

Глава 21

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

21.1.

Некоторые сведения о векторах

1°.

Векторы называются линейно независимыми, если не

допускают линейной функциональной связи между собой. В

трехмерном пространстве можно построить три линейно неза-

висимых вектора. Любой четвертый вектор может быть разло-

жен на компоненты по этим трем независимым векторам.

Выбранное полное количество линейно независимых векторов

данного пространства

целью определения постоянных направ-

лений компонентов некоторого вектора этого пространства при

его разложении на составляющие называется репером. Если

разложение вектора представить через направляющие векто-

ры репера, то числовые множители, определяющие относитель-

ные длины соответствующих компонентов, называются

масштабным базисом.

Рассмотрим две взаимные тройки векторов. Пусть даны три

независимые вектора а,Ь,с удовлетворяющие условию

db с ^0, т. е. некомпланарные. Определим через них еще одну

тройку векторов

г пава 21

~ Ьхс г сха Z dxb

а = —Г7—, 6=—^-, с=—^—

аЬс аЬс аЬс

(1)

Используя cBOjpcTBa смешанного произведения трех векто-

ров,

получим

~ _ ЬХС ^ , ^ г ^ ::: - ^

aa=—zr--a

\; ab=0; а-с=0;

abc

E-d

= ^^'a = l;

S-b=l;

E'C=0; (2)

dbc

z -. dxb ^ , z r ^ z ^ ,

ca^—rr-a^X;

cb=0; cc=l,

dbc

e. векторы

тильдой перпендикулярны двум векторам первой

группы.

2^.

Взаимные системы координат. Рассмотрим косоуголь-

ную прямолинейную систему с некомпланарными масштабны-

ми векторами ё^.е^^е^, (рис 21.1). Обозначим скалярные

произведения этих векторов следующим образом

Рис. 21.1

eiej=g,j (g,j=gj,; I,/=

1,2,3/

ЭПЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

Если за

X , X , X

обозначить координаты радиус-вектора г, то

г =х^в| л-х^е^л-х^е^ -х'е.^. (3)

Здесь и

дальнейшем наличие в произведении одинаковых

индексов, один из которых расположен внизу, а другой — ввер-

ху, означает суммирование по этим индексам.

Введем в рассмотрение другую координатную систему

е\ ег, ё^ с началом координат в той же точке. Для скаляр-

ных произведений масштабных векторов примем обозначе-

ния

ё'-е'=/

(g''=g'\-

/,/ =

1.2,3;.

Пусть ХрХ2,Хз координаты

ТОГО

же радиус-вектора, тогда

радиус-вектор г будет

г=х..в\

(4)

Считаем, что рассмотренные тройки базисных векторов

являются взаимными (1), (2), т. е.

где 5! - символ Кронекера.

Умножая скалярно (3) на ё\

ё^,ё^,

получим

1 — —1 2 -* —2 3 — —3

X =г -е , X =г -е , х =г -е .

Аналогично, умножая (4) на

в,, в^,

вз,

будем иметь

Подставляя эти выражения

(4),(3)

заменяя, соответствен-

но,

г на

ё.

•

ё', найдем связь между базисными векторами вза-

имных систем

e,=g,-ei;

e'^g^'-e^.

(5)