Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

действия Луны и Солнца происходит периодическое изме

нение широт или, что то же самое, изменение положения

полюса Земли. Полюс описывает эллиптические кривые

с малым эксцентриситетом.

В океанах возмущения гравитационного поля Луной н

Солнцем вызывают океанические приливы, достигающие в

некоторых областях Земли нескольких метров высоты.

Максимальные высоты приливов на Земле:

залив Фанди (Канада) 13,6 м,

Северн (Великобритания) 13,1 м,

бухта Сен-Мишель (Франция) 12,6 м.

Явление прилива в океане очень сложно. Его величина

зависит от протяженности свободной поверхности воды, от

точки, где рассматривается прилив, от характера берегов,

от течений, направления и силы ветров, конфигурации

берега и других причин. Но основной, порождающей его,

причиной являются возмущения гравитационных полей

Луны и Солнца. Существует сложная теория океанических

приливов, организована постоянная служба наблюдений

за ними.

§ 9. Статическая теория приливов

Приливная волна регулярно деформирует уровенную

поверхность, изменяя при этом силу тяжести и направление

отвеса. Величины этих изменений легко подсчитать для

случая идеально упругой Земли. Введем следующие обоз

начения: 9К — масса Земли, считаемой шарообразной,

Рис. 53. Схема образования прилива (статический прилив).

т — масса возмущающего тела (Луны или Солнца),

О — центр Земли, А — точка, в которой исследуется при

лив, АО — направление отвеса в точке А, ОХ — направ

ление горизонта, г и г'— геоцентрическое и топоцентри-

'кч'кое расстояния до светила M,z, z! — зенитные расстояния

м'оцентрическое и топоцентрическое. Из рис. 53 легко

имдсть, что составляющие притяжения по осям Z и X с уче-

юм возмущающей силы в точках О и А будут

(s£z)o = — G-^-cosz, f e ) 0 = G-^-sinz, (8.9)

(8gz)A = g - G-p*cosz', fig*-b = G7 T sin2'. (8Л0)

|Де

g=G

('оставляющие приливной силы получим как разность сил,

действующих в точках А и О:

ftgz)A (&gz)o — G —г

, т ай ( г1 ,

1 — S0 i 7 ^ l 7 ^ c o s z - c o s z

(8Л1)

(8& ) л - f e ) o = G ~ • ~ sin z' - sin z ) . (8.12)

Приливное изменение величины силы тяжести прибли

женно определяется переменной частью уравнения (8.11):

б£п « (5Sn)z = — -^г (7т cos z' - cos г ) . (8.1 Г)

Изменение направления вектора силы тяжести в точке А

в результате действия притяжения возмущающего тела

определяется, главным образом, горизонтальной составля

ющей приливной вариации силы тяжести (8.12):

(8gn)x = (sgx)A-(8gx)o■

Приливное уклонение отвесной линии получим как отно

шение этой составляющей к полной величине возмущенной

силы тяжести:

(8ЛЗ)

Полученные возмущения удобно выразить через гиг,

освободившись от топоцентрических величин г' и г '.

Из рис. 53 видно, что

Имея в виду, что для Луны ~- = ^ , и пренебрегая квадра

том этой величины, из последнего уравнения (8.14) находим

г'2 — г2 ^1—2 cos z j ,

откуда

^ 1 + 2 ~ cos z, « 1 + у cos z. (8.15)

Кроме того, вводя в (8.14) отношение-^- из (8.15), можно

получить

sin z' = sin z -j- sin z cos z, (8.16)

cos z' = cos z —

^ - S i n

Z .

(8.17)

Теперь можно преобразовать выражения в круглых скоб-

ты

ках в (8.11) и (8.12), вводя значения отношений cos z

и sin г' из (8.15), (8.16) и (8.17):

(ууъ cos z ' — cos zj = ^1 + 2 у cos zj (^cosz

----

^-sin2 Z^J —

— cosz = y (3cos2z — 1), (8.18)

^-^jsin z' — sin z) = ^ 1 -r 2 у cos z'j [sinz у sin zcosz j —

— s in z ^ -y y sin2z. (8.19)

Подстановка (8.18) в (8.19) в исходные уравнения (8.11),

(8.12), (8.1Г), (8.13) для определения приливных эффектов

изменения величины силы тяжести и ее направления при

водит к следующему приближенному выражению прилив

ного изменения силы тяжести:

6g n « — Gm-^-(3cos2z - l) = ^ ‘^ ^ -(3 c o s2z — 1). (8.20)

В результате деления (&gn)x на полную составляющую воз

мущенного значения силы тяжести получаем тангенс

угла приливного уклонения отвеса:

Gm, 3 а3

I [3 (8.20), очевидно, получается приближенное значение

нозмущающего потенциала:

(8.22)

Формулы (8.20), (8.21) и (8.22) могут служить для прибли

женного вычисления величин приливных эффектов.

§ 10. Классификация приливных волн

Если провести анализ приливных эффектов, то оказы-

мается, что имеет место не одна, а целый спектр приливных

гармоник, обусловленных сложным движением Луны и Солн

ца. Основные из этих гармоник легко выделить, если пред

ставить потенциал (8.22) как функцию часового угла t

и склонения б светила. Для этого преобразуем формулу для

потенциала Т (8.22), заменив cos z его выражением через

экваториальные координаты из сферического параллактиче

ского треугольника (рис. 54):

Рис. 54. Параллактичес

кий треугольник.

Светило

cos z — sin ф sin б -j-cos ф cos б cos t. (8.23)

Возводя в квадрат, получим

cos2 z = sin2 ф sin2 б + cos2 ф cos2 б cos21 +

3 cos2 z — 1 = 3 sin3 ф sin2 6 — 1 -f

+ у cos2 ф cos2 6 (cos 2t + 1) -|- sin 2ф sin 26 cos t —

= 3 sin2 ф sin2 6 — 1 -f cos2 ф cos2 6 +

-|-уС оз2фсоз2бсоз2^ + -!-зш 2ф5ш 26соз t. (8.25)

203

Первые три члена последнего выражения можно преобра

зовать к виду

3 sin2 ф sin2 б — 1 4 - -|- (1 — sin2 ф) (1 — sin2 б) =

3 ( sin2 ф— у ] (sin2 б—у

(8.26)

Внося преобразование (8.25) с учетом (8.26) в (8.22), полу

чим для потенциала следующее значение:

~ 3Gm а2 Г „ „ s ,

Т — —j - -^3- cos2 ф cos2 о cos 2 г +

+ sin 2 ф sin 26 cos t + 3 ( sin2 ф—

sin2 б-

. (8.27)

Потенциал распался на три члена, которые представляют

собой три типа поверхностных сферических функций вто

рого порядка (рис. 55). Первое слагаемое описывает суточ

ную гармонику и обращается в нуль при ^=+45°, ±135°,

Рис. 55. Поверхностные сферические функции второго порядка: а) сек-

ториальная, б) тессеральная, в) зональная.

т. е. на меридианах, отстоящих от возмущающего светила

на 45° и 135°. Здесь функция меняет знак. Это так называе

мая секториальная сферическая гармоника (рис. 55, а).

Внутри секторов функция или положительна (/<45°), или

отрицательна (135°>t>45°). Области положительных зна

чений функции суть области приливов, отрицательных —

отливов. Соответствующие этой гармонике приливы имеют

полусуточный период. Величина прилива в секториальной

волне изменяется от максимума на экваторе до нуля на

полюсах. Секториальная лунная волна, возникающая от

суточного вращения Земли, имеет период, равный полу-

суткам, т. е. 12 ч 25 мин. Эта волна в теории приливов

обозначается М г.

Если учесть более высокие гармоники разложения Т

в ряд, то выделятся другие приливные волны, так как вслед

ствие движения Луны по эллипсу, в фокусе которого на

ходится Земля, ее удаленность от Земли, а значит, скорость

движения меняются. В перигее Луна ближе всего к Земле

и скорость ее движения больше. В апогее Луна дальше от

Земли и скорость ее движения меньше. Вследствие этого

возникают полусуточные эллиптические волны N 2 с пе

риодом 12 ч 39 мин и L3 с периодом 12 ч 11 мин. Из-за на

клона лунной орбиты к экваториальной плоскости Земли,

т. е. в связи с изменением положения светила над Землей,

возникает так называемая деклинационная волна К2 с

периодом 11 ч 58 мин.

Полусуточные секториальные волны от Солнца возни

кают аналогичным образом. Главная полусуточная волна

S г© имеет период 12 часов. Две эллиптические волны R 2q

и Тг© возникают в результате изменения скорости движения

Солнца в перигее и апогее. Деклинационная солнечная вол

на К2о практически неотделима от лунной деклинационной

волны.

Ко второму типу относятся суточные волны с периодом,

близким к суткам, определяемые вторым членом разло

жения потенциала Т. Этот член обращается в нуль при

/=90° и ф=0 или 90°, т. е. узловыми линиями ее являются

меридианы, отстоящие от меридиана светила на 90°, и

экватор (рис. 55, б). Эта функция, как уже говорилось в

гл. 5 § 4, называется тессеральной. В областях, на которые

она делит сферу, знак функции изменяется вместе со зна

ком склонения. На экваторе и полюсах функция всегда

равна нулю. Она достигает максимума при ф = ±45°.

Тессеральные деклинационные волны возникают в свя

зи с существованием наклона лунной орбиты и эклиптики

к плоскости экватора. Тессеральные эллиптические волны

возникают в связи с эллиптичностью движения. Физически

их появление можно объяснить следующим образом. Когда

светило находится в зените, например севернее экватора, в

этой «подзенитной» точке возникает прилив. Этот же прилив

возникает в точке-антиподе, т. е. на меридиане, отстоящем

на 180°, но уже южнее экватора. В то же время в противо

положных полушариях на 90° к югу от первой точки и к

северу от второй наступают минимумы прилива. Здесь

границей раздела служит экватор. Максимум прилива в

северном полушарии относительно южного сдвинут но

времени (или, что одно и то же, по долготе) на 180°. Име

ются лунные тессеральные деклинационные волны Ki и 0 Ь

эллиптические тессеральные волны Qi и 1Х и соответствую

щие солнечные волны.

Третий член разложения потенциала определяет зо

нальную функцию большого периода. Узловыми линиями

этой функции являются параллели ф±35°16', где она об

ращается в нуль (рис. 55, в). В области между этими парал

лелями функция имеет положительный знак, что соответ

ствует приливу, в полярных областях — отрицательный,

означающий отлив. Волны, определенные этой функцией,

имеют большой период, связанный с временем изменения

склонения возмущающего светила.

Зональная волна от Луны, обозначаемая в теории при

ливов буквой М, имеет период 14 суток, а от Солнца (5Л1) —

6 месяцев, т. е. время полуобращения Луны вокруг Земли

и Земли вокруг Солнца. Эта волна вызывает медленное

поднятие и опускание земной поверхности у полюсов с ам

плитудой 28 см и соответствующие опускания и поднятия

у экватора с амплитудой 14 см.

Сложное движение Луны вызывает ряд других волн,

амплитуды которых незначительны. Существует специаль

ная служба земных приливов и движений полюсов. Трудо

емкий анализ длительных рядов наблюдений позволяет

разделить приливные волны, наблюдаемые суммарно, и

установить их связь с возмущающими силами.

§ 11. Приливные деформации Земли и ее упругость

Изучение приливных деформаций методами гравиметрии

позволяет сделать заключение об упругих свойствах Зем

ли и тем самым расширить наши сведения о ее внутреннем

строении. В зависимости от упругих свойств тела величи

на его деформации при одной и той же возмущающей силе,

т. е. величина прилива, будет различной. Если принять

модель абсолютно твердой Земли, то возмущающее дей

ствие Луны и Солнца не будет деформировать само тело,

однако уровенная поверхность силы тяжести такой Земли

будет испытывать периодические вздутия и опускания. Если

представить себе абсолютно твердую Землю, окруженную

идеальной жидкой оболочкой, то такая жидкость все вре

мя будет перетекать, образуя волну прилива некоторой

высоты £ в точках, для которых светило находится в зените.

Изменение положения уровенной поверхности можно на

блюдать по изменениям направления отвеса или ухода

уровня и изменениям силы тяжести.

В другом крайнем случае, если считать Землю абсо

лютно упругой, под действием возмущающего притяжения

светила происходила бы деформация Земли такая же, как

и деформация уровенпйй поверхности, т. е. наблюдалось

ды фактическое волновое'колебание почвы с амплитудой £.

Реальная Земля не абсолютно тверда, но и не абсолютно

упруга, поэтому ее деформации под действием лунно-сол

нечных возмущений будут промежуточными между рас

смотренными крайними случаями. Твердая оболочка Земли

будет дышать — подниматься и опускаться — на величи

ну, меньшую амплитуды £ перемещений идеальной уро

венной поверхности.

Обозначим возмущающий потенциал Т, поднятие уро

венной поверхности под его воздействием £. Согласно теоре

ме Брунса, это перемещение может быть выражено через

возмущающий потенциал и напряженность гравитационного

поля:

Реальная Земля деформируется под действием созму-

щающего потенциала. При этом возникает некоторый до

полнительный потенциал от переместившихся масс, рав

ный кТ, где k < 1.

Перемещение уровенной поверхности в этом случае

будет

(8.29)

Величина k называется первым числом Лява. В случае

абсолютно твердой Земли k=0. Чем больше к, тем более

упруга Земля. Второе число Лява h вводится как коэффи

циент, определяющий реальную деформацию Земли £2-

Эта деформация заведомо меньше деформации £ уровенной

поверхности абсолютно твердой Земли:

£. = Л£ = Л у , h< 1. (8.30)

В случае абсолютно твердой Земли h—0, а в случае абсо

лютно упругой h= 1.

Высота прилива относительно деформированной Земли

будет равна разности высоты истинного прилива с

учетом деформаций и высоты £2 приливной деформации

Земли:

S, = £i-£* = y ( 4 *-/0- (8-31)

Кроме вертикальных смещений уровенной поверхно

сти, возмущающее светило вызывает периодические ва

риации уклонения отвесной линии. Эти уклонения можно

разложить па составляющие по u/ироте и долготе. Для аб

солютно твердой Земли вариации уклонения отвесной ли

нии будут соответственно равны производной от дефор

мации уровенной поверхности по широте <р и долготе %:

1 дТ ./■ _ 1 дТ ,П от

® gR йф ’ / ^ gR cos ф дХ \ ’ )

Для упругой Земли соответствующие величины £' и т)' будут

Е' = /б = /Л -4 ^ ,- )

Р-8»)

м 1 gR С08ф-ах • )

Коэффициент /, также характеризующий упругость Земли,

называется числом Сида (/<1).

Возмущающее воздействие Луны и Солнца на силу тя

жести для упругой Земли складывается из:

1) прямого действия возмущающего потенциала

f a - W ’ <8-34>

2) влияния вторичного потенциала, вызванного пере

мещением масс в приливе (его мы получим дифференциро

ванием дополнительного потенциала kT от переместивших

ся масс),

&g*=-mT + w k> " (8-35)

3) изменения силы тяжести, вызванного изменением

высоты на величину прилива £г,

(8.36)

Общее уменьшение силы тяжести под влиянием лунно

солнечных возмущений найдется как сумма всех этих

изменений:

= + + = H + + + (8.37)1

Из теории потенциала следует, что /

дТ 2Т dk г , и дТ • о и Т

- t ^ - Ц ( и - / . - } * )

2Т

Обозначив -^- = Ag0, получим

-bg = bg0 (Н -й — Y k) ■ (8

Формулы (8.31) и (8.39) связывают приливные дефор1^ ’

дни геоида £3 и изменения силы тяжести Ag с числами Л#0 ’

характеризующими упругость Земли.

Таким образом, наблюдая изменения уровня геоиД3

изменения силы тяжести, можно найти величины

(l+fc-h) = y, )

’l + f t - A * ) = б . j ( 8 ‘

Наблюдаемые величины у и б лежат в пределах

1,14 < 6 < 1,21,

0,65 < у < 0,75.

Из уравнений (8.40) можно найти k и h раздельно. Их сРед

Ние значения: 6=0,34, h=0,9.

§ 12. Поправки к измеряемым значениям силы тя # еСТИ

за приливные эффекты

Лунно-солнечные приливы, как мы убедились, вызЫ^а1°т

периодические изменения силы тяжести на земной no# Р

ности, вполне ощутимые для современной гравиметР

ской аппаратуры. Поэтому, если наблюдения произвпи_

не специально для изучения приливов, то в результат rjv_

ходится вносить поправки, учитывающие притяжени®

ны и Солнца. Ранее была получена формула (8.20) ” _

менения ускорения силы тяжести под влиянием В03МУ пые

щего светила. При ее выводе учитывались только ^

первого порядка. Однако сейчас этого оказалось уже ^ »

статочно и приходится учитывать и второй член, ко? ‘

имеет вид

с 3 Gma2 / С о о /8.41)

Og = -x

-----

j— (5 cos3 z — 3 cos z). L 7

Это третья гармоника разложения функции возму!^ вв0

силы тяжести по полиномам Лежандра. Обычно он^