Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
1
с матрицей C = (c
ik
), иначе говоря, задано линейное преобразова-
ние
X = CY,
(6.8)
где Y – столбец неизвестных y
1
, y
2
, …, y
n
.
Воспользуемся одним из свойств операции транспонирования
матриц:
(AB)′ = B′A′.
(6.9)
В соответствии с (6.9) из (6.8) получаем
X′ = (CY )′ = Y′C′.
(6.10)
Отсюда
F X AX Y C A CY Y C AC Y F Y A=
′
=
′ ′
=
′ ′
=
′
( ) ( ) ( ) , или
Y ,
где
A C AC
=
′
.
(6.11)
Матрица
A
будет симметрической. Действительно, так как A′ = A,
то с учетом свойства (6.9)
A C AC C C A C A C C AC A
′
=
′ ′
=
′ ′ ′
=
′ ′
=
′
=( ) ( ) .
Итак, мы доказали следующую теорему.
Т е о р е м а 6.1. Квадратичная
форма с матрицей A в резуль-
тате линейного преобразования с матрицей C превращается в
квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей C′AC.
Предположим теперь, что матрица преобразования C – невы-
рожденная. Тогда, очевидно, C′ – также невырожденная матрица.
В этом случае произведение C′AC есть произведение матрицы A на
невырожденные матрицы и поэтому ранг этого произведения ра-
вен рангу матрицы A.
Мы получили следующую теорему.
Т е о р е м а 6.2. Р
анг квадратичной формы не меняется при
невырожденном линейном преобразовании.
П р и м е р 6.4. Дана квадратичная форма
F = F(x
1
, x
2
) = x
1
2
+ 2x
1
x
2
– 3x
2
2
.
Найти квадратичную форму G(y
1
, y
2
), полученную из данной
линейным преобразованием
x
1
= 2y
1
– y
2
, x
2
= y
1
+ y
2
.
2
Р е ш е н и е. Запишем матрицу данной квадратичной формы A
и матрицу преобразования C:
A С=
−
=
−
1 1
1 3
2 1
1 1
, .
Матрица искомой квадратичной формы
A
согласно (6.11) име-
ет вид
A C AC
=
′
=
−
−
−
=
2 1
1 1
1 1
1 3
2 1
1 1
5 −−
− −
4
4 4
.
Следовательно, G = G(y
1
, y
2
) = 5y
1
2
– 8y
1
y
2
– 4y
2
2
.
П р и м е р 6.5. Дана квадратичная форма
F = F(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
2
+ 5x
2
2
– 4x
3
2
+ 2x
1
x
2
– 4x
1
x
3
.
Найти квадратичную форму G(y
1
, y
2
, y
3
), полученную из данной
линейным преобразованием
x y y y x y y x y
1 1 2 3 2 2 3 3 3
1
2
5
6
1
2
1
6
1
3
= − + = − =, , .
Р е ш е н и е. Запишем матрицу A данной квадратичной фор-
мы, матрицу преобразования C и вычислим
A
= C′AC:
A C=
−
− −
=
−
−
1 1 2
1 5 0
2 0 4
1
0
0
1
2
5
6
1
2
1
6
,
00
1
3
,
A
= −
−
−
− −
1 0 0
0
1 1 2
1 5 0
2 0 4
1
2
1
2
5
6
1
6
1
3
−
−
=
1
0
0 0
1 0 0
0 1 0
0
1
2
5
6
1
2
1
6
1
3
00 1−
.
Следовательно, G = G(y
1
, y
2
, y
3
) = y
1
2
+ y
2
2
- y
3
2
.
Пример 6.5 показывает, что при удачно выбранных линейных
преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно
упростить.
.2. кАНоНическиЙ вид квАдрАТичНоЙ форМЫ
Будем говорить, что квадратичная форма имеет канонический
вид, если ее матрица диагональна (a
ij
= 0 при i ≠ j):
A
a
a
a
nn
=
11
22
0 0
0 0
0 0
.
Очевидно, в этом случае квадратичная форма представляет со-
бой сумму квадратов неизвестных вида
F a x a x a x a x
nn n ii i
i
n
= + + + =
=
∑
11 1
2
22 2
2 2 2
1
… .
В частности, квадратичная форма G, полученная в примере 6.5,
имеет канонический вид.
Мы установили, что ранг квадратичной формы не меняется
при невырожденных линейных преобразованиях (см. § 6.1). Пусть
квадратичная форма F(x
1
, x
2
, …, x
n
) приведена невырожденным
линейным преобразованием к каноническому виду
b y b y b y
n n1 1
2
2 2
2 2
+ + +… ,
(6.12)
где y
1
, y
2
, …, y
n
– новые неизвестные. Здесь некоторые из коэффи-
циентов b
1
, b
2
, …, b
n
могут быть нулями.
Нетрудно доказать, что ранг квадратичной формы равен числу
отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде, к которому
приводится данная квадратичная форма.
Действительно, если квадратичная форма ранга r приведена не-
вырожденным линейным преобразованием к виду (6.12), это озна-
чает, что матрица преобразованной квадратичной формы имеет вид
b
b
b
n
1
2
0 0
0 0
0 0
и также имеет ранг r. А это равносильно тому, что на главной диа-
гонали находится r отличных от нуля элементов.
Справедлива следующая основная теорема о квадратичных
формах (приведем ее без доказательства).
Т е о р е м а 6.3. Всякая квадратичная форма может быть при-
ведена некоторым невырожденным линейным преобразованием
к каноническому виду.
Следует заметить, что всякая квадратичная форма может быть
приведена к каноническому виду различными способами. При
этом канонический вид, к которому приводится данная квадра-
тичная форма, не является для нее однозначно определенным.
П р и м е р 6.6. Дана квадратичная форма
F = 2x
1
x
2
– 6x
2
x
3
+ 2x
3
x
1
.
Проверить, что она приводится к каноническому виду линей-
ным преобразованием:
x y y y
1 1 2 3
1
2
1
2
3= + + ,
x y y y
2 1 2 3
1
2
1
2
= − − ,
x y
3 3
= .
Р е ш е н и е:
C = − −
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
0 0 1
.
Получаем
A = −
−
−
−
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0
3 1 1
0 1 1
1 0 3
1 3 0
− −
= −
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
0 0 1
0 0
0 0
0 00 6
,
т.е. квадратичная форма приводится к виду
1
2
1
2
6
1
2
2
2
3
2
y y y− + .
П р и м е р 6.7. Дана квадратичная форма из примера 6.6:
F = 2x
1
x
2
- 6x
2
x
3
+ 2x
3
x
1
.
Проверить, что линейное преобразование:
x
1
= y
1
+ 3y
2
+ 2y
3
,
x
2
= y
1
- y
2
- 2y
3
,
x
3
= y
2
также приводит эту квадратичную форму к каноническому виду.
Р е ш е н и е:
C = − −
1 3 2
1 1 2
0 1 0
.
Получаем
A
= −
−
−
−
1 1 0
3 1 1
2 2 0
0 1 1
1 0 3
1 3 0
− −
=
−
1 3 2
1 1 2
0 1 0
2 0 0
0 6 0
0 0 8
,
т.е. квадратичная форма из примера 6.6 приводится к другому ка-
ноническому виду:
2y
1
2
+ 6y
2
2
- 8y
3
2
.
Из примеров 6.6 и 6.7 видим, что одна и та же квадратичная
форма
F = 2x
1
x
2
- 6x
2
x
3
+ 2x
3
x
1
в результате одного невырожденного линейного преобразования
приобрела вид
G y y y= − +
1
2
1
2
6
1
2
2
2
3
2
,
а в результате другого –
G y y y
1 1
2
2
2
3
2
2 6 8= + − .
Несмотря на то что G и G
1
заметно отличаются друг от друга,
у них все же есть одно общее свойство: они содержат одинаковое
число положительных и отрицательных коэффициентов (два и
один соответственно). Это не случайно. Имеет место следующее
утверждение (приведем его без доказательства).
Т е о р е м а 6.4 (закон инерции квадратичных форм). Число
положительных и число отрицательных коэффициентов в записи
квадратичной формы в каноническом виде, к которому приводит-
ся данная квадратичная форма невырожденным линейным пре-
образованием, не зависят от выбора этого преобразования.
Наряду с каноническим видом рассматривают также нормаль-
ный вид квадратичной формы, т.е. сумму квадратов неизвестных с
коэффициентами +1 или -1.
В частности, в примере 6.5 квадратичная форма
F = x
1
2
+ 5x
2
2
– 4x
3
2
+ 2x
1
x
2
– 4x
1
x
3
преобразована к виду
G = y
1
2
+ y
2
2
- y
3
2
,
который является не только каноническим, но и нормальным.
Нетрудно убедиться, что квадратичную форму, преобразован-
ную к каноническому виду, всегда можно привести невырожден-
ным линейным преобразованием к нормальному виду.
Действительно, пусть
G c y c y c y c y
k k k k r r
= + + − − −
+ +1 1
2 2
1 1
2 2
… … ,
где
c c c c
k k r1 1
, , , , ,… …
+
положительны.
Тогда преобразование
z c y i r z y j r n
i i i j j
= = = = +( , ), ( , )1 2 1, , ,… …
приводит G к нормальному виду:
G z z z z
k k r1 1
2 2
1
2 2
= + + − − −
+
… … .
Закон инерции квадратичных форм можно теперь сформулиро-
вать так: число положительных и отрицательных квадратов в нор-
мальном виде квадратичной формы не зависит от выбора линейного
невырожденного преобразования, которым квадратичная форма
приведена к этому виду.
.. ПоложиТельНо и оТрицАТельНо
оПределеННЫе квАдрАТичНЫе форМЫ
О п р е д е л е н и е. Квадратичная форма F(x
1
, x
2
, …, x
n
) называ-
ется положительно определенной, если при всех значениях неиз-
вестных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется
неравенство
F(x
1
, x
2
, …, x
n
) > 0.
Если же F(x
1
, x
2
, …, x
n
) < 0 для всех значений неизвестных, из ко-
торых хотя бы одно отлично от нуля, то квадратичная форма на-
зывается отрицательно определенной.
Нетрудно доказать (мы этого делать не будем), что квадратич-
ная форма от n неизвестных является положительно определен-
ной тогда и только тогда, когда она приводится к нормальному
виду, состоящему из n положительных квадратов.
Сформулируем один из часто употребляемых критериев поло-
жительно (отрицательно) определенной квадратичной формы.
Т е о р е м а 6.5. Для
того чтобы квадратичная форма F = X ′AX
была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и
достаточно, чтобы все собственные значения l
i
матрицы A были
положительны (отрицательны).
П р и м е р 6.8. Выяснить, является ли квадратичная форма
F x x x x= − +2 4 5
1
2
1 2 2
2
положительно определенной.
Р е ш е н и е. Матрица A квадратичной формы имеет вид
A =
−
−
2 2
2 5
.
Составляем характеристическое уравнение:
2
7
− −2
−2 5 −
= − + 6 = 0.
2
λ
λ
λ λ
Корни характеристического уравнения l
1
= 6, l
2
= 1 положи-
тельны, следовательно, квадратичная форма является положи-
тельно определенной.
Сформулируем еще один часто применяемый критерий поло-
жительной определенности квадратичной формы.
Пусть
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
– матрица квадратичной формы
F = X ′AX.
Главными минорами этой матрицы называются определители
∆ ∆ ∆
1 2
= = =a
a a
a a
a a a
a
n
n
11
11 12
21 22
11 12 1
2
, , ,…
11 22 2
1 2
a a
a a a
n
n n nn
.
Т е о р е м а 6.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадра-
тичная форма F = X ′AX была положительно определенной, необ-
ходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы A были
положительны:
D
1
> 0, D
2
> 0, …, D
n
> 0.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опреде-
ленной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров
D
1
, D
2
, …, D
n
чередовались, причем D
1
< 0.
(Эту теорему также примем без доказательства.)
П р и м е р 6.9. Убедиться,
пользуясь критерием Сильвестра,
что квадратичная форма
F x x x x= − +2 4 5
1
2
1 2 2
2
,
из примера 6.8 является положительно определенной.
Р е ш е н и е:
∆ ∆
1 2
= = =
−
−
=a
11
2 0
2 2
2 5
6 0> >, .
Главные миноры матрицы A положительны, следовательно, по
критерию Сильвестра квадратичная форма является положитель-
но определенной.
П р и м е р 6.10. Выяснить, является ли квадратичная форма
F x x x x x x x x x= + + + − −5 6 4 10 4
1
2
2
2
3
2
1 2 1 3 2 3
положительно определенной.
Р е ш е н и е. Вычисляем главные миноры:
∆ ∆ ∆
1 2
= = = =
−
−
− −
=5
5 2
2 1
1
5 2 5
2 1 2
5 2 6
1
3
, , .
Главные миноры положительны, следовательно, данная квад-
ратичная форма положительно определена.
вопросы
Является ли выражение x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
1
x
4
квадратичной фор-
мой?
Как определяется матрица квадратичной формы? Всегда ли
матрица квадратичной формы является квадратной?
1.
2.
Что называется рангом квадратичной формы?
Как преобразуется матрица А квадратичной формы при невы-
рожденном линейном преобразовании С ?
Как связан ранг квадратичной формы с числом отличных от
нуля коэффициентов в каноническом виде, к которому при-
водится эта форма?
В чем заключается закон инерции квадратичных форм?
Является ли нормальный вид квадратичной формы ее канони-
ческим видом?
Каков нормальный вид положительно определенной квадра-
тичной формы?
3.
4.
5.
6.
7.
8.
0
раздел II
ЭлеМеНТЫ
АНА
лиТическоЙ ГеоМеТрии
Глава
лиНии НА ПлоскосТи
.1. осНовНЫе ПоНяТия
Пусть на плоскости задана система координат, и пусть мы име-
ем на плоскости некоторую линию (прямую или кривую).
О п р е д е л е н и е. Уравнением линии на плоскости называется
такое равенство
F(x, y) = 0,
(7.1)
которому удовлетворяют координаты любой точки, принадле-
жащей этой линии, и не удовлетворяют координаты любой точки,
не принадлежащей этой линии.
Короче говоря, уравнение (7.1) есть уравнение линии, если ему
удовлетворяют координаты всех тех и только тех точек, которые
принадлежат этой линии.
П р и м е р 7.1. Написать
уравнение множества точек, равно-
удаленных от оси Ox и от точки A(0, 2).
Р е ш е н и е. Из школьного курса известно, что расстояние
между точками M
1
(x
1
, y
1
) и M
2
(x
2
, y
2
) вычисляется по формуле
d x x y y= − + −( ) ( ) ,
2 1
2
2 1
2
а расстояние от точки до оси Ox есть ордината этой точки, взятая с
соответствующим знаком.
Пусть M(x, y) – произвольная точка искомой линии. Тогда
MM
0
= MA (рис. 7.1) или
y x y= + −
2 2
2( ) .