Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
11
1.. диффереНцируеМосТь фуНкции. связь
Между диффереНцируеМосТью и НеПрерЫвНосТью
О п р е д е л е н и е. Функция y = f(x) называется дифференциру-
емой в точке x
0
, если ее приращение Dy в этой точке можно пред-
ставить в виде
Dy = ADx + aDx,
(16.2)
где A – некоторое число (не зависящее от Dx), а a = a(Dx) – беско-
нечно малая при Dx → 0.
Т е о р е м а 16.1. Для
того чтобы функция y = f(x) была диф-
ференцируемой в точке x
0
, необходимо и достаточно, чтобы она
имела в этой точке конечную производную.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Необходимость. Пусть дано, что
функция f(x) дифференцируема в точке x
0
, т.е. ее приращение
можно представить в виде (16.2). Поделим это равенство на Dx ≠ 0:
∆
∆
y
x
A= + α.
Переходя к пределу при Dx → 0 (и учитывая, что a → 0 при
Dx → 0), получаем
lim ( ) lim ( ) ,
∆ ∆
∆
∆
x x
y
x
f x A A
→ →
=
′
= + =
0
0
0
α
т.е. производная функции f(x) в точке x
0
существует и равна A.
2. Достаточность. Пусть теперь дано, что функция f(x) имеет
производную в точке x
0
, т.е. существует предел
lim .
∆
∆
∆
x
y
x
A
→
=
0
Тогда в соответствии с теоремой 14.1 о связи переменной величи-
ны с ее пределом
∆
∆
y
x
A= + α,
где a – бесконечно малая при Dx → 0. Отсюда
Dy = ADx + aDx.
А это и означает, что f(x) дифференцируема.
Теорема 16.1 позволяет называть функцию одного аргумента
дифференцируемой, если она имеет производную. Операция на-
хождения производной называется дифференцированием.
12
Непрерывность дифференцируемой функции
Т е о р е м а 16.2. Если функция дифференцируема в точке x
0
,
то она непрерывна в этой точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f(x) дифференцируема в точ-
ке x
0
, то ее приращение в этой точке имеет вид (16.2). Переходя к
пределу в этом равенстве при Dx → 0, получаем
lim lim ( ) ,
∆ ∆
∆ ∆ ∆
x x
y A x x
→ →
= + =
0 0
0α
т.е.
lim ,
∆
∆
x
y
→
=
0
0
а это и означает, что функция непрерывна.
1.. вЫчислеНие ПроизводНоЙ
Схема вычисления производной функции f(x):
1. Придадим аргументу x приращение Dx и найдем соответ-
ствующее значение функции f(x + Dx).
2. Найдем приращение функции Dy = f(x + Dx) - f(x).
3. Составим отношение
∆
∆
y
x
.
4. Найдем предел этого отношения при Dx → 0:
′
=
→
y
y
x
x
lim .
∆
∆
∆
0
П р и м е р 16.1. Если y = c = const, то y′ = 0. Действительно,
Dy = 0 при любом Dx, так что y ′ = 0. Итак, если c = const, то
c′ = 0.
П р и м е р 16.2. Найти производную функции y = x
2
.
Р е ш е н и е. 1. Придадим аргументу приращение Dx и най-
дем f(x + Dx) = (x + Dx)
2
.
2. Найдем приращение функции:
Dy = (x + Dx)
2
- x
2
= x
2
+ 2xDx + Dx
2
- x
2
= 2xDx + Dx
2
.
3. Составим отношение
∆
∆
y
x
:
∆
∆
∆
y
x
x x= +2 .
4. Найдем предел:
′
= = + =
→ →
y
y
x
x x x
x x
lim lim ( ) .
∆ ∆
∆
∆
∆
0 0
2 2
Итак, (x
2
)′ = 2x.
1
П р и м е р 16.3. Найти производную функции y = sin x.
Р е ш е н и е:
1.
f(x + Dx) = sin(x + Dx).
2.
∆ ∆
∆ ∆
y x x x
x x x x x x
= + − =
+ + + −
sin( ) sin cos
( )
sin
( )
2
2 2
==
= +
2
2 2
sin cos .
∆ ∆x
x
x
3.
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
y
x
x
x
x
x
x
x
x=
+
= +
2
2 2
2
2
sin cos
sin
cos
∆∆x
2
=
= +
sin
cos .
∆
∆
∆
x
x
x
x
2
2
2
4.
′
= = +
→ → →
y
y
x
x
x
x
x x x
lim lim
sin
lim cos
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
∆
0 0 0
2
2
∆∆x
x x
2
1
= ⋅ =cos cos
(с учетом первого замечательного предела (см. § 14.5) и непрерыв-
ности функции cos x).
Итак, (sin x)′ = cos x.
Правила дифференцирования
Предполагаем, что u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые
функции, c = const.
I. (cu)′ = cu′. III. (uv)′ = u′v + uv′.
II. (u ± v)′ = u′ ± v′.
IV.
u
v
u v uv
v
′
=
′
−
′
2
.
Сформулируем эти правила более подробно и докажем их.
I. Если y = cu(x), где c = const, то y′ = cu′(x),
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1. Придадим x приращение Dx. Тогда
y + Dy = cu(x + Dx).
2.
Найдем приращение функции:
Dy = cu(x + Dx) - cu(x) = c[u(x + Dx) - u(x)].
1
3. Составим отношение
∆
∆
y
x
:
∆
∆
∆
∆
y
x
c
u x x u x
x
=
+ −( ) ( )
.
4. Вычислим предел этого отношения при Dx → 0, т.е. вычис-
лим y′:
′
= =
+ −
=
′
→ →
y
y
x
c
u x x u x
x
cu x
x x
lim lim
( ) ( )
(
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
0 0
)).
(Мы здесь воспользовались тем, что постоянный множитель
можно выносить за знак предела (см. § 14.4).)
II. Если y = u(x) ± v(x), то y′ = u′(x) ± v′(x),
т.е. производная алгебраической суммы дифференцируемых функций
равна алгебраической сумме производных этих функций.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1. Придадим аргументу x прираще-
ние Dx. Тогда функции u = u(x), v = v(x) получат значения u + Du =
= u(x + Dx), v + Dv = v(x + Dx), а тогда
y + Dy = (u + Du) ± (v + Dv).
2.
Найдем приращение функции y:
Dy = (u + Du) ± (v + Dv) - (u ± v) = Du ± Dv.
3.
Составим отношение
∆
∆
y
x
:
∆
∆
∆
∆
∆
∆
y
x
u
x
v
x
= ± .
4. Вычислим предел этого отношения при Dx → 0:
′
= = ± =
′
±
′
→ → →
y
y
x
u
x
v
x
u
x x x
lim lim lim
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0 0 0
vv .
Итак, (u ± v)′ = u′ ± v′.
(Здесь мы воспользовались тем, что предел алгебраической
суммы равен алгебраической сумме пределов (см. § 14.4).)
Доказанное утверждение можно распространить на любое чис-
ло слагаемых. В частности,
(u + v + w)′ = u′ + v′ + w′.
III. Если u = u(x), v = v(x), то (uv)′ = u′v + uv′,
т.е. производная произведения двух дифференцируемых функций рав-
на произведению производной первой из этих функций на вторую
плюс произведение первой функции на производную второй функции.
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Придадим x приращение Dx. Тогда
функции u и v получат значения u + Du, v + Dv, а их произведение
y = uv – значение (u + Du)(v + Dv).
2. Найдем приращение функции y:
Dy = (u + Du)(v + Dv) - uv = uv + Duv + uDv + DuDv - uv =
=
Duv + uDv + DuDv.
3.
Составим отношение
∆
∆
y
x
:
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
y
x
u
x
v u
v
x
u
v
x
= + + .
4. Вычислим предел при Dx → 0:
′
=
′
= = +
→ → →
y uv
y
x
u
x
v u
x x x
( ) lim lim lim
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
0 0 0
vv
x
u
v
x
x x
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
+ =
→ →
lim lim
0 0
= u′v + uv′ + 0⋅v′ = u′v + uv′.
(Здесь
lim ,
∆
∆
x
u
→
=
0
0
так как u, будучи дифференцируемой функ-
цией, непрерывна.)
Итак, (uv)′ = u′v + uv′.
На основании доказанного утверждения легко получить пра-
вило дифференцирования произведения трех и вообще любого
конечного числа функций.
Пусть дано произведение трех функций y = uvw. Представим
это произведение в виде u(vw):
y′ = u′(vw) + u(vw)′ = u′vw + u(v′w + vw′) = u′vw + uv′w + uvw′.
Легко понять, что для случая n сомножителей тем же приемом
можно получить аналогичную формулу производной произведе-
ния:
(u
1
u
2
u
3
⋅⋅⋅u
n
)′ = u
1
′u
2
u
3
⋅⋅⋅u
n
+ u
1
u
2
′u
3
⋅⋅⋅u
n
+ u
1
u
2
u
3
′⋅⋅⋅u
n
+ … + u
1
u
2
u
3
⋅⋅⋅u
n
′.
IV. Если
y
u
v
= ,
то
′
=
′
−
′
y
u v uv
v
2
,
т.е. производная дроби (отношения двух функций) равна дроби, зна-
менатель которой есть квадрат знаменателя данной дроби, а числи-
тель – разность между произведением знаменателя на производную
числителя и произведением числителя на производную знаменателя.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1. Придадим аргументу x прираще-
ние Dx. Тогда функции u и v получат значения u + Du, v + Dv, а их
отношение
y
u
v
=
– значение
y y
u u
v v
+ =
+
+
∆
∆
∆
.
1
2.
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
y
u u
v v
u
v
v u u v
v v v
=
+
+
− =
−
+( )
.
3.
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
y
x
v u u v
x
v v v
u
x
v u
v
x
v v v
=
−
+
=
−
+( ) ( )
.
4.
′
= =
−
→
→ →
y
y
x
v
u
x
u
v
x
v
x
x x
lim
lim lim
li
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
mm ( )
.
∆
∆
x
v v
→
+
0
Отсюда, учитывая, что
lim
∆
∆
x
v
→
=
0
0
(так как функция v, будучи
дифференцируемой, непрерывна), получаем
′
=
′
−
′
′
=
′
−
′
y
u v uv
v
u
v
u v uv
v
2 2
, .или
Производная сложной функции
Теперь сформулируем и докажем правило V.
V. Пусть функция u = ϕ(x) имеет в точке x
0
производную
u
x
′ = ϕ′(x
0
), а функция y = f(u) имеет в соответствующей точке
u
0
= ϕ(x
0
) производную y
u
′ = f ′(u
0
). Тогда сложная функция
y = f(ϕ(x)) в упомянутой точке x
0
также имеет производную и спра-
ведлива следующая формула:
y
x
′ = y
u
′u
x
′.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Придадим x приращение Dx. Пусть Du –
соответствующее приращение функции u = ϕ(x), Dy – приращение
функции y = f(u), вызванное приращением Du. Воспользуемся ра-
венством (16.2), которое, заменяя x на u, перепишем в виде
Dy = y
u
′ Du + aDu
(здесь a зависит от Du; a → 0 при Du → 0). Разделив это равенство
почленно на Dx, получим
∆
∆
∆
∆
∆
∆
y
x
y
u
x
u
x
u
=
′
+ α .
Если Dx → 0, то Du → 0 (так как u непрерывна), а тогда a → 0.
Следовательно, существует предел
lim lim ,
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
x
u
x
u x
y
x
y
u
x
y u
→ →
=
′
=
′ ′
0 0
т.е.
y
x
′ = y
u
′u
x
′.
1
П р и м е р 16.4. Найти производную функции y = sin
2
x.
Р е ш е н и е: y = u
2
, где u = sin x. В соответствии с правилом V
и с учетом примеров 16.2 и 16.3 получаем
y′ = 2u
⋅ u
x
′ = 2sin x(sin x)′ = 2sin x cos x = sin 2x.
Производная обратной функции
Пусть y = f(x) – дифференцируемая и строго монотонная
функция на некотором промежутке X, а функция x = ϕ(y) является
для нее обратной. Можно показать, что ϕ(y) непрерывна на соот-
ветствующем промежутке Y.
Т е о р е м а 16.3. Пусть
функция f(x) строго монотонна и не-
прерывна в промежутке X и в точке x
0
имеет конечную и отличную
от нуля производную f ′(x
0
). Тогда для обратной функции x = ϕ(y)
в соответствующей точке y
0
= f(x
0
) также существует производная,
причем
′
=
′
ϕ ( )
( )
.y
f x
0
0
1
(16.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Придадим значению y = y
0
произволь-
ное приращение Dy. Тогда функция x = ϕ(y) получит соответству-
ющее приращение Dx. Заметим, что при Dy ≠ 0 также и Dx ≠ 0 –
в силу однозначности функции y = f(x). Имеем
∆
∆
∆
∆
x
y
y
x
=
1
.
Пусть теперь Dy → 0. Тогда Dx → 0, так как ϕ(y) непрерывна.
Но тогда знаменатель правой части написанного равенства стре-
мится к пределу f ′(x
0
) ≠ 0, следовательно, существует предел для ле-
вой части равенства, равный
1
0
′
f x( )
;
он и есть производная ϕ′(y).
Итак,
′
=
′
x
y
y
x
1
.
(16.4)
Последнее равенство можно переписать и в таком виде:
′
=
′
y
x
x
y
1
.
(16.5)
1
1.. ПроизводНЫе осНовНЫх
ЭлеМеНТАрНЫх фуНкциЙ
Производная логарифмической функции
Выведем сначала формулу для производной функции y = ln x:
∆ ∆
∆ ∆
y x x x
x x
x
x
x
= + − =
+
= +
ln( ) ln ln ln ,1
∆
∆ ∆
∆y
x x
x
x
= +
1
1ln ,
′
= = +
→ →
y
y
x x
x
x
x x
lim lim ln .
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
0 0
1
1
Обозначим
∆x
x
t= ;
отсюда Dx = tx. Очевидно, Dx → 0 тогда и
только тогда, когда t → 0. Получаем
′
= + = +
→ →
y
tx
t
x
t
t t
t
lim ln( ) lim ln( ) .
0 0
1
1
1
1
1
Отсюда с учетом второго замечательного предела (см. § 14.5) и
непрерывности логарифмической функции получаем
′
= + = =
→
y
x
t
x x
t
t
1
1
1 1
0
1
lim ln( ) ln ,e
т.е.
(ln ) .x
x
′
=
1
Пусть теперь y = log
a
x. Очевидно,
log
ln
ln
.
a
x
x
a
=
Получаем
′
=
′
=
′
=
′
=y x
x
a a
x
x a
a
(log )
ln
ln ln
(ln )
ln
,
1 1
т.е.
(log )
ln
.
a
x
x a
′
=
1
Производная показательной функции
Пусть y = a
x
. Логарифмируя это равенство, получаем
ln y = x ln a.
()
В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции
(ln ) .y
y
y
y
y
′
=
′
=
′
1
1
Дифференцируя равенство (), получаем
′
=
′
=
y
y
a y y aln , ln ,
или
y′ = a
x
ln a,
т.е.
(a
x
)′ = a
x
ln a.
При a = e, очевидно,
(e
x
)′ = e
x
.
Производная степенной функции
Пусть y = x
n
, где n – любое действительное число. Логарифми-
руем эту функцию:
ln y = nln x.
Дифференцируя обе части равенства, получаем
′
=
′
= = =
−
y
y
n
x
y
ny
x
nx
x
nx
n
n
1
1
, ,
т.е.
(x
n
)′ = nx
n-1
.
Производные тригонометрических функций
Выведем теперь формулы для производных тригонометричес-
ких функций:
1. y = sin x. Производную этой функции мы уже нашли (см. при-
мер 16.3):
(sin x)′ = cos x.
2.
y = cos x:
∆ ∆
∆ ∆
y x x x
x x x x x x
= + − = −
+ + + −
=cos( ) cos sin sin2
2 2
= − +
2
2 2
sin sin ,
∆ ∆x
x
x
∆
∆
∆
∆
∆y
x
x
x
x
x
= − +
sin
sin .
2
2
2
200
Переходя к пределу при Dx → 0 и учитывая, что sin x есть
непрерывная функция, получаем
y′ = -sin x,
т.е.
(cos x)′ = -sin x.
3.
y = tg x:
′
=
′
=
′
−
′
y
x
x
x x x xsin
cos
(sin ) cos sin (cos )
c
oos
cos sin
cos cos
,
2
2 2
2 2
1
x
x x
x x
=
+
=
т.е.
(tg )
cos
.x
x
′
=
1
2
4. y = ctg x. Действуя аналогично, получаем
( )
sin
.ctg x
x
′
= −
1
2
Производные обратных
тригонометрических функций
И наконец, выведем формулы для производных обратных три-
гонометрических функций:
1.
y = arcsin x. Эта функция является обратной для функции
x = sin y. По теореме о производной обратной функции (см. § 16.4)
′
=
′
= =
−
y
x y
y
x
y
1 1 1
1
2
cos
sin
(корень взят со знаком «плюс», так как cos y > 0 при
− < <
π π
2 2
y
).
Так как sin y = x, то окончательно получаем
(arcsin ) .x
x
′
=
−
1
1
2
2. y = arccos x:
(arccos ) .x
x
′
= −
−
1
1
2
Вывод аналогичен предыдущему.