Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
211
Согласно теореме Ролля существует такая точка x ∈ (a, b), что
F ′(x) = 0, т.е.
′
−
−
−
=f
f b f a
b a
( )
( ) ( )
.ξ 0
Отсюда
f b f a
b a
f
( ) ( )
( ).
−
−
=
′
ξ
Теорема доказана.
Заметим, что из теоремы Лагранжа вытекает равенство
f(b) - f(a) = f ′(x)(b - a), (17.1)
называемое формулой Лагранжа.
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа виден из рис. 17.3.
Хорда, проходящая через точки M
1
(a, f(a)) и M
2
(b, f(b)), имеет уг-
ловой коэффициент, равный
tg
( ) ( )
.α = =
−
−
M N
M N
f b f a
b a
2
1
Теорема Лагранжа утверждает, что существует такая точ-
ка M(x, f(x)) в интервале (a, b), где касательная к графику функции
параллельна хорде M
1
M
2
: ее угловой коэффициент f ′(x) равен
угловому коэффициенту хорды M
1
M
2
.
M
N
y
α
x
ba ξ
0
M
2
M
1
рис. 1.. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Т е о р е м а 17.4 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x)
непрерывны на [a, b] и дифференцируемы в (a, b), причем
212
g′(x) ≠ 0. Тогда существует такая точка x ∈ (a, b), что справедлива
формула
f b f a
g b g a
f
g
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
.
−
−
=
′
′
ξ
ξ
(17.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего убедимся в том, что зна-
менатель в левой части равенства (17.2) не равен нулю. Действи-
тельно, если бы было g(b) - g(a) = 0, т.е. g(b) = g(a), то по теореме
Ролля g′(x) = 0 в некоторой точке x ∈ (a, b), а это противоречит
условию доказываемой теоремы.
Рассмотрим вспомогательную функцию
F x f x f a
f b f a
g b g a
g x g a( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ( )= − −
−
−
− ]].
Нетрудно убедиться в том, что эта функция на [a, b] удовлет-
воряет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a, b]
(в силу непрерывности f(x) и g(x)), дифференцируема в (a, b) –
ее производная имеет вид
′
=
′
−
−
−
′
F x f x
f b f a
g b g a
g x( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
и F(a) = F(b) = 0. Стало быть, существует такая точка x ∈ (a, b), что
F ′(x) = 0, т.е.
′
−
−
−
′
=f
f b f a
g b g a
g( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) .ξ ξ 0
Отсюда (с учетом того, что g′(x) ≠ 0) получаем формулу
f b f a
g b g a
f
g
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
.
−
−
=
′
′
ξ
ξ
Теорема доказана.
Формула (17.2) называется формулой Коши.
Теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши при
g(x) = x.
1.2. ПрАвило лоПиТАля
Неопределенность вида
0
0
Рассмотрим отношение двух функций
f x
g x
( )
( )
.
Будем говорить,
что это отношение при x → a есть неопределенность вида
0
0
,
если
lim ( ) lim ( ) .
x a x a
f x g x
→ →
= = 0
21
Если существует
lim
( )
( )
,
x a
f x
g x
→
то вычисление этого предела назы-
вают раскрытием упомянутой неопределенности.
Т е о р е м а 17.5. П
усть функции f(x) и g(x) на отрезке [a, b]
удовлетворяют условиям теоремы Коши и пусть f(a) = g(a) = 0.
Тогда если существует
lim
( )
( )
,
x a
f x
g x
→
′
′
то существует и
lim
( )
( )
,
x a
f x
g x
→
причем
lim
( )
( )
lim
( )
( )
.
x a x a
f x
g x
f x
g x
→ →
=
′
′
(17.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем [a, x] ⊂ [a, b]. Применим тео-
рему Коши к функциям f(x) и g(x) на отрезке [a, x]; получаем
f x f a
g x g a
f
g
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,
−
−
=
′
′
ξ
ξ
где x – некоторая точка, расположенная между a и x. Но по усло-
вию теоремы f(a) = g(a) = 0, поэтому
f x
g x
f
g
( )
( )
( )
( )
.=
′
′
ξ
ξ
Пусть x → a. Тогда x → a (так как a < x < x). Если при этом су-
ществует
lim
( )
( )
,
x a
f x
g x
K
→
′
′
=
то
lim
( )
( )
x a
f
g
→
′
′
ξ
ξ
также существует и равен K.
Поэтому
lim
( )
( )
lim
( )
( )
lim
( )
x a x a a
f x
g x
f
g
f
→ → →
=
′
′
=
′
ξ
ξ
ξ
ξ
′′
=
′
′
=
→
g
f x
g x
K
x a
( )
lim
( )
( )
.
ξ
Итак,
lim
( )
( )
lim
( )
( )
,
x a x a
f x
g x
f x
g x
→ →
=
′
′
что и требовалось доказать.
Теорему 17.5 обычно называют правилом Лопиталя.
З а м е ч а н и е 1. Теорема
17.5 остается справедливой и тогда,
когда f(x) и g(x) не определены при x = a, но
lim ( ) lim ( ) .
x a x a
f x g x
→ →
= = 0
В таком случае достаточно доопределить функции f(x) и g(x) в точ-
ке a так, чтобы они стали непрерывными в этой точке, положив
f a f x
x a
( ) lim ( ) ,= =
→
0
g a g x
x a
( ) lim ( ) ,= =
→
0
после чего все условия тео-
ремы выполнены.
21
З а м е ч а н и е 2. Правило Лопиталя можно применять по-
вторно, если f ′(x) и g ′(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и
исходные функции f(x) и g(x).
П р и м е р 17.1. Найти пределы:
а) б вlim
sin
; lim ;
x x
x
x
x x
→ →
−
0 0
3
3
4
1
)
e
)
lim
cos
.
x
x x
x
→
−
+ −
−
0
2
1
e e
Р е ш е н и е:
а) lim
sin
lim
(sin )
( )
lim
x x x
x
x
x
x
→ → →
=
′
′
=
0 0
3
4
3
4
00
3 3
4
3
4
cos
;
x
=
б)
e 3e
lim lim ;
x
x
x
x
x
→ →
−
= =
0
3
0
3
1
1
3
в)
e e e e
lim
cos
lim
sin
l
x
x x
x
x x
x x
→
−
→
−
+ −
−
=
−
=
0 0
2
1
iim
cos
.
x
x x
x
→
−
+
= =
0
2
1
2
e e
З а м е ч а н и е 3. Правило Лопиталя применимо и в том слу-
чае, если
lim ( ) lim ( ) .
x x
f x g x
→∞ →∞
= =0 0и
Чтобы убедиться в этом, положим
x
z
=
1
.
Тогда z → 0 при x → ∞,
следовательно,
lim , lim .
z z
f
z
g
z
→ →
=
=
0 0
1
0
1
0
К функциям
f
z
g
z
1 1
и
от новой переменной z можно при-
менить теорему 17.5. Получаем
lim
( )
( )
lim lim
x z
f x
g x
f
z
g
z
→∞ →
=
=
0
1
1
zz
f
z
z
g
z
z
→
′
⋅ −
′
⋅ −
0
2
2
1 1
1 1
=
′
′
=
′
→ →∞
lim lim
( )
z x
f
z
g
z
f x
0
1
1
′′
g x( )
,
т.е.
lim
( )
( )
lim
( )
( )
.
x x
f x
g x
f x
g x
→∞ →∞
=
′
′
(17.4)
21
Неопределенность вида
∞
∞
В случае когда функции f(x) и g(x) стремятся к бесконечности
при x → a, также применимо правило Лопиталя.
Пусть
lim ( ) , lim ( )
x a x a
f x g x
→ →
= ∞ = ∞
и пусть отношение
′
′
f x
g x
( )
( )
имеет
предел:
lim
( )
( )
.
x a
f x
g x
K
→
′
′
=
Тогда отношение
f x
g x
( )
( )
также имеет предел
при x → a и справедливо равенство (17.3):
lim
( )
( )
lim
( )
( )
.
x a x a
f x
g x
f x
g x
→ →
=
′
′
(Примем это утверждение без доказательства.)
Заметим, что для функций f(x) и g(x), стремящихся к бесконеч-
ности при x → ∞, правило Лопиталя также справедливо:
lim
( )
( )
lim
( )
( )
.
x x
f x
g x
f x
g x
→∞ →∞
=
′
′
1.. форМулА ТеЙлорА
Пусть функция y = f(x) имеет в точке x = x
0
и в некоторой ее
окрестности производные до (n + 1)-го порядка включительно.
Назовем многочленом Тейлора порядка n функции y = f(x) сле-
дующее выражение:
P x f x
f x
x x
f x
x x
n
( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )= +
′
− +
′′
−
0
0
0
0
0
2
1 2
++ +
+ −
…
f x
n
x x
n
n
( )
( )
!
( ) .
0
0
(17.5)
Этот многочлен и его производные до n-й включительно в точ-
ке x = x
0
имеют те же значения, что и функция f(x), и ее производ-
ные соответственно:
f x P x f x P x
f x
n n
( ) ( ), ( ) ( ),
( )
0 0 0 0
0
=
′
=
′
′′
=
′′′
=P x f x P x
n
n
n
n
( ), ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
,…
(17.6)
(эти равенства легко проверяются непосредственно). Поэтому
имеются основания считать, что многочлен (17.5) дает прибли-
женное представление функции f(x). Степень этого приближения,
очевидно, измеряется разностью R
n
(x) = f(x) - P
n
(x). Имеем
f(x) = P
n
(x) + R
n
(x)
21
или в развернутом виде:
f x f x
f x
x x
f x
x x( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )= +
′
− +
′′
− +
0
0
0
0
0
2
1 2
…… +
+ − +
f x
n
x x R x
n
n
n
( )
( )
!
( ) ( ).
0
0
(17.7)
Формула (17.7) называется формулой Тейлора, а R
n
(x) – оста-
точным членом.
Наша дальнейшая задача – оценить, насколько функция f(x)
отличается от многочлена P
n
(x) при различных значениях x,
т.е. оценить величину R
n
(x).
Запишем остаточный член в форме
R x
Q x
n
x x
n
n
( )
( )
( )!
( ) ,=
+
−
+
1
0
1
(17.8)
где Q(x) – некоторая функция, которую предстоит найти.
Формула (17.7) с учетом (17.8) выглядит теперь так:
f x f x
f x
x x
f x
x x( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )= +
′
− +
′′
− +
0
0
0
0
0
2
1 2
…… +
+ − +
+
−
+
f x
n
x x
Q x
n
x x
n
n n
( )
( )
!
( )
( )
( )!
( ) .
0
0 0
1
1
(17.9)
Зафиксируем x. Пусть для определенности x > x
0
. При этом
функция Q(x) имеет фиксированное числовое значение; обозна-
чаем его через Q.
Обозначим через t переменную величину, изменяющуюся от x
0
до x, и рассмотрим на отрезке [x
0
, x] вспомогательную функцию
F t f x f t
f t
x t
f t
x t( ) ( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )= − −
′
− −
′′
− −
1 2
2
…… −
− − −
+
−
+
f t
n
x t
Q
n
x t
n
n n
( )
( )
!
( )
( )!
( ) ,
1
1
(17.10)
где Q имеет числовое значение, определяемое соотношением (17.9)
при упомянутом фиксированном x.
Найдем производную F ′(t):
′
= −
′
−
′′
− +
′
−
′′′
F t f t
f t
x t f t
f t
( ) ( )
( )
!
( ) ( )
( )
!
(
1 2
xx t
f t
x t
f t
n
x t
n
n
− +
+
′′
− − − − +
+
)
( )
!
( )
( )
!
( )
( )
2
1
2
2
…
nnf t
n
x t
n Q
n
x t
n
n
n
( )
( )
!
( )
( )
( )!
( ) .
− +
+
+
+
−
−1
1
1
21
Здесь соответствующие слагаемые с противоположными знаками
взаимно уничтожаются. Получаем
′
= − − + −
+
F t
f t
n
x t
Q
n
x t
n
n n
( )
( )
!
( )
!
( ) .
( )1
(17.11)
Итак, функция F(t) имеет производную (17.11) на отрезке [x
0
, x].
Кроме того, из (17.10) следует, что F(x) = F(x
0
) = 0. Поэтому к
функции F(t) на [x
0
, x] применима теорема Ролля; следовательно,
существует такое x ∈ (x
0
, x), что F ′(x) = 0. Отсюда на основании
равенства (17.11)
− − + − =
+
f
n
x
Q
n
x
n
n n
( )
( )
!
( )
!
( ) ,
1
0
ξ
ξ ξ
следовательно,
Q = f
(n+1)
(x).
Подставляя это выражение в (17.8), получаем
R x
f
n
x x
n
n
n
( )
( )
( )!
( ) .
( )
=
+
−
+
+
1
0
1
1
ξ
(17.12)
Выражение (17.12) представляет собой остаточный член в фор-
ме Лагранжа.
Подставим теперь R
n
(x) в (17.7):
f x f x
f x
x x
f x
x x( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )= +
′
− +
′′
− +
0
0
0
0
0
2
1 2
…… +
+ − +
+
−
+
f x
n
x x
f
n
x x
n
n
n
( )
( )
( )
!
( )
( )
( )!
( )
0
0
1
0
1
ξ
nn+1
.
(17.13)
Формула (17.13) называется формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа.
Формула (17.13) применяется в тех случаях, когда при опреде-
ленных значениях x, отличных от x
0
, мы желаем заменить прибли-
женно функцию f(x) многочленом P
n
(x) и численно оценить по-
грешность, возникающую при такой замене. Однако бывают слу-
чаи, когда нас не интересуют определенные значения x, но важно
знать поведение остаточного члена при стремлении x к x
0
, точнее
говоря, нас интересует порядок малости остаточного члена. Для
этого остаточный член применяется в иной форме.
21
Д о к а ж е м, что остаточный член R
n
(x) при x → x
0
есть беско-
нечно малая более высокого порядка, чем (x - x
0
)
n
:
R
n
(x) = o((x - x
0
)
n
). (17.14)
Это остаточный член в форме Пеано.
Пусть в некоторой окрестности точки x
0
существуют производ-
ные функции f(x) до n-го порядка включительно, и f
(n)
(x) непре-
рывна в точке x
0
.
Заменим в формуле (17.13) n на n - 1:
f x f x
f x
x x
f x
x x( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )= +
′
− +
′′
− +
0
0
0
0
0
2
1 2
…… +
+
−
− + −
−
−
f x
n
x x
f
n
x x
n
n
n
( )
( )
( )
( )!
( )
( )
!
(
1
0
0
1
1
ξ
00
) ,
n
(17.15)
где x содержится между x
0
и x. Представим последний член в виде
f
n
f x
n
x
n
n
( )
( )
( )
!
( )
!
( ).
ξ
α= +
0
(17.16)
Если x → x
0
, то x → x
0
(так как x содержится между x
0
и x). Тогда
f
(n)
(x) → f
(n)
(x
0
), так как f
(n)
(x) непрерывна. В силу (17.16) a(x) → 0.
А это и означает, что a(x)(x - x
0
)
n
= o((x - x
0
)
n
).
Следовательно,
f
n
x x
f x
n
x x o x x
n
n
n
n
( )
( )
( )
!
( )
( )
!
( ) (( )
ξ
− = − + −
0
0
0 0
nn
).
Теперь из (17.15) получаем
f x f x
f x
x x
f x
x x( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )= +
′
− +
′′
− +
0
0
0
0
0
2
1 2
…… +
+ − + −
f x
n
x x o x x
n
n n
( )
( )
!
( ) (( ) ).
0
0 0
(17.17)
Здесь
R
n
(x) = o((x - x
0
)
n
),
что и требовалось доказать.
Положим x
0
= 0 в формуле (17.13), получим формулу Маклорена
(являющуюся частным случаем формулы Тейлора):
f x f
f
x
f
x
f
n
x
n
( ) ( )
( )
!
( )
!
( )
!
( )
= +
′
+
′′
+ +
+
0
0
1
0
2
0
2
…
nn
n
n
f
n
x+
+
+
+
( )
( )
( )!
,
1
1
1
ξ
(17.18)
где x – точка, расположенная между 0 и x.
21
Формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано вы-
глядит так:
f x f
f
x
f
x
f
n
x
n
n
( ) ( )
( )
!
( )
!
( )
!
( )
= +
′
+
′′
+ +0
0
1
0
2
0
2
… ++ o x
n
( ).
(17.19)
Разложение по формуле Маклорена
некоторых элементарных функций
Наиболее простыми элементарными функциями, как известно,
являются многочлены. Формулы Тейлора и Маклорена дают воз-
можность представить функцию f(x) в виде м н о г о ч л е н а, ко-
эффициенты которого вычисляются сравнительно просто. Эти
разложения применяются и для приближенного вычисления
функций.
В частности, имеют место следующие приближенные равен-
ства (при x → 0):
e
x
n
x x x
n
≈ + + + +1
1 2
2
! ! !
;…
ln( ) ( ) ;1
2 3 4
1
2 3 4
1
+ ≈ − + − + + −
+
x x
x x x x
n
n
n
…
sin
! ! !
( )
( )!
;x x
x x x x
k
k k
≈ − + − + +
−
+
+3 5 7 2 1
3 5 7
1
2 1
…
cos
! ! !
( )
( )!
;x
x x x x
k
k k
≈ − + − + +
−
1
2 4 6
1
2
2 4 6 2
…
( )
!
( )
!
( ) ( )
!
1 1
1
1
2
1 1
2
+ ≈ + +
−
+ +
− − +
x x x
n
n
α
α α α α α α
…
xx
n
.
Здесь в каждом случае погрешность является бесконечно малой
более высокого порядка, чем x
n
(в случае синуса n = 2k + 1, в случае
косинуса n = 2k).
Рассмотрим разложение экспоненты и синуса более подробно.
1.
f(x) = e
x
. Очевидно, f ′(x) = e
x
, f ″(x) = e
x
, …, f
(n)
(x) = e
x
;
f(0) = 1, f ′(0) = 1, …, f
(n)
(0) = 1. Подставляя эти выражения в (17.19),
получаем
e
x
n
n
x x x
n
o x= + + + + +1
1 2
2
! ! !
( ).…
220
2. f(x) = sin x. Последовательно дифференцируя и подставляя
x = 0, получаем: f(0) = 0; f ′(x) = cos x, f ′(0) = 1; f ″(x) = -sin x, f ″(0) = 0;
f ″′(x) = -cos x, f ″′(0) = -1; …;
f x x n
n( )
( ) sin ,= +
π
2
f n
n( )
( ) sin .0
2
=
π
Подставляя в (17.19), получаем
sin
! ! !
( )
( )!
x x
x x x x
k
o
k k
= − + − + +
−
+
+
+3 5 7 2 1
3 5 7
1
2 1
… (( ).x
k2 1+
Рассмотрим еще одну форму записи формулы Тейлора. В фор-
муле (17.17) перенесем f(x
0
) в левую часть равенства и обозначим,
как обычно, x - x
0
= Dx. Тогда разность f(x) - f(x
0
) = f(x
0
+ Dx) - f(x
0
) =
= Df(x
0
). Получаем
∆ ∆ ∆
∆
f x f x x
f x
x
f x
n
n
( ) ( )
( )
!
( )
!
( )
0 0
0
2
0
2
=
′
+
′′
+ +
+
…
xx o x
n n
+ ( ).∆
(17.17′)
Полученная формула есть обобщение формулы (16.2′):
Df(x
0
) = f ′(x
0
)Dx + o(Dx),
которая, очевидно, получается из (17.17′), если положить n = 1.
Аналогичным образом преобразуется формула (17.13):
∆ ∆ ∆
∆
f x f x x
f x
x
f x
n
n
( ) ( )
( )
!
( )
!
( )
0 0
0
2
0
2
=
′
+
′′
+ +
+
…
xx
f
n
x
n
n
n
+
+
+
+
( )
( )
( )!
.
1
1
1
ξ
∆
(17.13′)
Если заменить в формулах (17.13′) и (17.17′) приращение неза-
висимого аргумента Dx на dx (а мы знаем, что dx = Dx) и принять во
внимание, что
′
=
′′
=f x dx df x f x dx d f x( ) ( ), ( ) ( ),
0 0 0
2 2
0
,…
f x dx d f x f dx d
n n n n n n( ) ( )
( ) ( ), ( )
0 0
1 1
= =
+ + +
ξ
11
f ( ),ξ
то, подставляя эти выражения в (17.13′) и (17.17′), получаем соот-
ветственно
∆f x df x d f x
n
d f x
n
n
( ) ( )
!
( )
!
( )
(
0 0
2
0
0
1
2
1 1
= + + +
+ +
+
…
11
1
)!
( ),d f
n+
ξ
(17.13″)
∆ ∆f x df x d f x
n
d f x o x
n n
( ) ( )
!
( )
!
( ) (
0 0
2
0 0
1
2
1
= + + + +… )).
(17.17″)