Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
Возьмем на прямой l
1
произвольную точку, например (4, -3).
Подставим ее координаты в уравнение прямой АВ: 3
⋅
4 + 4
⋅
(-3) - 7 =
= -7 < 0. Подставим координаты точки С в это же уравнение: 3
⋅
2 +
+ 4
⋅
2 - 7 = 7 > 0. Подставим теперь координаты точки (4, -3) в
уравнение прямой ВС: 4
⋅
4 + 3
⋅
(-3) - 14 = -7 < 0 . Подставим коор-
динаты точки А в это уравнение: 4 + 3 - 14 = -7 < 0.
Итак, точка (4, -3) находится по отношению к прямой ВС в той
же полуплоскости, что и точка А, но по отношению к прямой АВ –
не в той же полуплоскости, в которой находится точка С. Следова-
тельно, точка (4, -3) принадлежит биссектрисе внешнего, а не
внутреннего угла треугольника.
Итак, прямая l
1
: x - y - 7 = 0 – биссектриса внешнего угла при
вершине В. Следовательно, искомая биссектриса есть прямая l
2
:
x + y - 3 = 0.
вопросы
Что называется уравнением линии на плоскости? Приведите
примеры уравнений линий.
Что такое порядок алгебраической линии?
Что называется угловым коэффициентом прямой линии на
плоскости? Определен ли угловой коэффициент прямой, па-
раллельной оси Oy?
Что называется нормальным вектором прямой на плоскости?
Как по общему уравнению прямой определить один из ее нор-
мальных векторов?
Как определить острый угол между прямыми, заданными об-
щими уравнениями?
Как вычислить расстояние между двумя параллельными пря-
мыми на плоскости, заданными общими уравнениями?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2
Глава
вАжНеЙшие кривЫе вТороГо ПорядкА
.1. окружНосТь. ЭллиПс
О п р е д е л е н и е. Окружностью называется множество всех
точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии, назы-
ваемом радиусом, от фиксированной точки, называемой центром
окружности.
Пусть радиус окружности равен R и центром является точка
C(x
0
, y
0
) (рис. 8.1). Выведем уравнение этой окружности.
y
M(x, y)
R
x
0
C(x
0
, y
0
)
рис. .1. Окружность с центром в точке С и радиусом R = CM
Для любой точки M(x, y) окружности выполняется равенство
CM = R, т.е.
( )
2
x x y y R− + − =
0 0
2
( ) .
Отсюда получаем уравнение окружности:
( )
2
x x y y R− + − =
0 0
2 2
( ) .
В частности, если центр окружности совпадает с началом ко-
ординат, то уравнение окружности имеет вид
x
2
+ y
2
= R
2
. (8.1)
Уравнение (8.1) называется каноническим уравнением окруж-
ности.
О п р е д е л е н и е . Эллипсом называется линия, для всех то-
чек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек, на-
зываемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем
расстояние между фокусами.
Выведем уравнение эллипса. Выберем систему координат так,
чтобы ось Ox проходила через фокусы F
1
и F
2
, а ось Oy – посереди-
не между фокусами (рис. 8.2).
M(x, y)
F
2
(c, 0)F
1
(−c, 0)
0
a
b
x
y
r
1
r
2
рис. .2. Эллипс
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
Пусть расстояние между фокусами равно 2c, а сумма расстоя-
ний произвольной точки M(x, y) эллипса от фокусов равна 2a:
F
1
M + F
2
M = 2a (согласно определению a > c). Выразим расстоя-
ния от точки M(x, y) до фокусов F
1
(-c, 0) и F
2
(c, 0) соответ-
ственно:
r F M x c y
1 1
2 2
= = + +( ) ,
r F M x c y
2 2
2 2
= = − +( ) .
Так как
r
1
+ r
2
= 2a, то
( ) ( ) .x c y x c y a+ + + − + =
2 2 2 2
2
(8.2)
Это уравнение эллипса. Преобразуем его:
( ) ( ) ,x c y a x c y+ + = − − +
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ,x c y a a x c y x c y+ + = − − + + − +
2 2 2 2 2 2 2
4 4
a x c y a cx( ) ,− + = −
2 2 2
a x c y a cx
2 2 2 2
2
( ) ,− +
= −
( )
a x a cx a c a y a a cx c x
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2− + + = − + ,
a x c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 4 2 2
− + = − .
Так как a
2
- c
2
> 0, то можно обозначить a
2
- c
2
= b
2
. Получаем:
b x a y a b
2 2 2 2 2 2
+ = ,
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = .
(8.3)
Необходимо убедиться в том, что уравнение (8.3) действительно
есть уравнение эллипса. Пока можно утверждать только то, что
каждая точка M(x, y), удовлетворяющая уравнению эллипса (8.2),
удовлетворяет и уравнению (8.3). Однако уравнение (8.3) получено
после двукратного возведения в квадрат, а мы знаем, что при возве-
дении в квадрат обеих частей уравнения может получиться уравне-
ние, не равносильное исходному. Убедимся, что здесь этого не
произошло. Надо доказать, что каждая точка M(x, y), удовлетворя-
ющая уравнению (8.3), есть точка эллипса, т.е. что для нее выпол-
нено условие r
1
+ r
2
= 2a.
Итак, пусть M(x, y) – произвольная точка, координаты которой
удовлетворяют уравнению (8.3). Найдем расстояния r
1
и r
2
точки M
от фокусов F
1
и F
2
соответственно.
Имеем
r x c y
1
2 2
= + +( ) .
()
Выразим y
2
из уравнения (8.3):
y b
x
a
2 2
2
2
1= −
.
Однако b
2
= a
2
- c
2
, следовательно,
y a c
x
a
a c x
c
a
x
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
1= − −
= − − +( ) .
Подставим это значение y
2
в равенство ():
r x cx c a c x
c
a
x cx a
c
a
x
1
2 2 2 2 2
2
2
2 2
2
2
2
2 2= + + + − − + = + + =
= +
a
c
a
x
2
.
Величина e, определяемая соотношением
e
c
a
= ,
называется экс-
центриситетом эллипса, при этом 0 < e < 1. Он характеризует меру
вытянутости эллипса. Чем больше эксцентриситет, тем сильнее
вытянут эллипс. Эксцентриситет равен нулю тогда и только тогда,
когда фокусы эллипса совпадают: F
1
= F
2
. В этом случае эллипс
превращается в окружность радиуса a.
Имеем
r a
c
a
x a ex
1
= ± +
= ± +( ).
Слева – положительное число r
1
. Следовательно, справа надо
выбрать такой знак, чтобы правая часть также была положительной.
Из (8.3) следует, что
x a≤ .
Кроме того, 0 < e < 1, следовательно,
ex a< .
Итак, независимо от того, x > 0 или x < 0, всегда a + ex > 0,
поэтому справа надо взять знак «плюс»:
r
1
= a + ex. ()
Рассуждая аналогично, получим
r
2
= a - ex. ()
Из () и () имеем
r
1
+ r
2
= 2a,
следовательно, точка M(x, y) принадлежит эллипсу.
Мы доказали, что уравнение (8.3) есть уравнение эллипса. Оно
называется каноническим уравнением эллипса.
Здесь a – большая полуось эллипса, b – малая полуось
(
b a c= −
2 2
). Из уравнения (8.3) следует, что оси Оx и Оy являются
осями симметрии эллипса, а точка их пересечения – точка О(0, 0) –
центром симметрии.
В частном случае, когда a = b, фокусы эллипса сливаются, c = 0
и мы имеем окружность радиуса a с центром в начале координат.
.2. ГиПерБолА
О п р е д е л е н и е. Гиперболой называется линия, для всех то-
чек которой модуль разности расстояний до двух фиксированных
точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и мень-
шая, чем расстояние между фокусами.
Обозначим, как и в случае с эллипсом, расстояние между фоку-
сами F
1
и F
2
через 2c, выберем систему координат так, чтобы ось Оx
проходила через фокусы, а ось Оy – посередине между ними
(рис. 8.3). Обозначим расстояния от произвольной точки M(x, y)
гиперболы до фокусов F
1
и F
2
соответственно через r
1
и r
2
, полу-
чаем:
r r a
1 2
2− = .
Принимая во внимание равенства
r F M x c y
1 1
2 2
= = + +( ) ,
r F M x c y
2 2
2 2
= = − +( ) ,
получаем уравнение гиперболы:
( ) ( ) .x c y x c y a+ + − − + = ±
2 2 2 2
2
После преобразований, аналогичных тем, которые мы прово-
дили с уравнением эллипса (см. § 8.1), получаем каноническое
уравнение гиперболы:
x
a
y
b
2
2
2
2
1− = ,
(8.4)
где b
2
= c
2
- a
2
.
M(x, y)
F
1
(−c, 0) F
2
(c, 0)
0
b
a
x
y
r
1
r
2
рис. .. Гипербола
x
a
y
b
2
2
2
2
1− =
Гипербола имеет две оси симметрии, точка пересечения кото-
рых является ее центром симметрии.
Нетрудно показать, что при x → ∞ ветви гиперболы как угодно
близко подходят к прямым
y
b
a
x= ± ,
называемым асимптотами
гиперболы.
Подробнее об асимптотах см. в § 19.3.
.. ПАрАБолА
О п р е д е л е н и е. Параболой называется линия, для всех то-
чек которой расстояние до фиксированной точки, называемой
фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, называ-
емой директрисой и не проходящей через фокус.
Пусть на плоскости даны точка F и прямая d, не проходящая
через эту точку. Выведем уравнение параболы с фокусом F и ди-
ректрисой d. Пусть расстояние от точки F до прямой d равно p.
Выберем систему координат следующим образом: ось Ox прове-
дем через точку F перпендикулярно к прямой d, а ось Oy – посере-
дине между точкой F и прямой d (рис. 8.4).
M(x, y)
0
x
y
r
d
δ
−
p
F
p
2
2
0,
рис. .. Парабола y
2
= 2px
Пусть M(x, y) – произвольная точка на параболе. Обозначим
через δ расстояние от этой точки до директрисы, а через r – рас-
стояние до фокуса. Согласно определению
r = δ.
Учитывая, что
r x
p
y
p
x= −
+ = +
2 2
2
2
, ,δ
получаем:
x
p
y
p
x−
+ = +
2 2
2
2
,
x px
p
y
p
px x
2
2
2
2
2
4 4
− + + = + + ,
y
2
= 2px. (8.5)
Это каноническое уравнение параболы. Здесь число p называется
параметром параболы.
Заметим, что каноническое уравнение параболы (8.5) отличает-
ся от знакомого по школьному курсу уравнения. Это связано с вы-
бором системы координат. Если поменять оси координат, то вмес-
то уравнения (8.5) получим привычное уравнение вида y = ax
2
, где
a – постоянное число. Аналогичное замечание относится и к урав-
нению гиперболы (8.4). Например, если для гиперболы
x y
2 2
2 2
1− =
взять в качестве осей новой системы координат ее асимптоты, то в
этой новой системе координат ее уравнение будет иметь знакомый
вид
y
x
=
1
.
.. оБщее урАвНеНие лиНии
вТороГо ПорядкА
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид
a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
+ 2a
13
x + 2a
23
y + a
33
= 0, (8.6)
при этом
a a a
11
2
12
2
22
2
0+ + ≠ .
В аналитической геометрии доказывается, что существует де-
вять различных кривых второго порядка:
• эллипсы;
• гиперболы;
• параболы;
• кривые, распадающиеся на пару прямых.
При этом эллипсы и пары прямых могут быть как действительны-
ми, так и мнимыми.
Таким образом, среди линий второго порядка кривыми в при-
вычном понимании этого слова являются только эллипс, гипер-
бола и парабола. Поэтому их называют важнейшими кривыми
второго порядка.
Доказательство приведенного выше утверждения основано на
преобразовании квадратичной формы. Поэтому его полезно при-
вести здесь. Однако для этого надо предварительно изучить, как
меняются координаты точек и уравнения линий при перемене
системы координат.
.. ПреоБрАзовАНия коордиНАТ
Прежде чем написать уравнение линии на плоскости, необхо-
димо выбрать определенную систему координат. При этом в раз-
ных системах координат одна и та же линия будет иметь, очевидно,
разные уравнения. Например, уравнение окружности радиуса R,
центр которой имеет в выбранной системе Oxy координаты x
0
и y
0
,
выглядит так:
(x - x
0
)
2
+ (y - y
0
)
2
= R
2
.
В другой системе координат O′x′y′, у которой начало O′ совпа-
дает с центром этой окружности, уравнение этой окружности бу-
дет иметь вид
′
+
′
=x y R
2 2 2
.
Так будет, в частности, если координаты систем Oxy и O′x′y′ связа-
ны соотношениями
x = x′ + x
0
,
y = y′ + y
0
.
Рассмотрим еще один пример. Пусть прямая задана в системе
координат Oxy уравнением
x - y + 2 = 0,
и пусть теперь выбрана другая система координат O′x′y′, связан-
ная с прежней соотношениями
x
x y
=
′
−
′
−
2 2
1,
y
x y
=
′
+
′
+
2 2
1.
Тогда уравнение данной прямой в системе O′x′y′ будет иметь
совсем простой вид:
y′ = 0.
Итак, мы видим, что удачный выбор координатной системы
позволяет упростить уравнение рассматриваемой линии.
В аналитической геометрии переход от одной прямоугольной
системы координат к другой осуществляется обычно с помощью
поворота и параллельного переноса.
100
Параллельный перенос системы координат Oxy в точку M
0
(x
0
, y
0
)
задается формулами
x x x
y y y
=
′
+
=
′
+
0
0
,
,
(8.7)
выражающими старые координаты x, y через новые x′, y′.
Поворот системы координат на угол a (совершаемый против
часовой стрелки) задается формулами
x x y
y x y
=
′
−
′
=
′
+
′
cos sin ,
sin cos .
α α
α α
(8.8)
Выведем эти формулы.
1. Начнем с параллельного переноса. Пусть на плоскости зада-
ны две прямоугольные системы координат: «старая» Oxy и «но-
вая»
O′x′y′, причем ось O′x′ параллельна оси Ox, а ось O′y′ – оси Oy,
кроме того, направления соответствующих старых и новых осей
совпадают. Иначе говоря, новая система O′x′y′ получена из старой
путем параллельного переноса, или сдвига, при котором начало ко-
ординат О перемещается в точку O′.
Пусть точка O′ имеет в старой системе координаты x
0
и y
0
.
Пусть для определенности x
0
> 0, y
0
> 0. Возьмем на плоскости
произвольную точку M (рис. 8.5), и пусть (x, y) – ее координаты в
старой системе, а (x′, y′) – в новой системе.
x
x′
y
O
y′
M
2
M
1
O
1
O
2
M′
2
O′ M′
1
M
рис. .. Параллельный перенос системы координат
Рассмотрим рис. 8.5 (мы взяли также для определенности M(x, y)
с координатами x > 0, y > 0): здесь OO
1
= x
0
, OO
2
= y
0
, OM
1
= x,
Далее слова «старая» и «новая» будем писать без кавычек.