Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления

Подождите немного. Документ загружается.

ния решений в задаче (1)

—

(3) по методу Лебега—Тонелли

надо доказать возможность выделения минимизирующей после-

довательности {xft(t), u

(t)}, k-l, 2,..., и пары

ix*(t),

u*(t)},.

<t<ti, такой, что jc

(t){to}x*(t) равномерно на [t

, t{\ и

i*(O=/(x*00- и*(0. 0.

^f°(x*(t),

tt*(i),

t)dtKlun\f°(x

(t), u

(t), t)dt. (6>

Последнее свойство задачи

(1) —

(3) называется замкнутостью

снизу [89, 100]. Если множество X ограничено, то предкомпакт-

ность минимизирующей последовательности устанавливается с

помощью принципов выбора

Арцела—АСКОЛИ

и Хелли [И] при

выполнении следующего условия роста

[194]:

для любого

и любого положительного г найдется суммируемая на [t

, ti]

функция

q>(t,

r, p) такая, что

SMp[p'f(x, и, t)-f°{x, и, *)}<•?(*, г, р). (7>

\х\<г

Условие (7) обобщает условие Нагумо—Тонелли и другие ус-

ловия роста такого типа (см. [95, 98, 107, 108, 154, 155,

180]..

При переходе к задаче (4) условие (7) естественно интерпре-

тируется в терминах теории двойственности выпуклых функций

как условие всюду конечности (непрерывности) сопряженной к.

f° функции по х (см. [79°, 68, 204—206]).

Если множество л .неограниченно (в частности,

Rn),

то'

для доказательства предкомпактности минимизирующей после-

довательности допустимых пар необходимо найти условия огра-

ниченности множества траекторий (множества уровня функцио-

нала (4):

x(.)6C([^

. *-]):$/-(*(*), x(t), t)dt<a, *(t

)-*o )•

Такие условия указаны (без предположения о компактности

множества U) в работах [18, 79°, 68, 95, 194, 206].

А. Д. Иоффе [18] доказал предкомпактность минимизирующей

последовательности в задаче (4) при условиях совместного

роста функции f°(x,x, t) по х и убывания по х, которые

имеют следующий вид:

/o(x, х, t)>v(\x\)-ii(\x\) + r(t), (S>

где:

а)

ср

—неотрицательная выпуклая функция на [0, со) и

ср

(0)------0;

б) tj)—неотрицательная непрерывная и неубывающая

—

*i — 'о /

23».

—

t|>(X--f

X){to}

со при X{to}oo,

= max(|x

|> \

i\Y> Д)

(<0 сум-

мируема на [/

, t-]. Условия (8) обобщают основные из условий

•Олеха [194] и Чезари [95]. Другие условия ограниченности

были найдены в работах. Рокафеллара [204, 206] с по-

мощью перехода к выпуклой по (х, х) задаче (4).

Если для задачи (1)

—

(3) выполняются условия роста типа

(7),

(8), то существование решений вытекает из свойства (6)

(замкнутость снизу). Замкнутость снизу задачи (1) — (3) соот-

ветствует полунепрерывности снизу интегрального функционала

в (4) относительно равномерной сходимости траекторий. Мето-

ды доказательства этих утверждений и полученные здесь резуль-

таты аналогичны методам и результатам в проблеме полунеп-

рерывности классических интегральных функционалов (п. 2.3) и

проблеме замкнутости множества допустимых траекторий в за-

даче терминального управления (п. 3.2). Условия выпуклости

.функции f°(x, и, t) по и в (2.1) и выпуклости множества допу-

стимых скоростей в (3.1) заменяются в теоремах замкнутости

снизу условием выпуклости множества

Q(x, t)=[(q, q*):q = f(x, и, t), <7°>/°(x. «. t). K6U}, (9)

что соответствует выпуклости функции f°(x, x, t) no х в (4).

Подобные теоремы замкнутости снизу получены в работах

[29°,

47, 79, 95, 194]. J3 работах [89, 100] доказано, что

выпуклость множества Q(x, t) при некоторых дополнительных

предположениях не только достаточна, но и необходима для

замкнутости снизу задачи Лагранжа.

Таким образом, метод Лебега—Тонелли, основанный на при-

менении теоремы Вейерштрасса в функциональных пространст-

вах, позволяет доказать теоремы существования решений в за-

даче (I)-—(3) при условии выпуклости множества Q(x, t) и ус-

ловиях роста типа (7), (8). Основные из полученных в этом

.направлении теорем существования приведены в монографии

[79°].

Методы выпуклого анализа. В работах [203, 204] Ро-

кафеллар рассмотрел задачу минимизации функционала

I {х) =

х (ti)) +

L (x, x, t) dt

{to}

inf (10)

•в классе абсолютно непрерывных функций x(t), где функции

d(',-,t),

L(-,-,t) выпуклы, полунепрерывны снизу и могут

принимать значение +со. К задаче (10) с помощью замены (5)

•сводятся задачи типа (1)

—

(3) при выполнении, например, сле-

дующих условий: f(x, и, t)=A(t)x+B(t)u, f°(x, и, t) выпукла

по (х, и), множества X, U выпуклы и замкнуты. Задача (10)

допускает исчерпывающее исследование с помощью методов

выпуклого анализа (см. [20, 79°, 61], где приведены соответст-

•234

вующие определения и обозначения). Эти методы основаны на

теоремах отделимости выпуклых множеств и существенно ис-

пользуют локальный характер задач выпуклой минимизации.

Необходимое и достаточное условие существования минимума

полунепрерывной снизу выпуклой функции f(x), xQ R

, СОСТОИТ

в непустоте субдифференциала сопряженной функции в нуле:

df*(O)-#=0. Последнее СВОЙСТВО заведомо выполняется, если

Об ri(dom f*), где

domf*

—

{x*

f*(x*)

<со}, причем в этом случае

множества уровня {x:f(x)<ai неограничены лишь по тем на-

правлениям, по которым f(x) постоянна. Соотношение 0 6

6inf(dom/*) является необходимым и достаточным условием

ограниченности любого множества уровня. Аналогичные ут-

верждения справедливы и для бесконечномерных задач мини-

мизации выпуклых функционалов.

Предполагая выполненными условия роста типа (7) (без

дополнительных предположений об ограниченности множества

X),

P. T. Рокафеллар выразил критерии существования реше-

ний задачи (10) и ограниченности множеств уровня функцио-

нала 1(х) через параметры /, L. Полученные Рокафелла-

ром результаты по существу дают необходимые и достаточные

условия существования решений и ограниченности множеств

уровня в выпуклой задаче (10) при выполнении условия роста

типа (7). Условие существования состоит в требовании непусто-

ты пересечения некоторых множеств, которые построены по

параметрам задачи (10) и глубоко учитывают их взаимосвязь.

Это условие заведомо выполняется, если отрезок времени [to,

ti] достаточно мал

[206].

Таким образом, в выпуклой задаче

(10) всегда справедлива локальная теорема существования.

Развитию результатов Рокафеллара на невыпуклые вариа-

ционные задачи посвящена диссертация Кларка

[112].

Любую задачу Лагранжа (1)

—

(3) в форме (4) можно вло-

жить в выпуклую задачу типа (10), если функцию f°(x, x, t) в

(4) заменить ее выпуклой по (х, х) минорантой (второй сопря-

женной по (х, х)). При этом условие ограниченности множеств

уровня в выпуклой задаче гарантирует ограниченность множеств

уровня и в задаче (4). Если же функция f(x, x, t) выпукла пс

х и выполняется условие роста типа (7), то функционал (4)

полунепрерывен снизу и множества уровня локально компакт-

ны в ТОПОЛОГИИ равномерной сходимости, т. е. существование

решений вытекает из теоремы Еейерштрасса. Такой подход к

проблеме существования решений в задаче Лагранжа предло-

жен Рокафелларом в

[206].

Полученные там результаты

аналогичны изложенным в п. 1, за исключением новых условий

ограниченности множества траекторий (множеств уровня), ко-

торые и приводят к локальным теоремам существования.

235

Расширения задач Лагранжа. Если задачу Лагранжа

свести стандартным способом к задаче терминального управле-

ния, то для нее можно построить расширения типа рассмотрен-

ных в § 4. Например, расширение Янга будет состоять в мини-

мизации функционала

J(x,

[А)

dt] f°(x(t) u,t)t-(0. (du) (11)

на множестве пар

{x(t),

\x{t)},

удовлетворяющих уравнению

(4.6) и соответствующим ограничениям. Задачи Лагранжа до-

пускают и другие типы расширений, которые полнее учитывают

специфику интегральных функционалов. Для таких расширений

значение функционала на обобщенном элементе может быть

строго меньше значения функционала на соответствующем эле-

менте исходной задачи (см. [14, 17, 19, 20, 117, 118]). Общая

конструкция расширений задачи Лагранжа и доказательство

эквивалентности большинства известных расширений имеется в

заботе А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [19]. Там (см. также

'20]) показано, что расширение задачи (1)

—

(3) (без фазовых

ограничений и условий на правом конце) может быть записано

в виде

xeconvQ (х, t), x (t

) = x

, (12)

(x) -= J

(/o)**

(JC,

x,t)dt-+ inf, (13)

где

(f>)**

— вторая сопряженная функции f°(x, и, t) по и,

Q(x, t) определено в (3.1). По поводу различных модификаций

расширения (12), (13) см. [19,20, 118].

Если в задаче (1)

—

(3) выполняются условия роста типа

(7),

(8), то в задаче (12), 13) существует решение — это сле-

дует из результатов пп. 1, 2- Если условия роста не выполняют-

ся,

то переходят к новым расширениям, в которых решения

ищутся в классе разрывных функций (ограниченной вариации).

В этом направлении см. работы [21, 29, 30, 51, 205]. Отметим,

что если в задаче

(1) —

(3) множество (9) выпукло, то множест-

ва допустимых траекторий в (1) —(3) и в расширении (12),

(13) совпадают, причем для соответствующих элементов сов-

падают значения функционалов (3), (13). Если же сводить

(1)—(3) к задаче терминального управления и переходить к

расширениям типа (4.7), (10), то можно утверждать лишь, что

оптимальная обобщенная траектория реализуется в исходной

задаче. Отсюда сразу вытекает существование решений в зада-

че (1)

—

(3) (при условии выпуклости множества Q(x, t) из (9))

как следствие результатов §§ 3, 4. Подобные приемы использо-

вались в работах [47, 180].

Теоремы существования в классах управлений, удовлетво-

ряющих функциональным ограничениям. В изложенных выше

236

теоремах класс допустимых управлений выделялся с помощью

ограничений на соответствующие траектории (граничные усло-

вия и т. д.) и ограничений на область значений управления.

При этом условия существования оптимальных управлений в

заданном допустимом классе выражались через параметры за-

дачи. В некоторых работах предполагается, что допустимые уп-

равления удовлетворяют дополнительным функциональным ог-

раничениям (равномерное условие Липшица, равномерно огра-

ниченные вариации и т. д., см. [41, 77, 110, 211]), которые обес-

печивают компактность множества допустимых управлений в

подходящих сильных топологиях. Наиболее общий результат

в этом направлении получен Берковицем [77], который доказал

существование оптимальных управлений в задаче (1)

—

(3) в

классе почти равномерно ограниченных и почти равностепенно

непрерывных функций [11, 77]. Последнее условие в силу тео-

ремы Фреше [120] обеспечивает компактность множества до-

пустимых управлений в топологии сходимости ПО мере, откуда

вытекает равномерная сходимость траекторий. Функциональные

ограничения на управление трактуются Берковицем как пред-

положение об инерционности управляющих воздействий. К тому

же типу результатов относятся теоремы существования в им-

пульсных расширениях систем управления [41, 211], в классах

функций, выделяемых условиями роста

[107],

и т. д.

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПО СОСТОЯНИЮ ЗАДАЧИ

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В этом параграфе рассматриваются линейные по перемен-

ным состояния задачи оптимального управления вида

x = A(t)x-\-b(a, t), x(t

)=x

, x(t

) = x

(1)

tt(t)eU(t),

<t<t

(2)

{X,

tl)

(#0)

[a (0 X +

(U,

t)} dt (3)

при обычных предположениях о структуре функциональных па

раметров. Изложенные ниже результаты справедливы при 6o

лее общих граничных условиях, линейных по х интегральных

ограничениях, но не переносятся на задачи с фазовыми огра-

ничениями. В силу специфики линейных по состоянию систем

задача (1) —(3) допускает применение специальных методов,

основанных на теореме Ляпунова о векторных мерах и теореме

отделимости выпуклых множеств. ЭТИ методы можно рассмат-

ривать как развитие и соединение второго и третьего методов

доказательства теорем существования оптимальных управлений

в линейной задаче быстродействия (§ 1). Они позволяют дока-

зать существование решений задачи (1)

—

(3) без предположе-

237

ния о выпуклости множества допустимых скоростей (или мно-

жества

(x,

t) из (5.9)).

Рассмотрим сначала линейную по переменным СОСТОЯНИЯ за-

дачу терминального управления, для которой доказывается вы-

пуклость и компактность множества достижимости с помощью

различных обобщений теоремы Ляпунова. Здесь же остановим-

ся кратко на некоторых вопросах, связанных с обобщениями

теоремы Ляпунова и интегралами от многозначных отображе-

ний. Далее рассмотрим линейную по состоянию задачу Лагран-

жа, которая эквивалентна вычислению конволюционного инте-

грала [20]. Такая задача исчерпывающим образом исследова-

на А. Д. Иоффе и В. М. Тихомировым [21, 79°] с помощью ме-

тодов теории двойственности выпуклых функций и результатов

по интегрированию многозначных отображений, которые осно-

ваны на теореме Ляпунова.

Отметим, что линейные то состоянию задачи оптимального

управления допускают исследование и с ПОМОЩЬЮ других мето-

дов,

не связанных с теоремой Ляпунова. Эти методы, которые

излагаются в § 7, основаны на применении необходимых усло-

вий оптимальности во вспомогательных задачах (дискретных и

непрерывных) и позволяют доказать теоремы существования в

задачах типа

(1) —(3)

с нелинейной по х подынтегральной

функцией в (3) и матрицей А в (1), которая зависит от управ-

ляющих параметров:

А —А

{и,

t).

Задача терминального управления. Задача (1)—-(3)

сводится к линейной по состоянию задаче терминального уп-

равления путем введения дополнительной координаты

пП

(t)=\ [a(T)x+p(w, -.)]di:. He нарушая общности, будем

в этом пункте считать, что в (3) нет интегрального слагае-

мого.

В работе [171°] Нойштадт доказал существова-

ние оптимальных управлений в задаче

(1)

—(3) при условии

непрерывности функций А

(г.),

(a,

t) и полунепрерывности

сверху компактного множества U(t). Теорема Ноиштадта

опирается на утверждение о выпуклости и компактности мно-

жества достижимости системы (1), порожденного измеримыми

управлениями из (2):

R{f) = \r:r = F(t)Xo + \F(t)F-*(r)b(u(d,-z), u(x)eU(x)\, (4)

где F(t) — фундаментальная матрица решений однородного

уравнения в (1). Компактность множества R(t) выводится из

его выпуклости с помощью леммы Блэкуэлла [85], доказавше-

го,

что крайние точки замыкания R(t) принадлежат самому

множеству R(tf. Выпуклость множества R(t) является непо-

средственным следствием теоремы Ляпунова о выпуклости мно-

238

жества значений векторной меры [108°]. В работе [145J

Джекобе обобщил теорему Нойштадта с помощью анало-

гичных рассуждений на случай, когда A{t) суммируема, b(u,

t)>

удовлетворяет условиям Каратеодори, U(t) замкнуто и неогра-

ниченно. При этом он предполагал, что множество b(U(t), t).

замкнуто и множество допустимых управлений обладает равно-

степенно абсолютно непрерывными интегралами.

Естественный подход к проблеме существования решений

в задаче (1)—-(3) состоит в переходе к расширенной задаче

в форме Гамкрелидзе и доказательстве того факта, что

множества достижимости в исходной и расширенной задаче

совпадают (это доказывается с ПОМОЩЬЮ теоремы Ляпуно-

ва)*.

На таком пути в работе [112°] получена теорема су-

ществования решений в линейной по состоянию задаче тер-

минального управления с системой вида x=*A(v, t)x-\-b(u,

t)>

и ограничениями u(t)£U(t), v(t)£V(t). Отличие от условий

Джекобса состоит в том, что требуется замкнутость мно-

жества convb (U(t), t), выпуклость и замкнутость множества

-А

(V (if), г.), выполнение условий роста типа (4.7) и аналитич

ность [37,63] множеств %и={(и, t):uQU(t)}, Fi/-=={(t), i):

vev(t)).

Из данных результатов вытекают теоремы существования

работ [146, 158, 191, 192, 196]. Отметим, что результаты такого

типа не переносятся на линейные по состоянию задачи опти-

мального управления с фазовыми ограничениями (см.

[40°,

38])..

В работах Олеха [191, 192, 196] дано глубокое исследо-

вание линейных по состоянию задач терминального управления

с помощью конструкции экстремальных решений. Управление

u(t) называется экстремальным в задаче

(1) —

(3),

если соот-

ветствующая траектория x(t) для любых моментов т1<т

яв-

ляется единственной траекторией системы (1), которая соеди-

няет точки xi=x(Ti) и x2=-x(T2). Экстремальным решениям со-

ответствуют крайние точки множества достижимости для систе-

мы (1).

Олех дал эффективное описание экстремальных управлений

в виде лексикографического максимума [191, 192] и показал,

что любую точку множества достижимости можно получить с

помощью кусочно-экстремальных управлений, которые имеют

не более (я +

1)-й

точки переключения (п

—

размерность систе-

мы (1)). Отметим, что конструкция экстремальных решений во

многом близка содержанию третьей теоремы Ляпунова (о точ-

ках единственности векторных мер) [108°]. Экстремальные ре-

шения в смысле Олеха нашли широкое применение в теоремах

* Отметим в связи с этим результат Варайи

[220],

который показал,

что как множество допустимых траекторий задачи

(1)

—

(3),

так и его допол-

нение всюду плотно во множестве обобщенных траекторий в топологии рав-

номерной 'ХОДИМОСТИ.

239/

существования оптимальных управлений в классе кусочно-неп-

рерывных функций (см. § 8).

Конструкция Олеха приводит к новому доказательству и

•обобщению теоремы Ляпунова о выпуклости и замкнутости мно-

жества значений векторной меры с помощью анализа крайних

точек множества значений (см. [191, 192]). Простое доказа-

тельство теоремы Ляпунова, основанное на теореме Крейна—

Мильмана (крайние точки в пространстве функций), имеется в.

работе Линденштраусса [169] (см. также [3, 79°]). Дру-

. гие доказательства и обобщения теоремы Ляпунова приведены

в работах [84, 85, 90—92, 115, 130, 135, 151, 193] (по этому по-

воду см. обзор [3]). Конструкции большинства из этих работ

являются развитием идей самого А. А. Ляпунова. Ряд тонких

обобщений теоремы Ляпунова имеется в работах Халкина

[131—134] и др. (см.§ 8).

Отметим, что теорема Ляпунова по существу эквивалентна

следующему утверждению об интегралах многозначных отобра-

жений со значениями в подмножествах конечномерных прост-

ранств. Если Г:Т^2Я"—измеримое многозначное отображе-

ние,

ограниченное суммируемой функцией, Т — пространство с

непрерывной мерой [11, 79°], то

\T(t)dt = \convT(t)dt, (5)

т т

где под интегралом от многозначного отображения пони-

мается множество интегралов от его суммируемых сечений.

Из (5), в частности, следует, что \^Y(t)dt выпукло и являет-

ся замкнутым, если замкнуто множество convr(^). Различные

доказательства этих утверждений имеются в работах [2, 79°,

72,

92, 134, 141].

Линейная по состоянию задача Лагранжа. Нетрудно

показать

[79

что задача

(1)

—(3) с

(х)=0 эквивалентна

задаче минимизации функционала

J(ii) = y°(ii,t)dt (6)

при ограничениях (2) и

x=*f(ft, t), x(t

) =

x(^)=a, (7)

где f(u, t)=F-i(t)b(u, t), /o(a, t) = K a(x)E(-)d-)/(и,

-±a(t)F(t)x

+$(u,t), a = F-

-x^.

От задачи (6), (2), (7) по способу (5.5) можно перейти к

;задаче типа (5.4) с не зависящей от х подынтегральной

•функцией /°(x, t). Последняя задача эквивалентна вычисле-

но

иию конволюционного интеграла и была подробно исследована

в работах A. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [21, 79°] в

предположении, что /°(x, t) является нормальным интегран-

том. В терминах задачи

(6),. (2),

(7) это предположение вы-

полняется, если множество Fu={(u, t):uQU

(t)}

аналитиче-

ское,

множество f(U(t), t) замкнуто, функции /(и, t), f°(u, t)

удовлетворяют условиям Каратеодори. Основная теорема

работ [21, 79°] носит «апостериорный» характер: для ее при-

менения требуется сначала решить некоторые вспомогатель-

ные задачи. По параметрам задачи (6), (2), (7) строятся

функции

g(p,

0 = sup

{///(и,

t)-/o(u, t)},

«6-7(0

S(a)= sup Ua-\g(p,t)dt\, (8)

которые могут принимать и значение +оо. Обозначим через

M —

dom/ множество точек a%R

ДЛЯ

которых в задаче (6),

(2),

(7) существует хотя бы одно допустимое управление,

доставляющее конечное значение функционалу (6). В работах

[21,79°] показано, что при agriM минимальное значение

функционала в задаче (6), (2), (7) находится по формуле (8),

в которой знак sup можно заменить на max (теорема двойст-

венности).

Рассмотрим далее множество

Р =

\pHR»:

\g{и, t)dt <оо , (9)

которое является эффективным множеством [79°, 61] сопряжен-

ного функционала к S(a) из (8). Обозначим через р

точку из

на которой достигается максимум в (8). В работах [21,79°]

доказано существование оптимальных управлений, в задаче

(6),

(2), (7) при условии, что ро принадлежит внутренности

множества Р из (9). Последнее условие заведомо выполняется,

если в задаче (6), (2), (7) справедливо условие роста типа

(5.7) (в этом случае

P—R

Таким образом, из теоремы Иоф-

фе—Тихомирова вытекают теоремы работ [2, 67, 145, 146, 171°,

191] для соответствующей задачи Лагранжа.

При доказательстве теоремы. Иоффе—Тихомирова рассмат-

ривается сначала выпуклый случай (когда f°(x, t), в соответст-

вующей задаче (5.4) выпукла по х; именно этот случай разо-

бран в работе [21]). В выпуклом случае задачи (6), (2), (7)

исследуется с помощью теории двойственности выпуклых функ-

ций (см. п. 5.2). Переход к общему случаю произведен в [79°]

с помощью теоремы Ляпунова (соотношение (5)). Если р

при-

16—7988

241

надлежит границе множества Р из (9) (при этом заведомо не

выполнены условия роста), то в [21, 79°] производится расши-

рение задачи (2), (6), (7) до класса управлений с импульсной

составляющей (типа 6-функции Дирака). При ЭТОМ допустимые

траектории в расширенной задаче принадлежат классу кусочно-

непрерывных функций с ограниченной вариацией. Расширенная

задача подробно исследована в [21, 79°], где для выпуклого

случая доказана теорема существования.

§ 7. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

Рассмотрим в этом параграфе простейшую задачу терми-

нального управления

(3.4) — (3.6)

в предположении, что U

—

компакт, функции (р{х), f(x, и, I) непрерывны и выполняются

условия ограниченности типа

(3.2)*.

Изложенные ниже резуль-

таты справедливы и при' более общих предположениях (см. [9,

47,

49, 112°]). Данную задачу для простоты будем называть

задачей (А).

Известные результаты гарантируют существование опти-

мальных управлений в задаче (А) при условиях определенной

выпуклости множества допустимых скоростей (см. §§ 3, 5) или

линейности системы (3.4) по переменным состояния (§ 6). Ме-

тоды доказательства этих теорем проанализированы

выше.

Фак-

тически они направлены на доказательство сильно завышенных

для существования решений свойств рассматриваемой задачи

типа .замкнутости множества допустимых скоростей или замк-

нутости множества достижимости. Тот факт, что весьма ограни-

чительные условия (выпуклости множества скоростей не только

достаточны, но и необходимы для замкнутости траекторных

множеств, указывает на границы применения традиционных ме-

тодов доказательства к проблеме существования решений зада-

чи (А). Переход к расширениям не снимает проблемы сущест-

вования решений исходной задачи в силу обстоятельств, изло-

женных в § 4.

Отметим, что в условиях рассмотренных выше теорем суще-

ствования оптимальных управлений в задаче (А) не фигурирует

ряд важных параметров задачи (x

, cp(x), *o. h), которые ока-

зывают решающее влияние на факт существования решений в

конкретных ситуациях. Учет этих параметров (хотя бы в прин-

ципе) представляется актуальной задачей как в смысле теории,

так и в смысле практических приложений (см. [3°, 4, 42°]).

* В силу отсутствия фазовых ограничений и условий на правом конце

траектории в задаче (3.4)—(3.6) всегда существуют допустимые управления,

поэтому проблема существования оптимальных управлений фигурирует в

«чистом» виде. К задачам такого типа приводится ряд более общих задач

оптимизации (см. [46°, 46]).

242