Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
Таким образом, при Dx → 0 формулы (17.13″) и (17.17″) дают
возможность из бесконечно малого приращения функции Df(x
0
)
выделить не только его главный член – первый дифференциал,
но и члены более высоких порядков малости – ими оказываются
последовательные дифференциалы второго, третьего и высших
порядков с коэффициентами соответственно
1
2
1
3
1
!
,
!
,
!
.,…
n
Каждая из формул (17.13″) и (17.17″) называется формулой Тей-
лора в дифференциальной форме. При изучении функций несколь-
ких переменных будем пользоваться именно таким представлени-
ем формулы Тейлора.
вопросы
В чем заключается геометрический смысл теоремы Лагранжа?
Является ли теорема Лагранжа частным случаем теоремы
Коши?
Пусть
lim ( ) , lim ( ) .
x x
f x g x
→ →
= =
2 2
1 0
Можно ли применить правило
Лопиталя для нахождения предела
lim
( )
( )
?
x
f x
g x
→2
Пусть
lim ( ) , lim ( ) .
x x
f x g x
→ →
= +∞ = −∞
1 1
Можно ли применить пра-
вило Лопиталя для нахождения предела
lim
( )
( )
?
x
f x
g x
→1
Что такое многочлен Тейлора? Каковы его свойства?
Как связан многочлен Тейлора функции f(x) с формулой Тей-
лора для этой функции?
Что такое формула Маклорена?
Как выглядит формула Тейлора для функции f(x) в дифферен-
циальной форме?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
222
Глава 1
исследовАНие фуНкциЙ
с
ПоМощью ПервоЙ ПроизводНоЙ
1.1. ПризНАк МоНоТоННосТи фуНкции
Т е о р е м а 18.1. Пусть функция f(x) непрерывна на проме-
жутке X и имеет внутри него конечную производную. Для того
чтобы f(x) была монотонно возрастающей (убывающей) на X, до-
статочно условие f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0) внутри X.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая возрастания. Пусть
f ′(x) > 0; x
1
, x
2
∈ X, x
2
> x
1
. Применим к f(x) на [x
1
, x
2
] теорему
Лагранжа:
f(x
2
) - f(x
1
) = f ′(c)(x
2
- x
1
),
где x
1
< c < x
2
. Так как f ′(c) > 0, то f(x
2
) > f(x
1
), следовательно,
f(x) – возрастающая функция.
Заметим, что доказанное условие не является необходимым.
Функция может быть возрастающей (убывающей), например,
в том случае, когда производная f ′(x) обращается в нуль в конеч-
ном числе внутренних точек промежутка X.
1.2. ЭксТреМуМ фуНкции
О п р е д е л е н и е. Точка x
0
называется точкой локального мак-
симума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x
0
вы-
полняется неравенство f(x
0
) > f(x).
Точка x
0
называется точкой локального минимума функции f(x),
если в некоторой окрестности точки x
0
выполняется неравенство
f(x
0
) < f(x).
Если x
0
– точка локального максимума (минимума), то значение
функции f(x
0
) называется локальным максимумом (минимумом).
Общий термин для локального максимума и локального мини-
мума – локальный экстремум.
22
Н е о б х о д и м о е условие экстремума дифференцируемой
функции следует из теоремы Ферма, доказанной в § 17.1: для того
чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке x
0
локальный
экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство
f ′(x
0
) = 0.
Действительно, так как x
0
– точка экстремума, то существует
интервал, содержащий точку x
0
, на котором значение f(x
0
) является
наибольшим или наименьшим. Тогда по теореме Ферма f ′(x
0
) = 0.
Заметим, что условие f ′(x
0
) = 0 не является достаточным усло-
вием экстремума. Так, функция y = x
3
возрастает на всей числовой
прямой и не имеет экстремумов, но ее производная в точке x
0
= 0
равна нулю: f ′(x
0
) = 3x
2
0
= 0.
Кроме того, функция может иметь экстремум в некоторой точ-
ке, но не быть дифференцируемой в этой точке.
Точки, в которых производная функции обращается в нуль или
не существует, называются критическими (или стационарными).
Очевидно, если в какой-либо точке имеется экстремум
, то эта
точка – критическая.
1.. Первое досТАТочНое условие ЭксТреМуМА
Т е о р е м а 18.2. Пусть функция f(x) непрерывна в некото-
ром интервале, содержащем критическую точку x
0
, и дифферен-
цируема во всех точках этого интервала, кроме, может быть, самой
точки x
0
. Если при переходе через точку x
0
производная меняет
знак с «плюса» на «минус», то в точке x
0
имеется локальный мак-
симум, а если с «минуса» на «плюс», то минимум.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности производ-
ная меняет знак с «плюса» на «минус»: f ′(x) > 0 при x < x
0
, f ′(x) < 0
при x > x
0
(для всех x, принадлежащих упомянутому интервалу).
Применим теорему Лагранжа к f(x) на отрезке [x, x
0
]:
f(x
0
) - f(x) = f ′(c)(x
0
- x), c ∈ (x, x
0
).
Так как f ′(c) > 0 и x
0
- x > 0, то f(x) < f(x
0
).
Применяя теперь теорему Лагранжа на отрезке [x
0
, x], т.е. при
x > x
0
, получаем
f(x) - f(x
0
) = f ′(c)(x - x
0
), c ∈ (x
0
, x).
Нередко мы говорим просто экстремум (максимум, минимум), имея в
виду локальный экстремум (локальный максимум, локальный мини-
мум).
22
Так как точка c находится теперь справа от x
0
, то f ′(c) < 0.
Кроме того, x - x
0
> 0. Поэтому f(x) - f(x
0
) < 0. Снова получаем
f(x) < f(x
0
). Итак, для всех x из упомянутого интервала, содержаще-
го точку x
0
, выполняется неравенство
f(x
0
) > f(x).
Следовательно, в точке x
0
имеется локальный максимум.
Случай локального минимума рассматривается аналогично.
На основании теорем 18.1 и 18.2 применяется следующая схема
исследования функции на экстремум с помощью первой производной.
1. Найти производную y′ = f ′(x).
2. Найти критические точки.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой
критической точки и сделать вывод о наличии локальных
экстремумов функции.
4. Найти значения функции в точках локального экстремума.
П р и м е р 18.1. Исследовать функцию f(x) = 3x
4
- 4x
3
- 12x
2
+ 10.
Р е ш е н и е. Находим производную:
f ′(x) = 12x
3
- 12x
2
- 24x = 12x(x
2
- x - 2) = 12x(x + 1)(x - 2).
Решая уравнение f ′(x) = 0, т.е. x(x + 1)(x - 2) = 0, находим кри-
тические точки: x
1
= -1, x
2
= 0, x
3
= 2. Исследовав знак производ-
ной (рис. 18.1), получаем: x = -1, x = 2 – точки локального миниму-
ма, f(-1) = 5, f(2) = -22 – минимальные значения функции; x = 0 –
точка локального максимума, f(0) = 10 – максимальное значение
функции в этой точке.
−1
0 2
рис. 1.1
1.. НАиБольшее и НАиМеНьшее
зНАчеНия фуНкции НА оТрезке
Многие экономические задачи формулируются как задачи на
нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на
некотором множестве. Рассмотрим наиболее простой случай, ко-
гда требуется найти наибольшее (наименьшее) значение на от-
резке [a, b]. В силу второй теоремы Вейерштрасса, если функция
22
непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на нем наиболь-
шее и наименьшее значения. Отметим, что наибольшее или на-
именьшее значение функции может достигаться как в точках ло-
кального экстремума, так и на концах отрезка.
Обычно пользуются следующей схемой для отыскания наиболь-
шего и наименьшего значений функции на отрезке.
1. Найти производную f ′(x).
2. Найти критические точки.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах
отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Заметим, что при этом нет необходимости исследовать на ло-
кальный экстремум функцию в критических точках.
П р и м е р 18.2. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции f(x) = x
2
e
x
на отрезке [-3, 1].
Р е ш е н и е. 1. f ′(x) = 2xe
x
+ x
2
e
x
= x(x + 2)e
x
.
2. f ′(x) = 0: x(x + 2)e
x
= 0. Критические точки: x
1
= 0, x
2
= -2.
3. f(-3) = 9e
-3
, f(-2) = 4e
-2
, f(0) = 0, f(1) = e;
f
наиб
= f(1) = e, f
наим
= f(0) = 0.
Итак, наибольшее значение достигается на правом конце от-
резка, а наименьшее – в одной из критических точек.
П р и м е р 18.3. В пункте A находится месторождение сырья.
Расстояние от пункта A до ближайшей точки B на железной дороге
равно 200 км (рис. 18.2). Железная дорога проходит через город C,
в котором расположен завод по переработке упомянутого сырья.
Расстояние от B до C равно 1000 км. Для доставки сырья на завод
строится шоссе AD, соединяющее месторождение с железной до-
рогой. Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по же-
лезной дороге. На каком расстоянии от A должен находиться
пункт D, чтобы общая стоимость перевозок сырья с месторожде-
ния A в город C по маршруту ADC была минимальной?
А
B D C
рис. 1.2
22
Р е ш е н и е. Обозначим BD = x. Тогда DC = 1000 - x. Пусть a де-
нежных единиц стоит перевозка одной тонны груза по железной
дороге. Тогда перевозка одной тонны по шоссе стоит 2a. По тео-
реме Пифагора вычисляем длину шоссе AD:
AD x= +
2 2
200 .
Сто-
имость перевозки одной тонны по маршруту ADC составляет
f x a x a x( ) ( ).= + + −2 200 1000
2 2
Из практических соображений ясно, что необходимо найти
наименьшее значение этой функции на отрезке [0, 1000]. При
этом значению x = 0 соответствует маршрут ABC, а x = 1000 –
маршрут AC.
Вычисляем производную:
′
=
+
−f x
ax
x
a( ) .
2
200
2 2
Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
2
200
0
2 2
ax
x
a
+
− = ,
2 200
200
0
2 2
2 2
ax a x
x
− +
+
= ,
2 200
2 2
x x= + ,
3x
2
= 200
2
.
Нас интересует только неотрицательное значение x:
x =
200
3
.
Это означает, что BD ≈ 115,4 км.
Надо убедиться, что значение функции в точке
x =
200
3
.
–
наименьшее. Для этого вычисляем значения f(x) в указанной точ-
ке, в точках x = 0, x = 1000 и сравниваем их:
f a
200
3
1346
≈ ,
f(0) = 1400a,
f a a( ) .1000 2 1040000 2000= >
Итак, наименьшее значение достигается в критической точ-
ке
x =
200
3
.
вопросы
Пусть функция y = f(x) возрастает на [0, +∞). Можно ли ут-
верждать, что f ′(x) > 0 для всех x ∈ [0, +∞)?
Что такое локальный экстремум?
Какая точка называется критической (стационарной) точкой
данной функции?
Может ли функция иметь два локальных минимума?
Имеет ли функция y = 4 - x
2
локальный минимум?
Пусть функция f(x) непрерывна на X, x
0
∈ X, f ′(x) < 0 при x < x
0
и f ′(x) > 0 при x > x
0
, а в точке x = x
0
производной f ′(x) не су-
ществует. Имеется ли в точке x
0
экстремум, и если имеется, то
какой?
Сколько экстремумов имеет функция y = sin x на отрезке [0, 2p]?
Пусть производная функции y = f(x) равна единице на интерва-
ле (-1, 3). Будет ли функция возрастающей на этом интервале?
Функция y = f(x) дифференцируема на (a, b) и в шести точках
этого интервала f ′(x) = 0. Может ли f(x) иметь на (a, b) четыре
минимума?
Если функция y = f(x) имеет в точке x
0
максимум, то будет ли
иметь максимум функция y = (f(x))
2
в этой точке?
Имеет ли функция y = 3x - 4 экстремумы?
Может ли функция y = f(x) в некоторой точке x ∈ (a, b) иметь
значение меньшее, чем любой из минимумов этой функции
на (a, b)?
Может ли наименьшее значение функции y = f(x), x ∈ [a, b]
находиться в точке x = b?
Пусть функция y = f(x) имеет на [a, b] локальный максимум и
локальный минимум. Может ли ее наибольшее значение не
совпадать с локальным максимумом, а наименьшее – с ло-
кальным минимумом?
Можно ли найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции на отрезке, не исследуя ее на локальный экстремум, а зная
только ее значения в критических точках?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
228
Глава 19
ИсследованИе функцИй с помощью
второй проИзводной.
полное ИсследованИе функцИй
И построенИе ГрафИков
19.1. второе достаточное условИе экстремума
Т е о р е м а 19.1. Пусть f(x) и ее производные f ′(x) и f ″(x)
существуют и непрерывны в некоторой окрестности точки x
0
и f ′(x
0
) = 0. Тогда:
1) если f ″(x
0
) < 0, то x
0
есть точка локального максимума;
2) если f ″(x
0
) > 0, то x
0
есть точка локального минимума.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f ′(x
0
) = 0, f ″(x
0
) < 0. Так как f ″(x)
непрерывна, то f ″(x) < 0 не только в самой точке x
0
, но и в неко-
торой ее окрестности. Но f ″(x) есть производная от первой про-
изводной. Поэтому из неравенства f ″(x) < 0 следует, что первая
производная убывает в упомянутой выше окрестности. Однако в
точке x
0
она обращается в нуль, стало быть, слева от x
0
производ-
ная f ′(x) положительна, а справа – отрицательна. В силу теоре-
мы 18.2 в точке x
0
имеется локальный максимум.
Случай f ″(x
0
) > 0 рассматривается аналогично.
Заметим, что если в точке x
0
обе производные обращаются в
нуль: f ′(x
0
) = 0 и f ″(x
0
) = 0, то доказанная теорема не дает ответа
на вопрос о максимуме или минимуме. В этом случае можно либо
применить первое достаточноe условие экстремума, либо при-
влечь высшие производные.
19.2. выпуклость И воГнутость
ГрафИка функцИИ. точкИ переГИба
Рассмотрим на плоскости кривую y = f (x), являющуюся гра-
фиком функции f(x).
229
Будем говорить, что кривая y = f(x) имеет на (a, b) выпуклость,
направленную вверх, если все точки кривой лежат н и ж е любой
ее касательной на этом интервале.
Будем говорить, что кривая y = f(x) имеет на (b, c) выпуклость,
направленную вниз, если все точки кривой лежат в ы ш е любой ее
касательной на этом интервале.
На рис. 19.1 выпуклость кривой на (a, b) направлена вверх, а на
(b, c) – вниз.
Если выпуклость кривой направлена в в е р х, то кривая на-
зывается выпуклой; если же выпуклость направлена в н и з –
вогнутой.
Кривая, изображенная на рис. 19.1, является выпуклой на (a, b)
и вогнутой на (b, c).
0a b c x
y
рис. 19.1. Направление выпуклости графика
Т е о р е м а 19.2. Если функция y = f(x) имеет на интервале
(a, b) вторую производную и f ″(x) > 0 на (a, b), то график этой
функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз; если же
f ″(x) < 0 на (a, b), то график имеет на (a, b) выпуклость, направ-
ленную вверх.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности рассмотрим случай
f ″(x) < 0. Пусть x
0
– произвольная точка интервала (a, b). Напи-
шем уравнение касательной к графику функции y = f (x), прохо-
дящей через точку M
0
(x
0
, f (x
0
)):
Y = f (x
0
) + f ′(x
0
)(x – x
0
). (19.1)
Здесь Y – текущая ордината касательной.
Разложим функцию f (x) в окрестности точки x
0
по формуле
Тейлора при n = 1:
y f x f x
f x
x x
f
x x= = +
′
− +
′′
−( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )
0
0
0 0
2
1 2
ξ
,, ( , ).ξ ∈ a b
(19.2)
(Здесь
R R
f
x x
n
= =
′′
−
1 0
2
2
( )
!
( ) .
ξ
)
230
Из (19.2) вычтем (19.1):
y Y
f
x x− =
′′
−
( )
!
( ) .
ξ
2
0
2
(19.3)
По условию f ″(x) < 0 на (a, b), следовательно, правая часть ра-
венства (19.3) отрицательна, т.е. y < Y для всех x ∈ (a, b). А это и
означает, что кривая y = f(x) находится ниже касательной. Теоре-
ма доказана.
О п р е д е л е н и е. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой
от вогнутой, называется точкой перегиба.
Необходимое условие перегиба в точке x
0
для графика функции
f(x), имеющей в этой точке непрерывную вторую производную,
заключается в том, что
f ″(x
0
) = 0.
Действительно, предположив противное, например, что f ″(x
0
)
>
0,
получаем, что в окрестности точки x
0
кривая имеет выпуклость,
направленную вниз, и точка x
0
не может быть точкой перегиба.
Достаточным условием перегиба является смена знака второй
производной функции y = f(x) при переходе через точку x
0
. Иначе
говоря, если вторая производная имеет разные знаки слева и
справа от x
0
, то график функции имеет перегиб при x = x
0
.
Действительно, в этом случае направления выпуклости графи-
ка слева и справа от x
0
различны, а это и означает наличие пере-
гиба в точке x
0
.
Из сказанного следует, что схема нахождения точек перегиба
такова:
1) найти точки, в которых вторая производная f ″(x) равна нулю
или не существует (такие точки также называют критическими);
2) исследовать знак второй производной слева и справа от каж-
дой такой точки.
П р и м е р 19.1. Найти точки перегиба и направления выпук-
лости графика функции f (x) = (1 – x)e
x
.
Р е ш е н и е. Находим первую и вторую производные:
f ′(x) = –e
x
+ (1 – x)e
x
= –xe
x
, f ″(x) = –e
x
– xe
x
= –(x + 1)e
x
.
Приравнивая вторую производную к нулю, находим крити-
ческую точку x = –1. Очевидно, слева от этой точки вторая произ-
водная положительна, а справа отрицательна. Следовательно, при
x < –1 выпуклость графика направлена вниз, а при x > –1 – вверх.
Точка x = –1 есть точка перегиба.