Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

111

===

;; .

×àñòîòó w

íàçûâàþò ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé. Åñëè íàïðÿæåíèå U íà

çàæèìàõ öåïè è àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r öåïè íå èçìåíÿþòñÿ, òî òîê â ðàññìàò

ðèâàåìîé öåïè ïðè ðåçîíàíñå èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå,

ðàâíîå U/r, íå çàâèñÿùåå îò çíà÷åíèé ðåàêòèâíûõ ñîïðî

òèâëåíèé. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà â ñëó÷àå ðåçîíàíñà ïðèâå

äåíà íà ðèñ. 6.1. Åñëè ðåàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ x

= x

ïðè ðåçîíàíñå ïðåâîñõîäÿò ïî çíà÷åíèþ àêòèâíîå ñîïðî

òèâëåíèå r, òî íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ ðåàêòèâíîé êàòóø

êè è êîíäåíñàòîðà ìîãóò ïðåâîñõîäèòü, è èíîãäà âåñüìà

çíà÷èòåëüíî, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè. Ïîýòîìó ðå

çîíàíñ ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè íàçûâàþò ð å

çîíàíñîì íàïðÿæåíèé. Ïðåâûøåíèå íàïðÿæåíèÿ

íà ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè íàä íàïðÿæåíèåì íà çàæè

ìàõ öåïè èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè

<===w

Âåëè÷èíà

, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ è îáîçíà÷åííàÿ íàìè

÷åðåç r, íîñèò íàçâàíèå âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðà.

Îòíîøåíèå

=== ==

0000

îïðåäåëÿåò êðàòíîñòü ïðåâûøåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ èíäóêòèâíîãî è åì

êîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèé íàä íàïðÿæåíèåì íà çàæèìàõ âñåé öåïè. Âåëè÷èíó Q,

îïðåäåëÿþùóþ ðåçîíàíñíûå ñâîéñòâà êîíòóðà, íàçûâàþò äîáðîòíîñòüþ

êîíòóðà. Ïðèíÿòî òàêæå ðåçîíàíñíûå ñâîéñòâà õàðàêòåðèçîâàòü âåëè÷èíîé

1/Q, íîñÿùåé íàçâàíèå çàòóõàíèå êîíòóðà.

Â § 4.7 äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè áûëè ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ìãíîâåííîé

ìîùíîñòè íà çàæèìàõ êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà: p

= U

I sin 2wt è p

= –U

I sin 2wt.

Ïðè ðåçîíàíñå, êîãäà U

= U

, ýòè ìîùíîñòè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíû è

ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðîèñõîäèò îáìåí ýíåðãèåé ìåæäó

ìàãíèòíûì ïîëåì êàòóøêè è ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì êîíäåíñàòîðà, ïðè÷åì îáìåí

ýíåðãèåé ìåæäó ïîëÿìè öåïè è èñòî÷íèêîì, ïèòàþùèì öåïü, íå ïðîèñõîäèò, òàê

êàê p

+ p

= dW

/dt + dW

/dt è W

+ W

= const, ò. å. ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ ïîëåé

â öåïè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò èç êîíäåíñàòîðà â êàòóøêó â

òå÷åíèå ÷åòâåðòè ïåðèîäà, êîãäà íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïî àáñîëþòíîìó

çíà÷åíèþ óáûâàåò, à òîê ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ âîçðàñòàåò. Â òå÷åíèå ñëå

äóþùåé ÷åòâåðòè ïåðèîäà, êîãäà íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïî àáñîëþòíîìó

çíà÷åíèþ ðàñòåò, à òîê ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ óáûâàåò, ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò

îáðàòíî èç êàòóøêè â êîíäåíñàòîð. Èñòî÷íèê ýíåðãèè, ïèòàþùèé öåïü, òîëüêî

ïîêðûâàåò ðàñõîä ýíåðãèè íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r.

Ãëàâà 6. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ è ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè 303

Ðèñ. 6.1

304 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

6.3. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì

ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ r, L, C

Çàâèñèìîñòè ïîëíîãî è ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèé öåïè è óãëà ñäâèãà j ìåæäó

òîêîì è íàïðÿæåíèåì îò ÷àñòîòû ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6.2. Â äàííîé öåïè àêòèâíîå

ñîïðîòèâëåíèå íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû. Ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå (ðèñ. 6.3)

x =wL –

–

) ïðè òðåõ õàðàêòåðíûõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû ïðèíèìàåò

ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå ëèáî íóëþ, ëèáî áåñêîíå÷íîñòè.

Àðãóìåíò ôóíêöèè, ïðè êîòî

ðîì îíà ïðèíèìàåò áåñêîíå÷íîå

çíà÷åíèå, íàçûâàþò ïîëþñîì

ôóíêöèè, à àðãóìåíò, ïðè êîòî

ðîì ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò íóëåâîå

çíà÷åíèå, íàçûâàþò íóëåì ýòîé

ôóíêöèè. Â äàííîì ñëó÷àå èìå

åì ôóíêöèþ x(w), è, ñëåäîâà-

òåëüíî, åå ïîëþñàìè áóäóò ÷àñ-

òîòû, ïðè êîòîðûõ x(w) =¥,ò.å.

w=0èw=¥, à íóëåì áóäåò ÷àñ-

òîòà, ïðè êîòîðîé x(w) = 0, ò. å.

w=w

. Íà ðèñ. 6.3 ïîëþñû îáî-

çíà÷åíû êðåñòèêàìè, à íóëè —

êðóæêàìè. Òàêèõ æå îáîçíà÷åíèé áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ è â äàëüíåéøåì. Õà-

ðàêòåðíîå ñâîéñòâî ôóíêöèè x(w) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè âñåõ ÷àñòîòàõ

dx/dw > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû ðàñòóò îáà ñëàãàåìûõ âåëè÷è-

íû x =wL +

,ò.å.wL è

, òàê êàê

()w

= L >0è

>0.

Òàêèì îáðàçîì, ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû âåëè÷èíà x, ïîíèìàåìàÿ àëãåáðàè÷åñêè,

âñåãäà ðàñòåò. Êàê óâèäèì â äàëüíåéøåì, ýòî õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî îòíîñèòñÿ ê

ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèÿì ëþáûõ ñêîëü óãîäíî ñëîæíûõ öåïåé áåç ïîòåðü.

Îáðàòèì îñîáîå âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â ìîìåíò ðåçîíàíñà ïðî

èñõîäèò èçìåíåíèå õàðàêòåðà ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (ñì. ðèñ. 6.2 è 6.3). Åñ

ëè ïðè w < w

ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå èìåëî åìêîñòíûé õàðàêòåð (x <0,

j < 0), òî ïðè w > w

îíî ïðèíèìàåò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð (x >0,j > 0). Â ÷àñò

íîì ñëó÷àå, åñëè r = 0, ïðè ÷àñòîòå w=w

ïðîèñõîäèò ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå

óãëà j îò –p/2 äî +p/2, ò. å. ïðîèñõîäèò, êàê èíîãäà ãîâîðÿò, «îïðîêèäûâàíèå

ôàçû» (ðèñ. 6.3).

Ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü îò ÷àñòîòû ðåàêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè òîé æå öåïè

(ñì. ðèñ. 6.1). Êàê èçâåñòíî,

Zrjx

gjb==

=- =-

Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà r = 0,

Ðèñ. 6.3

Ðèñ. 6.2

22 2

Ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü ïðè îòñóòñòâèè r â öåïè òàêæå

èìååò òðè õàðàêòåðíûå ÷àñòîòû — äâà íóëÿ (w=0, w=¥),

ïðè êîòîðûõ b = 0, è îäèí ïîëþñ (w=w

), ïðè êîòîðîì

b =¥. Ïî õàðàêòåðó êðèâîé b(w) (ðèñ. 6.4) ìîæíî çàìå

òèòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû âåëè÷èíà b âñåãäà óáû

âàåò, ò. å. ïðè âñåõ ÷àñòîòàõ db/dw < 0. Äåéñòâèòåëüíî,

ïðè r = 0 èìååì

dww w

=- <

òàê êàê x

>0è

> 0

Êàê óâèäèì â äàëüíåéøåì, ýòî ñâîéñòâî îòíîñèòñÿ ê

ðåàêòèâíûì ïðîâîäèìîñòÿì ëþáûõ ñêîëü óãîäíî ñëîæ

íûõ öåïåé áåç ïîòåðü.

Ïðè r ¹ 0, â îòëè÷èå îò çàâèñèìîñòè x(w) äëÿ ïîñëåäî-

âàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ r, L, C, ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü

çàâèñèò íå òîëüêî îò L è C, íî è îò àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ r. Ïðè íàëè÷èè àê-

òèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ â öåïè è ïðè w=w

äëÿ äàííîé

öåïè b = 0, ò. å. ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà ÿâëÿåòñÿ íóëåì b.Îä-

íàêî âëåâî è âïðàâî îò ýòîé ÷àñòîòû ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäè-

ìîñòü ðåçêî âîçðàñòàåò (øòðèõîâàÿ êðèâàÿ íà ðèñ. 6.4).

Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ýêñòðåìóìû b(w) íàñòóïàþò ïðè

1,2

è ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî,

–b

= b

= 1/(2r). Çàìåòèì, ÷òî w

– w

×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà I(w) ïðè U = const, r = const, L = const è C = const

âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

IUr L

(w) w

=+-

è èçîáðàæàåòñÿ êðèâîé, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 6.5. Íà ðèñóíêå òàêæå ïðèâåäå

íû ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè U

(w) = I(w)

è U

(w) = I(w) wL. Ïðè w=0áó

äåò I = 0, òàê êàê êîíäåíñàòîð íå ïðîïóñêàåò ïîñòîÿííûé òîê è, ñîîòâåòñòâåííî,

âñå ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå ïðèõîäèòñÿ íà çàæèìû êîíäåíñàòîðà (U

= U).

Ïðè w=¥èìååì I = 0, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè áåñêîíå÷íî è, ñîîòâåò

ñòâåííî, âñå íàïðÿæåíèå ïàäàåò íà çàæèìû êàòóøêè (U

= U). Ïðè ÷àñòîòå ðåçî

íàíñà w=w

èìååì U

= U

, è òàê êàê íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêå è íà êîíäåíñàòîðå

âçàèìíî êîìïåíñèðóþòñÿ, òî âñå íàïðÿæåíèå ïðèõîäèòñÿ íà ó÷àñòîê ñ ñîïðîòèâ

ëåíèåì r (U

= Ir = U). Äèàãðàììà íà ðèñóíêå ïðèâåäåíà äëÿ ñëó÷àÿ d < l, âñëåäñò

âèå ÷åãî ïðè ÷àñòîòå ðåçîíàíñà U

= U

> U. Ìàêñèìóì U

íàñòóïàåò ïðè ÷àñòîòå,

Ãëàâà 6. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ è ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè 305

Ðèñ. 6.5

Ðèñ. 6.4

306 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ìåíüøåé w

, ò. å. ðàíüøå ìàêñèìóìà I, òàê êàê äëÿ ïîëó÷åíèÿ âåëè÷èíû U

íåîá

õîäèìî óìíîæèòü òîê I íà óáûâàþùóþ âåëè÷èíó 1/(wC). Ìàêñèìóì æå U

äîñ

òèãàåòñÿ ïðè ÷àñòîòå, ïðåâûøàþùåé w

, ò. å. ïîçæå ìàêñèìóìà I, òàê êàê äëÿ ïîëó÷å

íèÿ âåëè÷èíû U

íåîáõîäèìî óìíîæèòü òîê íà âîçðàñòàþùóþ âåëè÷èíó wL.

Êðèâûå, âûðàæàþùèå çàâèñèìîñòü âåëè÷èí

I, U

è U

îò ÷àñòîòû, äàþùèå ãðàôè÷åñêîå èçî

áðàæåíèå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê öåïè, íàçû

âàþò òàêæå ðåçîíàíñíûìè êðèâûìè.

Ðåçîíàíñíûìè êðèâûìè íàçûâàþò òàêæå çàâè

ñèìîñòè ýòèõ âåëè÷èí îò èçìåíÿþùåéñÿ èíäóê

òèâíîñòè èëè îò èçìåíÿþùåéñÿ åìêîñòè ïðè

íåèçìåííîé ÷àñòîòå.

Ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü îò îòíîñèòåëüíîé

÷àñòîòû h=w/w

îòíîñèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ òîêà

I/I

, ãäå I

= U/r è w

= 1/

— òîê è ÷àñòîòà

ïðè ðåçîíàíñå. Èìååì

===

Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

(h) çàâèñèò òîëüêî îò çàòóõà-

íèÿ d. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ d ïðèìåì I/I

= 1/

. Ïîëó÷àåì

= 2. Ïî-

ëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ ðàâíû

241

=+ +m dd

, ñëåäîâàòåëüíî,

— h

= d. Îòñþäà è èç ðèñ. 6.6 âèäíî, ÷òî ÷åì áîëüøå çàòóõàíèå êîíòóðà, òåì

áîëåå øèðîêîé îêàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ

(h), è íàîáîðîò, ýòà êðèâàÿ

òåì áîëåå óçêàÿ, ÷åì ìåíüøå çàòóõàíèå.

Ïðèíÿòî óñëîâíî ãîâîðèòü, ÷òî öåïü ïðîïóñêàåò ÷àñòîòû, ïðè êîòîðûõ

I >

, ò. å. êîãäà ìîùíîñòü

, ïîãëîùàåìàÿ öåïüþ, áîëüøå ïîëîâèíû ìàêñè

ìàëüíîé ìîùíîñòè

r ïðè ðåçîíàíñå. Ñîîòâåòñòâåííî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî öåïü

íå ïðîïóñêàåò ÷àñòîò, äëÿ êîòîðûõ I <

,ò.å.

r. Â ýòîì ñìûñëå ìîæ

íî ââåñòè ïîíÿòèå ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ

wh h w

02 1 0

()-= =d

êàê äèàïàçîíà ÷àñòîò, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî óñëîâèå I >

Ðèñ. 6.6

Íàçîâåì ðàññòðîéêîé êîíòóðà ïî ÷àñòîòå âåëè÷èíó Dw=w– w

è îòíîñèòåëüíîé ðàññòðîéêîé —âåëè÷èíó Dw/w

. Ïðè ýòîì

w+w) w

-=-=

105

(

Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ äîáðîòíîñòè òîê ðåçêî ñïàäàåò ïðè íåáîëüøèõ îò

êëîíåíèÿõ h îò åäèíèöû. Åñëè Dw/w

<< 1, òî ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü

-»

è òîãäà

,.arctg

Âåëè÷èíó à =

Q íàçîâåì îáîáùåííîé ðàññòðîéêîé êîíòóðà.

Òàêèì îáðàçîì, ÷åðåç îáîáùåííóþ ðàññòðîéêó îêîí÷àòåëüíî ìîæíî çàïèñàòü

»,.j arctg

Íà ãðàíèöàõ ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ îáîáùåííàÿ ðàññòðîéêà ðàâíà åäèíèöå,

à j=±45°.

6.4. Ðåçîíàíñ ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ g, L, C

Óñëîâèåì ðåçîíàíñà ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè àêòèâíîãî, èíäóêòèâíîãî è

åìêîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèé (ðèñ. 6.7) ÿâëÿåòñÿ òàêæå îòñóòñòâèå ñäâèãà ôàç ìåæ

äó òîêîì è íàïðÿæåíèåì íà çàæèìàõ öåïè.

Ïîñêîëüêó Y = g–jb= ye

–jj

, ãäå

ygb gbb

=+=+- =+-

22 2 2

() ;

j arctg

= arctg ,

òî óñëîâèå j=0 îçíà÷àåò, ÷òî b = b

–b

= 0 èëè

CLC-= =;.

Òàêèì îáðàçîì, âçàèìíàÿ êîìïåíñàöèÿ ðåàêòèâíûõ ïðîâîäèìîñòåé, ïðè êîòî

ðîé íàñòóïàåò ðåçîíàíñ â äàííîé öåïè, èìååò ìåñòî, åñëè ëèáî ÷àñòîòà, ëèáî èí

äóêòèâíîñòü, ëèáî åìêîñòü ïîäîáðàíû ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì

Ãëàâà 6. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ è ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè 307

308 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

111

===

;; .

Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçîíàíñà ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ìîæíî äîáèòüñÿ èç

ìåíåíèåì ëèáî ÷àñòîòû, ëèáî èíäóêòèâíîñòè, ëèáî åìêîñòè. ×àñòîòà w

ÿâëÿåò

ñÿ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé.

Ïðè ðåçîíàíñå ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè ðàâíà íóëþ è ïîëíàÿ ïðîâîäè

ìîñòü öåïè äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó òîê â îáùåé âåòâè I = Uy

ïðè íåèçìåííîì íàïðÿæåíèè îêàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì â

îòëè÷èå îò ðåçîíàíñà ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè,

êîãäà òîê, íàîáîðîò, èìåë ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå. Âåê

òîðíàÿ äèàãðàììà ïðè ðåçîíàíñå â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè

ïðèâåäåíà íà ðèñ. 6.7.

Òàê êàê âåêòîð òîêà â îáùåé âåòâè îêàçûâàåòñÿ ãåîìåò

ðè÷åñêîé ñóììîé âåêòîðîâ òðåõ òîêîâ, äâà èç êîòîðûõ I

è I

íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå, òî ïðè ðåçîíàíñå âîçìîæíû

ñëó÷àè, êîãäà òîêè â èíäóêòèâíîé êàòóøêå è â êîíäåíñà-

òîðå ìîãóò ïðåâîñõîäèòü, è èíîãäà íàìíîãî, ñóììàðíûé

òîê â öåïè. Ïîýòîìó ðåçîíàíñ ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíå-

íèè íàçûâàþò ðåçîíàíñîì òîêîâ.

Ïðåâûøåíèå òîêîâ â ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè íàä ñóììàðíûì òîêîì öåïè

èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè

<= ==w

Âåëè÷èíà

, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè è îáîçíà÷åííàÿ íàìè

÷åðåç g, íîñèò íàçâàíèå âîëíîâîé ïðîâîäèìîñòè êîíòóðà.

Îòíîøåíèå

=== =

îïðåäåëÿåò êðàòíîñòü ïðåâûøåíèÿ òîêà â ðåàêòèâíîé êàòóøêå è â êîíäåíñàòîðå

íàä ñóììàðíûì òîêîì ïðè ðåçîíàíñå. Âåëè÷èíà Q ÿâëÿåòñÿ äîáðîòíîñòüþ êîí

òóðà. Êàê è ðàíåå (ñì. § 6.2), âåëè÷èíà d = 1/Q, îáðàòíàÿ äîáðîòíîñòè, ÿâëÿåòñÿ

çàòóõàíèåì êîíòóðà.

Ýíåðãåòè÷åñêèå ïðîöåññû ïðè ðåçîíàíñå â öåïè ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì

ó÷àñòêîâ g, L è C àíàëîãè÷íû ýíåðãåòè÷åñêèì ïðîöåññàì ïðè ðåçîíàíñå â öåïè

ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ r, L è C. Òåïåðü òàêæå èìååì p

= –p

ò. å. p

= 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ïðè ðåçîíàíñå

= –i

â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, à íàïðÿæåíèå ÿâëÿåòñÿ îáùèì è, òàê êàê p

= ui

,òîp

= –p

. Òàêèì îáðàçîì, è â ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäÿò êîëåáàíèÿ ýíåð

ãèè â öåïè. Ýíåðãèÿ ïîëåé ïåðåõîäèò èç êîíäåíñàòîðà â êàòóøêó è îáðàòíî, íå

îáìåíèâàÿñü ñ èñòî÷íèêîì, ïèòàþùèì öåïü. Èñòî÷íèê æå ýíåðãèè òîëüêî ïî

êðûâàåò ïîòåðè ýíåðãèè â âåòâè ñ ïðîâîäèìîñòüþ g.

Ðèñ. 6.7

6.5. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïè ñ ïàðàëëåëüíûì

ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ g, L, C

Çàâèñèìîñòè ðåàêòèâíûõ è ïîëíîé ïðîâîäèìîñòåé öåïè è óãëà ñäâèãà j ìåæäó

òîêîì è íàïðÿæåíèåì îò ÷àñòîòû ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6.8. Â äàííîé öåïè àêòèâ

íàÿ ïðîâîäèìîñòü íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû. Ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü (ðèñ. 6.9)

b = b

–b

– wC =

(

– w

) èìååò òðè õàðàêòåðíûå ÷àñòîòû — äâà ïîëþñà

w=0èw=¥, ïðè êîòîðûõ b =¥, è îäèí íóëü w=w

, êîãäà b = 0.

Îòìå÷åííîå â § 6.3 îáùåå õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî ôóíêöèè b(w), çàêëþ÷àþùåå

ñÿ â òîì, ÷òî ïðè âñåõ ÷àñòîòàõ db/dw < 0, äîëæíî ñîáëþäàòüñÿ è â äàííîì ñëó

÷àå. Äåéñòâèòåëüíî,

=- - <

Êàê è äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì r, L, C, è â ýòîì ñëó÷àå â ìî

ìåíò ðåçîíàíñà ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå õàðàêòåðà ðåàêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè

(ðèñ. 6.8 è 6.9). Åñëè ïðè w < w

ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü èìåëà èíäóêòèâíûé

õàðàêòåð (b >0,j > 0), òî ïðè w > w

îíà ïðèíèìàåò åìêîñòíûé õàðàêòåð (b <0,

j < 0). Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, åñëè g = 0, ïðè ÷àñòîòå w=w

ïðîèñõîäèò ñêà÷êîîáðàç-

íîå èçìåíåíèå óãëà j îò +p/2 äî –p/2, ò. å. ïðîèñõîäèò «îïðîêèäûâàíèå ôàçû»

(ðèñ. 6.9).

Ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå x êîíòóðà ìîæíî íàéòè èç âûðàæåíèÿ

Ygjb

rjx==

22 22

Åñëè g = 0, òî x =

. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ çàâèñèìîñòü x(w) äàíà íà

ðèñ. 6.10. Çàìåòèì, ÷òî è â äàííûõ óñëîâèÿõ dx/dw > 0. Â ìîìåíò ðåçîíàíñà ðåàê

Ãëàâà 6. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ è ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè 309

Ðèñ. 6.9

Ðèñ. 6.8

Ðèñ. 6.10

310 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

òèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì è îäíîâðåìåííî ìåíÿåò

ñâîé õàðàêòåð. Äî ðåçîíàíñà õàðàêòåð öåïè áûë èíäóêòèâíûé, ïîñëå ðåçîíàíñà —

åìêîñòíûé.

Ïðè îòëè÷íîé îò íóëÿ àêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè (g ¹ 0) â öåïè çàâèñèìîñòü

x(w) èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 6.10 øòðèõîâîé ëèíèåé. Ïðîõîæäåíèå êðè

âîé x(w) ÷åðåç íóëü ïðè w=w

âîâñå íå îçíà÷àåò, ÷òî è ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå

öåïè ìàëî. Ïðè w=w

QLQ==

== =

rw.

Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ Q ýòî ñîïðîòèâëåíèå îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì.

Â îòëè÷èå îò àêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû, àêòèâíîå

ñîïðîòèâëåíèå r =

çàâèñèò îò ÷àñòîòû (ñì. ðèñ. 6.10).

×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà U(w) ïðè I = const, g = const, L = const è C = const

âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

UIg

C(/w)

-w=+

è èçîáðàæàåòñÿ êðèâîé, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 6.11. Íà ðèñóíêå òàêæå ïðèâåäå-

íû ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè I

(w) =

(w)

è I

(w) = U(w) wC. Ïðè w=0 èìååì

U = 0, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè ïðè ïîñòîÿííîì òîêå ðàâíî íóëþ è, ñîîò-

âåòñòâåííî, âåñü òîê ïðîõîäèò ÷åðåç êàòóøêó (I

= I). Ïðè w=¥òàêæå U = 0, òàê

êàê ïðè ýòîì ñîïðîòèâëåíèå êîíäåíñàòîðà ïàäàåò äî íóëÿ è, ñîîòâåòñòâåííî,

âåñü òîê ïðîõîäèò ÷åðåç êîíäåíñàòîð (I

= I). Ïðè ÷àñòîòå ðåçîíàíñà w=w

èìååì

= I

, è òàê êàê òîêè â êàòóøêå è êîíäåíñàòîðå âçàèìíî êîìïåíñèðóþòñÿ, òî

âåñü òîê I ïðîõîäèò ÷åðåç ó÷àñòîê ñ ïðîâîäèìîñòüþ g (I

= Ug = I). Äèàãðàììà

íà ðèñóíêå ïðèâåäåíà äëÿ ñëó÷àÿ d < 1, âñëåäñòâèå ÷åãî ïðè ÷àñòîòå ðåçîíàíñà

= I

> I. Ìàêñèìóìû âåëè÷èí I

è I

íå ñîâïàäàþò ñ ìàêñèìóìîì íàïðÿæåíèÿ

U ïî òåì æå ïðè÷èíàì, êîòîðûå áûëè óêàçàíû ïðè ðàññìîòðåíèè ïîñëåäîâàòåëü

íîé öåïè.

Ðàññìàòðèâàÿ çàâèñèìîñòü

(h), ãäå U

= I/g è h=w/w

, è ñòðîÿ ñîîòâåòñò

âóþùèå åé ðåçîíàíñíûå êðèâûå äëÿ ðàçëè÷íûõ çàòóõàíèé, íåòðóäíî ïîêàçàòü,

÷òî è â ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî h

– h

= d, ãäå h

è h

— çíà÷åíèÿ îò

íîñèòåëüíîé ÷àñòîòû, ïðè êîòîðûõ U/U

= 1/

Êàê è â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ r, L, C, çäåñü òàêæå ìîæíî ââå

ñòè ïîíÿòèÿ ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ, ðàññòðîéêè êîíòóðà, îòíîñèòåëüíîé ðàññòðîé

êè è îáîáùåííîé ðàññòðîéêè.

Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñîïîñòàâèòü êðèâûå íà ðèñ. 6.5 è 6.11 äëÿ ïîñëåäîâà

òåëüíîé è ïàðàëëåëüíîé öåïåé. Çàâèñèìîñòè â ýòèõ öåïÿõ ïîëíîñòüþ ñîâïàäóò,

åñëè çàìåíèòü òîêè íà íàïðÿæåíèÿ, åìêîñòü íà èíäóêòèâíîñòü è ñîïðîòèâëåíèå

íà ïðîâîäèìîñòü è íàîáîðîò. Òàêèå öåïè íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè. Äóàëüíû

ìè ÿâëÿþòñÿ è ëþáûå äâå ñëîæíûå ïëàíàðíûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, â êîòîðûõ

âçàèìíî ñîîòâåòñòâóþò: êîíòóðàì — óçëû, ïîñëåäîâàòåëüíîìó ñîåäèíåíèþ — ïà

ðàëëåëüíîå, èñòî÷íèêàì ÝÄÑ — èñòî÷íèêè òîêà, èíäóêòèâíîñòÿì, — åìêîñòè,

ñîïðîòèâëåíèÿì, — ïðîâîäèìîñòè (ðèñ. 6.12). Ïðîöåññû â äóàëüíûõ öåïÿõ àíà

ëîãè÷íû ïðè çàìåíå íàïðÿæåíèé íà òîêè è íàîáîðîò, â ÷àñòíîñòè, ðåçîíàíñó íà

ïðÿæåíèé â îäíîé öåïè ñîîòâåòñòâóåò ðåçîíàíñ òîêîâ â äðóãîé.

Óçëû è êîíòóðû äóàëüíûõ ñõåìIèIIâçàèìíî îïðåäåëÿþòñÿ. Ïîýòîìó äëÿ äó-

àëüíûõ ñõåì C

= D

è D

= C

Âàæíî îòìåòèòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà äóàëüíûõ öåïåé. Ýêâèâàëåíòíûå ïðåîá-

ðàçîâàíèÿ òàêæå äîëæíû áûòü äóàëüíûìè. Íàïðèìåð, ñâåäåíèå ïàðàëëåëüíî ñî-

åäèíåííûõ âåòâåé â îäíó â èñõîäíîé ñõåìå (Y

+ Y

= Y

) îçíà÷àåò ñâåäåíèå ïî-

ñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ äóàëüíûõ âåòâåé â îäíó (Z

+ Z

= Z

) è íàîáîðîò.

Ïðåîáðàçîâàíèÿ DÆl â ñõåìå I îçíà÷àþò îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ lÆD âäó-

àëüíîé ñõåìå II. Èñêëþ÷åíèå êîíòóðà (èëè óçëà) â ñõåìå I ïðè ïîìîùè ðàçðûâà

ñâÿçè (èëè çàìûêàíèÿ íàêîðîòêî âåòâè äåðåâà) îçíà÷àåò èñêëþ÷åíèå óçëà (èëè,

ñîîòâåòñòâåííî, êîíòóðà) â äóàëüíîé ñõåìå II ïðè ïîìîùè çàìûêàíèÿ íàêîðîòêî

âåòâè äåðåâà (èëè ðàçðûâà ñâÿçè). Åñëè ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ ÷èñëåííîå (íå

ïî ðàçìåðíîñòè) ðàâåíñòâî Z è Y, e è Á, òî â äóàëüíûõ ñõåìàõ áóäåò èìåòü ìåñòî

ðàâåíñòâî, ñîîòâåòñòâåííî, òîêîâ (èëè íàïðÿæåíèé) ñõåìû I íàïðÿæåíèÿì (èëè

òîêàì) äóàëüíîé ñõåìû II.

6.6. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïåé, ñîäåðæàùèõ

òîëüêî ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû

Ðàññìîòðèì ñâÿçü ìåæäó òîêîì è ÝÄÑ íà âõîäå ïàññèâíîãî äâóõïîëþñíèêà,

ñîñòîÿùåãî òîëüêî èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ïîëàãàÿ â âûðàæåíèè äëÿ

,ïî

ëó÷åííîì ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ (ñì. § 5.11),

âõ

, ãäå

âõ

— ñîîòâåòñòâåííî, âõîäíîé òîê è âõîäíàÿ ÝÄÑ, èìååì

&&&

,IEYE

âõ âõ âõ âõ

ò. å.

===YZjx

âõ âõ âõ

è .

Çäåñü D — îïðåäåëèòåëü n óðàâíåíèé öåïè, çàïèñàííûõ ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ

òîêîâ, èìåþùèé n ñòðîê è n ñòîëáöîâ; D

— åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå,

Ãëàâà 6. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ è ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè 311

Ðèñ. 6.11

Ðèñ. 6.12

312 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

èìåþùåå (n – 1) ñòðîê è (n – 1) ñòîëáöîâ. Â êàæäîì ýëåìåíòå D è D

ñîäåðæàòñÿ

âåëè÷èíû âèäà

ZjxjL

ii ii ii

== + = -

Zjx

kq kq kq

== -

ò. å. âî âñåõ íèõ ñîäåðæèòñÿ ìíîæèòåëü j/w ïðè âåùåñòâåííûõ âåëè÷èíàõ. Èìåÿ

â âèäó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ìîæåì çàïèñàòü

Zjx

âõ âõ

===

1111

()

èëè

âõ

ãäå D¢ è

âåùåñòâåííû. Ýëåìåíòû, âõîäÿùèå â D¢ è

, èìåþò âèä

--è .

Ðàñêðûâàÿ D¢ è

è ãðóïïèðóÿ â íèõ ÷ëåíû ñ îäèíàêîâîé ñòåïåíüþ w, ïîëó-

÷èì â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ïîëèíîìû âèäà

aa a

âõ

+++

ww w

(

K + b

)

Åñëè íàéòè êîðíè ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ ±(w

, w

, ..., w

2n–1

) è êîðíè ïîëèíîìà

çíàìåíàòåëÿ ±(w

, w

, ..., w

2n–2

), ïðèðàâíèâàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëèíîìû ê

íóëþ, òî ìîæåì çàïèñàòü òàêæå

âõ

-- -

-2

()()( )

()(

wwww ww

ww w

ww ww

)( )

Â öåïè, ñîäåðæàùåé òîëüêî ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû, óãîë ñäâèãà ìåæäó íàïðÿ

æåíèåì è òîêîì ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ j=±p/2. Ïðè ðåçîíàíñå â òà

êèõ öåïÿõ j=0, è ïîýòîìó ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå j îò +p/2 äî –p/2 èëè

îò –p/2 äî +p/2 ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî â ìîìåíòû ðåçîíàíñà â öåïè.

Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü j(w) äîëæíà èìåòü âèä,

ïîêàçàííûé íà ðèñ. 6.13.

Â òî÷êàõ ðåçîíàíñà x

âõ

= 0 èëè x

âõ

=¥,ò.å.äëÿx

âõ

èìå

åì íóëü èëè ïîëþñ, àíàëîãè÷íî ðåçîíàíñó íàïðÿæå

íèé èëè ðåçîíàíñó òîêîâ â ïðîñòåéøèõ öåïÿõ, ðàññìîò

ðåííûõ â § 6.3, 6.5.

Êàê áóäåò ïîêàçàíî â äàëüíåéøåì, äëÿ ÷èñòî ðåàê

òèâíûõ öåïåé x(w) âñåãäà âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì w,ò.å.

Ðèñ. 6.13