Емельянов В.Ю. Методы моделирования стохастических систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования Российской Федерации

Балтийский государственный технический университет «Военмех»

В. Ю. ЕМЕЛЬЯНОВ

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2004

УДК 629.7: 519.6

Методы моделирования стохастических систем управления: Учеб.

пособие/ В. Ю. Емельянов; Балт. гос. техн. ун-т; СПб., 2004. 168 с.

Пособие соответствует программам учебных дисциплин “Теория и сис-

темы управления», “Моделирование систем”. Анализируются основные

проблемы построения моделей, предназначенных для оценки качества и

эффективности информационных и управляющих систем с учетом реальных

условий их функционирования. Приведен обзор методов физической реали-

зации моделей, основных математических схем и возможностей учета осо-

бенностей внешней среды.

Основное внимание уделяется математическому аппарату, используе-

мому при построении моделей стохастических систем, и методу статистиче-

ского моделирования.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям “Сис-

темы управления летательными аппаратами”, “Автоматизированные систе-

мы обработки информации и управления”, “Информационные системы и

технологии” и другим инженерным специальностям.

Ил. 46. Табл. 10. Библиогр.: 47 назв.

Р е ц е н з е н т ы: кафедра “Авиационные приборы и измерительно-

вычислительные комплексы” Академии аэрокосмического приборостро ения

(зав. кафедрой докт. техн. наук, проф. А. Н. Синяков), канд. техн. наук, ст.

науч. сотр., нач-ник лаб. динамики ЦНИИ “Гранит” В. Р. Андриевский.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ И

ИСПЫТАНИЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Основные особенности моделирования систем с учетом

реальных условий их применения

Моделирование - универсальный метод научных исследований и инже-

нерной деятельности. "В науке по ее существу всегда приходится иметь дело

с моделями. Вне их конкретных классов бессмысленно говорить об основных

понятиях теории и закономерностях природы" [34].

Наиболее распространенное в технической литературе определение по-

нятия модели выглядит следующим образом.

Модель - это искусственный объект или система, обладающая основ-

ными свойствами, присущими исследуемому объекту или системе, но более

доступная или удобная для исследования.

Это определение отражает традиционное представление о модели, как

инструменте исследования, имеющем, как правило, иную физическую пр и-

роду по сравнению с объектом моделирования. Так модель летательного

аппарата может быть получена в виде системы уравнений, модель погоды - в

виде программы для ЦВМ, модель следящего привода - в виде схемы набора

на АВМ, модель корабля - в виде чертежей или макета из дерева. Однако с

точки зрения современной теории систем "искусственность" модели не сле-

дует трактовать буквально. Поэтому более точным и полезным для практики

представляется определение, принятое в философии [27]:

Модель - это способ существования знаний.

Таким образом, "модель" - чрезвычайно широкое понятие, охватываю-

щее огромный набор материальных и интеллектуальных объектов. Так на-

пример, уравнение закона упругости является моделью процессов взаимо-

действия молекул и атомов деформируемого тела, данное учебное пособие

представляет собой модель теории моделирования, а конспект лекций - ока-

жется моделью курса "Моделирование систем управления". Испытания ре-

альной системы в реальных условиях, строго говоря, являются процессом

моделирования будущей работы системы в широком диапазоне условий

эксплуатации.

На всех этапах создания систем управления используются разнообраз-

ные по форме и сложности модели, соответствующие широкому перечню

решаемых задач.

На ранних стадиях проектирования при решении задач определения со-

става и структуры системы, прогнозирования ее эксплуатационных характе-

ристик и значений показателей эффективности используются преимущест-

венно математические модели. Техническое задание на создаваемую систе-

му является моделью согласованного между разработчиком и заказчиком

облика системы.

Далее на различных этапах проектирования используются модели в виде

расчетных схем, чертежей, макетов и др.

После изготовления опытного образца появляется возможность провер-

ки работоспособности системы, соответствия ее реальных характеристик

расчетным, уточнения использованных математических моделей и оценок

показателей качества системы. Вообще задача оценки показателей качества

системы чаще всего требует совместного использования нескольких моделей

- от натурных до математических - и согласованной обработки получаемых

результатов.

Таким образом, любой процесс проектирования или исследования сис-

темы управления основан на применении моделей. При этом качество полу-

чаемых результатов определяется степенью соответствия между оригиналом

и моделью с учетом цели исследования и условий работы исследуемой сис-

темы. Однако универсальных, однозначных правил построения моделей не

существует. Выбор модели всегда является некоторым компромиссом, при-

чем субъективный фактор играет здесь существенную роль.

Остановимся подробнее на основных особенностях реальных условий

функционирования систем управления, определяющих сложность и неодно-

значность проблемы построения моделей.

Вполне очевидно, что любую реальную систему нельзя считать изоли-

рованной, не подверженной влиянию внешней среды. Взаимодействие с

внешней средой вызывает отклонения в поведении и характеристиках систе-

мы.

Из теории управления известна удобная форма описания влияния

внешней среды на систему - некоторый набор возмущающих воздействий.

Однако в ряде случаев использовать такой прием не удается. Например, если

необходимо учесть влияние внешней среды на параметры элементов систе-

мы или "технологический разброс" значений конструктивных параметров,

неизбежный при изготовлении реальных элементов. В таких случаях прихо-

дится решать вопрос о выборе новой математической схемы описания сис-

темы.

Влияние внешней среды на функционирование системы не является од-

носторонним. Иногда вследствие работы системы или даже самого ее суще-

ствования существенно изменяются характеристики внешней среды и соот-

ветственно ее воздействие на систему. Возникает замкнутый цикл взаимодей-

ствия по принципу обратной связи. В полной мере учесть этот эффект удает-

ся при условии существенного расширения модели системы за счет допо л-

нения ее элементами внешней среды.

Разнообразие реальных условий применения системы определяет не-

возможность получения каких-либо всеобъемлющих показателей ее качества.

Предусмотреть все варианты условий применения системы и учесть их при

проектировании, как правило, не удается. Разнообразие внешней среды, в

свою очередь, проявляется в различных формах.

Нестационарность, то есть изменение характеристик условий приме-

нения системы с течением времени, прежде всего, может проявляться как

существенная нестационарность параметров внешних воздействий. Это об-

стоятельство учитывается при построении модели за счет выбора соответст-

вующего математического аппарата.

С другой стороны, может иметь место существенное изменение усло-

вий применения системы, вызываемое естественными (общий технический

прогресс, изменение природных условий) или искусственными (совершенст-

вование взаимодействующих с исследуемой или противодействующих ей

систем) причинами. Вследствие этого по истечении некоторого периода

времени в процессе эксплуатации системы значения ее показателей качества

изменяются. Этот эффект чаще всего проявляется в смысле ухудшения пока-

зателей качества системы и обозначается термином "моральное старение".

Безусловно, наиболее важной особенностью реальных условий является

их случайность, или стохастичность. Стохастический подход приходится

использовать практически во всех моделях систем, учитывающих реальные

условия применения.

Свойство случайности состоит в том, что значения некоторых парамет-

ров самой системы или внешней среды или характер их изменения для кон-

кретного опыта или конкретного момента времени непредсказуемы. Однако

в условиях многократного повторения таких опытов или на продолжительном

интервале времени проявляется некоторая закономерность. Эта закономер-

ность может быть определена (аналитическими преобразованиями, обработ-

кой статистических данных или на основе экспертных оценок) и формализо-

вана в виде закона распределения или набора средних статистических харак-

теристик.

Стохастические модели позволяют получать усредненные значения по-

казателей качества системы. При дальнейшем использовании таких показате-

лей необходимо иметь в виду, что их значения и достоверность зависят не

только от корректности модели системы, но и от учтенных в процессе моде-

лирования сведений о статистических характеристиках случайных парамет-

ров. Кроме того, даже достоверные средние значения показателей качества

могут существенно отличаться от истинных значений этих показателей в кон-

кретной ситуации применения системы.

Наиболее серьезные проблемы при построении модели и планировании

программы исследований возникают в случае необходимости учета неопре-

деленности условий применения системы. Это наиболее общий случай от-

сутствия сведений о их характеристиках, когда неизвестны не только конкрет-

ные значения, но и какие-либо закономерности, средние значения или зако-

ны распределения. В частных случаях могут быть установлены лишь диапа-

зоны возможных значений параметров внешней среды.

Проблема учета неопределенности решается различными способами, в

том числе путем перехода к детерминированной или стохастической модели,

в зависимости от особенностей задачи, для решения которой создается мо-

дель.

В заключение следует отметить, что для любой системы реальные усло-

вия применения характеризуются всей совокупностью перечисленных

свойств. Вопрос о необходимости учета той или иной особенности внешней

среды должен решаться индивидуально с учетом цели моделирования, тр е-

бований к точности и достоверности результатов, располагаемых средств.

1.2. Основные свойства и характеристики моделей

При всем разнообразии форм и независимо от степени сложности мо-

дели подчиняются единым закономерностям, то есть обладают свойством

универсальности. Для любой системы может быть получен широкий набор

моделей - от словесного описания или математических моделей различной

сложности до натурного воспроизведения ее работы. В общем случае все

они равноценны. Выбор модели с абстрактных позиций, без учета конкрет-

ной цели исследования не имеет смысла.

Конечность, ограниченность средств познания обуславливают конеч-

ность моделей. Помимо этого, конечность моделей определяется ограни-

ченностью времени и материальных ресурсов, выделяемых на проведение

исследований.

Свойство упрощенности является, с одной стороны, следствием конеч-

ности моделей. Но с другой стороны, это свойство обеспечивается искусст-

венно. Построить идеальную, абсолютно точную и универсальную, дающую

однозначный результат в разнообразных ситуациях, модель невозможно.

Любое усложнение модели в целях более точного и подробного описания

системы приводит к повышению трудоемкости и стоимости исследований. В

условиях ограниченности времени и ресурсов усложнение модели вызывает

сокращение объема исследований. В первом приближении можно рассмат-

ривать следующую зависимость между степенью сложности модели и

практической ценностью результатов моделирования с ее использованием

(рис. 1).

При определенном уровне

сложности модели диапазон анали-

зируемых условий применения

системы начинает сокращаться.

Результаты моделирования точны,

но практическая ценность их не-

значительна. Более сложная модель

может оказаться уже бесполезной

или ее можно будет использовать

лишь в сочетании с искусственно

упрощенной моделью.

Свойство приближенности, в

отличие от двух предыдущих, означает не качественное, а количественное

отличие модели от оригинала. Оно может быть связано с погрешностями

применяемых оценок параметров системы и внешней среды. Для статисти-

ческих моделей наличие такого свойства неизбежно, так как идеально точный

результат для них может быть получен только при бесконечном числе опы-

тов. Приближенность может также вноситься в модель искусственно по рас-

смотренным выше причинам.

Итак, любая модель дает упрощенное и приближенное представление об

оригинале. Это обусловлено общей целью создания моделей - упростить,

удешевить, ускорить получение результатов исследования, сделать более

ясными наиболее важные закономерности исследуемого процесса, пренеб-

регая несущественными деталями.

Адекватность модели - это соответствие ее цели исследования. Адек-

ватность модели обеспечивается выбором определенного уровня упрощен-

ности и приближенности. Модель адекватна, если она отражает те свойства и

особенности системы, которые существенны с точки зрения задач, р ешае-

мых в рамках конкретного исследования, и влияние на них характеристик

условий применения системы. Учет в модели каких-либо иных особенностей

системы, если он приводит к ее усложнению, нежелателен.

Адекватная модель может неправильно отражать ряд особенностей сис-

темы, несущественных с точки зрения цели моделирования. Так при расчете

траекторий космических аппаратов начало координат чаще всего совмещают

с центром Земли, то есть используют геоцентрическую модель Солнечной

системы Аристотеля, недостоверность которой доказана сотни лет назад.

Однако использование здесь истинной, гелиоцентрической, м одели не дало

бы никакого эффекта, кроме усложнения расчетов.

Качество моделей принято оценивать с помощью характеристик, или

показателей, ее точности, достоверности и адекватности.

Точность - это характеристика модели, выражаемая количественной

мерой погрешности результата моделирования по отношению к идеально

точному для данной модели. Идеально точным считается результат, который

мог бы быть получен в условиях конечности и упрощенности м одели при

устранении ее приближенности.

Достоверность - это характеристика модели, выражаемая количествен-

ной мерой соответствия идеально точного для данной модели результата

истинному, то есть присущему исследуемой реальной системе.

В качестве примера рассмотрим задачу оценки точности доставки по-

лезного груза в заданную точку автоматическим летательным аппаратом.

Вследствие воздействия ветра, неоднородности атмосферы, технологического

разброса параметров летательного аппарата и ряда других причин отклоне-

ние  достигаемой точки от требуемой оказывается случайным. В качества

показателя точности системы рассматривается среднее значение отклонения



ср

. Задача определения 

ср

может решаться статистическим математиче-

ским моделированием или путем натурных испытаний, причем идеальная

точность в обоих случаях может быть достигнута при бесконечном количест-

ве опытов.

После проведения N опытов на математической модели определим 

ср

как среднее арифметическое полученных отклонений. Погрешность  ре-

зультата может быть оценена как

 =

ср.ид



ср

,

где 

ср

- результат, полученный на основе N опытов; 

ср.ид

- идеально точ-

ный для данной модели результат, соответствующий достаточно большому

(теоретически - бесконечному) количеству опытов.

Величина  является характеристикой точности математической модели.

Если предположить, что путем натурных испытаний с полным воспро-

изведением реальных условий работы системы удалось получить истинное

значение показателя точности системы 

ср.ист

, то можно определить характе-

ристику достоверности математической модели:

=

ср.ист



ср.ид

. (1.1)

Реально возможно проведение ограниченного количества натурных ис-

пытаний N

, причем будет обеспечена точность натурного эксперимента,

характеризуемая погрешностью

 '=

ср.ист



ср.р

,

где 

ср.р

- результат, соответствующий N

опытам; 

ср.ист

- идеально точный

результат натурных испытаний.

Отметим, что при правильной организации статистического экспери-

мента зависимость его погрешности от количества опытов  = (N) оказыва-

ется монотонно убывающей. Сопоставляя трудоемкость математического

моделирования и натурного эксперимента, естественно предположить, что

<N,  '> и может оказаться  '>.

Рассмотренный пример показывает, что прямая оценка достоверности

модели с помощью показателей типа (1.1), как правило, невозможна. Для

оценки достоверности приходится использовать косвенные методы и вероят-

ностный подход.

Адекватность - это количественная характеристика соответствия моде-

ли цели исследования. Для оценки адекватности используются комплексные

показатели, которые могут учитывать точность, достоверность, стоимость,

диапазоны анализируемых условий применения и др.

1.3. Особенности моделирования и испытаний сложных систем

Перечислим основные особенности, которые принято рассматривать

как признаки, определяющие понятие сложной системы:

1. Целенаправленность - в процессе работы система должна обеспечить

достижение одной или нескольких целей путем одновременного или после-

довательного выполнения ряда частных задач.

2. Наличие управления или определенной организации средств системы,

направленных на достижение целей функционирования.

3. Структурированность - сложная система является набором элемен-

тов, каждый из которых, в свою очередь, может рассматриваться как сам о-

стоятельная система с собственной целью функционирования.

4. Иерархическая структура - набор элементов, составляющих систему,

подчинен определенной иерархии (например, рис. 2).

Выделим два основных вида отношений между составными частями

сложной системы, определяющих ее иерархическую структуру:

- отношения управления, или подчинения, показанные на рис. 2 сплош-

ными линиями;

- отношения взаимодействия, или обмена информацией, выделенные на

рис. 2 пунктирными линиями.

5. Целостность - возможность выделения системы из внешней среды и

описания взаимодействия с последней с помощью определенного набора

входных и выходных сигналов.

Перечисленные особенности вместе с указанными выше характер исти-

ками реальных условий применения системы определяют ряд проблем, ко-

торые приходится учитывать при разработке моделей сложных систем.

1. В силу сложности объекта моделирования модель системы обычно

строится таким образом, чтобы обеспечивалась возможность самостоятель-

ного исследования ее отдельных частей. Благодаря этому с минимальной

трудоемкостью может быть проведен сравнительный анализ различных ва-

риантов построения отдельных подсистем и элементов.

2. “Самостоятельность” исследования отдельных частей системы являет-

ся относительной. Необходим учет влияния на работу отдельной исследуе-

мой подсистемы или элемента других составных частей сложной системы в

соответствии с ее иерархической структурой, а также внешней среды.

3. Всякая система может рассматриваться как подсистема некоторой

системы более высокого уровня, объединяющей данную систему и взаим о-

действующие с ней элементы внешней среды (естественные факторы и дру-

гие системы, взаимодействующие с исследуемой). Для наиболее полного и

точного учета особенностей взаимодействия исследуемой системы с внеш-

ней средой иногда приходится включать в модель в качестве самостоятельных