Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
1
Глава
лиНеЙНЫе оПерАТорЫ
.1. ПоНяТие лиНеЙНоГо оПерАТорА
Пусть даны два линейных пространства U и V.
О п р е д е л е н и е. Если задано некоторое правило А, по кото-
рому каждому вектору
u
пространства U ставится в соответствие
единственный вектор
v A u= ( )
пространства V, то говорят, что за-
дан оператор А, действующий из U в V. Вектор
v A u= ( )
называется
образом вектора
u
, а вектор
u
– прообразом вектора
v
.
Оператор
A u( )
называется линейным, если он удовлетворяет
следующим двум условиям:
1) для любых двух векторов
u
1
и
u
2
пространства U
A(
u
1
+
u
2
) = A(
u
1
) + A(
u
2
);
2) для любого вектора
u
из U и любого числа l
A(l
u
) = lA(
u
).
Понятие линейного оператора является одним из фундамен-
тальных понятий линейной алгебры.
Пусть теперь U = R
n
, V = R
m
.
Далее мы увидим, что если в пространстве R
n
задать некото-
рый базис
e e e
n1 2
, , ,,…
а в пространстве R
m
– некоторый базис
f f f
m1 2
, , ,,…
то линейный оператор А задается матрицей разме-
ра m × n.
Итак, пусть
e e e
n1 2
, , ,,…
– какой-нибудь базис пространства R
n
.
Возьмем произвольный вектор
x
и разложим его по базису:
x x e x e x e
n n
= + + +
1 1 2 2
… .
Оператор A(
x
) – линейный, поэтому
A x x A e x A e x A e
n n
( ) ( ) ( ) ( ).= + + +
1 1 2 2
…
(5.1)
2
Однако каждый из векторов
A e i n
i
( ) ( , , ),= 1 2 …
есть вектор
из R
m
, следовательно, его можно разложить по базису
f f f
m1 2
, , ,…
:
A e a f a f a f
i i i mi m
( ) .= + + +
1 1 2 2
…
(5.2)
Подставляя разложение
A e i n
i
( ) ( , , ),= 1 2 …
из (5.2) в (5.1), по-
лучаем
A x x a f a f a f x a f a f
m m
( ) ( ) (= + + + + +
1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2
… ++ + +… a f
m m2
)
+ + + + +… …x a f a f a f
n n n mn m
( ).
1 1 2 2
Группируя члены и собирая коэффициенты при
f f f
m1 2
, , ,,…
получаем
A x a x a x a x f a x a x
n n
( ) ( ) (= + + + + + +
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2
… … ++ +a x f
n n2 2
)
+ + + + +… …( ) .a x a x a x f
m m mn n m1 1 2 2
(5.3)
Пусть y
1
, y
2
, …, y
m
– координаты образа вектора
x
, т.е. коорди-
наты вектора
y A x= ( )
в базисе
f f f
m1 2
, , ,…
. Тогда
A x y f y f y f
m m
( ) .= + + +
1 1 2 2
…
(5.4)
В силу единственности разложения вектора по базису правые
части равенств (5.3) и (5.4) совпадают. Следовательно,
y a x a x a x
y a x a x a
n n
n
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
= + + +
= + + +
…
…
,
xx
y a x a x a x
n
m m m mn n
,
.
…= + + +
1 1 2 2
(5.5)
Матрица A системы (5.5) называется матрицей оператора A от-
носительно базисов
e e e
n1 2
, , ,…
и
f f f
m1 2
, , ,…
:
A =
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
.
Итак, каждому линейному оператору A: R
n
→ R
m
соответ-
ствует матрица размера m × n. Очевидно, верно и обратное:
каждой матрице размера m × n соответствует линейный опера-
тор A: R
n
→ R
m
.
Если рассматривать векторы
x
= (x
1
, x
2
, …, x
n
) и
y A x= =( )
= ( , , , )y y y
m1 2
…
как матрицы-столбцы:
X Y=
=
x
x
x
y
y
y
n m
1
2
1
2
,
,
то равенство
y A x= =( )
, или, что то же самое, систему (5.5) можно
записать в виде матричного равенства:
Y = AX,
где А – матрица линейного оператора. В частности, когда про-
странства R
n
и R
m
совпадают, то посредством оператора А про-
странство R
n
отображается в себя. В этом случае матрица операто-
ра – квадратная матрица порядка n.
.2. деЙсТвия с лиНеЙНЫМи оПерАТорАМи
Для линейных операторов определены операции сложения и
умножения на число.
1. Суммой двух линейных операторов A
1
и A
2
называется опера-
тор (A
1
+ A
2
), определяемый равенством
(A
1
+ A
2
)(
x
) = A
1
(
x
) + A
2
(
x
).
2. Произведением линейного оператора А на число l называется
оператор lA, определяемый равенством
lA(
x
) = l(A(
x
)).
Известно, что всякий линейный оператор определяется соот-
ветствующей квадратной матрицей. Поэтому описанным опера-
циям соответствуют аналогичные операции над матрицами опе-
раторов – сложение и умножение на число. Операторы (A
1
+ A
2
) и
lA также являются линейными.
Нулевой оператор
0
определяется как оператор, переводящий
всякий вектор пространства R
n
в нулевой вектор
0
.
Очевидно, (A +
0
) = A для любого оператора А.
Для линейных операторов можно определить также операцию
умножения.
3. Произведением линейных операторов A
1
и A
2
называется опе-
ратор (A
1
A
2
), определяемый равенством
(A
1
A
2
)(
x
) = A
1
(A
2
(
x
)).
Произведение двух линейных операторов также есть линейный
оператор.
Тождественный оператор E определяется так:
E(
x
) =
x
.
Очевидно, (AE) = (EA) = A для любого линейного оператора А.
.. соБсТвеННЫе векТорЫ
и соБсТвеННЫе зНАчеНия лиНеЙНоГо оПерАТорА
О п р е д е л е н и е. Ненулевой вектор
x
∈ R
n
называется
собственным вектором линейного оператора А, если существует
такое число l, что
A(
x
) = l
x
. (5.6)
При этом число l называется собственным значением оператора А.
Если А – матрица оператора А, то число l, удовлетворяющее
равенству (5.6), называется собственным значением матрицы А,
а вектор
x
– собственным вектором матрицы А.
Равенство (5.6) можно записать в матричной форме:
AX = lX, или AX = lEX.
(5.7)
Из последнего равенства получаем
(A – lE)X = 0.
(5.8)
Если A = (a
ij
), i, j = 1, 2, …, n, то
A E− =
−
−
λ
λ
λ
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
−−
λ
.
(5.9)
Уравнение (5.8) эквивалентно системе линейных однородных
уравнений
( ) ,
( )
a x a x a x
a x a x
n n11 1 12 2 1
21 1 22 2
0− + + + =
+ − +
λ
λ
…
… ++ =
⋅
+ + +
a x
a x a x a
n n
n n n
2
1 1 2 2
0,
(
…
nn n
x− =
λ) .0
(5.10)
Так как собственный вектор не является нулевым, то однород-
ная система (5.10) должна иметь ненулевое решение. Как из-
вестно, однородная система n уравнений с n неизвестными имеет
ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель
равен нулю. Поэтому
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
0
−
−
−
=
λ
λ
λ
,
или A E− =λ 0.
(5.11)
Уравнение (5.11) называется характеристическим уравнением
матрицы, а левая часть этого уравнения – характеристическим
многочленом матрицы А (или оператора A).
Очевидно, что уравнение (5.11) есть алгебраическое уравнение
степени n. Его корни являются собственными значениями матри-
цы А. Подставляя каждый из корней в систему (5.10) и решая ее,
получим соответствующий собственный вектор.
П р и м е р 5.1. Н
айти собственные значения и собственные
векторы линейного оператора А, заданного матрицей
A =
4 1
2 3
.
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение
A E− =λ 0
для этой матрицы:
4
0
− 1
2 3 −
=
λ
λ
.
Раскрывая определитель, получаем
l
2
– 7l + 10 = 0.
Корни этого уравнения: l
1
= 5, l
2
= 2. Подставляя l
1
= 5 в систе-
му (5.10) при n = 2, получаем
( ) ,
( ) ,
4 5 0
2 3 5 0
1 2
1 2
1
− + =
+ − =
−x x
x x
x
т.е.
++ =
− =
x
x x
2
1 2
0
2 2 0
,
.
()
Собственный вектор, соответствующий собственному значе-
нию l
1
= 5, является решением этой системы, которая, в свою
очередь, равносильна уравнению
x
1
– x
2
= 0.
Объявляя x
2
свободным неизвестным и полагая x
2
= c, получаем
первый собственный вектор:
x c c c
1
1 1= =( , ) ( , ).
Подставим теперь l
2
= 2:
2 0
2 0
1 2
1 2
x x
x x
+ =
+ =
,
.
()
Эта система также эквивалентна одному уравнению. Полагая x
2
= d,
получим
x
d
d
d
2
2 2
1 2= −
= − −, ( , ).
Так как c и d – произвольные числа, то одному собственному
значению может соответствовать бесконечное множество векто-
ров. В частности, полагая c = 1, d = –2, получаем собственные
векторы, являющиеся фундаментальными решениями соответст-
вующих однородных систем () и (). Они имеют вид
x
1
= (1, 1),
x
2
= (1, –2).
вопросы
Чем задается линейный оператор в базисе пространства R
n
?
Всякая ли квадратная матрица n-го порядка задает в R
n
линей-
ный оператор?
Какой линейный оператор называется нулевым?
Как выглядит характеристическое уравнение для матрицы
A =
1 2
3 4
?
Сколько различных собственных значений может иметь мат-
рица третьего порядка?
Является ли число l = 5 собственным значением матрицы
A =
5 3
0 1
?
Является ли вектор
x
= (2, 3) собственным вектором для мат-
рицы
A =
1 2
0 4
?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Глава
квАдрАТичНЫе форМЫ
.1. осНовНЫе ПоНяТия
О п р е д е л е н и е. Квадратичной формой F(x
1
, x
2
, …, x
n
) от n
неизвестных x
1
, x
2
, …, x
n
называется сумма, каждое слагаемое ко-
торой является либо квадратом одной из этих переменных, либо
произведением двух разных переменных.
П р и м е р 6.1. С
умма x
2
– 3xy + 2y является квадратичной
формой от двух неизвестных: x и y. Сумма x
1
2
+ 2x
1
x
2
–3x
1
x
3
+ 4x
2
2
– x
2
x
3
является квадратичной формой от трех неизвестных: x
1
, x
2
, x
3
.
(Заметим, что в рассмотренных квадратичных формах уже
приведены подобные члены.)
Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном
виде. При этом используется следующая символика.
Сумма a
k
+ a
k+1
+ … + a
n
записывается в виде
a a a a
k k n i
i k
n
+ + + =
+
=
∑
1
… .
В частности,
a a a a
n i
i
n
1 2
1
+ + + =
=
∑
… .
Если же рассматривается сумма, слагаемые которой a
ij
снабже-
ны двумя индексами i и j, причем i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, то
можно сначала взять суммы элементов с фиксированным первым
индексом, т.е.
a a a
j
j
n
j
j
n
mj
j
n
1
1
2
1 1= = =
∑ ∑ ∑
, , ,,…
а затем сложить все эти суммы. Тогда для суммы всех элементов a
ij
получим запись
a
ij
j
n
i
m
==
∑∑
11
.
(6.1)
Можно также складывать сначала слагаемые a
ij
с фиксирован-
ным вторым индексом, а затем уже полученные суммы:
a
ij
i
m
j
n
==
∑∑
11
.
(6.2)
Поэтому
a a
ij
j
n
i
m
ij
i
m
j
n
== ==
∑∑ ∑∑
=
11 11
,
(6.3)
т.е. в двойной сумме можно менять порядок суммирования.
Суммы (6.1) и (6.3) можно рассматривать как сумму элементов
матрицы размера m × n:
a a a
a a a
a a a
j n
i ij in
m mj mn
11 1 1
1
1
.
Если в этой матрице сложить элементы каждой строки, а затем
сложить полученные суммы, имеем (6.1); если же сначала сложить
элементы каждого столбца, а затем сложить то, что получилось,
имеем (6.2).
Вернемся теперь к вопросу о стандартном виде квадратичной
формы. Считая, что в квадратичной форме F = F (x
1
, x
2
, …, x
n
) уже
приведены подобные члены, введем следующие обозначения: ко-
эффициент квадратичной формы при x
i
2
обозначим через a
ii
, а ко-
эффициент при произведении x
i
x
j
для i ≠ j – через 2a
ij
. Так как,
очевидно, x
i
x
j
= x
j
x
i
, то коэффициент при этом произведении
можно было бы обозначить и через 2a
ji
, т.е. предполагается, что
a
ij
= a
ji
. (6.4)
Теперь член 2a
ij
x
i
x
j
можно записать в виде
2a
ij
x
i
x
j
= a
ij
x
i
x
j
+ a
ji
x
j
x
i
,
а вся квадратичная форма F = F(x
1
, x
2
, …, x
n
) записывается в виде
суммы всевозможных членов a
ij
x
i
x
j
, где i и j независимо друг от
друга принимают все значения от 1 до n:
F(x
1
, x
2
, …, x
n
) =
a x x
ij i j
j
n
i
n
==
∑∑
11
.
(6.5)
(В частности, если i = j, то получается a
ii
x
i
2
.) Заметим, что при
двойном суммировании нередко обходятся одним знаком суммы.
Равенство (6.5) можно записать в виде
F(x
1
, x
2
, …, x
n
) =
a x x
ij i j
i j
n
,
.
=
∑
1
Коэффициенты a
ij
квадратичной формы (6.5) образуют, оче-
видно, квадратную матрицу A = (a
ij
) порядка n; она называется
матрицей квадратичной формы F = F(x
1
, x
2
, …, x
n
), а ранг r матри-
цы A – рангом этой квадратичной формы. Если, в частности, r = n,
т.е. матрица A – невырожденная, то и квадратичная форма
F = F(x
1
, x
2
, …, x
n
) называется невырожденной. Равенство (6.4)
означает, что элементы матрицы A, симметричные относительно
главной диагонали, равны между собой, т.е. матрица A – симмет-
рическая. Очевидно, для любой симметрической матрицы n-го
порядка можно указать вполне определенную квадратичную фор-
му (6.5) от n неизвестных, коэффициентами которых являются
элементы матрицы A.
П р и м е р 6.2. Записать квадратичную форму
F = F(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
2
+ 4x
1
x
2
+ 2x
2
2
– 3x
2
x
3
+ x
3
2
+ x
3
x
2
в стандартном виде и найти ее матрицу.
Р е ш е н и е. После приведения подобных членов получим
x x x x x x x
x x x x x
1
2
1 2 2
2
2 3 3
2
1
2
1 2 2 1
4 2 2
2 2 2
+ + − + =
= + + + xx x x x x x
x x x x x x x x
2
2
2 3 3 2 3
2
1 1 1 2 1 3 2 1
2 0 2
− − + =
= + + ⋅ + ++ − + ⋅ − +2 0
2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
x x x x x x x x x x .
Матрица квадратичной формы имеет вид
A = −
−
1 2 0
2 2 1
0 1 1
.
Квадратичную форму (6.5) можно записать в матричном (век-
торно-матричном) виде, используя произведение прямоугольных
матриц.
Заметим, что матрица A является с и м м е т р и ч е с к о й тогда
и только тогда, когда она совпадает со своей транспонированной,
т.е. когда
A′ = A.
0
Обозначим через X матрицу-столбец неизвестных:
X
x
x
x
n
=
1
2
.
Покажем, что в матричной записи квадратичная форма имеет
следующий вид:
F = X ′AX.
(6.6)
Действительно, произведение AX будет матрицей-столбцом:
AX
a x
a x
a x
j j
j j
nj j
=
∑
∑
∑
1
2
.
(Здесь пишем
a
j
n
=
∑
1
вместо
a
j
n
=
∑
1
, чтобы избежать излишней громозд-
кости записи.)
Умножая теперь эту матрицу-столбец слева на матрицу
X ′ = (x
1
, x
2
, …, x
n
), получаем
′
= =
==
∑∑
X AX a x x F
ij i j
j
n
i
n
11
,
что и требовалось доказать.
П р и м е р 6.3. Записать
квадратичную форму из примера 6.2
в матричном виде.
Р е ш е н и е. Используя матрицу A, найденную в примере 6.2,
получаем
F x x x
x
x
x
= −
−
( , , )
1 2 3
1
2
3
1 2 0
2 2 1
0 1 1
.
Рассмотрим теперь, как меняется квадратичная форма при ли-
нейном преобразовании неизвестных. Пусть задано линейное
преобразование неизвестных x
1
, x
2
, …, x
n
:
x c y i n
i ik k
k
n
= =
=
∑
1
1 2, , , ,…
(6.7)