Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

151

Покажем, что ток



пассив-

ного четырехполюсника (рис. 9.15)

можно выразить через сопротив-

ление нагрузки

таким обра-

зом, что получится формула,

представляющая собой уравне-

ние дуги окружности.

Из основных уравнений четырехполюсника в форме А следует:

122 H 2

(),гдеICU DI CZ DI 

  

1X 2X 1K 2K 2 2

/, /, ,CI U DI I U IZ 

  

то есть

1X 1K

2X 2K













Кроме того, если по отношению к зажимам сопротивления

че-

тырехполюсник вместе с источником



рассматривать как активный

двухполюсник и заменить его эквивалентным генератором, то окажется

XX 2X 2K

Г XX 2X 2

Г 2К

КЗ 2К

H2K

,,.

UU I

EU U Z Z I

II ZZ

   



 

  



Поэтому формулу входного тока четырехполюсника можно пере-

писать так:

1К

2K 2K

IZ I

















21K1X

1X 1K 1X 1X 1X

2K H 2K

III

IIIII

IZ ZZ



















Таким образом, если действующее значение напряжения на входе

четырехполюсника не меняется

( const)U 



и неизменным остается ха-

рактер нагрузки

const





, то при изменении величины сопротивления

нагрузки

zZ

в пределах от 0 до  входной ток определяется вы-

ражением

H2K)

1К 1Х

11Х











Очевидно, второе слагаемое данного соотношения – это уравнение

дуги окружности с хордой

1К 1Х

I



эта дуга и есть круговая диаграм-

ма четырехполюсника (рис. 9.16).

152

Рис. 9.16



1Х

1К



9.10.1. Порядок построения круговой диаграммы

Известны напряжение на входе четырехполюсника



, схема со-

единения входящих в него элементов и их параметры (или коэффициен-

ты четырехполюсника в форме

А). Предварительно следует определить

значения входного тока при прямом включении в режимах холостого

хода

1Х



и короткого замыкания

1К



и сопротивление обратного корот-

кого замыкания

. Это можно сделать, решив основные уравнения

четырехполюсника или рассчитав заданную схему. Возможно и экспе-

риментальное определение этих величин. Кроме того, должен быть из-

вестен аргумент комплексного сопротивления нагрузки



Затем нуж-

но выполнить следующие операции.

Выбрать масштаб входного напряжения

и на комплексной плоско-

сти из начала координат отложить вектор



На рис. 9.16 принято

.UU



Выбрать масштаб входного тока

и в этом масштабе из начала

координат провести векторы токов

1Х 1К

и .



На рис. 9.16 предпола-

гается, что в режиме холостого хода четырехполюсник представляет со-

бой активно-емкостную нагрузку для источника, а в режиме короткого

замыкания активно-индуктивную, поэтому

1К



отстает от напряжения

11Х

, аUI



опережает это напряжение.

Соединить прямой точки X и K, ограничивающие отрезок XK –

хорду окружности.

153

Выбрать масштаб сопротивлений

и вдоль хорды XK отложить

отрезок



Провести из точки A линию переменного параметра под углом

2КН







к хорде XK (на рис. 9.16 принято





поэтому угол от-

кладывается против часовой стрелки).

Найти центр окружности C, лежащий на пересечении перпендику-

ляров, проведенных к середине хорды XK

()

DXK



и из точки X к ли-

нии переменного параметра или ее продолжению

().XE AN





На

рис. 9.16 они показаны пунктиром.

Между точками XK со стороны линии переменного параметра ра-

диусом СX построить дугу окружности – это и есть круговая диаграмма.

9.10.2. Определение положения рабочей точки на

круговой диаграмме

Если отложить вдоль линии переменного параметра отрезок NA,

соответствующий конкретной величине сопротивления

в масшта-

бе

, и соединить точки Х и N, то на пересечении отрезка ХN с дугой

окружности окажется точка М, характеризующая рабочий режим.

9.10.3. Определение токов, напряжений и мощностей

на входе и выходе четырехполюсника

Вектор



, проведенный в рабочую точку М из начала координат,

определяет входной ток четырехполюсника



в масштабе

Непосредственно по круговой диаграмме можно определить и дру-

гие величины, характеризующие работу четырехполюсника в данном

режиме. Покажем, как это сделать (без вывода формул).

Отрезки XA и AK пропорциональны соответственно току

напряжению

Масштабы

удобно определять из опы-

тов короткого замыкания и холостого хода:

2К 2X



Отрезки OP и PM пропорциональны

иPQ

соответственно

PU



масштаб мощности

mUm



Если же провести

HAN

до пересечения с хордой ХК, то отрезок MH будет изображать полную

мощность

на выходе четырехполюсника в том же масштабе



154

9.11. Электрические фильтры

9.11.1. Основные понятия и определения

Электрическим фильтром называется пассивный четырехполюс-

ник, пропускающий к приемнику сигналы в определенном диапазоне

частот, причем вне этого диапазона затухание весьма велико. Полоса

частот, для которых затухание мало, называется областью пропускания

(зоной прозрачности). Все остальные частоты составляют область за-

тухания (диапазон задерживания).

Электрические фильтры классифицируются по различным призна-

кам:

по области

пропускания – низкочастотные (фильтры нижних ча-

стот), высокочастотные (фильтры верхних частот), полосные (полосо-

вые), заграждающие (режекторные);

по схемам звеньев – Г, Т, П, мостовые; однозвенные и многозвен-

ные (для увеличения коэффициента затухания в диапазоне задержива-

ния);

по характеристикам – фильтры с постоянной k и с постоянной m;

по типам элементов – реактивные (состоящие из элементов

L и C),

безындукционные (состоящие из элементов R и C) и другие.

Ниже в качестве примера рассматриваются простейшие реактивные

фильтры с постоянной k, однозвенные, выполненные в виде симметрич-

ных Т- и П-схем, работающие в режиме согласованной нагрузки

(рис. 9.17).

Для таких фильтров в области пропускания отношение продольно-

го сопротивления к поперечной проводимости не зависит от частоты:



(9.6)

где постоянная

() constk





вещественное число. Величина k может

не зависеть от частоты лишь при различном характере реактивных эле-

ментов, включенных в продольные и поперечные ветви (знаки продоль-

ных сопротивлений и поперечных проводимостей – чисто мнимых –

одинаковы).

155

В этом случае коэффициенты четырехполюсников (см. п. 9.7)

T0П 0

1 и 1

ZY A Z Y 

оказываются вещественными числами.

Чтобы эти коэффициенты стали одинаковыми, должно быть

YZY

откуда с учетом (9.6) следует:

2 и 2.

ZYY



(9.7)

Учитывая, что

ch ch( j ) ch cos j sh sin Re ,

ab a b a b A      

можно записать:

,cosch ba





(9.8)

.si

sh0 ba





(9.9)

Уравнение (9.9) имеет два решения:

sh 0 (если 0, 0) и sin 0 (если ,0).aabbba

Первый случай соответствует полосе пропускания, второй – полосе

затухания. Поскольку в области пропускания

T П



причем это

величины вещественные (9.8), то и области пропускания для Т- и

П-схем одинаковы.

Таким образом, симметричные

Т- и П-схемы могут быть составле-

ны из двух одинаковых Г-схем

(рис. 9.18) с различным порядком

включения их в каскад. Через пара-

метры этих схем формулы для сим-

метричных четырехполюсников, по-

лученные

в разделе 9.6, можно пе-

реписать следующим образом:

T П

1, 1, /1,где .

AZYZkZYZ k ZY k

     

(9.10)

Характерно, что

YZkZZ

ПТ



, (9.11)

следовательно,

T П

в одном и том же диапазоне частот могут

быть либо оба активными, либо оба реактивными, причем разного ха-

рактера. Рассмотрим подробнее области пропускания и затухания филь-

тров с постоянной k.

Область пропускания. Из уравнения (9.9) следует:

.1ch,0,0sin  aab

Тогда из (9.8) с учетом (9.10) найдем

cos 1 .

bZY

Поэтому

arccos arccos(1 ).bA ZY





Но

1cos 1,b 

тогда

11 1,ZY 

значит





. (9.12)

156

При этом условии

T П

оказываются вещественными, то

есть представляют собой активные сопротивления.

Область затухания. Из уравнения (9.9) следует:

.1ch,0,0sh  aaa

Но



поскольку

0,ZY 

поэтому

cos 1,b 

тогда .b



 В этом случае из (9.8) с учетом (9.10) получим

ch 1 .

bZY  

Так что

Arch( ) Arch( 1 ).bA ZY



 

Но

1ch ,b

тогда

11 ,ZY  

следовательно,

1.ZY





(9.13)

Теперь

T П

становятся чисто мнимыми, причем первое

имеет тот же знак, что

а второе – противоположный. Иными

словами, это реактивные сопротивления разного характера:

имеет

тот же характер, что и

, а



тот же, что и

Замечание о зна-

ках справедливо и при определении знака b.

Условие (9.12) при известных зависимостях

() и ()ZY



позво-

ляет определить границы зоны прозрачности, называемые частотами

среза:







Остальные частоты составят область затуха-

ния (9.13). Рассмотрим фильтры различного назначения, используя

формулы (9.10–9.13).

9.11.2. Низкочастотный фильтр

Низкочастотный фильтр предназначен для пропускания нижних

частот, в том числе и частоты





Чтобы при этой частоте соглас-

но (9.12) выполнялось условие

0( 0, 0),ZY Z Y





должно быть

j, j ,

LY C





то есть Т- и П-схемы имеют вид, показанный на

рис. 9.19, а, б. Их можно рассматривать как каскадное соединение

Г-схем (рис. 9.19, в, г).

Для этих схем

,j,где .

kZY





  





Характерно, что k и



являются соответственно характеристиче-

ским сопротивлением и резонансной частотой для первой Г-схемы

(рис. 9.19, в) в режиме холостого хода, а

иk







характеристиче-

ской проводимостью и резонансной частотой для второй Г-схемы

(рис. 9.19, г) в режиме короткого замыкания.

157

Из формул (9.10) также следует:



00 0

T П

12 / , 1(j/ ), /1(j/ ).

AZkZk

  

    

Зона прозрачности.

Из (9.12) найдем диапазон





Часто-

ты среза:

120

0 и .







Характеристические сопротивления Т- и

П-схем активные. Коэффициент затухания а равен нулю. Коэффициент

фазы изменяется в пределах от 0 до



по закону arccos .bA



Область затухания.

Из (9.13) получим





Характеристиче-

ское сопротивление Т-схемы имеет индуктивный характер, П-схемы –

емкостный. Коэффициент фазы b равен



. Коэффициент затухания из-

меняется по закону

)Arch(





Соответствующие графики приведены на рис. 9.20. Из них видно,

что коэффициент затухания невелик вблизи





, то есть область

пропускания выделена нечетко. Характеристические сопротивления

обеих схем мало изменяются лишь при малых значениях



, причем они

практически равны k. Отсюда и название этой величины – номинальное

характеристическое сопротивление.

Если известны верхняя граница зоны прозрачности



и номи-

нальное сопротивление нагрузки

то из соотношений





kR 

легко найти параметры фильтра

00H





158



9.11.3. Высокочастотный фильтр

Высокочастотный фильтр (ВЧФ) предназначен для пропускания

верхних частот, в том числе и частоты





Чтобы при этой частоте

согласно (21.7) выполнялось условие

0( 0, 0),ZY Z Y





должно

быть





то есть Т- и П-схемы принимают вид, пока-

занный на рис. 9.21, а, б. Их можно рассматривать как каскадное соеди-

нение двух Г-схем (рис. 9.21, в, г). Последние собираются из тех же

элементов, что и Г-схемы низкочастотного фильтра (рис. 9.19, в, г), но

продольные и поперечные ветви меняются местами.

Из

формул (21.5) также следует:



00 0

T П

12 / , 1(j /), /1(j /).

AZkZk



 

    

159

Зона прозрачности. Из (9.12) найдем







Частоты среза:

10 2

и .







Характеристические сопротивления Т- и П-схем

активные. Коэффициент затухания а равен нулю. Коэффициент фазы

изменяется в пределах от –



до 0 по закону arccos .bA



Область затухания.

Из (9.13) получим





Характеристи-

ческое сопротивление Т-схемы имеет емкостный характер, П-схемы –

индуктивный. Коэффициент фазы b равен –



. Коэффициент затухания

изменяется по закону

Arch( ).aA

Соответствующие графики приведены на рис. 9.22.





Из них видно, что коэффициент затухания невелик вблизи



то есть область пропускания выделена нечетко. Характеристические со-

противления обеих схем мало изменяются лишь при больших значени-

ях



, причем оба они практически равны k.

По заданным значениям частоты среза



и номинального сопро-

тивления нагрузки

параметры ВЧФ находятся по тем же формулам,

что и параметры НЧФ.

9.11.4. Полосный фильтр

При каскадном соединении НЧФ с частотой среза



и ВЧФ с ча-

стотой среза



(причем

)





получим четырехполюсник, пропус-

кающий в нагрузку без затухания сигналы в диапазоне







Эту

160

же задачу выполняют специальные полосные фильтры (ПФ), которые

можно собрать по Т- или П-схеме из двух Г-схем, соединенных в каскад

(рис. 9.23, а, б).

В области пропускания этих фильтров

(0)a



лежит частота

при которой продольное сопротивление равно нулю

(0,Z 

резонанс

напряжений) и равна нулю поперечная проводимость

(0,Y 

резонанс

токов). При этой частоте коэффициенты фазы Т- или П-схемы равны

нулю (точнее, меняют знак с минуса на плюс), а характеристические со-

противления обеих схем одинаковы и равны номинальному характери-

стическому сопротивлению:

k 

Если обозначить

21 1 2

2/ /,mLL CC

то частоты среза опреде-

ляются выражениями:

10 20

1, 1,mm mm

  









так что





12 0 2 1 0 12

, а 2.mLC

    





Графики зависимостей

(), (), ()

abZ





в диапазоне





подобны тем же зависимостям ВЧФ с частотой среза



а в диапазоне





зависимостям НЧФ с частотой среза



9.11.5. Заграждающий фильтр

При параллельном соединении НЧФ с частотой среза



и ВЧФ с

частотой среза



(причем

)





получим четырехполюсник, про-

11 2 2

CLC



