Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

6.3.

Статическая операторная обратная связь

211

Наконец, если, как и ранее, для удобства сначала ввести обозначение

а*

= а- d\

а затем, для простоты, "звездочку" не указывать (т.е. осуществить

замену а* -^ а), то окончательно уравнения движения исследуемого

объекта в 0-теории принимают вид

XI =-{d +

р)х1

+ (хи (6.7)

i =

2{d +

p)^ +

bfi

+ a-2dp +

а€А,ЬеВ. (6.8)

Далее этот объект (6.7), (6.8) для удобства обозначаем символом

Pp.

Если же рассматривается только второе уравнение Рр-объекта

(6.8),

то его, как условлено выше, обозначаем символом Pg.

Из уравнений (6.7), (6.8) виден нелинейный, точнее билинейный,

характер уравнений движения (это обстоятельство принципиально и

неоднократно отмечалось выше), но, что важно и что обеспечивает

успех всего мероприятия, так это аффинность уравнений движения

по управлению (т.е. по паре

{fA,p)).

Последнее позволяет применять

для решения задачи стабилизации методы классической теории ста-

билизации.

6.3.

Статическая операторная обратная связь

Рассматривая уравнение Ре-объекта

i =

2{d

+ p)^ + bn + a-2dp + p,

аеА,

be В,

нетрудно понять, что обратная связь р = Rp/л может быть статиче-

ской или динамической, в зависимости от вида оператора Rp, однако

только во втором случае ввиду наличия производной р в правой части

(6.8) КО-связь fi =

R^CTp

может быть разрывной.

Исследование естественно начать с анализа возможностей отрица-

тельной статической 0-связи, когда

= -qfi, (6.9)

где q >

— коэффициент усиления 0-связи. Имеем в результате

следующие уравнения движения:

XI = -{d-qn)xi+ixi,

i = 2{d-qn)i-{-bn-\-a-qix, (6.10)

6 = 64-

2Qd.

212 Глава 6.

Теория операторной обратной

связи

После выбора оператора 0-свяэи Rp =

—д

свободным остается вы-

бор оператора КО-связи R^. Применяя разные операторы R^, по-

лучаем варианты бинарной системы управления с 0-связью. Есте-

ственно начать рассмотрение с простейших вариантов выбора опера-

тора R^.

6.3,1.

Статические операторная

и координатно-операторная обратные связи

При использовании статической КО-связи

fi = —Ц, к = const >

второе уравнение движения в (6.10) принимает вид

^ = 2(d

-Ь

дН)^ - Щ

gki

а.

После приведения подобных и выделения главной части имеем сле-

дующее линейное уравнение:

если, конечно, 1 > дк. При выполнении неравенства

(6-

-I-

2gd)k > 2d

уравнение асимптотически устойчиво и предельное (т.е. установив-

шееся) значение переменной ^(t) определяется выражением

а а

^~ ^ (6

-I-

2gd)k - 2d ^ bk-2d(l-gk)' ^^'^^^

Ошибка ^оо определяет статическую 0-ошибку, которая порождает

динамический статизм в основном контуре.

Поскольку в пределе основная переменная удовлетворяет уравне-

нию

XI = -{d + gk^oo)xi +

^00^1

= -[d+{qk- l)^^]xi,

то величина упоминавшегося динамического статизма дается следую-

щим выражением:

_ а{1-дк)

^°°

Ьк

- 2d(l - дк)

•

Стоит заметить, что статическая ошибка в системе (6.10) без О-

связи (т.е. при 9 = 0) определяется выражением

^оо =

bk-2d'

из сравнения которого с (6.11) следует, что в бинарной системе с О-

связью заданная величина динамического статизма достигается при

6.3.

Статическая операторная обратная

связь 213

меньшем значении параметра к, нежели в бинарной системе без О-

связи. Это немедленно следует из того, что

1 l-qk

bk-2d bk- 2d{l - qk)'

Действительно, после освобождения от знаменателей имеем сна-

чала, что

{Ьк

- 2d) + 2dqk > {bk - 2d) - qk{bk - 2d),

а после приведения подобных получаем тривиальное неравенство

> -qbk^.

Более того, поскольку динамический статизм

l-qk

С(9) =

bk-2d(l-qk)

монотонно убывает с ростом параметра q, то величина динамического

статизма ^^(з) может быть сколь угодно приближена к нулю при

gfc -> 1, хотя нуль недостижим, ибо при g = О все эти уравнения не

действуют. Следовательно,

• использование статической 0-связи оправдано даже в том триви-

альном случае, когда применяются только статические нелинейные

обратные связи.

Для содержательной интерпретации последнего вывода полезно по-

лучить выражение для закона управления по основной переменной,

т.е.

закона, выраженного через исходные переменные Xi, х^. Делая

обратную замену ц = —к^ и используя равенство р = —qfi, имеем по-

следовательно :

= /ill = -k^xi = -ксгр = -к[х2 + (d+ p)xi] =

= -k[x2 + {d- qfi)xi ] = -k{x2 + dxi) + qkpxi

—

-kcr + qku.

Разрешая последнее равенство относительно управления и, находим,

что

ifc

u=-

-а, а = xi + dxi.

l-qk

Иными словами, построенная нелинейная бинарная система упра-

вления на множестве Gs эквивалентна линейной с коэффициентом уси-

ления

и при qk

—¥

—I нг1ступает эффект большого коэффициента усиления,

хотя во всех контурах системы управления применяются конечные ко-

эффициенты усиления. Этот эффект является прямым результатом

использования нелинейности и положительной обратной связи.

214

Глава 6. Теория

операторной обратной

связи

Структурная схема рассмотренной системы приведена на рис. 6.4.

Напомним, что эта схема работоспособна только при ограничении

р »+d —1

a^i

р==Ф -к =:

•»

а ("—

f ^~]

\м

Рис. 6.4

\<т\

6\xi\.

Фазовый портрет в координатах (xi.xj) этой системы

управления в пределах множества Gs приведен на рис.6.5, на кото-

ром колебания относительно линии «г =

отсутствуют. К недостат-

кам этой схемы следует отнести наличие в регуляторе внутреннего

статического контура (выделен на рис. 6.4) обратной связи. Это при-

'• ст=0

Рис. 6.5

ВОДИТ К негрубости системы, ибо влияние неопределенной динамики

может привести к нежелательным последствиям: колебаниям или не-

устойчивости. Поэтому следует подумать над способами повышения

прочности системы со статической 0-связью.

6.3.

Статическгм операторная обратная

связь

215

6.3.2. Статическая операторная и динамическая

координатнсьоператорная обратные связи

Изучим теперь возможность стабилизации Ре-объекта

i = 2{d + p)i-\-bn-¥a- 2dp + p,

аеА,

b€B,

с помощью статической 0-связи

р = —qfi, q = const,

и различных видов динамической К 0-связи

= R^a,

где R^ — дифференциальный, интегральный или какой-либо иной опе-

ратор динамического преобразования.

После исключения р получаем уравнение стабилизируемого объ-

екта, зависящее только от КО-закона управления в следующем виде:

^ = 2(d-qfi)^ +

biJi

a-qtt,

b =

+ 2qd.

(6.12)

Прежде всего рассмотрим случай, когда используется координатно-

операторная связь другого вида.

6.3.3. Инерционная координатно-операторная

обратная связь

В этом случае параметр b Е В предполагается известным, поэтому

КО-закон можно взять, например, в виде

qfi

—

bfi = к^, к = const > 0.

(6.13)

При выполнении неравенств g < О, 6~ = Ь~

-I-

2qd >

этот КО-закон

естественно назвать инерционным, так как передаточная функция от

^ к ц имеет вид инерционного звена (рис. 6.6а или, более подробно,

рис.

6.66). После подстановки (6.13) в (6.8) получаем уравнение за-

qs-b

Рис. 6.

• Л^^

•^ Л

*-•

216 Глава 6. Теория

операторной обратной

связи

мкнутой системы в виде

qfi-b~

к^.

В положении равновесия (/iooi^oo) этой системы выполнены равенства

2(d-?^ioo)^oo +а = к^оо,

разрешая которые с точностью до величин порядка 1/к получаем

а к п

с ~ ,, с^

400 — , „ji А*оо — ~

к-2d' '^^ bk-2d

Для анализа устойчивости этого положения равновесия в матом

запишем уравнения движения системы (6.14) в отклонениях

6=^-^оо,

Ь = И-Иоо,

удерживая лишь члены первого порядка малости. После элементарных

преобразований получим уравнения

6 = -(fc-2d)6, 6 =-6+ -6,

Ч Я

из анализа которых легко усмотреть, что точка (/ioo,^c») асимптоти-

чески устойчива, если

k>2d,

b = b + 2qd>0.

Для определения предельного движения основной координаты xi

воспользуемся первым уравнением системы (6.10). Получаем

XI = -(d - qfioo)xi +^00^1 = -{d-qHoo

-^00)^1-

Следовательно, число

определяет в этом случг1е величину статизма. Устремлением параме-

тра ^: -^ 00 устранить этот статизм невозможно, так как

г е* -^ - °g

к^'^°°~ ь ~

+ 2qd'

Однако уменьшением параметра q его можно сделать произвольно ма-

лым, хотя устранить вовсе таким путем нельзя, так как q > 0.

6.3.

Статическая операторная обратная

связь

217

Структурная схема исследованной системы стабилизации приве-

дена на рис. 6.7. Напомним, что она действительна только при огра-

ничении

\<т\

< S\xi\. Рисунок с проекциями фазовых траекторий этой

s + d

^-2-^=J=

^ qs-Ъ

' Ф=^

$•'+«

1ГоеЛ

Рис. 6.7

системы на множество Gs в плоскости («1,352) подобен рис. 6.5 и по-

этому не приводится. i

Поскольку прочность этой системы из-за наличия динамики в 0-

контуре не вызывает сомнений, то можно констатировать, что

• в рассмотренной бинарной системе поставленная задача стабилиза-

ции решается непрерывным управлением сколь угодно точно и ко-

лебания фазового вектора относительно линии

<т

отсутствуют.

Однако для реализации требуется знать параметр 6 £ JB, да и сама

реализация сложна, так как требует операции деления. Для преодо-

ления этих недостатков рассмотрим иной вид КО-связи.

6.3.4. Инерционно-релейная

координатно-операторная обратная связь

Вновь будем считать параметр 6 € S известным и определим КО-

связь уравнением вида

qft

—

bfi = кsgn^,

А:

= const > 0. (6.15)

При замыкании такой обратной связью Ре-объекта

i = -2{d-qn)^+'b,i-i-a-qfi

получаем замкнутую систему стг^билизации со следующим уравнением

движения:

^ = 2{d - qfi)^-кsgni +а. (6.16)

218

Глава 6.

Теория операторной обратной

связи

Удобство КО-закона (6.15) состоит в том, что при g < О пере-

менная fi автоматически ограничивается по модулю, что, безусловно,

полезно, так как и = fixi и в главном контуре управления перемен-

ная ц выполняет функцию коэффициента усиления, который, как из-

вестно, по соображениям прочности нужно ограничивать. Отметим,

что этого эффекта не было в других системах с рассмотренными КО-

законами, и в них это ограничение нужно обеспечивать специально.

Подробнее об этом позже, а сейчас приведем структурную схему,

объясняющую название закона (рис. 6.8). Поскольку переменная fi

Рис. 6.8

ограничена, то из анализа уравнения (6.16)

очевидно, что при достаточно большом значении параметра

ifc,

именно

к > а, в точке ^ =

возникает скользящий режим. Для определения

уравнения движения в скользящем режиме сначала из уравнений ( = О,

^ =

находим эквивалентное значение разрывного элемента

затем найденное значение подставляем в уравнение (6.15) изменения

переменной

(л

и получаем следующее уравнение движения:

qfi

— bfi

= а.

(6.17)

Это уравнение устойчиво при g <

и при фиксированном параметре

а имеет положение равновесия

/*<» = -а/Ь-

Теперь можно установить уравнения движения системы в сколь-

зящем режиме. Поскольку при ^ = О для основной переменной xi

действует уравнение

XI =-{d - qii)xi, (6.18)

то в скользящем режиме это уравнение должно быть дополнено урав-

нением (6.17). Если, однако, параметр q достаточно мал, то можно

считать, что fi{t) 2 ^оо, и уравнение (6.18) упрощается (используем

замену 6 = 6-1- 2ad) до следующего уравнения:

XI = -{d - qiioo)xi = -{d-\-qa/b)xi.

6.3.

Статическая операторная обратная

связь

219

Из последнего уравнения, в частности, следует, что динамический

статизм определяется равенством

и может быть сделан сколь угодно малым путем уменьшения параме-

тра q. При этом статизм неустраним вовсе, ибо значение 9 = О не

допускг^ется. Поэтому проекция хода фазовых трг1екторий этой си-

стемы на множество Gs в плоскости (х\,Х2) подобна изображенной

на рис. 6.5-

Для пояснения физического эффекта, эксплуатируемого в рассма-

триваемой системе стабилизации, полезно записать алгоритм стаби-

лизации в исходных переменных. Поскольку в скользящем режиме

^ = О, а

<Тр

= ixi, то и (Т^ = 0. Но « = /xii, и, следовательно,

<Тр

= xi-\- dx\

—

qfixi =

—

qu = 0.

Таким образом, имеет место равенство и = tr/q, которое означает, что

в скользящем режиме исследуемая нелинейная обратная связь эквива-

лентна линейной с коэффициентом усиления 1/q, который может быть

сделан сколь угодно большим q

—> —О,

что и обеспечивает решение за-

дачи стабилизации.

чм-ьм

о-=0

к —»

чм-ьм

2Д(г)

Рис.

6.9

Рис.

6.10

Действительно, в этом случае в исходных переменных система опи-

сывается уравнениями

XI = Х2

Х2 = axi + i(x2 + dxi)

и при g -> о ей отвечает фазовый портрет на рис. 6.9. Таким образом,

• предложенная обратная связь решает поставленную задачу стаби-

лизации сколь угодно точно, но с неустранимым динамическим

статизмом.

При этом колебания операторной переменной ^ устраняются полно-

стью (^ = 0), а коэффициент передачи к уменьшается по сравнению с

предыдущим законом.

220

Глава 6. Теория

операторной обратной

связи

Нетрудно также понять, что эта система прочна. В самом деле,

пусть имеется запаздывание г > О в переключениях, т.е. вместо за-

кона (6.15) имеем дело с КО-законом вида

—

bfi = к sgn

/г

= const > 0.

(6.19)

В координатах (g/i

—

bfi,^) уравнениям (6.15) и (6.19) соответствуют

графики на рис. 6.10, откуда немедленно следует оценка |^| < Д(г),

что и означает прочность системы, так как Д('')

—> О

при г -> 0.

Структурная схема синтезированной бинарной системы приведена

на рис. 6.11, и для сравнения на рис. 6.12 дана схема, эквивалентная ей

при возникновении скользящего режима. Из сравнения рис. 6.7 и 6.11

t+d

НаеЛ

Рис.

6.11

Рис.

6.12

видно, что последняя система стабилизации при тех же возможностях

проще в реализации. Следует, однако, позаботиться о дальнейшем ее

упрощении и, если это возможно, исключить использование информа-

ции о параметре 6 6 В.