Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

7. ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

Если в цепи оказываются нелинейные элементы, то и при синусои-

дальном воздействии их реакция будет несинусоидальной с тем же пе-

риодом. В ряде областей науки и техники (автоматика, радиотехника,

телевидение и др.) просто необходимо использование несинусоидаль-

ных периодических сигналов для работы применяемых там устройств.

Поэтому нужно уметь рассчитывать подобные режимы работы

Расчет включает в себя три этапа.

Разложение несинусоидальных ЭДС или токов источников в

ряд Фурье.

2. Применение принципа наложения и расчет постоянных и гар-

монических составляющих искомых токов и напряжений.

3. Определение мгновенных или действующих значений иско-

мых величин.

Рассмотрим подробнее каждый из этапов.

7.1. Разложение несинусоидальных периодических

функций в ряд Фурье

Из курса математики известна формула разложения в ряд Фурье

функции времени f(t) с периодом Т (рис. 7.1):

    

sin cos ,

tA B ktС kt











 







где ;();

ftdt









()cos( ) .

С ft k tdt







В теоретической электротехнике принято использовать иную фор-

му записи:



sin ,

km k

ft A A kt



 



()sin( ) ;

ft k tdt









причем ()sin( ) ; ()cos

km km

BfkdCfkd









и для сокращения записи введено обозначение







Здесь



постоянная составляющая,





sin









первая (основ-

ная) гармоника, ее период





 равен периоду самой функции. Все осталь-

ные гармоники называются высшими. Так,

sin( )

km k









гармоническая

составляющая k-го порядка, (k-я гармоника), чей период





 Каж-

дой гармонике может быть сопоставлена ее комплексная амплитуда:

km km km km

AAe B C







В реальных условиях приходится иметь дело не с аналитическими

функциями, а с осциллограммами токов и напряжений. В этом случае

применяется приближенное разложение кривых в ряд Фурье с конеч-

ным числом членов, коэффициенты которых определяются по извест-

ным ординатам функций, соответствующим равноотстоящим точкам на

оси абсцисс (рис. 7.2).

Здесь





  интервал между соседними точками деления, чис-

ло которых n (обычно четное).

Приближенное вычисление интегралов (например, по методу тра-

пеций) приводит к следующим формулам:

()sin( ); ()cos( );

km s s km s s

BfkCfk









где ( ) ; ; arctg ,

km km km k

AfdABC



 







(),где 2.

Af s























При этом можно определить лишь n неизвестных коэффициентов,

поэтому разложение в ряд Фурье может иметь постоянную составляю-

щую и не более

гармоник:

() sin( ).

km k

fA Ak







 



При четном n последняя гармоника (с номером

2)n

содержит

лишь косинусную составляющую, чья амплитуда определяется по фор-

муле с вдвое меньшим коэффициентом перед суммой, чем остальные.

При нечетном – верхний предел суммы равен

(1)2.n



7.2. Частные случаи разложения

Функция, симметричная относительно оси абсцисс,

1,3,5...

( ) ( ) sin( )

km k

ff Ak



 



   



содержит только нечетные гармоники (рис. 7.3).

Функция, симметричная относительно оси ординат (четная),

() ( ) cos( )

fACk





 



содержит только косинусные составляющие (без начальных фаз). При-

мер на рис. 7.4.

Функция, симметричная относительно начала координат (нечетная),

содержит только синусные составляющие (без начальных фаз). Пример

на рис. 7.5. Эти свойства функций легко доказываются при анализе фор-

() ( ) sin( )

fBk





  



мул разложения в ряд Фурье с учетом их особенностей. Разумеется, что

для определения коэффициентов разложения в этих случаях достаточно

учесть равноотстоящие ординаты функций на одной половине периода.

















7.3. Действующие и средние значения

несинусоидальных величин

Пусть известно разложение некоторого тока в ряд Фурье:





sin( ).

kkm k

iIiII k





  



Найдем его действующее (среднеквадратичное) значение

() .











Подставив

()i



в формулу для I и раскрыв скобки в выражении

квадрата суммы, легко убедимся, что интегралы от всех слагаемых, со-

держащих произведения разных гармоник, обращаются в нуль. Дей-

ствительно,







 

22sin sin

cos cos ,

kn k n

kn kn

ii k n

kn kn

 

   

 

     



 



 

поэтому интеграл от такого произведения за период 2



есть интеграл от

гармонических функций за целое число периодов

()и (),kn kn





который равен нулю. В свою очередь,

22 2 2

, а

222

dI id I











квадрат действующего значения k-й гармоники. Поэтому

Действующее значение не зависит от начальных фаз гармоник. Его

можно измерить приборами электромагнитной и электродинамической

систем (а действующее значение напряжения – еще и электростатиче-

скими вольтметрами).

222

II I I 



Среднее за период значение тока равно постоянной составляющей

в разложении

()











и может быть измерено приборами маг-

нитоэлектрической системы.

Среднее по модулю значение тока

|( )|











измеряется

магнитоэлектрическими приборами с выпрямителем.

7.4. Волновые диаграммы и частотные спектры

При построении гармонических составляющих в функции времени

(или





 ) следует иметь в виду, что период k-й гармоники в k раз

меньше периода основной. Во столько же раз уменьшится на графике и

отрезок, соответствующий ее начальной фазе



Суммируя ординаты

постоянной и гармонических составляющих при одной абсциссе, полу-

чим значение исходной несинусоидальной функции в данный момент

времени. В качестве примера на рис. 7.6 построена функция













1 3sin / 6 2sin 3 / 2 A,i



 

   

и ее составляющие.

Совокупность комплексных амплитуд



всех гармоник данной

функции можно рассматривать как ее дискретный спектр. На графике

он может быть представлен в виде линейчатых амплитудно- и фазоча-

стотных спектров, которые показывают зависимость амплитуд гармо-

ник

их начальных фаз



от номеров гармоник или их частот k



















На рис. 7.7 построены спектры функции, волновая диаграмма кото-

рой показана на рис. 7.6.

7.5. Коэффициенты, характеризующие форму

несинусоидальных кривых

Наиболее часто употребляются следующие коэффициенты:

коэффициент амплитуды

равный отношению наибольшего

значения функции к ее действующему значению,

макс

;



коэффициент формы



равный отношению действующего зна-

чения функции к среднему по модулю,

СР

;





коэффициент искажения

равный отношению действующего

значения высших гармоник к действующему значению самой функции,

;



коэффициент гармоник

равный отношению действующего

значения высших гармоник к действующему значению основной,



В табл. 7.1 приведены значения этих коэффициентов для постоян-

ного и синусоидального токов.

Таблица 7.1

промышленной сети напряжение несколько отличается от сину-

соидального. В стандарте вводят понятие практически синусоидального

напряжения, у которого коэффициент искажения не должен превы-

шать 5 %.

Коэффициент

(формула)

Ток

постоянный синусоидальный

АМАКС

kI I



СР

kII





1,11





2,3...





0 0





...3,2

– 0

7.6. Мощность в цепи несинусоидального тока

Пусть ток и напряжение на входе пассивного двухполюсника неси-

нусоидальны:

iI i uU u







Тогда мгновенная мощность

()( ).

ui I i U u



  



Очевидно,

Pp



где

000

,PUI





iup



, за счет наличия

в левой части неравенства произведений величин с разными индексами.

Активная мощность – это среднее значение мгновенной мощности

за период основной гармоники:

Ppd











Подставляя сюда

pui

и перемножая суммы почленно, легко

убедимся, что интегралы от произведений, содержащих разные гармо-

ники тока и напряжения, обращаются в нуль (как интегралы от гармо-

нических функций за целое число периодов). Остаются слагаемые вида

00 00 0

и cos .

kk k k k k

UId UI P uid P UI









 



Поэтому

000

cos ,

kkkknn

PP P UI UI IR



   

 

где k – номер гармоники, а n – номер сопротивления. Так что активная

мощность в цепи с источниками несинусоидальных токов и напряжений

равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

По аналогии может быть записана и формула для вычисления реак-

тивной мощности:

sin ,

kkkk

QQ UI







причем понятно, что

существовать не может.

Полная мощность S по определению является произведением

действующих значений тока и напряжения:

2222

SUI U U I I   



Очевидно,

222

.SPQ

Коэффициент мощности

cos .PS







Если исследователя интересует лишь энергетическая сторона

процесса, а не гармонический состав тока и напряжения, то реальные

несинусоидальные кривые заменяются эквивалентными синусоидами с

тем же периодом T, теми же действующими значениями тока I и

напряжения U и таким углом сдвига фаз

arccos ,







который

обеспечил бы ту же самую активную мощность Р.

7.7. Расчет цепей с источниками периодических

несинусоидальных токов и напряжений

Пусть известно разложение в ряд Фурье ЭДС и задающих токов источ-

ников, иными словами, первый этап расчета выполнен. Обычно ряд ограни-

чивают несколькими гармониками, максимальными по амплитуде. В этом

случае каждую из ЭДС можно рассматривать как последовательное соеди-

нение нескольких источников напряжения разной частоты (рис. 7.8, а).

А каждый задающий ток можно

представить на схеме в виде параллельного

соединения нескольких источников тока различной частоты (рис. 7.8, б).

Затем на втором этапе применяется принцип наложения (цепь ли-

нейная) и определяются постоянная и гармонические составляющие ис-

комой величины. Разумеется, в подсхеме для постоянной составляющей

индуктивность заменяется закороткой, а конденсатор отключается (раз-

рыв ветви). Расчет гармонических

составляющих ведется комплексным

методом. При этом в комплексную схему для k-й гармоники вместо ин-

дуктивности L включается комплексное сопротивление j



kL, а вместо

емкости C – комплексное сопротивление (j



kC)

–1

На третьем этапе мгновенные составляющие искомой величины

суммируются для нахождения ее мгновенного значения или вычисляет-

ся ее действующее значение (в зависимости от условия задачи).

Пример 7.1 (рис.7.9)

30 Ом;10мГн;

80 мГн; 140 мкФ;

( ) 30 72 2 sin(300 )

54 2 sin 900 В.

Дано

L С

et t





 









Рис. 7.9

e(t)

i(t)

Найти: i, P, S.

Решение

Расчет ведем методом наложения.

В схеме для постоянной составляющей (рис. 7.10) индуктивности

замкнуты накоротко, а конденсатор отключен. Тогда

00000

1 А;30Вт.

IPUIIR

 

Гармонические составляющие тока (комплексная схема замещения

для k-й гармоники показана на рис. 7.11) рассчитываются по формулам:

/; j ;

kk Lk

kk LCk

IEZ Z RX Z



j(j)

;; ;,

Lk Ck

LCk

Ck L k Lk

Lk Ck

Х XkLXkL

XX kC









где

300рад с.





Результаты расчета сведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2



0Lk

Эk



В Ом Ом Ом Ом Ом А Вт

1 72 3 24 24



0 0

3 j54 9 72 8 -j9 30 j1,8 97,2

Таким образом,

013

1 1,8 2 sin(900 ) A;

ii i i t



 

222 2 2

01 3

11,8 2,06A;IIII

222 2 2 2

01 3

30 72 54 95 B;E EEE 

2,06 30 127,2 Вт.PIR 

Нетрудно увидеть, что

013

30 97, 2 127,2 Вт.PP P P



  

95 2,06 196 В A.SEI  

100

7.8. Влияние характера цепи на форму кривых токов и напряжений

Пусть несинусоидальное напряжение

() sin( )

km k

ut U k











приложено к активному сопротивлению R (рис. 7.12, а). Наличие посто-

янной составляющей

не изменяет форму кривой, а лишь смещает

эту кривую вверх или вниз относительно оси абсцисс.

Тогда в этом сопротивлении протекает ток

()

() sin( ),

km k

it I k



 



где по закону Ома



Очевидно, кривые i(t) и u(t) подобны. Если же масштаб тока связать

с масштабом напряжения соотношением



то графики ампли-

тудно-частотных спектров тока и напряжения будут совершенно одина-

ковы (рис. 7.12, б).

Если то же самое напряжение подать на индуктивность L

(рис. 7.13, а), то

()

() sin ,

km k

utdt

it I k







 









где

;

I 

;

Lk L

XkLkX









Если

m 

то при равенстве отрезков, изображающих

на графиках амплитудно-частотных спектров, отрезок

(рис. 7.13, б) будет вдвое короче отрезка

(рис. 7.12, б), а

втрое

короче

. Поэтому кривая тока в катушке i(t) окажется больше по-

хожей на синусоиду, чем кривая u(t). Говорят, что индуктивность сгла-

живает кривую тока по сравнению с кривой напряжения. Заметим, что

по катушке может протекать постоянный ток

, если в остальной части

цепи есть источники этого тока.

Подключим, наконец, к тому же источнику напряжения конденса-

тор С (рис. 7.14, а). Тогда ток в нем