Чейз, Ричард, Б., Эквилайн, Николас, Дж., Якобе, Роберт, Ф. Производственный и операционный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

311

придется затратить 9 миллионов долларов. Если спрос на новую продукцию будет

незначительным, по оценке специалистов, компания сможет получить совместно с

доходом этой новой фабрики 10 миллионов долларов чистого дисконтированного дохода.

При большом спросе сумма ожидаемых дисконтированных доходов составит 14

миллионов долларов. В любом случае вероятность того, что спрос будет велик,

оценивается в 40%, а вероятность небольшого спроса — 60%. Если компания откажется

от строительства новой фабрики, она не сможет рассчитывать на получение

дополнительного дохода, поскольку имеющиеся предприятия выпускать эту продукцию

не смогут. Постройте дерево решений и помогите компании Expando принять

оптимальное решение.

Основная библиография

Nils Arne Bakke and Ronald Hellberg, "The Challenges of Capacity Planning",

International Journal of Production Economics, 31-30 (1993), p. 243-264.

R.D. Jack Hammesfahr, James A. Pope and Aliraza Arda-lan. "Strategic Planning for

Production Capacity", International Journal of Operations and Production Management, May

1993, p. 41—53.

John Haywood-Farmer and Jean Nollet, Service Plus: Effective Services Management

(Boucherville, Quebec, Canada: G. Morin Publisher Ltd., 1991).

Robert Johnston, Stuart Chambers, Christine Harland, Alan Harrison and Nigel Slack,

Cases in Operations Management (England: Pitman, 1993).

Hugh F. Martin, "Mass Customization at Personal Lines Insurance Center", Planning

Review, July—August 1993, p. 27, 56.

Christopher Meyer, First Cycle Time: How to Align Purpose, Strategy and Structure for

Speed (New York: Free Press, 1993).

Craig Giffi, Aleda V. Roth and Gregory M. Seals (eds.), Competing in World-Class

Manufacturing: National Center for Manufacturing Sciences (Homewood, IL.: Business One

Irwin, 1990).

B. Pine II. Mass Customization: The New Frontier in Business Competition (Boston:

Harvard Business School Press, 1993).

312

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 Линейное программирование

В этой главе...

Модель линейного программирования

Графическое линейное программирование

Симплексный метод

Транспортный метод

Резюме

Ключевые термины

Анализ устойчивости (Sensitivity Analysis)

Вырождение (Degeneracy)

Графическое линейное программирование (Graphical Linear Programming)

Линейное программирование (Linear Programming)

Метод рычага (Pivot Method)

Поиск решения (Solver)

Симплексный метод (Simplex Method)

Теневая цена (Shadow Price)

Транспортный метод (Transportation Method)

Уравнения ограничений (Constraint Equations)

Целевая функция (Objective Function)

Ресурсы WWW

Airlines Online (http://axrlines.com)

313

Типичное применение методов линейного программирования в операционном

менеджменте

Методы в данной врезке объединены в две основные группы так, как они описаны в этом дополнении к

главе 7. (Графический метод в данный перечень не включен, поскольку он ограничен задачами с двумя

переменными.)

Методы Симплексный метод

Совокупное производственное планирование. Составление производственных планов с

минимальными производственными затратами с учетом издержек на изменение норм выработки и

конкретных ограничений на рабочую силу и на уровень товарно-материальных запасов.

Анализ эффективности обслуживания. Сравнение эффективности использования

различными сервисными предприятиями своих ресурсов с показателями наиболее успешных

компаний в конкретной отрасли. (Этот метод называют анализом свертывания данных.)

Планирование состава продукции. Определение оптимального состава продукции, в которой

составляющие имеют разные стоимости и потребляют различные количества ресурсов (например,

нахождение оптимального сочетания структурных составляющих бензинов в лакокрасочных

материалах, диетических компонентов в продуктах питания для людей и микроэлементов в кормах

для животных).

Маршрутизация технологического процесса. Определение оптимального маршрута

последовательного перемещения продукции в ходе ее обработки от одного обрабатывающего

центра к другому с учетом конкретных затрат и производительности каждого станка в таких

центрах.

Управление технологическим процессом. Минимизация отходов материалов в процессе

раскроя листов или рулонов, например стали, кожи, ткани и т.п.

Управление товарно-материальными запасами. Определение оптимальной комбинации

различных видов продукции для хранения на складах.

Транспортный метод

Совокупное производственное планирование. Составление производственного плана с

минимальными издержками производства (без учета издержек на изменение норм выработки).

Календарное планирование распределения продукции. Составление оптимального графика

транспортировки для распределения различных видов продукции между предприятиями и

складами либо между оптовыми складами и розничными продавцами.

Анализ размещения предприятия. Нахождение оптимального варианта размещения нового

предприятия исходя из затрат на транспортировку грузов и с учетом различных вариантов

расположения зданий предприятия, а также поставщиков и потребителей продукции.

Перемещение грузов. Определение оптимальных маршрутов движения транспортных

средств для перемещения грузов между цехами предприятия (например, автопогрузчиков) с

минимальными издержками, а также маршрутов перевозки грузов со складов поставщиков на

рабочие участки предприятия различными видами грузового транспорта, каждый из которых

характеризуется разными показателями мощности и эффективности.

Примеры

Сбор и распределение крови Американским Красным Крестом

Донорская служба Американского Красного Креста (American Red Cross — ARC) работает в

нескольких регионах. Каждое отделение отвечает за сбор, тестирование и распределение

донорской крови в своей зоне. Так, например, среднеатлантическое подразделение Американского

Красного Креста работает в большей части штата Вирджиния и на северо-востоке Северной

Каролины. Как-то специалисты предложили проект изменения расположения донорских пунктов в

среднеатлантическом регионе, и службу ARC заинтересовала экономическая целесообразность и

эффект данного мероприятия. Для того чтобы быстро определить, как будущие перемены

повлияют на существующий график сбора и распределения крови, использовали модели

линейного программирования. В результате проведенного анализа ARC приняла решение

повременить с переразмещением своих пунктов и вместо этого сделать все возможное для

оптимизации имеющихся мощностей.

Источник. Derya A. Jacobs, Murat N. Silan and Barry A. Clemson, "An Analysis of Alternative

314

Locations and Service Areas of American Red Cross Blood Facilities", Interfaces, May-June 1996, p. 40-

50.

Оценка степени согласованности

Трое ученых использовали метод линейного программирования для оценки слаженности

игры игроков бейсбольной лиги. Модель основывалась на вычислении весовых коэффициентов и

применялась для получения объективных показателей слаженности на основе субъективных

оценок согласованности действий игроков. Сравнение результатов анализа с

классификационными требованиями позволило подбирать игроков в команду. Такое применение

линейного программирования в равной степени подходит и для оценки согласованности работы

служащих менеджерами различных предприятий.

Источник. Christopher Zappe, William Webster and Ira Horowitz, "Using Linear Programming to

Determine Post-Facto Consistency in Performance Evaluations of Major League Baseball Players",

Interfaces, November-December 1993, p. 107-113.

Оценка лесных ресурсов

Когда правительство Новой Зеландии приступило к приватизации государственных лесных

угодий, для определения правильной продажной цены потребовалось оценить ожидаемые потоки

денежных средств от их эксплуатации. С помощью линейного программирования была

разработана модель лесных угодий, позволившая определить восстанавливаемые участки

лесозаготовок и распределение стволов в 14 зонах с горизонтом планирования на 40 и 70 лет.

Рассчитанные показатели ожидаемых денежных потоков от этих операций учитывались при

назначении стартовых цен и налогообложении участков леса. Кроме того, потенциальные

покупатели смогли воспользоваться результатами моделирования для разработки своей стратегии

торгов.

Источник. Bruce R. Manley and John A. Threadgill, "LP Used for valuation and Planning of New

Zealand Plantation Forests", Interfaces, November-December 1991, p. 66-79.

А теперь приготовьтесь! В этом дополнении к главе 7 мы обсудим основы одного из

самых мощных инструментов, применяемых в сфере управления бизнесом, — линейного

программирования.

Понятие линейного программирования (Linear Programming — LP) включает

несколько взаимосвязанных математических методов, которые используются для

оптимального распределения ограниченных ресурсов предприятия между его

конкурирующими потребностями. Наиболее широко линейное программирование

используется в методах, объединенных единым названием "математические методы

оптимизации", и, как вы убедились, прочтя врезку "Типичное применение методов

линейного программирования в операционном менеджменте", оказывается незаменимым

при решении очень многих задач и в этой области. В данном дополнении мы

сосредоточимся на обсуждении симплексного метода, с помощью которого решаются

любые задачи линейного программирования, а также на описании графического и

транспортного методов, которые очень эффективны при решении конкретных

специфических задач. Мы не только продемонстрируем, каким образом методы линейного

программирования приводят аналитика к оптимальному решению поставленной задачи,

но и обсудим понятие "теневых оценок" и другую "бесплатную информацию", которую

получает специалист, применяя симплексный метод.

Для решения задачи методом линейного программирования необходимо, чтобы

описанная в ней ситуация отвечала пяти основным условиям. Во-первых, она должна быть

связана с ограниченными ресурсами (т.е. ограниченное количество рабочих,

оборудования, финансов и материалов и т.п.), в противном случае этой задачи просто бы

не существовало. Во-вторых, необходимо сформулировать точную цель (максимизация

прибыли или минимизация затрат). В-третьих, задача должна характеризоваться

линейностью (например, если на изготовление детали требуется три часа, то на

изготовление двух будет затрачено шесть часов, на выпуск трех — девять и т.д.). В-

четвертых, задача должна характеризоваться однородностью (изделия, изготовленные на

315

станке, идентичны; все часы, в течение которых рабочий выполняет ту или иную

операцию, используются им с одинаковой продуктивностью и т.д.). Пятое условие

заключается в делимости: метод линейного программирования строится на допущении,

что результаты и ресурсы можно разделять на доли. Если такое деление невозможно

(например, полет половины самолета или наем на работу одной четвертой служащего),

аналитику лучше воспользоваться специальной модификацией линейного

программирования — дискретным (или целочисленным) программированием.

Методы линейного программирования могут применяться, если поставлена только

одна цель: максимизировать (например, прибыль) или минимизировать (например,

издержки). Когда целей несколько, используется целевое программирование. Если же

задача эффективнее всего решается поэтапно или по временным интервалам, аналитику

следует воспользоваться методом динамического программирования. В еще более

сложных задачах при решении могут потребоваться другие варианты данного метода,

например нелинейное, или квадратическое программирование.

Модель линейного программирования

Формально выражаясь, задача линейного программирования связана с оптимизацией

процесса, в ходе которого отбираются неотрицательные искомые переменные X

, Х

, ...,

, используемые затем для максимизации (или минимизации) целевой функции в

следующей форме.

Максимизировать (минимизировать) целевую функцию

Z=C

+ C

+ ...+ C

при условии ограничений на количество ресурсов, выраженных в таком виде:

+А

+ ... + А

+ А

+ ...+ A

< В

т1

+А

т2

+ ... + А

тп

<В

где С

, А

тn

и В

— заданные постоянные величины.

В зависимости от типа задачи ограничения могут указываться также с

использованием знака равенства (=) или знака "больше или равно" (≥).

Графическое линейное программирование

Несмотря на то, что графическое линейное программирование (Graphical Linear

Programming) применяется только для решения задач с двумя искомыми переменными

(или в случае с трехмерными графиками — тремя), этот метод позволяет быстро понять

основную суть линейного программирования и иллюстрирует, что происходит при

использовании симплексного метода, описанного дальше в этой главе.

Порядок решения задач графическим методом описывается ниже в контексте задачи,

связанной с деятельностью компании Puck and Pawn, специализированной на

производстве хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании

прибыль в размере 2 долл., а каждый шахматный набор — 4 долл. На изготовление одной

клюшки требуется четыре часа работы на участке А и два часа на участке В. Шахматный

набор изготавливается с затратами шести часов работы на участке A, шести часов на

участке В и одного часа на участке С. Доступная производственная мощность (Capacity

Available), выраженная в рабочих часах, участка А составляет максимум 120 часов в день;

участка В — 72 часа, а участка С— 10 часов.

Вопрос: сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать в день компания,

чтобы получать максимальную прибыль?

1. Сформулируйте задачу с использованием математических символов. Если

316

обозначить количество хоккейных клюшек через H, а количество шахматных наборов —

G, то целевую функцию (Objective Function) для достижения максимальной прибыли

можно выразить следующим образом.

Максимизировать Z = $2H + $4G;

при условии следующих ограничений по мощностям:

(1) 4Н + 6G < 120 (ограничение по участку А);

(2) 2H + 6G < 72 (ограничение по участку В);

(3) 1G < 10 (ограничение по участку C); и при условии, что Н, G > 0.

Такая формулировка удовлетворяет всем пяти условиям, предъявляемым к задачам

линейного программирования, описанным ниже.

1. Речь идет об ограниченных ресурсах (конечное число рабочих часов по каждому

из участков).

2. Точно сформулирована целевая функция (известны значения каждой переменной

и цель задачи).

3. Все уравнения носят линейный характер (в них отсутствуют экспоненты и

комбинационные составляющие).

4. Ресурсы однородны (для их оценки использована одна и та же единица измерения,

т.е. рабочее время).

5. Искомые переменные — делимые и неотрицательные значения (можно

изготовлять и части хоккейной клюшки или шахматного набора; однако не забывайте, что

если такой подход нежелателен, то следует воспользоваться методом целочисленного

программирования).

2. Построите график уравнений ограничений. Уравнения ограничений легко

отображаются на графике при присвоении одной из переменных нулевого значения и

нахождении значения другой на соответствующей оси координат. (Нецелые части в

неравенствах ограничений на данном этапе игнорируются.) Так, для уравнения

ограничений по участку А при R = 0, G = 20, а при G = 0, Н = 30. Для уравнения

ограничений по участку В при Н = 0 имеем G= 12, а при G= 0, Н= 36. Для уравнения

ограничений по участку С G= 10 при любых значениях Н. Соответствующие прямые

показаны на рис. 7д.1.

Рис. 7д. 1. Графическое решение задачи о хоккейных клюшках и шахматных наборах

H G Пояснение

0 120/6=20 Пересечение ограничения (1) с осью G

120/4=30 0 Пересечение ограничения (1) с осью Н

0 72/6=12 Пересечение ограничения (2) с осью G

72/2=36 0 Пересечение ограничения (2) с осью Н

317

0 10 Пересечение ограничения (3) с осью G

0 32/4=8

Пересечение линии равной прибыли (целевой функции),

соответствующей $32, с осью G

32/2=16 0 Пересечение линии равной прибыли, соответствующей $32, с осью Н

0 64/4=16 Пересечение линии равной прибыли, соответствующей $64, с осью G

64/2=32 0 Пересечение линии равной прибыли, соответствующей $64, с осью Н

3. Определите допустимую область. Направление знака неравенства в каждом

ограничении определяет область, в которой следует искать допустимое решение. В

данном случае все неравенства носят характер "меньше или равно", что означает, что

недопустимо искать любую комбинацию изделий, расположенную на графике справа и

сверху от линий ограничений. Область допустимых решений на графике рис. 7д. 1

закрашена серым и имеет форму выпуклого многоугольника. Такой многоугольник

бывает выпуклым только при условии, что прямая линия, соединяющая любые две точки

в нем, остается в его пределах. При невыполнении данного условия задача либо

неправильно сформулирована, либо не подлежит решению методом линейного

программирования.

4. Постройте график целевой функции. Целевая функция отображается на графике

следующим образом. Задайте какую-то произвольную величину общей прибыли и

найдите отрезки на осях координат, отсекаемые целевой функцией, как это было сделано

для уравнений ограничений. Целевую функцию в данном контексте часто называют

линией равной прибыли, или линией равносильного вклада, поскольку она отображает все

возможные комбинации двух видов продукции для заданной прибыли. Так, например, на

штриховой прямой, на графике ближе всех расположенной к началу координат, мы можем

определить все возможные комбинации хоккейных клюшек и шахматных наборов,

которые дадут прибыль в 32 долл., выбрав для этого любую точку на прямой и найдя

соответствующие количества каждого из производимых изделий по ее координатам. Так,

для точки а комбинация, которая принесет компании прибыль в 32 долл., будет 10

клюшек и 3 набора. Этот результат можно проверить подстановкой полученных с

помощью графика значений Н — 10, G = 3 в уравнение целевой функции:

($2 х 10) + ($4 х 3) = $20 + $12 = $32.

5. Найдите оптимальную точку. Можно математически доказать, что оптимальная

комбинация искомых переменных всегда находится в крайней (угловой) точке выпуклого

многоугольника. На графике рис. 7д.1 таких точек четыре (исключая точку начала оси

координат), и для определения того, какая из них оптимальная, существует два способа.

Первый заключается в алгебраическом поиске решений для разных вершин

многоугольника и оты-

скании среди них вершины с максимальной прибылью. Такой метод предполагает

одновременное решение уравнений для разных пар пересекающихся прямых и

подстановку полученных параметров переменных в целевую функцию. Так, например,

вычисления для пересечения линий 2Н +6(7= 72 и G = 10 будут следующими. Поставив G

= 10 в 2Н + 6G = 72, получаем

2Н+ (6х 10) = 72.

Следовательно, 2H= 12, а Н= 6. Подставив в целевую функцию значения H=6 и G =

10, получаем

прибыль = $2# + $4G = ($2 х 6) + ($4 х 10) =

$12 + $40 = $52.

Этот метод можно немного видоизменить, взяв параметры Н и G непосредственно из

графика и подставляя их в целевую функцию, как это делалось в процессе предыдущих

вычислений. Недостаток данного подхода: при решении задач с большим количеством

ограничительных уравнений возможных точек для оценки бывает очень много, и

процедура математического тестирования каждой из них становится просто

318

неэффективной.

Второй метод, который обычно предпочитают специалисты, заключается в

непосредственном поиске оптимальной точки на линии равной прибыли. Эта процедура

состоит в том, что на графике проводится прямая, параллельная любой произвольно

выбранной исходной прямой равной прибыли, но наиболее удаленной от начала

координат графика в пределах области допустимых значений. (В задачах на минимизацию

затрат прямая равной прибыли должна проходить через точку, самую близкую к началу

координат.) На рис. 7д.1 крайнюю (угловую) точку пересекает штриховая линия,

соответствующая уравнению $2H+ $4G= $64. Обратите внимание, что исходная

произвольно выбранная прямая равной прибыли обязательна, поскольку она отображает

угол наклона целевой функции для конкретной задачи

Угол наклона целевой функции определяется коэффициентом, который в данном примере равен —

2. Обозначив прибыль через Р, имеем P=$2H+$4G;$2H=P-$4G, H=pl2-2G. Из этого следует, что значение

коэффициента наклона равно — 2.

Это очень важно, так как при другой целевой функции (например, попробуйте

подставить в значение прибыли 3Н+ 3G) наиболее удаленной от начала оси координат

может быть другая точка. При условии, что уравнение $2H+$4G=$64 является

оптимальным, значение каждой переменной, указывающее, какое количество изделий

следует производить, можно определить по графику для оптимальной точки: 24

хоккейные клюшки и 4 шахматных набора. Любые другие комбинации дадут компании

меньшую прибыль.

Симплексный метод

Симплексный метод (Simplex Method) представляет алгебраическую процедуру, в

результате которой аналитик, последовательно выполняя ряд повторяющихся операций,

прогрессивно приближается к оптимальному решению

. Теоретически данным методом

можно решать задачи, включающие любое количество переменных и ограничений, но

если в них, например, больше четырех переменных или ограничений, то вычисления

лучше проводить на компьютере. И все же для того, чтобы знать, как составляются

уравнения, которые надо вводить в компьютерную программу, и уметь эффективно

использовать итоги, полученные в результате работы в этой программе, предлагаем вам

выполнить всю процедуру использования симплексного метода без помощи

компьютерной техники.

Термин "симплексный" произошел отнюдь не от английского слова simple (простой, простая). Он

заимствован из n-мерной геометрии.

Шесть этапов симплексного метода

Симплексный метод включает в себя ряд отдельных этапов. Все они подробно

описаны и подытожены в конце данного раздела. Для наглядной демонстрации процедуры

поиска решения симплексным методом воспользуемся все той же задачей определения

оптимальных объемов производства хоккейных клюшек и наборов шахмат.

Этап 1. Сформулируйте задачу. Вспомните, что, если цель состоит в максимизации

прибыли, то мы имеем такие условия задачи.

Максимизировать Z = $2H + $4G;

при условии, что

319

4# + 6G < 120 (ограничение по участку А);

2Н + 6G < 72 (ограничение по участку В);

1G < 10 (ограничение по участку С);

Н,С>0 (требование отсутствия отрицательных значений).

Этап 2. Составьте исходную таблицу со свободными переменными. При

использовании симплексного метода необходимо выполнить две следующие серьезные

корректировки задачи:

• ввести свободные переменные и

• построить таблицу решений.

Введение свободных переменных. В каждое уравнение ограничения вводятся

свободные переменные. Свободная переменная (Slack Variable), которая на практике

может рассматриваться как неиспользуемый ресурс, с математической точки зрения

представляет собой значение, необходимое для уравнивания двух частей

ограничительного уравнения. Иными словами, она предназначена для преобразования

неравенства в равенство. Для рассматриваемой нами задачи потребуется ввести три

свободные переменные: S

— для первого уравнения ограничений, S

— для второго и 5,

— для третьего.

В результате наши уравнения примут следующий вид:

4H+6G+1S

= 120; 2H+6G+ 1S

= 72; 1G + 1S

= 10 .

Чтобы в каждом уравнении ограничений были представлены все свободные

переменные, все они включаются в уравнения с множителями, равными нулю. В

результате такой корректировки получаем следующую систему уравнений:

4H + 6G + IS

+0S

+ 0S

= 120; 2H+6G+ 0S

+\S

+ 0S

= 72; 0H+1G + 0S0

+05

,= 10.

Обратите внимание, что в третье уравнение введена переменная Н с нулевым

множителем. В целевую функцию также добавляются свободные переменные, но

поскольку они никак не влияют на прибыль, их множители равны $0:

Z= $2H + $4G + 05, +0S

+ 0S

Построение исходной таблицы. Исходная таблица (табл. 7д.1) представляет

удобный способ подготовки задачи к решению с применением симплексного метода.

В данной таблице представлены.

1. Свободные переменные поэтапного решения.

2. Прибыль, соответствующая решению.

3. Переменная (если таковая существует), которая при вводе в решение больше

других увеличивает прибыль.

4. Показатель приведения переменных в решении (при вводе одной единицы каждой

переменной). Этот показатель называется коэффициентом замещения.

5. Стоимость добавленной единицы ресурса (например, часа), которую называют

теневой ценой.

Первые четыре характеристики мы обсудим сейчас, в ходе описания табл. 7д.1, а о

последней поговорим подробнее дальше в этом дополнении к главе.

В верхней строке табл. 7д.1 содержатся значения С

(вклад в общую прибыль,

соответствующий выпуску одной единицы каждого вида продукции). В этой строке

приведены множители переменных целевой функции. Они остаются неизменными во всех

последующих расчетных таблицах. В первом столбце, озаглавленном С

для удобства

приведены значения прибыли на единицу переменных, включенных в решение на каждом

этапе решения задачи.

Таблица 7д.1. Исходная таблица для задачи о производстве хоккейных клюшек и шахматных

наборов

-й столбец С

-я строка

$2 $4 $0 $0 $0

Количество Участок

320

Совокупное

решение

Н G S

$0 S1 4 6 1 0 0 120 А

$0 S2 2 6 0 1 0 72 В

$0 S3 0 1 0 0 1 10← С

$0 $0 $0 $0 $0 $0

-Z

$0 $0 $0

Переменные, выбранные для первой таблицы, перечислены в столбце "Совокупное

решение". Как видно, на первом шаге решения рассматриваются только свободные

переменные с нулевыми коэффициентами прибыли, что и отображено в столбце С

табл.

7д.1.

Переменные уравнений ограничений приведены в столбцах справа от столбца,

озаглавленного "Совокупное решение", и для каждой переменной указаны конкретные

коэффициенты при них для всех уравнений ограничений; т.е. 4, 6, 1, 0 и 0 — это

коэффициенты для участка А; 2, 6, 0, 1 и 0 — для участка В, а 0, 1, 0, 0 и 1 — для участка

С.

На основе этих показателей можно определить коэффициенты замещения. Так,

например, в третьем столбце под переменной Н перечислены цифры 4, 2 и 0. Для каждой

единицы продукции Н, вводимой в решение, из доступных ресурсов потребуется извлечь

четыре единицы S

две единицы S

и нуль единиц S

Значения в столбце "Количество"

показывают, сколько единиц каждого ресурса есть в наличии на каждом участке. В

исходной таблице воспроизводится правая часть каждого уравнения ограничений.

Значения Zj во второй строке снизу (за исключением значения в столбце "Количество")

отражают размер валовой прибыли, от которой отказывается компания при введении в

решение одной единицы соответствующей переменной, обозначенной нижним индексом j.

Значение Zj, указанное в колонке "Количество", — это общая прибыль для данного

решения. В исходном решении симплексной задачи все значения Zj нулевые, поскольку

реальной продукции не производится (все участки простаивают), а следовательно, и

никакая валовая прибыль при замещении переменных потеряна не будет.

В нижней строке таблицы содержатся показатели чистой прибыли на единицу

продукции, полученные в результате введения в решение одной единицы конкретной

переменной. Эта строка обозначена в таблице С

— Zj. Процедура вычисления значений Zj

и Cj — Zj отображена в табл. 7д.2.

Исходное решение нашей задачи содержится уже непосредственно в табл. 7д.1:

компания производит 120 единиц S

, 72 единицы S

и 10 единиц S

. Общая прибыль для

этого решения $0, следовательно, никакие мощности еще не распределялись и никакой

реальной продукции не производилось.

Этап 3. Определите, какую переменную следует включить в решение. Получить

лучшее решение задачи можно в том случае, если разность C

— Zj будет положительной.

Как уже отмечалось выше, в ней приводится чистая прибыль, получаемая при добавлении

одной единицы переменной из соответствующего столбца к решению. В данном примере

мы можем выбирать из двух положительных значений: $2 для переменной H и $4 для

переменной G. Поскольку наша цель заключается в максимизации прибыли, логично

выбрать для включения в решение переменную, которая даст наибольшие результаты, т.е.

в нашем случае G. В табл. 7д.1 столбец для этой переменной помечен маленькой стрелкой,

расположенной под ним. (Для достижения каждого улучшенного решения одновременно

можно добавлять только одну переменную.)

Таблица 7д.2. Вычисления показателей Z

и С

– Z