Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

Ïðè e

> e

ñèëà íàïðàâëåíà â ñòîðîíó ïåðåìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè, ò. å. â íàïðàâ

ëåíèè ñðåäû ñ ìåíüøèì çíà÷åíèåì äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè. Êàê âèäíî,

ñèëà f¢ ÷èñëåííî ðàâíà ðàçíîñòè îáúåìíûõ ïëîòíîñòåé ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî

ïîëÿ ïî îáå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè S ðàçäåëà ñðåä ñ ðàçëè÷íûìè äèýëåêòðè÷åñêè

ìè ïðîíèöàåìîñòÿìè.

6. Òàê êàê åìêîñòü äâóõñëîéíîãî êîíäåíñàòîðà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

òî ñèëû, äåéñòâóþùèå íà åäèíèöû ïëîùàäè ïëàñòèí, ïðèìûêàþùèõ ê äèýëåê

òðèêó ñ ïðîíèöàåìîñòüþ e

, e

, ðàâíû:

== ×f

Äàâëåíèå íà ãðàíèöó ðàçäåëà íàõîäèì, èñïîëüçóÿ ðåøåíèå ïðåäûäóùåé çàäà÷è:

DCu

ee ee

Ñîïîñòàâëåíèå âûðàæåíèé äëÿ

¢¢ ¢

ff f

,è

ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå ìåæ-

äó íèìè:

¢¢

fff

7. Òàê êàê åìêîñòü êîíäåíñàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

C =

11 2 2 0

11 2 1

lll+= +-[()]

ãäå l

—äëèíà êîíäåíñàòîðà â íàïðàâëåíèè, íîðìàëüíîì ïëîñêîñòè ðèñóíêà (ñì.

ðèñ. Â2.4), òî èñêîìîå äàâëåíèå

=-=

ED ED

222

()ee

13. Ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñèëó ðàññ÷èòàåì äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ

íà áëèæíþþ ê ïðîâîäó ïàðàëëåëüíóþ åìó ñòîðîíó f

= Bai

aii

/2pd, òàê ÷òî

ïîëíàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ ïåðåìåñòèòü ðàìêó, ðàâíà

aii

aii b

dd b

00 011 1

22 2() ()

Ïîëíóþ ñèëó îïðåäåëèì òàêæå äðóãèì ñïîñîáîì:

i, i i, i

const

÷òî ïðèâîäèò ê ïîëó÷åííîìó âûøå âûðàæåíèþ. Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷å

íèÿ, ïîëó÷àåì

f @×

13 10

Í.

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 393

14. Èñïîëüçóÿ äëÿ ðàñ÷åòà ñèë âûðàæåíèå

idL

=×

, íàõîäèì

Äëÿ çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïîëó÷àåì: à) ïðè ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè

âåùåñòâà ïðîâîäà, ðàâíîé m

, f

= –8×10

–3

Í, f

= 1,2×10

–3

Í, á) ïðè ìàãíèòíîé ïðî

íèöàåìîñòè âåùåñòâà ïðîâîäà, ðàâíîé 500m

, f

= –8×10

–3

Í, f

= 3,26×10

–2

Í.

Òàê êàê ñèëà f

ïîëîæèòåëüíà, òî ïîä åå äåéñòâèåì âèòîê ñòðåìèòñÿ óâåëè÷èòü

ðàäèóñ R. Îáîáùåííàÿ ñèëà f

îòðèöàòåëüíà, ïîýòîìó íà ïðîâîä âèòêà äåéñòâóþò

òàêæå ñæèìàþùèå åãî ñèëû.

16. Ñæèìàþùóþ ïðîâîäíèê ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà åäèíè

öó åãî ïîâåðõíîñòè, ðàññ÷èòûâàåì, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå

=fW H

, m

, ãäå

H—íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà, ðàâíàÿ i/2pR.

Èç ñîîòíîøåíèÿ m

/8p

= s íàõîäèì èñêîìûé òîê: i =

. Ïîäñòàâ-

ëÿÿ çàäàííûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì i

1,2×10

17. Ìàãíèòíîå ïîëå âíóòðè áåñêîíå÷íî äëèííîãî ñîëåíîèäà ÿâëÿåòñÿ îäíîðîä-

íûì íàïðÿæåííîñòüþ

iw==

. Ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñå÷å-

íèå S =pR

ñîëåíîèäà, ðàâåí F=m

iw¢×pR

, òàê ÷òî èíäóêòèâíîñòü ñîëåíîèäà

äëèíîé l ñóòü

wiwR

wR==

¢¢

. Ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñèëó, ñòðåìÿ-

ùóþñÿ èçìåíèòü ðàäèóñ R ñîëåíîèäà, íàõîäèì ïî ôîðìóëå

, ãäå W

pw¢

; f =m

pw¢

21. Äåéñòâóþùèå íà ïîâåðõíîñòè ñåðäå÷íèêà â çàçîðå ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëû

ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

, m H

, ãäå H

— íàïðÿæåííîñòü

ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ïîëîæåíèÿ òî÷êè â çàçîðå. Ó÷èòûâàÿ

ìàëîñòü çàçîðà (D << 2 pR

ñð

), ñ÷èòàåì, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ çàâè

ñèò òîëüêî îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû r òî÷êè. Òàê êàê ïî óñëîâèþ ñëåäóåò íàéòè

ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñèëó ïðè r = R

ñð

, òî ðàññ÷èòàåì íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî

ïîëÿ â çàçîðå ïðè r = R

ñð

. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ H

âçà

çîðå è â ñåðäå÷íèêå H

ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì H

-1

, è çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå

Hldiw

äëÿ êðóãîâîãî êîíòóðà ðàäèóñîì R, îõâàòûâàþùåãî îáìîòêó, ïîëó÷à

åì: H

(2pR

ñð

– D)+H

D=iw, îòêóäà íàõîäèì âåëè÷èíû

-+×

pm2

ñð

-+×

pm2

ñð

Ïîäñòàâëÿÿ çàäàííûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì f = 1,1×10

Í/ì

394 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

ÇÀÄÀ×È

1. Ìàãíèòíîå ïîëå â âîçäóõå ñîõðàíèòñÿ òåì æå ïðè çàìåíå ôåð

ðîìàãíèòíîãî òåëà íà ñðåäó ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ m

è ðàçìåùåíèè âîîáðàæàåìîãî ïðÿìîëèíåéíîãî âåñüìà äëèííî

ãî íåìàãíèòíîãî ïðîâîäà ñ òîêîì òîãî æå íàïðàâëåíèÿ è âåëè

÷èíû, ÷òî è çàäàííûé, â òî÷êå À (ðèñ. Ð2.4)

Èñêîìàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó äëè

íû ïðîâîäà, ðàâíà f =

×=

= 2Í.

3. Ðàçìåñòèì íà÷àëî ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â öåí

òðå ïëàñòèíû, íàïðàâèâ îñè x, y, z êàê óêàçàíî íà ðèñ. Ð2.5.

Ìàãíèòíîå ïîëå òîêà ïëàñòèíû õàðàêòåðèçóåòñÿ åäèí

ñòâåííîé ñîñòàâëÿþùåé H

(z) íàïðÿæåííîñòè, ðàâíîé,

â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ïîëíîãî òîêà,

=±J×z ïðè | z | £ d,

= – J×d ïðè z ³ d,

= J×d ïðè z £ – d.

Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíè÷íûé îáúåì ïëàñòèíû, ñóòü

| f

| = J×B

z. Ïîëíàÿ ñèëà, ñæèìàþùàÿ îáúåì DV = 2d×D x D y ïëàñòèíû, ðàâ-

íà F

fdz

×d

. Ïðè ïåðåõîäå ê áåñêîíå÷íî

òîíêîé ïëàñòèíå èìååì

lim

Jd j

®¥

×=

, òàê ÷òî ñæèìàþ-

ùàÿ ïëàñòèíó ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà, ïðèõîäÿùàÿñÿ

íà åäèíèöó åå ïîâåðõíîñòè D xD y ðàâíà F

4. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â òî÷êàõ êîíòóðà, îáóñëîâëåí

íàÿ òîêîì ïðîâîäà (ðèñ. Ð2.6), ðàâíà

RdR

01 01

22( )cos

Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó äëèíû Rdj êîíòóðà, íàïðàâ

ëåíà ïðè óêàçàííûõ íàïðàâëåíèÿõ òîêîâ i è i

ïî ðàäèóñó îò öåíòðà êîíòóðà è

ðàâíà

ii R d

RdR

2( )cos

5. Îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé

, ñîçäàííîå òîêîì ñòàòîðà,

èìååò â îáëàñòè 0 < r < R

ðàäèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ B

sin a. Êàñà

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 395

Ðèñ. Ð2.4

Ðèñ. Ð2.5

Ðèñ. Ð2.6

òåëüíàÿ ê ïîâåðõíîñòè ðîòîðà ñîñòàâëÿþùàÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëû f

= j

ðz

= –j

ðm

cos (a + j)

sin a ñîçäàåò âðàùàþùèé ìîìåíò

âð

2 fRd

t p

mpj

Rj j

mmpp c

sin

Êàê âèäíî, íàèáîëüøèé âðàùàþùèé ìîìåíò äîñòèãàåòñÿ ïðè

, íàèìåíüøèé

ïðè

Ïðè j=0, p âðàùàþùèé ìîìåíò îáðàùàåòñÿ â íóëü.

6. Ìàãíèòíîå ïîëå â âîçäóõå íå èçìåíèòñÿ, åñëè, óñòðàíèâ èäåàëüíóþ ôåððî

ìàãíèòíóþ ñðåäó, ïåðåéòè ê îäíîðîäíîé ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ m=m

, ðàç

ìåñòèâ äîïîëíèòåëüíî ê çàäàííîìó òðè ïðîâîäà ñ òî

êàìè, íàïðàâëåíèÿ êîòîðûõ óêàçàíû íà ðèñ. Ð2.7. Äåé-

ñòâóþùàÿ íà ïðîâîä ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà f = Bli,

ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â ìåñòå ðàñïî-

ëîæåíèÿ çàäàííîãî ïðîâîäà

22 22

22 2

8ph

ðàâíà

il , lH=@

424

m .

3.1. Ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ÂÎÏÐÎÑÛ

2. Ïðè äîïóùåíèè î òîì, ÷òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÝÄÑ, èíäóöèðîâàííîé â êîíòó

ðàõ èçìåðèòåëüíîé öåïè ïåðåìåííûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì, ñîçäàâàåìûì ïåðå

ìåííûì òîêîì öåïè, â êîòîðîé ïðîèçâîäÿò èçìåðåíèÿ.

3. Êîíäåíñàòîðû íå ñîäåðæàò, êàê èçâåñòíî, ôåððîìàãíèòíûõ ýëåìåíòîâ, ñëóæà

ùèõ äëÿ óñèëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êîíäåíñàòîðû íå ÿâëÿþòñÿ òàêæå ìíîãî

âèòêîâûìè óñòðîéñòâàìè. Â ðàáî÷åé çîíå êîíäåíñàòîðîâ, ò. å. òàì, ãäå êîíöåí

òðèðóåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òîê ïðîòåêàåò ìåæäó åãî ïëàñòèíàìè. Ïîýòîìó

âëèÿíèå èíäóêòèâíîñòè êîíäåíñàòîðîâ êàê ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íà èõ

ñâîéñòâà íåçíà÷èòåëüíî.

Ïðèíöèïèàëüíûì ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå èíäóêòèâíîñòè ó ëþáîãî êîíäåíñàòîðà âñëåä

ñòâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìåæäó îáêëàäêàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ýëåêòðè

÷åñêèì òîêîì. Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ èíäóêòèâíîñòü êîíäåíñàòîðîâ îêàçûâàåò

âëèÿíèå íà ñâîéñòâà ñîäåðæàùèõ èõ öåïåé. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ ïðèìåíÿþò ñïåöè

àëüíî ðàçðàáîòàííûå ìàëîèíäóêòèâíûå êîíäåíñàòîðû.

396 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð2.7

4. Â ëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ öåïè ìàãíèòíûé ïîòîê âñåãäà èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèî

íàëüíî èçìåíåíèþ âûçûâàþùåãî åãî òîêà, ïîýòîìó èõ îòíîøåíèå, îïðåäåëÿþ

ùåå èíäóêòèâíîñòü, íå çàâèñèò îò âðåìåíè.

5. Äà, ìîæíî.

7. Ïðè óìåíüøåíèè òîêà êàòóøêè äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íàïðÿæåíèÿ íà

íåé äîëæíî áûòü íàïðàâëåíî â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ òîêó êàòóøêè. Ýòîò

ðåçóëüòàò ìû è ïîëó÷àåì ïðè ôîðìàëüíîì íàõîæäåíèè íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêå,

ðàâíîãî u

= L

. Òàê êàê

<0,òîèu

< 0, ò. å. äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå âå

ëè÷èíû ïðîòèâîïîëîæíî óñëîâíî ïðèíÿòîìó.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

2. Ïðè íèçêèõ ÷àñòîòàõ ïðîòåêàþùåãî ïî êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè òîêà ñîïðî

òèâëåíèå ïðîâîäà, à òàêæå ìåæâèòêîâàÿ åìêîñòü íå îêàçûâàþò áîëüøîãî âëèÿ

íèÿ íà åå ïàðàìåòðû. Ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû òîêà âîçðàñòàåò êàê ñîïðîòèâëåíèå

ïðîâîäà (âñëåäñòâèå ÿâëåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà), òàê è âëèÿíèå ìåæâèò-

êîâîé åìêîñòè, òàê ÷òî ñõåìà ýêâèâàëåíòíîé êàòóøêå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè äîëæíà

ñîäåðæàòü ðåçèñòîð è êîíäåíñàòîð (ðèñ. Ð3.1).

4. Åñëè êîíòóð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü, òî îí îõâàòûâàåò íàèáîëüøèé

ìàãíèòíûé ïîòîê è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò íàèáîëüøóþ èíäóêòèâíîñòü. Èíäóê-

òèâíîñòü ìèíèìàëüíà, åñëè ïëîùàäü îáðàçîâàííîãî ïðîâîäîì êîíòóðà íàèìåíü-

øàÿ, êàê ïîêàçàíî, íàïðèìåð, íà ðèñ. Ð3.2.

5. Èíäóêòèâíîñòü ðåçèñòîðà çíà÷èòåëüíî óìåíüøèòñÿ, åñëè âûïîëíèòü íàìîòêó

äâîéíûì ïðîâîäîì, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî ñëîæèòü ïðîâîä âäâîå è îáìîòàòü âî-

êðóã êàðêàñà êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Â ýòîì ñëó÷àå â ñîñåäíèõ òî÷êàõ ïðîâîäà

òîê òå÷åò â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ïîëíîãî

òîêà ìàãíèòíûé ïîòîê, ñîçäàâàåìûé òîêîì äâîéíîãî ïðîâîäà (ðèñ. Ð3.3), âåñüìà

ìàë è ðåçèñòîð ñ òàêîé íàìîòêîé õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàëîé èíäóêòèâíîñòüþ.

7. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå W

= 0,5 Li

, ìîæåì íàéòè èíäóêòèâíîñòü L îòðåçêà êà

áåëÿ äëèíîé l: L = 2W

, äëÿ ÷åãî ðàññ÷èòàåì ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ îòðåçêà

êàáåëÿ.

Òàê êàê ìàãíèòíîå ïîëå âíå êàáåëÿ îòñóòñòâóåò, òî èñêîìóþ ýíåðãèþ ïîëÿ ïîëó

÷àåì, âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë (ñì. ðèñ. Ð3.4)

WlH rdr

=×

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 397

Ðèñ. Ð3.1

Ðèñ. Ð3.2

Ðèñ. Ð3.3

è ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàïðÿæåííîñòü H ìàãíèòíîãî ïîëÿ îïèñûâàåòñÿ ðàçëè÷íûìè

âûðàæåíèÿìè ïðè 0 < r < r

è ïðè r

< r < r

(r)

rdr l

(r)

rdr

=+=

òò

il r

16 4

+ ln

Ïåðâîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî

ïîëÿ, çàêëþ÷åííîãî â îòðåçêå âíóòðåííåãî ïðîâîäà

äëèíîé l, à âòîðîå –– â îòðåçêå èçîëèðóþùåãî ñëîÿ,

ðàñïîëîæåííîãî ìåæäó âíóòðåííèì è âíåøíèì

ïðîâîäàìè. Èñêîìàÿ èíäóêòèâíîñòü ñóòü

p82

. Êàê âèäíî, îáà ñïîñîáà ðàñ÷åòà

èíäóêòèâíîñòè (ñðàâíèòå ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì â § 3.5), ïðèâîäÿò ê îäèíà

êîâîìó âûðàæåíèþ äëÿ ðàñ÷åòà èíäóêòèâíîñòè L.

3.2. Èñòî÷íèêè â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

ÂÎÏÐÎÑÛ

4. Ïåðåñå÷åíèå ñ îñüþ îðäèíàò ñîîòâåòñòâóåò ðåæèìó õîëîñòîãî õîäà, à ñ îñüþ

àáñöèññ — ðåæèìó êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ.

5. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé èç ñïîñîáîâ îïðåäåëåíèÿ

âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà.

Â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. Ð3.5,

âûïîëíÿåì äâà èçìåðåíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ, ñîîò

âåòñòâåííî, I

, U

,èI

, U

ïðè ðàçîìêíóòîì è çàìêíó

òîì êëþ÷å Ê. Ïðè ðàçîìêíóòîì êëþ÷å I

= 0 è èçìåðÿ

åì òîëüêî E = U

. Ïðè çàìêíóòîì êëþ÷å èìååì

rUI

âí âí

îòêóäà íàõîäèì

âí

Òàêèì îáðàçîì ìîæíî âûïîëíèòü èçìåðåíèÿ â ðåæèìå õîëîñòîãî õîäà èñòî÷

íèêà (êëþ÷ Ê ðàçîìêíóò) è â ðåæèìå êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ (êëþ÷ Ê çàìêíóò

è r = 0).

Ðåçèñòîð ñ èçâåñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì r

âêëþ÷àåì äëÿ îãðàíè÷åíèÿ òîêà ÷åðåç

àìïåðìåòð è òîêîâóþ îáìîòêó âàòòìåòðà.

7. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ÝÄÑ e

, âõîäÿùàÿ â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ âòîðîãî çà

êîíà Êèðõãîôà, çàïèñàííîãî äëÿ êîíòóðà, ñîñòîÿùåãî òîëüêî èç èäåàëüíûõ èñòî÷

íèêîâ ÝÄÑ, ðàâíà ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ êîíòóðà,

òî åñòü íóëþ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà îäíîãî èç èñ

òî÷íèêîâ ÝÄÑ ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç âåëè÷èíû îñòàëüíûõ èñòî÷íèêîâ.

8. Ðàññóæäåíèå, àíàëîãè÷íîå ïðèâåäåííîìó â îòâåòå íà ïðåäûäóùèé âîïðîñ,

ñïðàâåäëèâî è â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãî

398 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð3.5

Ðèñ. Ð3.4

ôà, çàïèñàííîãî äëÿ óçëà, ê êîòîðîìó ïîäõîäÿò òîëüêî âåòâè, ñîäåðæàùèå èñòî÷

íèêè òîêà. Ñëåäîâàòåëüíî, àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà âåëè÷èí èñòî÷íèêîâ òîêà

äîëæíà áûòü ðàâíîé íóëþ.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

2. Ìîùíîñòü â ïðèåìíèêå ðàâíà

Pir

ïï

âí ïð

ïðð ð

.=× =

()

Èç óðàâíåíèÿ

ïð

= 0

ñëåäóåò, ÷òî îíà áóäåò íàèáîëüøåé ïðè r

ïð

= r

âí

, ïðè ýòîì âåëè÷èíà h

ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0,5. Ïðè r

ïð

®¥âåëè÷èíà h ñòðåìèòñÿ ê ñâîåìó íàèáîëüøå

ìó çíà÷åíèþ 1.

3.3. Òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ ñõåìû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ïóñòü ãðàô èìååò N óçëîâ, òîãäà ê êàæäîìó èç íèõ ïîäõîäèò ïî N – 1 âåòâè,

ñëåäîâàòåëüíî îáùåå ÷èñëî âåòâåé ðàâíî m = N (N – 1)/2.

3.4. Çàêîíû Êèðõãîôà

ÂÎÏÐÎÑÛ

3. Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ âåòâÿõ êðîìå âåòâè ñ èäåàëüíûì

èñòî÷íèêè òîêà è äàëåå íàéòè íàïðÿæåíèÿ íà âåòâè èñòî÷íèêà òîêà èç óðàâíå-

íèÿ âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà, çàïèñàííîãî äëÿ ëþáîãî êîíòóðà, ïðîõîäÿùåãî ïî

ýòîìó èñòî÷íèêó è âåòâÿì, íàïðÿæåíèÿ íà êîòîðûõ èçâåñòíû.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

3. Ñèñòåìà óðàâíåíèé

= 0

ñîñòîèò èç p óðàâíåíèé (p — ÷èñëî âåòâåé

ñõåìû) îòíîñèòåëüíî 2p íåèçâåñòíûõ. Ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ

ýòèõ óðàâ

íåíèé íåäîñòàòî÷íî, â ñâÿçè ñ ÷åì óòâåðæäåíèå

= 0

íåâåðíî.

3.5. Òîïîëîãè÷åñêèå ìàòðèöû

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

3. Ýëåìåíòû ìàòðèöû À ìîãóò áûòü ðàâíû ëèáî íóëþ, ëèáî ±1. Êðîìå òîãî, â êàæ

äîì ñòîëáöå ìàòðèöû À äîëæíû áûòü îäèí èëè äâà íåíóëåâûõ ýëåìåíòà. Åñëè

â ñòîëáöå äâà íåíóëåâûõ ýëåìåíòà, òî îíè äîëæíû èìåòü ïðîòèâîïîëîæíûå çíà

êè. Òàêèì îáðàçîì, â ìàòðèöå À, ïðåäñòàâëåííîé â óïðàæíåíèè 3, ñîäåðæèòñÿ

íå ìåíåå øåñòè îøèáîê.

3.6. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ïðåèìóùåñòâà âêëþ÷åíèÿ â ãðàô öåïè ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ âåòâåé

çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Êèðõãîôà, ñî

ñòàâëåííîé ïî ýòîìó ãðàôó, áóäóò îïðåäåëåíû íàïðÿæåíèÿ ýòèõ âåòâåé. Â ñëó

÷àå, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå âåòâè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê îäíà âåòâü

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 399

ãðàôà, òî ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ áóäåò íàïðÿæåíèå íà ýòîé âåòâè ãðàôà. Íàïðÿæå

íèÿ âåòâåé öåïè, êîòîðûå ýêâèâàëåíòèðîâàëèñü äàííîé âåòâüþ, ïðèäåòñÿ ðàñ

ñ÷èòûâàòü äîïîëíèòåëüíî. Ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì âêëþ÷åíèÿ â ãðàô öåïè

ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ âåòâåé ÿâëÿåòñÿ óâåëè÷åíèå ðàçìåðíîñòè óðàâíå

íèé Êèðõãîôà.

2. Ïðåäñòàâèì âåêòîð

ÁÁ,

âõîäÿùèé â óðàâíåíèå

Ai A=- ÁÁ,

â âèäå ñóììû äâóõ

ñëàãàåìûõ

ÁÁ=ÁÁ+ÁÁ

ãäå â âåêòîð

ÁÁ

âõîäèò óïðàâëÿåìûé èñòî÷íèê, à â

ÁÁ

— íåóïðàâëÿåìûå èñòî÷íèêè ñõåìû. Âåêòîð

ÁÁ

ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â

âèäå:

ÁÁ=

aai,

ãäå ìàòðèöà

aaa= {}

èìååò òîëüêî îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò

Äàëåå èìååì

Ai A A A i=- ÁÁ+ÁÁ=-ÁÁ-() ,

00y

îòêóäà

A1 i A() .+=-ÁÁaa

4.1. Õàðàêòåðèñòèêè ñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèé è òîêîâ

ÂÎÏÐÎÑÛ

4. Ñîâïàäàþò êðèâûå âàðèàíòà â, òàê êàê y

– y

= –5° – 355°=–360°, à òàêæå

êðèâûå âàðèàíòà ã.

5. Íåò, íå ñïðàâåäëèâî, òàê êàê ÷èñëî ïàð ïîëþñîâ ó ãåíåðàòîðîâ ðàçëè÷íîãî èñ-

ïîëíåíèÿ íåîäèíàêîâî.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

5. Äëÿ âàðèàíòà à èìååì:

U u(t)d(t) d(t) d(t)==×+×

òòò

6. Âàðèàíò à. Ïåðèîä èçìåíåíèÿ Y(t) ðàâåí p/w. Ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèåì

ñð

= 2f (Y

max

– Y

min

), ïîëó÷àåì: E

ñð

= 2

–0)=

8. Ôóíêöèÿ u(t) èçìåíÿåòñÿ ïî ïåðèîäè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïåðèîäîì Ò, åñëè âû

ïîëíåíî ðàâåíñòâî

(sin w

t + y

)+U

(sin w

t + y

) =

= U

sin [w

(t + T)+y

]+U

sin [w

(t + T)+y

Îíî ñïðàâåäëèâî ïðè w

T = 2kp, w

T = 2np, ãäå k, n = 1, 2, 3, .... Ïîýòîìó, åñëè çíà÷å

íèå w

ðàâíî îòíîøåíèþ öåëûõ ÷èñåë, òî íàïðÿæåíèå u(t) — ïåðèîäè÷åñêîå.

4.2. Âåêòîðíûå äèàãðàììû

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Äà, ìîæíî.

2. Âàðèàíò à — äà, á — äà, â — íåò, òàê êàê èçîáðàæàåìûå ñèíóñîèäàëüíûå ôóíê

öèè èìåþò ðàçëè÷íûå ÷àñòîòû, ã — äà.

3. Ñèíóñîèäàëüíûé òîê â êîíòóðå è îáóñëîâëåííûé èì ìàãíèòíûé ïîòîê íà

õîäÿòñÿ â ôàçå. ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè îòñòàåò îò âûçâàâøåãî åå ìàãíèòíîãî ïîòîêà

íà 90°.

400 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

6. Ïåðèîäè÷åñêàÿ íåñèíóñîèäàëüíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñ ïîìî

ùüþ ðÿäà Ôóðüå â âèäå ñóììû ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé-ãàðìîíèê. Êàæäàÿ èç

ïîëó÷åííûõ òàêèì îáðàçîì ãàðìîíèê ìîæåò áûòü èçîáðàæåíà íà îòäåëüíîé âåê

òîðíîé äèàãðàììå.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

6 è 7. ÝÄÑ, èíäóöèðóåìàÿ â êîíòóðå ïåðåìåííûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì F, îïðå

äåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè e

èíä

= –

. ÝÄÑ ñàìî

èíäóêöèè e

ñâÿçàíà ñ ïîòîêîì ñêâîçü êîíòóð òàêèì æå

ñîîòíîøåíèåì. Ïîýòîìó íà âåêòîðíîé äèàãðàììå îíè

èìåþò îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå ïî îòíîøåíèþ ê âåêòî

ðó F. Ñîîòâåòñòâóþùèå âåêòîðíûå äèàãðàììû ïðèâåäå

íû íà ðèñ. Ð4.1.

9. Äâà âàðèàíòà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðåäñòàâëåíû íà

ðèñ. Ð4.2 äëÿ âåêòîðîâ

,è

10. Ïðè w > 0 ïðèíÿòî, ÷òî âåêòîðû äèàãðàììû âðàùàþò-

ñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òîãäà ïðè w < 0 ìîæíî ïðè-

íÿòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ âåêòî-

ðîâ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Åñëè ïðè w > 0 èìååì j >0,òî

ïðè w < 0 ïîëó÷èì j < 0, ò. å. íàïðÿæåíèå áóäåò îòñòàâàòü

îò òîêà.

11. Âàðèàíòû: à — êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè, á—ðåçèñòîð, â —êà-

òóøêà èíäóêòèâíîñòè, ã — êîíäåíñàòîð, ä — êàòóøêà èíäóêòèâ-

íîñòè.

12. Âàðèàíò å. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî íàïðàâëåíèå âåêòîðà òîêà

Òîãäà âåêòîðû íàïðÿæåíèé

áóäóò íàïðàâëåíû òàê, êàê

ïîêàçàíî íà ðèñ. Ð4.3.

Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè èìååò âèä:

UU U U

rLC

=++

. Âûïîëíÿÿ ñëîæåíèå âåêòîðîâ ïîëó÷àåì: U = 5B.

13. Èçîáðàçèì íà îäíîé è òîé æå âåêòîðíîé äèàãðàììå âåêòîðû òîêîâ è íàïðÿ

æåíèé íà ó÷àñòêàõ öåïè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïàðàìåòðû öåïåé ìîæíî ïðèíÿòü ïðîèç

âîëüíûìè, äëèíû èçîáðàæàåìûõ âåêòîðîâ òîêîâ

(à òàêæå è íàïðÿæåíèé) ìîæíî ïðèíèìàòü òàêæå

ïðîèçâîëüíûìè. Îáû÷íî ïðè ïîñòðîåíèè âåêòîðíûõ

äèàãðàìì çà íà÷àëüíûé âåêòîð ïðèíèìàþò âåêòîð

òîêà, ïðîòåêàþùåãî ïî ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí

íûì ýëåìåíòàì öåïè, ëèáî âåêòîð íàïðÿæåíèÿ íà

ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòàõ öåïè. Òàê ïî

ñëåäîâàòåëüíîñòü èçîáðàæåíèÿ âåêòîðîâ ïðè ðåøå

íèè óïðàæíåíèÿ âàðèàíòà á) ìîæåò áûòü ïðèíÿòà

ñëåäóþùåé. Çà íà÷àëüíûé ïðèíèìàåì âåêòîð òîêà

ïðîòåêàþùåãî ïî ýëåìåíòàì L

, r

, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ìîæåò áûòü âûáðàíî

ïðîèçâîëüíî. Íà ðèñ. Ð4.4 âåêòîð òîêà

èçîáðàæåí â âèäå âåðòèêàëüíîãî âåê

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 401

Ðèñ. Ð4.1

Ðèñ. Ð4.2

Ðèñ. Ð4.3

Ðèñ. Ð4.4

òîðà. Äàëåå ñòðîèì âåêòîðû

III

123

UUU=+

Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå ïîêàçàí óãîë ñäâèãà ïî ôàçå íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå öå

ïè è òîêà â íåðàçâåòâëåííîì ó÷àñòêå. Ïðè ïðèíÿòûõ ïàðàìåòðàõ ýëåìåíòîâ öåïè

(äëèíàõ âåêòîðîâ) óãîë îêàçàëñÿ ïîëîæèòåëüíûì, îäíàêî ïðè äðóãèõ ñîîòíî

øåíèÿõ äëèí âåêòîðîâ îí ìîæåò áûòü è äðóãèì. Âåêòîðíóþ äèàãðàììó, ïðè

ïîñòðîåíèè êîòîðîé ïàðàìåòðû ýëåìåíòîâ öåïè ìîãóò âûáèðàòüñÿ ïðîèçâîëüíû

ìè, íàçûâàþò êà÷åñòâåííîé.

14. Çàäà÷à èìååò íåñêîëüêî ðåøåíèé. Öåïü íå ìîæåò ñîäåðæàòü òîëüêî ðåçèñ

òîðû, íî åñëè îíè è åñòü â öåïè, òî èõ êîëè÷åñòâî íå ìîæåò áûòü áîëüøå îäíî

ãî. Íàïðÿæåíèå íà ÷åòûðåõ ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ ðàâíî íóëþ (ðèñ. Ð4.5) ïðè

=wL

= 1/wC

15. Ñõåìà îäíîé èç òàêèõ öåïåé è åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èçîáðàæåíû íà ðèñ. Ð4.6.

Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

ñîñòàâëÿåò 120°.

16. Ïðèâåäåì ðåøåíèå âàðèàíòà ã. Ïðèìåì çà íà÷àëüíûé âåêòîð

íàïðÿæåíèÿ

è íàïðàâèì åãî âåðòèêàëüíî (ðèñ. Ð4.7). Âåêòîð

òîêà

èìååò òî æå íàïðàâëåíèå, ÷òî è âåêòîð

, òîãäà êàê âåêòîð

òîêà

îòñòàåò íà óãîë 90° îò âåêòîðà

. Ñóììà âåêòîðîâ

äàåò âåêòîð òîêà

, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí

200

==A.

Îòñòàþùèé îò âåêòîðà

íà 90° âåêòîð íàïðÿæåíèÿ

äîëæåí

áûòü òàêèì, ÷òîáû óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

ñîñòàâëÿë 120°.

Â ýòîì ñëó÷àå óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

, êàê è ìåæäó âåêòîðà

ìè

, ðàâåí 60° è ìîäóëè âåêòîðîâ

áóäóò ðàâíûìè.

Êàê âèäíî èç âåêòîðíîé äèàãðàììû, óãëû ìåæäó âåêòîðàìè

ðàâíû 30°, òàê ÷òî ïîëó÷àåì

II I PUI

30 2 3 3 46 30 2 30 400 3 6=°=@ =°== °=@cos , sin ; cosA; A 93Âò.

4.3. Òîê â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì è ïàðàëëåëüíûì

ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ r, L, C

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Âàðèàíòû: à — íåò; á — äà, ïðè U

= U

; â — íåò; ã — äà, ïðè ýòîì òàêæå U

= U

4. Åñëè óìíîæèòü îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà z = r + x íà òîê I, òî ïîëó÷àåì Iz = Ir + Ix =

= U

+ U

, ãäå U

, U

— àêòèâíàÿ è ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùèå äåéñòâóþùåãî çíà

÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ U = Iz. Òàê êàê íàïðÿæåíèÿ u

, u

ñäâèíóòû ïî ôàçå íà 90

402 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð4.5

Ðèñ. Ð4.6

Ðèñ. Ð4.7