Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

1

(Здесь, очевидно, y > 0). Возводя в квадрат обе части уравнения,

получаем

= x

+ y

- 4y + 4,

или после очевидных преобразований

= +

Эта линия – парабола с вершиной в точке (0, 1).

1−1−2−3 2 3

рис. .1. Парабола

= +

Заметим, что во многих случаях из уравнения (7.1) можно вы-

разить y через x и записать уравнение линии в виде y = f(x).

В тех случаях, когда линия задается алгебраическим уравне-

нием n-го порядка (в частности, первого или второго), то гово-

рим, что это линия n-го порядка (соответственно первого или

второго порядка). Например, y = 3x

, x

+ y

- 4 = 0 – линии вто-

рого порядка.

.2. оБщее урАвНеНие лиНии ПервоГо ПорядкА.

ПряМАя НА ПлоскосТи

К линиям первого порядка относятся те линии, для которых

задающее их уравнение (7.1) является линейным, т.е. алгебраи-

ческим уравнением, которое содержит переменные x и y только в

первой степени:

Ax + By + C = 0. (7.2)

2

Если в этом уравнении B ≠ 0, то можно выразить y:

= − − ,

или, введя новые обозначения

= − = −, ,

y = kx + b. (7.3)

Уравнение (7.3) называется уравнением прямой с угловым коэф-

фициентом k. Здесь k = tgϕ, где ϕ – угол между прямой и положи-

тельным направлением оси Ox (рис. 7.2).

рис. .2. Прямая с угловым коэффициентом k = tgϕ

Если же B = 0 в уравнении (7.2), то прямая перпендикулярна

оси Ox, ее угловой коэффициент не определен и уравнение имеет

вид x = a.

Полезно знать некоторые разновидности уравнения прямой.

1. Если известны угловой коэффициент k и точка M(x

, y

через которую проходит прямая, то, очевидно, выполняется тож-

дество

= kx

+ b. ()

Вычитая это тождество из уравнения (7.3), получаем уравнение

прямой с заданным угловым коэффициентом и проходящей через за-

данную точку:

y - y

= k(x - x

). (7.4)

2. Если прямая проходит через две заданные точки M

, y

) и

, y

), то кроме тождества () выполняется также тождество

= kx

+ b. ()



Из тождеств () и () находим

y y

x x

−

1 0

и с учетом (7.4) получаем уравнение прямой, проходящей через за-

данные точки:

y y

x x

x x− =

−

1 0

( ).

(7.5)

П р и м е р 7.2. С

оставить уравнение прямой, проходящей

через точки M

(-2, -1) и M

(1, 5).

Р е ш е н и е. Подставляем координаты этих точек в (7.5):

y x y x+ =

+ = +1

5 1

1 2

2 2 3( ), .или

3. Если известна точка M

, y

), через которую проходит

прямая, и вектор

n A B= ( , ),

перпендикулярный этой прямой, то

уравнение прямой имеет вид

A(x - x

) + B(y - y

) = 0. (7.6)

Д о к а ж е м это. Пусть M(x, y) – произвольная точка данной

прямой. Тогда

M M x x y y

0 0 0

= − −( , ).

По условию

M M n

⊥ ,

а это

эквивалентно тому, что

M M n

0, .

( )

Записав это уравнение в

координатной форме, получаем

A(x - x

) + B(y - y

) = 0,

что и требовалось доказать.

Раскроем скобки в последнем уравнении:

Ax + By - Ax

- By

= 0.

Обозначив -Ax

- By

= C, получаем

Ax + By + C = 0.

(7.7)

Итак, уравнение прямой есть линейное уравнение.

Докажем, что всякое уравнение первого порядка вида (7.7) есть

уравнение некоторой прямой на плоскости.

Действительно, пусть задано уравнение первой степени (7.7).

В нем хотя бы один из коэффициентов, A или B, отличен от нуля

(иначе оно не было бы уравнением первой степени). Пусть, на-

пример, A ≠ 0. Это уравнение всегда имеет решение (например,



положив y

= 1, находим

B C

− −

). Пусть (x

, y

) – какое-

нибудь решение уравнения (7.7), т.е.

+ By

+ C = 0. (7.7′)

Вычитая (7.7′) из (7.7), получаем

A(x - x

) + B(y - y

) = 0.

Это уравнение равносильно уравнению (7.7), так как получено

из (7.7) посредством тождественных преобразований. В то же вре-

мя оно представляет собой уравнение прямой, как доказано вы-

ше. Следовательно, уравнение (7.7) есть уравнение прямой.

Уравнение (7.7) называется общим уравнением прямой, а всякий

ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, называет-

ся ее нормальным вектором. В частности, вектор

n A B= ( , )

есть

нормальный вектор прямой (7.7).

Угол между прямыми

I. Пусть заданы две прямые y = k

x + b

и y = k

x + b

, где

= tgϕ

, k

= tgϕ

. Пусть ϕ – угол между прямыми (рис. 7.3).

рис. .. Угол ϕ между прямыми

Тогда ϕ = ϕ

- ϕ

и по известной формуле из школьного курса

тригонометрии

tg tg( )

tg tg

,ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= − =

−

2 1

1 2

или

tg .ϕ =

−

k k

2 1

1 2

(7.8)



Отсюда, в частности, сразу следует условие п а р а л л е л ь н о с т и

прямых:

= k

Нетрудно также получить условие п е р п е н д и к у л я р н о с т и

прямых:

= -1.

П р и м е р 7.3. Найти угол между прямыми

y = 3x + 2, y = -2x + 1.

е ш е н и е. Подставляя в (7.8) значения k

= 3, k

= -2, полу-

чаем

tg .ϕ =

− −

−

2 3

1 6

Отсюда

Заметим, что формула (7.8) определяет один из двух углов меж-

ду пересекающимися прямыми; другой угол равен p - ϕ.

II. П

усть теперь две прямые l

и l

заданы общими уравне-

ниями:

: A

x + B

y + C

= 0,

: A

x + B

y + C

= 0.

Угол между этими прямыми равен углу между их нормальными

векторами (либо дополняет его до 180°). Следовательно, один из

двух углов a между этими прямыми можно вычислить по формуле

cos

( , )

.α = =

+ +

n n

A A B B

A B A B

1 2

1 2 1 2

(7.9)

П р и м е р 7.4. Н

айти угол между прямыми, заданными об-

щими уравнениями

3x - 4y + 7 = 0, 8x - 6y + 15 = 0.

е ш е н и е. Применим формулу (7.9):

cos .α =

⋅ + ⋅

+ +

3 8 4 6

3 4 8 6

2 2 2 2

Стало быть, один из углов между данными прямыми равен

arccos .



Условие п а р а л л е л ь н о с т и прямых l

и l

есть условие парал-

лельности их нормальных векторов

= (A

, B

) и

= (A

, B

= .

(7.10)

Условие п е р п е н д и к у л я р н о с т и прямых есть условие пер-

пендикулярности их нормальных векторов:

+ B

= 0. (7.11)

Полуплоскости

Пусть прямая l задана уравнением (7.7). Ее нормальный век-

тор

n A B= ( , )

. Все точки плоскости, не принадлежащие l, разо-

бьем на два множества p

и p

следующим образом:

M(x, y) ∈ p

⇔ Ax + By + C > 0,

M(x, y) ∈ p

⇔ Ax + By + C < 0.

Множество p

называется положительной полуплоскостью по от-

ношению к у р а в н е н и ю прямой (7.7), а множество p

– отрица-

тельной полуплоскостью. Следует подчеркнуть, что понятие поло-

жительной и отрицательной полуплоскостей определяется по отно-

шению к уравнению прямой, а не к самой прямой. Очевидно, если

умножить обе части уравнения (7.7) на -1, то получим уравнение

той же самой прямой, однако при этом положительная полуплос-

кость станет отрицательной, а отрицательной – положительной.

Можно доказать (мы этого делать не будем), что вектор

n A B= ( , )

направлен в ту часть плоскости, которая является поло-

жительной по отношению к уравнению прямой (7.7):

Ax + By + C = 0.

Расстояние от точки до прямой

Выведем формулу расстояния d от произвольной точки M

, y

)

до прямой (7.7).

Расстояние от точки M

до прямой (7.7) равно длине перпендику-

ляра, опущенного из M

на эту прямую. Обозначим через N(x

, y

)

основание этого перпендикуляра, т.е. точку пересечения перпен-

дикуляра с прямой (7.7). Тогда по формуле расстояния между

двумя точками

d x x y y= − + −( ) ( ) .

1 0

(7.12)



Угловой коэффициент k прямой (7.7), очевидно, равен

= − .

В соответствии с условием перпендикулярности угловой ко-

эффициент перпендикуляра M

N равен

′

а само уравнение

этого перпендикуляра (с учетом того, что он проходит через точ-

ку M

, y

)) имеет вид

y y

x x− = −

0 0

( ).

(7.13)

Далее можно было бы, решив совместно уравнения (7.7)

и (7.13), найти координаты (x

, y

) точки N и подставить их в (7.12).

Однако, несмотря на простоту этого решения, здесь возникнут

громоздкие выражения. Поэтому применим другой способ. Вос-

пользуемся тем, что точка N принадлежит M

N. Поэтому неиз-

вестные пока координаты x

, y

точки N удовлетворяют уравне-

нию (7.13):

y y

x x

1 0 1 0

− = −( ).

Отсюда получаем равенство

y y

x x

1 0 1 0

−

Обозначим общее значение этих дробей δ:

x x

y y

1 0 1 0

−

= δ.

Это значение δ неизвестно, так как неизвестны x

и y

. Найдем его:

- x

= Aδ, y

- y

= Bδ. ()

Подставляя эти разности в формулу (7.12), получим

d A B A B A B= + = + = +

( ) ( ) ( ) .δ δ δ δ

2 2 2 2 2 2

(7.14)

Следует заметить, что мы не знаем, положительно или отрица-

тельно число δ.

Выразим x

и y

из ():

= x

+ Aδ, y

= y

+ Bδ



и подставим эти значения в уравнение (7.7). (Напомним, что точ-

ка N(x

, y

) принадлежит и перпендикуляру к прямой (7.7), и са-

мой прямой.) Получаем

A(x

+ Aδ) + B(y

+ Bδ) + C = 0,

откуда

δ = −

+ +

Ax By C

A B

0 0

2 2

Подставим теперь найденное значение δ в формулу (7.14) и

проведем необходимые сокращения:

Ax By C

A B

Ax By C A B

A B

= −

+ +

+ =

+ + +

0 0

2 2

0 0

2 2

+ +

Ax By C

A B

0 0

2 2

Окончательно получаем

Ax By C

A B

+ +

0 0

2 2

(7.15)

Итак, расстояние до прямой, заданной общим уравнением, можно

найти, подставив координаты точки в левую часть этого уравнения,

а затем модуль полученного числа разделив на квадратный корень

из суммы квадратов коэффициентов этого уравнения прямой.

П р и м е р 7.5. Н

айти расстояние от точки M

(2, 3) до пря-

мой 4x + 3y + 8 = 0.

Р е ш е н и е. Применяем формулу (7.15):

d =

⋅ + ⋅ +

4 2 3 3 8

4 3

2 2

П р и м е р 7.6. Найти расстояние между параллельными пря-

мыми l

и l

: 4x + 3y - 8 = 0,

: 8x + 6y + 9 = 0.

Р е ш е н и е. Расстояние между двумя параллельными пря-

мыми равно, очевидно, расстоянию от любой точки одной из этих

прямых до другой прямой. Положим в уравнении первой из этих



прямых y = 0, получим x = 2. Следовательно, точка M

(2, 0) принад-

лежит первой прямой. Находим расстояние от M

до прямой l

d =

⋅ + ⋅ +

8 2 6 0 9

64 36

П р и м е р 7.7. Написать уравнение биссектрисы угла между

прямыми l

и l

: 3x - 4y + 7 = 0,

: 5x + 12y - 21 = 0.

Р е ш е н и е. Известно, что любая точка биссектрисы нахо-

дится на одинаковом расстоянии от сторон угла. Поэтому если

M(x, y) – точка, принадлежащая биссектрисе угла между прямыми

и l

, то

3 4 7

9 16

5 12 21

25 144

x y x y− +

+ −

Отсюда получаем

13 3 4 7 5 5 12 21x y x y− + = + − ,

или

13 3 4 7 5 5 12 21( ) ( ).x y x y− + = ± + −

Получаем два уравнения биссектрисы:

1) 39x - 52y + 91 = 25x + 60y - 105,

14x - 112y + 196 = 0,

x - 8y + 14 = 0;

39x - 52y + 91 = -25x - 60y + 105,

64x + 8y - 14 = 0,

32x + 4y - 7 = 0.

Итак, биссектрисы углов, образованных пересекающимися

прямыми l

и l

, – это прямые

x - 8y + 14 = 0 и 32x + 4y - 7 = 0.

П р и м е р 7.8.

Написать уравнение биссектрисы внутреннего

угла при вершине B треугольника ABC, где A(1, 1), B(5, -2),

C(2, 2).

0

Р е ш е н и е. Составим уравнения сторон AB и BC по форму-

ле (7.5):

AB y x x y: − =

− −

−

− + − =1

2 1

5 1

1 3 4 7 0( ), ;или

BC y x x y: + =

−

− + − =2

2 2

2 5

5 4 3 14 0( ), .или

Напишем уравнения обеих биссектрис угла между прямыми

AB и ВС:

3 4 7

9 16

4 3 14

16 9

x y x y+ −

+ −

3 4 7 4 3 14x y x y+ − = + − ,

3 4 7 4 3 14x y x y+ − = ± + −( ),

откуда

: x - y - 7 = 0,

: x + y - 3 = 0.

Одна из этих биссектрис есть биссектриса внутреннего угла

треугольника, а другая – внешнего угла.

Далее рассуждаем следующим образом:

1. Если точка M

принадлежит биссектрисе внутреннего угла

треугольника и находится по ту сторону от точки В, что и тре-

угольник ABC, то точка M

находится в той же полуплоскости от-

носительно прямой AB, что и точка С, а также в той же полуплос-

кости относительно прямой ВС, что и точка А.

2. Если же точка M

лежит по другую сторону от В, то она лежит

в противоположных плоскостях как по отношению к прямой АВ,

так и по отношению к прямой ВС (рис. 7.4).

M′

рис. .. Биссектриса внутреннего угла треугольника ABC