Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

5.2. Ìåòîäû ðàñ÷åòà ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Äëÿ öåïåé, ñîñòîÿùèõ òîëüêî èç äâóõïîëþñíûõ ýëåìåíòîâ, ìàòðèöûZèY—

äèàãîíàëüíûå. Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòðèöû Z

–1

íåîáõîäèìî, ÷òî

áû íè îäíà èç âåòâåé öåïè íå èìåëà íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Äëÿ ñóùåñòâîâà

íèÿ ìàòðèöû Y

–1

íåîáõîäèìî, ÷òîáû â öåïè íå áûëî âåòâåé ñ íóëåâûìè ïðîâîäè

ìîñòÿìè. Â îáùåì ñëó÷àå ìàòðèöû Z è Y — áëî÷íî-äèàãîíàëüíûå. Äëÿ

ñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíûõ ê íèì ìàòðèö íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìàòðèöû, îáðàçóþ

ùèå äèàãîíàëüíûå áëîêè, áûëè íåâûðîæäåííûìè.

2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âñåõ òîêîâ äîñòàòî÷íî èçìåðèòü òîêè â ñâÿçÿõ, à äëÿ îïðåäå

ëåíèÿ âñåõ íàïðÿæåíèé — íàïðÿæåíèÿ íà âåòâÿõ äåðåâà.

3. Íåò.

4. à) Äà, âîçìîæíî. á) Âîçìîæíî ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíè

òåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ðàññìîòðèì ïðèìåð (ðèñ. Ð5.6):

âåòâü, ñîäåðæàùàÿ èäåàëüíûé èñòî÷íèê òîêà, èìååò ðàâ-

íóþ íóëþ ïðîâîäèìîñòü Y

. Ñèñòåìà óðàâíåíèé ìåòîäà

êîíòóðíûõ òîêîâ èìååò âèä:

()

&&&&&

()

ZZI I I EE

IZZI

12 13

++×+×=-

×+ +

ê1 ê2 ê3

++ =

×+++++

()

ZZI E

IZZIZZI

45 3

45 45

ê3

=Á

Â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè ñëàãàåìûå (Z

+ Z

)

ê 2

,(Z

+ Z

)

ê 3

, èìåþùèå êîíå÷íîå

çíà÷åíèå, ìîãóò áûòü îòáðîøåíû, òàê êàê äðóãèå ÷ëåíû ýòîãî óðàâíåíèÿ áåñêî

íå÷íî âåëèêè. Òîãäà èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì

ê3

=Á

è, ñëåäîâàòåëü

íî, ñèñòåìà óðàâíåíèé ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà ê âèäó:

()

&&&

()

ZZI EE

ZZI E ZZ

12 13

45 3 456

+=-

+=-+Á

ê1

ê2

îòêóäà ìîãóò áûòü íàéäåíû êîíòóðíûå òîêè

ê1

ê2

8. Äà, íàïðèìåð, äëÿ ïðèâåäåííîé íà ðèñ. Ð5.7 ñõåìû èìååì

Z =

15è

9. Èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ, óïðàâëÿåìûå òîêîì.

10. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ âñåõ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé âûáðàíû îäèíàêîâûå

óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ — îò ïðîèçâîëüíîãî óçëà ê íóëåâîìó óçëó.

11. Äà, íàïðèìåð, äëÿ ïðèâåäåííîé íà ðèñ. Ð5.8 ñõåìû èìååì

Y =

jj.

15è

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 413

Ðèñ. Ð5.7

Ðèñ. Ð5.8

12. Â ñõåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. Ð5.9, òîêè îáîáùåííûõ

âåòâåé ðàâíû íóëþ, îäíàêî, âíóòðè îáîáùåííûõ âåòâåé

ìîãóò ïðîòåêàòü íåíóëåâûå òîêè. Ðàññìîòðèì ïðèìåð.

Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

EZ=- Á

óçëîâîå íàïðÿæåíèå

= E + Z

= 0. Ïðè ýòîì òîê I, ïðîòåêàþùèé ïî îáåèì

îáîáùåííûì âåòâÿì, ðàâåí íóëþ, à òîêè

ðàâíû

13. Èñòî÷íèêè òîêà, óïðàâëÿåìûå íàïðÿæåíèåì.

14. Âîçìîæíî â òîì ñëó÷àå, åñëè ãðàô ñõåìû äîïóñêàåò âû

áîð äåðåâà òèïà «êóñò». Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà ïðåäñòàâëåí

íà ðèñ. Ð5.10.

15. Ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé íå òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ äå

ðåâà ãðàôà ñõåìû è òîïîëîãè÷åñêèõ ìàòðèö. Ýòî îáñòîÿ

òåëüñòâî äåëàåò ôîðìèðîâàíèå óðàâíåíèé ìåòîäà óçëîâûõ

íàïðÿæåíèé áîëåå ïðîñòûì â ñðàâíåíèè ñ ôîðìèðîâàíèåì

óðàâíåíèé ìåòîäîì ñå÷åíèé.

16. Ðàñ÷åò öåïåé ñ èäåàëüíûìè èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ ìåòîäîì

óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èçëîæåí íèæå â ðåøåíèè çàäà÷è 4

íàñòîÿùåãî ðàçäåëà. Ðàññìîòðåííûé ïîäõîä ñïðàâåäëèâ è

äëÿ ìåòîäà ñå÷åíèé, îäíàêî, ïðè ïðèìåíåíèè ïîñëåäíåãî

ñóùåñòâåííîå îãðàíè÷åíèå, ñâÿçàííîå ñ òåì, ÷òî èäåàëüíûé èñòî÷íèê ÝÄÑ äîë-

æåí ïîäõîäèòü ê íóëåâîìó óçëó, ñíèìàåòñÿ. (Ñì. òàêæå îòâåò íà âîïðîñ 19).

19. Äà, ïðè ýòîì èäåàëüíûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ ñëåäóåò âêëþ÷àòü â âåòâè äåðåâà

ãðàôà ñõåìû. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé íà âåò-

âÿõ äåðåâà â ñõåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. Ð5.11. Âåòâè1è3ñõåìû ñîäåðæàò

èäåàëüíûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðîâîäèìîñòè Y

è Y

ýòèõ âåòâåé

áåñêîíå÷íî âåëèêè. Ñèñòåìà óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííàÿ ïî ìåòîäó ñå÷åíèé (ñì.

ãðàô ñõåìû) èìååò âèä:

()

&& && &

()

YYUYU YU YE

YU Y Y U

14142 43 411

41 2 4 2

++-=-Á-

++ - =Á-Á

-- +++ =Á-

YU YU Y Y Y U YE

43 2 4

4142 3453 43

&&&

()

&& &

Ïðåíåáðåãàÿ ñëàãàåìûìè, èìåþùèìè êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèÿõ1è3,ïî

ëó÷àåì

, òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ

èìååì èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ:

()

&&&

(

)YYU YEE.

242 2 441 3

+ =Á-Á+ -

414 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð5.9

Ðèñ. Ð5.10

Ðèñ. Ð5.11

21. Ãðàô òàêîé ñõåìû ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. Ð5.12.

Ïðè ðàñ÷åòå ñîîòâåòñòâóþùåé ñõåìû ìåòîäàìè êîíòóð

íûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è ñå÷åíèé ïðèõîäèòñÿ

ðåøàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé òðåòüåãî ïîðÿäêà. Ìåòîä

ñìåøàííûõ âåëè÷èí ïîçâîëÿåò ñâåñòè ðåøåíèå ê ñèñòå

ìå óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî òîêà ñâÿçè

6 è íàïðÿæåíèÿ íà âåòâè 1 äåðåâà.

22. Íåò. Îíè ìîãóò áûòü ðàçíûìè.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

5. Ðàññ÷èòûâàÿ òîêè â âåòâÿõ öåïè âàðèàíòà 4 ìåòîäîì

êîíòóðíûõ òîêîâ, âûáèðàåì óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íà

ïðàâëåíèÿ òîêîâ â âåòâÿõ è íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ

ê1

ê 2

êàê óêàçàíî íà ðèñ. Ð5.13, à è çàïèñûâàåì óðàâíåíèÿ

()

IZ Z IZ E

IZ I Z Z E

êê

11 3 23 1

13 2 2 3 2

+- =

-+ +=-

Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé

20 10 10 100

10 10 20 10

()

IjI

jI jI

êê

-- =-

-- + -

250 50=- +

j ,

ïîëó÷àåì

ê1

= –10+j10 À,

ê 2

= –15 + j5 À. Òîêè â âåòâÿõ

öåïè ðàâíû

= 10 – j10 À,

= 15 – j5À,

= 5+j5À.

Ðåøàÿ çàäà÷ó ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, íóìåðóåì óçëû öåïè êàê óêàçàíî íà

ðèñ. Ð5.13, à è çàïèñûâàåì óðàâíåíèå

10 11 1

=Á

ãäå

ZZ Z j j

123

111 1

10 10

=++ =

0,2 Ñì,

&& &

Á= + =-

11 1

1 1 100

10 10

250 50

20 À.

Ïîëó÷àåì:

100 Â, è èç óðàâíåíèé âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà

-+= - -=- - +=

&&&

IZ U E IZ U E IZ U

1 1 10 1 2 2 10 2 3 3 10

íàõîäèì òîêè

= 10 – j10 À,

= 15 – j5À,

= 5+j5À.

Â ðàññìîòðåííîé çàäà÷å ÷èñëî óðàâíåíèé ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ ñîñòàâëÿåò

äâà, òîãäà êàê ïðè ðåøåíèè ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ëèøü îäíî. Òàêèì îá

ðàçîì, ýòó çàäà÷ó öåëåñîîáðàçíî ðåøàòü ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.

Îñîáåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è âàðèàíòà 2 çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî óçëîâîå íàïðÿ

æåíèå

(âåðõíåìó óçëó ïðèñâîåí íîìåð 1) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ÝÄÑ

10 1

è ðàññ÷èòàòü äàëåå òîêè âåòâåé èç óðàâíåíèé:

UIZ

10 3 3

0-=

&& &

UIZE

10 2 2 2

&&&

III

123

Ïðåîáðàçîâàíèå èñòî÷íèêà òîêà

(âàðèàíò 1) â ýêâèâàëåíòíûé åìó èñòî÷

íèê ÝÄÑ ïîçâîëÿåò èçîáðàçèòü ñõåìó ïîëó÷åííîé öåïè â âèäå (ñì. ðèñ. Ð5.13, á),

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 415

Ðèñ. Ð5.12

Ðèñ. Ð5.13

ãäå

313

=Á

è, çàïèñàâ äàëåå óðàâíåíèÿ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ (ïîäîáíî ðàñ

ñìîòðåííîìó âûøå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è âàðèàíòà 4), ðàññ÷èòàòü èñêîìûå òîêè.

Ïðè ðàñ÷åòå òîêîâ â ýòîé öåïè ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé îáúåäèíÿåì óçëû,

ñîåäèíåííûå âåòâüþ, íå ñîäåðæàùåé ýëåìåíòîâ, â îäèí óçåë, çàïèñûâàåì îäíî

óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé (òàê êàê â öåïè âñåãî äâà óçëà) è, ðàññ÷è

òàâ òîê

, íàõîäèì òîê â èñêëþ÷åííîé âåòâè

&&&

313

=Á -

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âàðèàíòà 5 ìåòîäîì êîíòóðíûõ òîêîâ âûáèðàåì íàïðàâëå

íèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ â ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíòóðàõ òàê, ÷òî

ê11

=Á

ê 22

=Á

.Òî

ãäà ïîëó÷àåì

&&& &&

.III j

31212

3=+=Á+Á=-

êê

Óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èìååò âèä (âåðõíåìó óçëó ïðèñâîåí íî

ìåð 1):

&&&

=Á +Á

Ðåøàÿ åãî, íàõîäèì

= 5(3 – j)Âè

= 3–j À.

6. Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âàðèàíòà à âõîäÿùóþ â óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ

íàïðÿæåíèé

ZZZZZ

12345

12 45

111 1

âåëè÷èíó

âûðàçèì ÷åðåç èñêîìîå íàïðÿæåíèå

&& &

UIZ IZ--=

54 12

()

UIZZ E

10 1 1 2 1

++=

-+ + =-

()

UIZZ U

10 5 4 5

Íàõîäèì:

110

&& & &

Z-

110

&&&

10 4

110

1 +

Ïîäñòàâëÿÿ âåëè÷èíó

â óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è âûïîëíÿÿ

÷èñëåííûå ðàñ÷åòû, ïîëó÷àåì:

= 3+j1,4 Â,

= 0,94 – j3,1 À,

= 1,21 – j3À,

= – 0,27 – j0,1 À.

Âõîäÿùåå â óðàâíåíèÿ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ

()

IZ Z Z IZ E

IZIZZZ

êê

11 2 3 23 1

13 2 3 4 5

++ - =

-+ ++=-b

íàïðÿæåíèå

âûðàçèì ÷åðåç êîíòóðíûå òîêè:

&& &

UIZ IZ=+

êê12 24

è ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé

416 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

()

(

IZ Z Z IZ E

IZ Z I Z Z

êê

11 2 3 23 1

13 2 23

++ - =

--+ +bb

445

0++ =

ZZ),

õàðàêòåðèçóåìóþ íåñèììåòðè÷íîñòüþ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ. Ïðè ïîäñòà

íîâêå ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé è ðåøåíèè óðàâíåíèé íàõîäèì

ê1

= 0,94 – j3,1 À,

ê 2

= – 0,27 – j0,1 À,

ê1

–

ê 2

= 1,21 – j3À.

Óðàâíåíèÿ ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé äëÿ öåïè âàðèàíòà â

&&&&

ZZ Z

123

111 1 1

-=-

ïåðåïèøåì ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ

&& &

UIZE

10 1 1 1

, èç êîòîðîãî ñëåäóåò

110

â âèäå

(

ZZZZ

1231

111 1

1++-

-=-

111a

Ðåøàÿ åãî, ïîëó÷àåì

= 4–j12 Â,

= 4(2 – j)À,

= 2(2 – j)À,

= 0À,

= 2(2 – j)À.

Â óðàâíåíèÿõ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ

()

IZ Z IZ E

IZIZZZ I

êê

11 2 22 1

12 2 2 3 4 1

+- =

-+ ++=aZ

âûðàæàåì òîê

÷åðåç êîíòóðíûé

(

)II

è ïîëó÷àåì

()

(

IZ Z IZ E

IZ Z I Z Z Z

êê

11 2 22 1

12 3 2234

+- =

-++ ++a ).=

Ðåøåíèå óðàâíåíèé äàåò çíà÷åíèÿ

ê1

= 4(2 – j)À,

ê 2

= 2(2 – j)À,

= 0À.

7. Ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ïîñëå ïðåîáðàçî

âàíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêà â èñòî÷íèêè ÝÄÑ) ïðè

íèìàåò èçîáðàæåííûé íà ðèñ. Ð5.14 âèä.

Ðåøàÿ çàäà÷ó äëÿ óñëîâèé âàðèàíòà 1 ìåòîäîì

óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ìîæåì, èñïîëüçóÿ ñîîò

íîøåíèå

= –

= – 3 Â, çàïèñàòü óðàâíåíèÿ

&&&&

ZZZ

245

111 1 1 1

-=-

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 417

Ðèñ. Ð5.14

-+ ++

&& &&

ZZ Z

146

111111

ðåøåíèå êîòîðûõ

= 2+j Â,

= –3+6j Â. Èñêîìûå òîêè ðàâíû:

= 6À,

= +1–5j À,

= 5(1 + j)À,

= 5j À,

= 1À,

= 6+5j À.

Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ

&& &

(),

()

(

IIjIj

IjI jI

êê ê

12 3

114

×+ ×- + =

×+ + - +j

IjI jI j

()

(),

-+- ++ +=

1121

23ê1 ê ê

íàõîäèì êîíòóðíûå òîêè

ê1

= 5(1 + j)À,

ê 2

= 6À,

ê 3

= 6+5j À è äàëåå òîêè âåòâåé.

8. Ãðàô ñõåìû èçîáðàæåí íà ðèñ. Ð5.15.

Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ìåòîäà ñå÷åíèé

()

(

YY YU U YU YE

U YYY

1571 2 53 77

1 246

++ +× +- =

×+ ++)

()

(

UYYUYE

YU Y Y U Y Y

246366

51 4 6 2 3 4

+- - =-

-+-- +++YYU YE

563 66

+=)

è ó÷èòûâàÿ, ÷òî Y

= Y

=¥, íàõîäèì:

= 10 Â,

= Y

= –5 + j15 Â,

= –10+j20 Â,

= 5–j5À,

= –5+j5À,

= j10 À,

= –5+j5À,

= 5–j15 À,

= 0À,

= j10 À.

9. Ãðàô ñõåìû, äåðåâî (âåòâü 2) è ñâÿçè (âåòâè 1, 3) èçîáðàæåíû

íà ðèñ. Ð5.16.

Ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí íàïðÿæåíèå

è òîêè

çàïèñûâàåì óðàâíåíèÿ ìåòîäà ñìåøàííûõ âåëè÷èí

()

ZZ Z

IZ Z IZ E

123 1

11 2 32

111 1

=×

+- =

().IZ I Z Z

12 3 2 3

0++=

10. Åñëè èñòî÷íèê òîêà

, äåéñòâóÿ â âåòâè àb ñêîëü óãîäíî ñëîæíîé öåïè,

ïðè îòñóòñòâèè â öåïè ïðî÷èõ èñòî÷íèêîâ òîêà âûçûâàåò â äðóãîé âåòâè cd ýòîé

öåïè íàïðÿæåíèå

, òî òàêîé æå èñòî÷íèê òîêà

, äåéñòâóÿ â âåòâè cd,

ïðè îòñóòñòâèè ïðî÷èõ èñòî÷íèêîâ òîêà âûçîâåò â âåòâè àb òàêîå æå íàïðÿæå

íèå

11. Íàéäåì ìåòîäîì íàëîæåíèÿ òîêè â ýëåêòðè

÷åñêîé öåïè âàðèàíòà â. Ïðè äåéñòâèè èñòî÷íè

êà

òîêè â âåòâÿõ öåïè ðàâíû (ðèñ. Ð5.17, à).

&&&

III

124

= 0.

418 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð5.15

Ðèñ. Ð5.16

Ðèñ. Ð5.17

Òîêè â âåòâÿõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âî âòîðîì ðåæèìå, êîãäà äåéñòâóåò ëèøü èñ

òî÷íèê òîêà

, ðàâíû (ðèñ. Ð5.17, á)

¢¢

=IJ

¢¢

=Á

¢¢

=Á

¢¢

Òàêèì îáðàçîì,

&&&

III

111

¢¢

&&&

III

333

¢¢

&&&

III

444

¢¢

12. Òîê

k-é âåòâè öåïè, ðàññ÷èòûâàåìîé ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà âçàèìíîñòè îï

ðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ:

&&&&

()

IIEE

ãäå

()

— îäíîêðàòíî ðàññ÷èòûâàåìûå òîêè âî âñåõ m âåòâÿõ ñõåìû ïðè äåéñò

âèè â k-îé âåòâè ÝÄÑ

— ÝÄÑ, äåéñòâóþùàÿ â m-é âåòâè. Òàêèì îáðàçîì,

íàèáîëüøèé ýôôåêò ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà, îñíîâàííîãî íà ïðèíöèïå âçà

èìíîñòè, áóäåò äîñòèãàòüñÿ ïðè ðàñ÷åòå öåïåé ñ îòíîñèòåëüíî áîëüøèì ÷èñëîì

èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ.

13. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå çàìåíèì öåïü îòíîñè-

òåëüíî âûäåëåííûõ çàæèìîâ À è Â ýêâèâàëåíòíûì ãåíåðàòîðîì ñ âíóòðåííèì

ñîïðîòèâëåíèåì R

è ÝÄÑ Å

. Òîãäà

êç

= 2 Îì. Òàêèì îáðàçîì, òîê â ðåçè-

ñòîðå R

= 6 Îì ðàâåí

= 0,5 À.

14. Ïðè ðàçðûâå âåòâè AB íàïðÿæåíèå U

íàõîäèì, ó÷èòûâàÿ

óðàâíåíèå 2-ãî çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, ïîêàçàííîãî íà

ðèñ. Ð5.18:

&&& &

IZ U IZ E

11 0 44

++ =

Òàê êàê

==A

,,I

15=

==A

òî

&&& &

U E IZ IZ

01144

24 12 12 0=- - =--=

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Z

+ Z

¹ 0, íàõîäèì èñêîìûé òîê

= 0.

15. Ïðåîáðàçóÿ èñòî÷íèê òîêà

â ñõåìå à â ýêâèâàëåíòíûé åìó èñòî÷íèê ÝÄÑ

EjL=Á ×

, ïîëó÷àåì:

EjL

rjL

-Á ×

12 3

. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ

íàïðÿæåíèé

rjL

EjC

â ñõåìå á è ðàññ÷èòûâàÿ

íàõîäèì äàëåå èñêîìûé òîê

110

(óçåë 1 ¾ âåðõíèé óçåë ñõåìû).

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 419

Ðèñ. Ð5.18

ÇÀÄÀ×È

1. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå ñîåäèíåíèÿ n-ëó÷åâîé çâåçäîé â ýêâèâàëåíòíûé

n-óãîëüíèê (n > 3). Ïðîíóìåðóåì óçëû ñõåìû, â êîòîðîé âûäåëåíà ðàññìàòðè

âàåìàÿ ìíîãîëó÷åâàÿ çâåçäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. Ð5.19.

Äëÿ òîêà k-ãî «ëó÷à» çâåçäû èìååì

(

), ,,

IUUYkn

kknk

=- =

+010

(*)

ãäå

k 0

— íàïðÿæåíèå ìåæäó k-ì è íóëåâûì

óçëàìè. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ïåðâîãî çàêîíà

Êèðõãîôà äëÿ óçëà n + 1, ïîëó÷àåì

(

IUUY

knk

åå

=- =

010

îòêóäà

UUYY

nkk

åå

10 0

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ

n+10

â ñîîòíîøåíèå (*), ïîëó÷èì

&& &

(

IU UY YY

kk kk

åå

[

0101 0202 0 101

-+- +- +

)(

)

(

,,,

UY U UY U U Y

kkkk

]

,, ,,

)(

)

0101 00

-++-

UY U UYY Y

kk k nnk k

=+++ + +

-- ++

(

&& & & &

,, , ,

UY U Y U Y U Y U

kk kkkkkkk11 2 2 1 1 1 1

)( )

,,,

nn k

YYY

UY k nY Y

×=

===

Òàêèì îáðàçîì, òîê, âõîäÿùèé â k-é óçåë ìíîãîëó÷åâîé çâåçäû, ìîæåì ïðåäñòà

âèòü â âèäå:

&& & & &

,, , ,

=+ ++ +

åå

Òîê

, âõîäÿùèé â k-é óçåë ìíîãîóãîëüíèêà (ðèñ. Ð5.19), ìîæåì îïðåäåëèòü

èç ñîîòíîøåíèÿ

&& & & &

,, , , , , ,

IUY UY UY UY

kkk kk kkkk kkk

=+ ++ +

-- +11 2 2 1 1 1

,,,

kknkn

Äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñõåì, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. Ð5.19, íåîáõîäèìî, ÷òîáû

ïðè ðàâíûõ íàïðÿæåíèÿõ

(, , , )Ukp nkp

=¹1

, áûëè ðàâíû òîêè

,,IIkn

Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ òîêîâ, ïîëó÷àåì

Îòìåòèì, ÷òî îáðàòíàÿ çàäà÷à ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ n-óãîëüíèêà â n-ëó

÷åâóþ çâåçäó (n > 3) â îáùåì ñëó÷àå íåðàçðåøèìà.

420 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð5.19

2. Ñïîñîá ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîêàçàí íà ïðèìåðå (ðèñ. Ð5.20).

3. Âåêòîð íàïðÿæåíèé U

âñåõ âåòâåé ñõåìû ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå

= A

. Åñëè âåòâè ãðàôà ïðîíóìåðîâàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî âåòâè äåðåâà

èìåþò ìåíüøèå íîìåðà, òî ïåðâûå q (ãäå q—÷èñëî ñòðîê ìàòðèöû À) ýëåìåíòîâ

âåêòîðà U

ñîñòàâëÿþò âåêòîð U

. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî

= D

= A

, îòêóäà ïîëó÷èì

= DD

è U

= (DD

)

–1

Ìàòðèöà DD

= D1D

íå îñîáåííàÿ, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðèöó óçëî

âûõ ïðîâîäèìîñòåé öåïè, â êàæäîé âåòâè êîòîðîé íàõîäèòñÿ ïðîâîäèìîñòü, çíà

÷åíèå êîòîðîé ðàâíî åäèíèöå.

4. Ðàññìîòðèì ñõåìó èç îòâåòà íà âîïðîñ 4. Âåòâü 3 ñõåìû ñîäåðæèò èäåàëüíûé

èñòî÷íèê ÝÄÑ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èìååò âèä:

11 1

20 30

--×=-

&&&

+++

-=+Á

111 1

315

ZZZ

×- + +

&& &

111

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 421

Ðèñ. Ð5.20

Âî âòîðîì óðàâíåíèè âñå ñëàãàåìûå, íå ñîäåðæàùèå 1/Z

, èìåþùèå êîíå÷íîå

çíà÷åíèå, ìîãóò áûòü îòáðîøåíû. Òîãäà âòîðîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:

, îòêóäà

20 3

Ó÷èòûâàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå, èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü

ê âèäó:

11 1

(

îòêóäà ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû óçëîâûå íàïðÿæåíèÿ

. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ

èñïîëüçîâàíèÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèåìà íåîáõîäèìî òàê ïåðåíóìåðîâàòü óçëû

ñõåìû, ÷òîáû èäåàëüíûé èñòî÷íèê ÝÄÑ ïîäõîäèë ê íóëåâîìó óçëó, ÷òî íå âñåãäà

âîçìîæíî, åñëè ñõåìà ñîäåðæèò íåñêîëüêî èäåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ.

5.3. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íàëè÷èè

âçàèìíîé èíäóêöèè

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Ýòî âîçìîæíî, åñëè íàïðÿæåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè íà êàòóøêå íàïðàâëåíî

íàâñòðå÷ó íàïðÿæåíèþ ñàìîèíäóêöèè è ïðåâûøàåò åãî ïî ìîäóëþ. Êàòóøêè â

ýòîì ñëó÷àå äîëæíû áûòü âêëþ÷åíû âñòðå÷íî è çíà÷åíèå êM

ê äîëæíî áûòü

áîëüøå çíà÷åíèÿ L

, I

— òîêè êàòóøåê1è2).

2. Ïðè ëþáîì ñïîñîáå âêëþ÷åíèÿ èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ êàòóøåê ïàññèâíîé

öåïè àêòèâíàÿ ìîùíîñòü íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé.

4. Îáîçíà÷èâ

— òîê êàòóøêè L

äî çàìûêàíèÿ êëþ÷à,

— òîêè êàòóøåê

ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à, ìîæåì ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõ

ãîôà

jwL

jwM =

jwL

jwM ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ

LL LM

LL M

12 1

LLM

LL M

&& & &

II I

LL LM L

LL M

12 1

12 1 1

++- +

Ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà A

îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì òîêà I

,ààì

ïåðìåòðà A

— òîêà I

Êàê âèäíî, òîê êàòóøêè L

ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à íå èçìåíèòñÿ ïðè L

= M

(ëèáî ïðè M = 0), óìåíüøèòñÿ ïðè L

> M è óâåëè÷èòñÿ ïðè L

< M.

Òîê I

íå èçìåíèòñÿ ïðè M = L

, âîçðàñòåò ïðè M > L

è óìåíüøèòñÿ ïðè M < L

5. Âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè à, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå ñëåâà öåïè áîëüøå,

òàê êàê íàïðÿæåíèÿ âçàèìíîé èíäóêöèè íà êàòóøêàõ ýòîé öåïè ñîâïàäàþò ñ íà

ïðÿæåíèÿìè ñàìîèíäóêöèè, ÷òî è âåäåò ê óâåëè÷åíèþ èõ ñîïðîòèâëåíèÿ.

7. Ïðè óñëîâèè à èìååì Dx > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà wL

+ x

ïð

< 0, òàê ÷òî

ïðèåìíèê äîëæåí õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ýêâèâàëåíòíûì åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíè

åì. Ïðè óñëîâèè á ïðèåìíèê èìååò ýêâèâàëåíòíîå èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå.

422 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷