Кадеев А.А. Домашняя работа по алгебре за 11 класс
Подождите немного. Документ загружается.
130
№ 1039
1) у = х
2
– 6х + 9; у = х
2
+ 4х + 4; у = 0
х
2
– 6х + 9 = х
2
+ 4х + 4, 10х = 5, х =
2
1
АВС – искомая фигура
() ()
+++=−++=+=
−
−
∫∫
2
1
2
2
3
3
2
1
2
2
1
2
2
42
3
32 xx
x
dxxdxxSSS
DBCABDABC
=−+−+−++−+++=+−+
2
9
4
3
24
1
2727988
3
8
2
2
1
24
1
93
3
3
2
1
2
3
xx
x
12
5
10
12
41
7
3
8
4
3
411 =+=++−=
2) у = х
2
+ 1; у = 3 – х
2
х
2
+ 1 = 3 – х
2
, 2х
2
= 2, х
2
= 1, х = ± 1
BCDN – искомая фигура
131
(
)
(
)
=+−−=−=
∫∫
−−
1
1
2
1
1
2
13 dxxdxxSSS
ABNDMABCDMBCDN
()
3
2
22
3
2
2
3
2
2
3
2
22
1
1
3
1
1
2
=+−+−=+−=+−=
−
−
∫
x
x
dxx .
3) у = х
2
; у = 2 x2, х
2
= 2 x2, х
4
= 8х, х (х
3
– 8) = 0, х
1
= 2, х
2
= 0,
OMAN – искомая фигура
(
)
=−=−=−=
∫∫∫
2
0
2
2
0
2
2
0
2222 dxxxdxxdxxSSS
ONABOMABOMAN
3
8
3
8
3
16
32
1
22
3
4
2
0
3
=−=−⋅=
x
xx .
4) у =
x
; у =
x34 −
; у = 0
x = x34 − , х = 4 – 3х, 4х = 4, х = 1
ОАВ – искомая фигура
()
×−+=−+=+=
∫∫
xxxdxxdxxSSS
CABOACOAB
34
3
2
3
2
34
1
0
3
4
1
1
0
9
8
9
2
0
3
2
3
1
3
4
1
=+−=× .
132
№ 1040
1) у = х
2
– 2х + 2; х = 1, точка пересечения параболы с Оу
х = 0; у = 0 – 2 ⋅ 0 + 2 = 2; (0; 2)
у(0) = 2; у′ = 2х – 2, у′(0) = 2 ⋅ 0 – 2 = –2, у = 2 – 2 (х – 0), у = –2х + 2,
АВС – искомая фигура
(
)
()
(
)
==+−−+−=−=
∫∫∫
1
0
2
1
0
1
0
2
2222 dxxdxxdxxxSSS
OACOABCABC
3
1
3
1
0
3
==
x
.
2) у =
x
4
; х
0
= 2; у = 0; х = 6, у(2) = 2, у′ = –
2
4
x
, у′(2) = –
4
4
= –1,
у = 2 – (х – 2) у = –х + 4, DABC – искомая фигура;
133
()
=−+=+−−=−=
∫∫
4
2
2
6
2
4
2
6
2
4
2
ln44
4
x
x
xdxxdx
x
SSS
KADKABCDABC
23ln4821682ln46ln4
−
=
+
−
−+−=
№ 1041
1) у = х
3
– 3х
2
– 9х + 1; х = 0; у = 6; х < 0
АВС – искомая фигура
(
)
=+−−−=−=
∫∫
−−
0
1
23
0
1
1936 dxxxxdxSSS
MACOMABOABC
()
=+++−=+++−=
−
−
∫
0
1
2
3
4
0
1
23
5
2
9
4
593 x
x
x
x
dxxxx
4
3
1
4
7
4
17
65
2
9
1
4
1
==−=+−+=
2) у = х
4
– 2х
2
+ 5; у = 1; х = 0; х = 1
АВСD – искомая фигура
(
)
=−+−=−=
∫∫
1
0
1
0
24
152 dxdxxxSSS
OADKOBCKABCD
()
15
8
3
15
7
44
3
2
5
1
4
3
2
5
42
1
0
35
1
0
24
=−=+−=+−=+−=
∫
x
xx
dxxx .
134
№ 1042
у = х
2
+ рх – парабола, ветви направлены вверх. Вершина
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
4
;
2
2
pp
,
пересечение с осями: (-р; 0) и (0; 0). Рассмотрим два случая.
а)
р > 0. у = kx + 1 проходит через (0; 1)
х
2
+ рх = kх + 1, х
2
+ (р – k)x – 1 = 0, D = (р – k)
2
+ 4
Точки пересечения:
2
1
Dpk
x
−−
= ,
2
2
Dpk
x
+−
=
()
()
=−−+=+−+=
∫∫
2
1
2
1
2
1
2
1
232
1
232
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
p
x
x
x
kdxpxxdxkxS
() () ()
=−+−−+−−=+−−=
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
32
323232
2
1
x
xx
pkx
xx
pkx
xx
pk
x
x
()
(
)
()
12
2
1
2
2
3
1
3
2
23
1
xxxx
pk
xx −+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+−−= , но х
2
– х
1
= D
()
(
)
()
DpkDpkDpkxx −=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−+−=−
22
2
1
2
2
4
1
()
()
(
)
()
⎜
⎝
⎛
−−++−=++−=−
2
2
2
121
2
112
3
1
3
2
4
1
pkDpkDxxxxxxxx
()
() ()
(
)
=−−++−=
⎟
⎠
⎞
−−+− DpkDpkDDpkD
22
2
22
4
1
()
()
DpkD +−=
2
3
4
1
()
()
()
=+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
++−⋅−= DDpk
pk
DpkDS
2
3
4
1
3
1
2
() () ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−−−= 1
12
1
4
1
1
2
1
12
1
4
1
222
DpkDpkDpkD
т.к. D = (p – k)
2
+ 4, то
135
() () () ()
×+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−−−⋅+−= 41
3
1
12
1
4
1
4
2222
kppkpkkpS
() () ()
(
)
44
6
1
3
2
6
1
222
+−⋅+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−× pkkppk
.
Найдем наименьшее S(k)
Пусть (p – k)
2
+ 4 = t,
()
tttS
6
1
=
, t ∈ [4; +∞), S(t) – возрастающая
функция, поэтому наше значение достигается при t=4, (p – k)
2
= 0, p = k;
б) р < 0 – этот случай симметричен а). Все выкладки те же и ответ: k = p.
Упражнения для итогового повторения курса
алгебры и начал анализа.
№ 1043
08,0
100
8
10
32
40
1
2,3025,0 ==⋅=⋅
.
№ 1044 0,42 ⋅ х = 12,6,
30
61
1018
4210
100126
42,0
6,12
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
==x .
№ 1045
()
%
3
1
3
3
10
3910
10013
100
39
3,1
==
⋅
⋅
=⋅=x
.
№ 1046
()
%400
5
10002
116510
100100466
100
65,11
6,46
=
⋅
=
⋅
⋅⋅
=⋅=x .
№ 1047 1,75 ⋅ х = 78,75,
45
175100
1007875
75,1
75,78
=
⋅
⋅
==x .
№ 1048
5,13
2
27
2
15
5
9
5,78,1 ==⋅=⋅=x
.
№ 1049
х – исходная цена
1) понизили на 24%; х
1
= (х – 0,24х) = 0,76х
2) снизили на 50%х
1
; х
2
= (х
1
– 0,5х
1
) = 0,5х
1
= 0,5 ⋅ 0,76х = 0,38х
х – х
2
= х – 0,38х = 0,62х
Цена уменьшилась на 62%.
№ 1050
цинк х = 18 кг, олово у = 6 кг, медь z = 36 кг
% цинка
%30%100
36618
18
%100 =⋅
++
=⋅
++
=
zyx
x
% олова
%10%100
36618
6
%100 =⋅
++
=⋅
++
=
zyx
y
136
% меди
%60
60
36
%100 ==⋅
++
=
zyx
z
.
Ответ: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%.
№ 1051
Пусть х – стоимость товара, у – стоимость перевозки. Тогда из условий
следует, что:
⎩
⎨
⎧
=
=
⎩
⎨
⎧
=
=
⎩
⎨
⎧
=
=+
292
3650
,
08,0
394208,1
,
08,0
3942
y
x
xy
x
yx
yx
. Ответ: 3650 р.
№ 1052
Пусть h = 5 см – высота, S = 4 см
2
– площадь основания.
ShV ⋅=
3
1
1
,
222
3
1
ShV ⋅=
, h
2
= 1,1h, S
2
= 1,1S
12
21,1
3
1
21,11,11,1
3
1
VShShV =⋅⋅⋅=⋅⋅=
() ()
%21%100121,1%100
112
=⋅−=⋅− VVV .
Ответ: объем увеличится на 21%.
№ 1053
Пусть х – искомое число, тогда
х = а ⋅ 72 + 68
(
)
8
12
5612
8
12
125
12
126
12
68
12
72
12
+
+
=+
⋅
+
⋅
=+
⋅
=
aaax
Ответ: Остаток: 8.
№ 1054
Пусть эти числа х и у. Тогда:
⎩
⎨
⎧
=
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
⎩
⎨
⎧
=
=+
500
600
6
5
1100
6
11
6
5
1100
05,006,0
1100
x
y
yx
x
xy
yx
yx
yx
Ответ: Наибольшее – 600.
№ 1055
За первый год он получит прибыль 0,03 ⋅ 600 = 18 (р.). На счету будет
600 + 18 = 618 р. В конце второго года он получит: 1,03 ⋅ 618 = 636,54 (р.), а за
третий – 1,03 ⋅ 636,54 = 655,64 (р.).
№ 1056
За год он получил бы 0,02 ⋅ 500 = 10 р., а за месяц он получил
6
5
10
12
1
=⋅ р. Он снял 100 р., на счете осталось 400
6
5
р. Через год он полу-
чит 1,02 ⋅ 400
6
5
= 408,85 р.
137
№ 1057
1) 23,276 : 2,3 – 3,6 ⋅ (17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 ⋅ 3,2
Выполним по действиям.
а)
12,10
100
1012
231000
1023276
3,2:276,23 ==
⋅
⋅
= ;
б)
2,2
200
440
100
5
20
43
11000
105
810
1172
1,0:005,0125,02,17 ==+=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=+⋅
;
в)
92,7
100
792
10
22
10
36
)26,3 ==⋅=⋅
; г)
20
100
2000
10
32
100
625
2,325,6 ==⋅=⋅
;
д) 1) – 3) + 4) = 10,12 – 7,92 + 20 = 22,2.
2) 9,25 ⋅ 1,04 – (6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,2 + 0,16 ⋅ 6,25
Выполним по действиям.
а)
62,9
1000
9620
100
104
100
925
04,125,9 ==⋅=⋅
;
б)
==+=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=⋅+
100
1152
10
9
100
1062
108
89
61000
106372
8,0125,16,0:372,6
52,11 ;
в)
6,9
10
96
12100
101152
2,1:)2 ==
⋅
⋅
=
; г)
1
1000
1000
100100
62516
25,616,0 ==
⋅
⋅
=⋅
;
д) 1) – 3) + 4) = 9,62 – 9,6 + 1 = 1,02.
№ 1058
1)
4
3
9
2
1
10
7
1
3
2
1
1:14
4
3
9
3
2
122:
3
1
7
4
3
1:28
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅++
. Выполним по действиям.
а)
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=+⋅++
43
395
223
122
7
428
2
1
1:14
4
3
9
3
2
122:
3
1
7
4
3
1:28
=+=
+
+=++=+++=
⋅
+
12
311
16
12
195116
16
4
65
3
29
16
3
28
4
65
3
1
16
3
214
12
503
12
11
41 ==
;
б)
42
5533
712
22503
7
1
3)1 =
⋅
⋅
=⋅
; в)
4
3
4
39
2
21
4
3
9
2
1
10 =−=−
;
г)
63
11066
342
45533
)3
)2
=
⋅
⋅
= .
2)
()
108,0358,0:
12
7
6
5
125,0:375,0
2
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Выполним по действиям.
а)
()
1125,0:125,0125,0:375,05,0125,0:375,0
2
1
==−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− ;
138
б)
()
1
14
41
25,0:
12
710
108,0358,0:
12
7
6
5
=
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
;
в) 1) + 2) = 1 + 1 = 2.
№ 1059
1)
4
1
1:
8
1
:10 x=
, 100
4
5810
4
1
1
8
1
:10 =
⋅⋅
=⋅=x ;
2)
2
1
14:
2
1
975,0: =x
,
116
57
2924
2193
2
1
14:
2
1
975,0 =
⋅⋅
⋅⋅
=⋅=x
;
(опечатка в ответе задачника)
3)
05,1
456,1
15
=
x
, 8,20
05,1
456,115
=
⋅
=x .
№ 1060
518345
81
1
4972
125
515
2
1
4
1
4
1
2
1
3
1
2
1
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅−
⋅
−
−
Выполним по действиям.
1)
5755515125515
125
515
3
3
1
2
1
=⋅=⋅⋅=
⋅
−
;
2)
147277249724972
4
4
1
2
1
=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ;
3)
14575)2)1 −=−
; 4)
533598145
81
1
4
2
1
4
1
+=⋅+=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
;
5)
(
)
(
)
=−−+=+−=⋅ 542421125522553314575)4)3 51831083 +
6)
10835183518310835183)5 =−+=− .
№ 1061
1) 227log729log
2
2727
== .
2)
(
)
339log27log729log
2
9
2
99
=⋅== .
3)
(
)
6163log63log729log
3
1
6
3
1
3
1
−=−⋅=== .
№ 1062
1)
()
3,0
10
3
2log
4
1
5
6
2log2log64log
2
5
6
2
5
1
6
2
5
16
1
44
−=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅===
−−
2)
01log4loglog16logloglog
848248
=
=
=
.
139
№ 1063
1) 42222
24
2
8
8
2
1
====
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
.
2)
6422222
63932733
3
27
====⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅−
.
№ 1064
1)
5
1
2
5
11
5
2
5
9
6log3log36log
3
9
log
5
2
6
5
1
2
3
5
6
5
3
==+=+=+
−
.
2)
()
160161016416416
10log
10log5,0
2
110log5,0
4
4
4
=⋅=⋅=⋅=
+
.
№ 1065
1)
5,0
7
1
5,25,2 .
Основания равны, значит будем сравнивать показатели степеней.
f (х) = 2,5
х
– функция возрастающая, т.к. 2,5 > 1.
х
2
> х
1
, f (х
2
) > f (х
1
);
2
1
7
1
5,25,2
2
1
7
1
<⇒< ;
2)
4
3
3
2
2,02,0 , f (х) = 0,2
х
– убывает, т.к. 0,2 < 1, х
2
> х
1
f (х
2
) < f (х
1
)
Сравним
12
9
и
12
8
или ,
4
3
и
3
2
.
4
3
3
2
2,02,0
4
3
3
2
12
9
12
8
>⇒<⇒< .
3)
3log10log
1,31,3
Функция log
3,1
x – возрастающая, т.к. 3,1 > 1.
3log10log3910
1,31,3
>⇒=>
4)
4
3
log
5
4
log
3,03,0
, f (х) = log
0,3
x – убывает, т.к. 0,3 < 1,
4
3
log
5
4
log
4
3
20
15
20
16
5
4
3,03,0
<⇒=>=
.
№ 1066
1)
11
5
1
>⇒> aa
; 2) 1
1
1
10
3
3,1
>
⋅
⇒>
−
aa
a
⇒ а < 1, а ∈ (0; 1);
3)
а
–3,1
< 1 ⇒ а
3,1
> 1 ⇒ а > 1; 4) а
2,7
< 1 ⇒ а ∈ (0; 1);
5) log
a
0,2 > 0 ⇒ log
a
0,2 > log
a
1 ⇒ а < 1;
6) log
a
1,3 > 0 ⇒ log
a
1,3 > log
a
1 ⇒ а > 1.