Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Отсюда

qSES Cu

 



где







– емкость



Ф .

Энергия, запасенная в конденсаторе





Дж ,

qu Cu





Если напряжение меняется во времени, то за счет переориентации

диполей в диэлектрике между обкладками возникает ток смеще-

ния



i 

При постоянном напряжении, в установившемся режиме, ток через

конденсатор не протекает, а конденсатор заряжен.

Проводники содержат свободные заряды (электроны, ионы), кото-

рые под действием внешнего электрического поля могут перемещаться,

создавая ток проводимости. Его плотность [A/м

] определяется по за-

кону Ома в дифференциальной форме:









где



– удельная проводимость вещества









См м 1 Ом м .





Ток сквозь сечение проводника площадью S

()

ids











вызывает на участке длиной l падение напряжения

().

uEdl









Как и в электростатическом поле, при обходе замкнутого контура,

в котором отсутствуют внешние источники,

()0.

Edl













Принцип непрерывности электрического тока. Ток сквозь за-

мкнутую поверхность равен нулю:

()0.















Пример 1.2

По цилиндрическому проводнику

(рис. 1.2) длиной l и площадью попереч-

ного сечения S течет ток i.

Рис. 1.2

При низких частотах плотность тока практически одинакова во

всех точках его объема, поэтому





idsdsSES













тогда

() .

uEdlEli











Фактически это выражение представляет собой закон Ома:

,uRi





где





– электрическое сопротивление





Ом ;



электри-

ческая проводимость





См ;

ui iR



 

мощность





Вт .

1.2. Магнитное поле

Магнитное поле характеризуется в каждой точке пространства

вектором магнитной индукции





Тл ,

модуль которого





0

lim .

Взаимное направление векторов поясняется рис. 1.3, где показан

прямолинейный тонкий провод с током i в равномерном магнитном по-

ле. Это подчеркивает и закон Ампера для элемента проводника:

[],df i dlB



 



где направление





совпадает с направлением i.

Все вещества принято делить на ферромагнетики и неферромаг-

нетики по их магнитным свойствам, которые учитываются с помощью

вектора напряженности магнитного поля





A м :

H 





где

0ar







– абсолютная магнитная проницаемость



Гн м ;



–

относительная магнитная проницаемость вещества;

410 Гн м





 

магнитная постоянная.

Для неферромагнетиков





, для ферромагнетиков





и за-

висит от интенсивности поля (явление насыщения). Кроме того, ферро-

магнетикам свойственно и явление гистерезиса (рис. 1.4).

Рис. 1.3



Рис. 1.4

Магнитный поток [Вб] сквозь поверхность S равен:

().

ds









Принцип непрерывности магнитного потока. Магнитный поток

сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

()0.

Bds













По аналогии с электрическим полем вводится понятие магнитного

напряжения (разности скалярных магнитных потенциалов)





между

точками A и B:

МММ

().

АВ А В

uHdl









Закон полного тока. Циркуляция вектора напряженности маг-

нитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизыва-

ющему этот контур:

() .

Hdl i













Направление обхода контура связано с направлением тока прави-

лом правоходового винта («буравчика»), что иллюстрируется рис. 1.5.

Потокосцепление катушки





Вб

равно произведению числа

витков w на пронизывающий их поток

:





Закон электромагнитной индукции. Магнитный поток, пронизы-

вающий поверхность, ограниченную некоторым контуром, вызывает в

этом контуре электродвижущую силу (ЭДС), пропорциональную ско-

рости изменения потокосцепления:





Если эта ЭДС может вызвать в контуре ток, то он будет противо-

действовать изменению магнитного потока. Об этом и свидетельствует

знак «минус» в формуле (правило Ленца).

Пример 1.3

На ферромагнитном сердечнике тороидальной формы с площадью

сечения S и длиной средней линии l располагается обмотка с числом

витков w и током I (рис. 1.6).

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Магнитный поток в сердечнике распределен равномерно, так что

и () .

dS B S H S iw H dl H l



        



 





Отсюда

ww S Li

     



где







– индуктивность катушки [Гн].

Энергия, запасенная в катушке

[Дж],

iLi









При переменном потоке напряжение на зажимах катушки компен-

сирует возникающую в ней ЭДС самоиндукции:







Существует два подхода к исследованию электромагнитных про-

цессов –

теория поля и теория цепей.

Теория поля оперирует дифференциальными величинами, характе-

ризующими эти процессы в каждой точке пространства в каждый мо-

мент времени:

,, , ,,,.

dq dq

ED BH

dV ds



Теория цепей использует интегральные величины, характеризую-

щие состояние электротехнических устройств и их элементов:

,, , , ,, ,.

quui 

Большая часть нашего курса посвящена именно теории цепей.

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ

2.1. Основные понятия и определения

Электрической цепью называется совокупность устройств, предна-

значенных для получения, передачи, распределения и преобразования

электрической энергии и информации при наличии электрического то-

ка. Цепь состоит из

источников и приемников электрической энергии,

соединенных между собою проводниками.

В источниках различные виды энергии – механическая (пример –

электромагнитные генераторы), химическая (аккумуляторы), световая

(фотоэлементы), тепловая (термоэлементы) и т. д. – преобразуются в

электрическую.

В приемниках происходят обратные процессы – электрическая

энергия преобразуется в механическую (электродвигатели), химиче-

скую (электролиз), световую (электролампы), тепловую (электронагре-

ватели) и другие виды энергии.

Часть электрической

цепи, содержащая источники, называется ак-

тивной

(рис. 2.1, а), не содержащая – пассивной (рис. 2.1, б).

В зависимости от количества выводов (зажимов), которыми данная

часть цепи соединяется с остальными, ее называют

двухполюсником

(рис. 2.1, а), четырехполюсником (рис. 2.1, б) и т. д.

Рис. 2.1

а б

А П

Параметры, характеризующие отдельные элементы цепи (сопро-

тивление, индуктивность, емкость), которые упоминались выше, в ре-

альных условиях распределены по их длине.

Пример – обычный лабораторный реостат. Каждый его виток обла-

дает сопротивлением, а при протекании тока пронизывается магнитным

потоком, т. е. обладает также индуктивностью. Кроме того, соседние

витки можно рассматривать как обкладки

конденсатора небольшой ем-

кости. Так что фактически это

цепь с распределенными параметрами.

Цели исследования не всегда требуют выяснения подробностей распре-

деления напряжения и тока внутри того или иного элемента, тогда гово-

рят о

цепи с сосредоточенными параметрами.

Если эти параметры зависят от режима работы цепи, то она называ-

ется

нелинейной, если же остаются неизменными – то линейной.

В первой части курса рассматриваются

линейные электрические

цепи с сосредоточенными параметрами.

2.2. Схема замещения электрической цепи

Для упрощения исследования цепи ее заменяют схемой замещения,

которая служит расчетной моделью реальной цепи. Схема учитывает

последовательность соединения участков цепи и их свойства.

Каждый из элементов схемы отражает какую-либо одну сторону

исследуемого процесса. На рис. 2.2–2.4 показаны обозначения простей-

ших пассивных двухполюсников (

а) и их характеристики (б).

Двухполюсники в схеме соединяются между собой идеальными

(сверхпроводящими) проводниками, на которых стрелками указываются

направления токов. Принято считать, что ток в пассивном двухполюс-

нике течет от точки более высокого («плюс») к точке более низкого

(«минус») потенциала.

Сопротивление R (рис. 2.2) отражает в схеме потребление энергии

(например, рассеивание энергии в виде тепла резистором), а уравнение

вольтамперной характеристики (ВАХ) соответствует закону Ома:

utg iRi







Термином «сопротивление» называют также коэффициент про-

порциональности

Rtg





Здесь

соответственно мас-

штабы напряжения и тока.

Мощность этого элемента (скорость потребления энергии) опреде-

ляется по

закону Джоуля–Ленца:

Riiup 

Индуктивность L

(рис. 2.3) учитывает накопление энергии в маг-

нитном поле катушки:

iLi







Здесь

Ltg





 

коэффициент пропорциональности в

уравнении вебер-амперной характеристики (ВбАХ) катушки, а



соответственно масштабы потокосцепления и тока.

Связь напряжения и тока соответствует

закону электромагнитной

индукции

ddi

dt dt





Емкость С

(рис. 2.4) отражает накопление энергии в электриче-

ском поле конденсатора:









При этом величина

Ctg





представляет собой коэффици-

ент пропорциональности в уравнении кулон-вольтной характеристи-

ки

(КлВХ), а

и ,

соответственно, масштабы заряда и напряже-

ния.

Связь напряжения и тока смещения:



Схемы замещения реальных источников энергии содержат

идеаль-

ные источники напряжения и тока

Разность потенциалов на зажимах источника напряжения, называ-

емая

электродвижущей силой (ЭДС), не зависит от тока в нем. Внут-

реннее сопротивление источника напряжения равно нулю.

В свою очередь,

задающий ток источника тока не зависит от

напряжения на его зажимах. Внутреннее сопротивление источника тока

бесконечно велико

Обозначения идеальных источников показаны на рис. 2.5.

Рис. 2.5

а б

Стрелка источника ЭДС (рис. 2.5,

a) указывает точку более высоко-

го потенциала. Обычно предполагается, что источник вырабатывает

энергию. Поэтому ток внутри него течет от точки более низкого к точке

более высокого потенциала. При этом мощность источника равна:

iep





Двойная стрелка источника тока (рис. 2.5,

б) указывает направле-

ние этого тока. Полярность напряжения обычно также считают соответ-

ствующей тому случаю, когда источник вырабатывает энергию. Тогда и

у источника тока стрелка будет указывать точку более высокого потен-

циала, а его мощность определится как

.Jup





Если же полярности источников не будут соответствовать направ-

лению их токов, окажется, что источники потребляют энергию и их

мощности станут отрицательными.

На рис. 2.6 в качестве примера показана схема замещения некото-

рой электрической цепи, содержащая все вышеперечисленные двухпо-

люсники.

Участок схемы, по которому в любой момент времени течет один и

тот

же ток, называется ветвью. Принятое положительное направление

тока в ветви указывается стрелкой.

Место соединения нескольких ветвей называется

узлом (узлы обо-

значены буквами). Если в узле сходятся лишь две ветви, то его называ-

ют

устранимым (например, узел f ). Если два узла соединены провод-

ником без сопротивления, то их потенциалы одинаковы (например,

и ,aa

и ),bb

так что каждую пару можно считать одним

(«расщепленным») узлом и обозначать одной буквой

(a, b).

Замкнутый путь по ветвям схемы называется

контуром (например,

afbca). Замкнутый путь, не проходящий по ветвям, а пересекающий их,

называется

сечением

(, ).SS

Топологическая схема, содержащая все ветви и узлы схемы заме-

щения, но не отражающая характера ее элементов, называется

графом

(узлы изображаются точками, ветви – линиями). На рис. 2.7, а изобра-

жен граф схемы, которая показана на рис. 2.6. Ветвь с источником тока

в граф не входит, поскольку внутренняя проводимость этого источника

равна нулю.

Граф называется

направленным, если указаны направления его вет-

вей, обычно соответствующие направлениям токов. Для графа приме-

нимы понятия контура и сечения. Часть графа, содержащая все узлы,

соединенные между собой ветвями, не образующими ни одного конту-

ра, называется

деревом. Ветви, дополняющие дерево до графа, называ-

ют

хордами.

Легко доказать, что число ветвей дерева на единицу меньше числа

узлов:

ДУ

1.nn Тогда число хорд:

ХВДВУ

1.nnnnn





На рис. 2.7, б, в показаны некоторые из деревьев рассматриваемого

графа. Здесь



;

4n 

;

413n



;

6413n





Если окружить один из узлов схемы замкнутой поверхностью и за-

писать для нее уравнение принципа непрерывности электрического то-

ка, то его следствием будет

первый закон Кирхгофа.

В любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле равна

нулю (с одним знаком учитываются токи, отходящие от узла, с дру-

гим – подходящие к нему).

Так, для узла a схемы рис. 2.6 имеем:

145

()0,или 0.

ds i i i J













По первому закону Кирхгофа можно составить столько независи-

мых уравнений, сколько ветвей у дерева:

1 ДУ

1.nn n





Если вычислить циркуляцию вектора напряженности электриче-

ского поля по одному из контуров схемы, то в результате получится

второй закон Кирхгофа – следствие принципа сохранения энергии:

алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна алгеб-

раической сумме ЭДС того же контура

(со знаком «плюс» в левой ча-

сти учитываются падения напряжения на тех элементах, направление

тока в которых совпадает с направлением обхода контура, а в правой

части – ЭДС тех источников, чьи стрелки совпадают с направлением

обхода

Так, для контура

21 1

ca a fb dc

имеем:

162

0, откуда .

dl u u u u e











Если в контур попадает источник тока, то напряжение на его зажи-

мах записывается в правой части со знаком «плюс», когда его стрелка

совпадает с направлением обхода. Напомним, что полярность напряже-

ния источника соответствует рис. 2.5. Если составляется уравнение для

незамкнутого контура, то в правой части следует записать и напряжение

на разомкнутых

зажимах (разность их потенциалов), учитывая со зна-

ком «плюс» потенциал зажима, с которого начинается обход контура, и

со знаком «минус» потенциал зажима, на котором обход заканчивается.

Например,

6 dfJL

uuu











Отсюда

6 LJdffd

uuuu









