Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

201

3. y = arctg x. Эта функция является обратной для x = tg y. Так

как

′

cos

то

′

= =

y y y

1 1

2 2 2

cos

cos sin tg

т.е.

(arctg ) .x

′

4. y = arcсtg x:

(arcctg ) .x

′

= −

Вывод аналогичен предыдущему.

Мы вывели формулы производных всех основных элементар-

ных функций. Сведем их теперь в таблицу и напомним еще раз

правила дифференцирования.

Таблица производных

1. с′ = 0.

2. (x

)′ = nx

n-1

(n – любое действительное число).

(log )

; ln .

x a

′

1 1

( )

4. (a

)′ = a

lna; (e

)′ = e

5. (sin x)′ = cos x.

(arcsin ) .x

′

−

6. (cos x)′ = -sin x. 10.

(arccos ) .x

′

= −

−

(tg )

cos

′

11.

(arctg ) .x

′

(ctg )

sin

′

= −

12.

(arcctg ) .x

′

= −

Правила дифференцирования

I. (cu)′ = cu′. III. (uv)′ = u′v + uv ′.

II. (u ± v)′ = u′ ± v′.

IV.

u v uv













′

−

′

V. Если y = f(u), u = ϕ(x), то

′

′ ′

y y u

x u x

Формулы 1–12 и правила I–V составляют основу для практи-

ческого дифференцирования.

202

1.. диффереНциАл

Напомним, что функция y = f(x) называется дифференцируемой

в точке x

, если ее приращение Dy можно представить в виде (16.2):

Dy = ADx + aDx,

где a → 0 при Dx → 0.

Здесь величина ADx, если A ≠ 0, является главным членом раз-

ложения Dy, т.е. главной линейной относительно Dx частью при-

ращения функции.

О п р е д е л е н и е. Дифференциалом dy функции y = f(x) в точ-

ке x

называется главная линейная относительно Dx часть прира-

щения функции в этой точке:

dy = ADx.

()

При A =

0 дифференциал также определяют формулой (),

т.е. в этом случае dy = 0.

Так как из теоремы 16.1 следует A = f ′(x

), то

dy = f ′(x

)Dx. (16.6)

Дифференциалом dx независимой переменной x будем называть

ее приращение Dx, и равенство (16.6) можем записать в виде

dy = f ′(x

)dx, (16.6′)

откуда

′

=f x

( ) .

Теперь мы видим, что

не просто символи-

ческое обозначение производной, а обычное отношение диффе-

ренциала функции dy к дифференциалу ее аргумента dx. Теперь

формулу (16.2) с учетом (16.6) можно переписать в виде

Dy = f ′(x

)Dx + o(Dx)

или

Df(x

) = f ′(x

)Dx + o(Dx). (16.2′)

Геометрический смысл дифференциала

Пусть точка M на графике функции y = f(x) соответствует зна-

чению аргумента x = x

, а точка N – значению аргумента x = x

+ Dx

(рис. 16.2). Тогда MA = Dx, AN = Dy. Проведем касательную к кри-

вой y = f(x) в точке M. Пусть a – угол между этой касательной и

осью Ox. Мы знаем, что tg a = f ′(x

20

x + ∆ x

y + ∆ y

рис. 1.2. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим прямоугольный треугольник MAB. Очевидно,

MA = Dx, AB = MA ⋅ tga = Dx tga = f ′(x

)Dx = dy.

Итак, в то время как Dy есть приращение ординаты кривой,

dy является соответствующим приращением ординаты касательной.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приближенные вычисления с помощью дифференциала осно-

ваны на приближенной замене приращения функции на ее диф-

ференциал. Так как дифференциал есть главная часть прираще-

ния функции, то

Dy ≈ dy,

или, подробнее,

Df(x

) = f(x

+ Dx) - f(x

) ≈ f ′(x

)Dx.

Отсюда

f(x

+ Dx) ≈ f(x

) + f ′(x

)Dx.

П р и м е р 16.5. Вычислить приближенно

8 24

, .

Р е ш е н и е. Пусть

f x x( ) ,=

= 8, тогда f(x

) = 2, Dx = 0,24.

Воспользуемся тем, что Dy ≈ dy = f ′(x

)Dx:

′

= =

−

f x x x( ) ( )

1 3 2 3

′

= =f x( ) ,

3 8

∆y dy≈ = ⋅ =

0 24 0 02, , .

Откуда

f x x( ) , , , .

8 24 2 0 02 2 02+ = ≈ + =∆

20

Задача нахождения дифференциала функции, очевидно, сво-

дится к нахождению производной и умножению ее на дифферен-

циал аргумента. Поэтому большинство теорем и формул, относя-

щихся к производным, остаются верными и для дифференциалов.

В частности:

I. d(cu) = cdu (c = const).

III. d(uv) = vdu + udv.

II. d(u ± v) = du ± dv.

IV.

vdu udv













−

Найдем выражение для дифференциала сложной функции.

Пусть y = f(u), u = ϕ(x), или y = f (ϕ(x)). Если y = f(u) и u = ϕ(x) –

дифференцируемые функции своих аргументов, то производная

сложной функции равна, как известно, y′ = f ′(u)u′.

Тогда дифференциал функции

dy f x dx f u u dx f u du=

′

′ ′

′

( ) ( ) ( ) ,

так как u′dx = du. Таким образом, одновременно

dy f x dx dy f u du=

′

( ) ( ) ,и

т.е. форма дифференциала не зависит от того, чем является аргу-

мент функции – независимой переменной или функцией другого

аргумента. Это свойство дифференциала получило название

инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция f(x), определенная на X, имеет производную

f ′(x) во всех точках X, то эта производная сама является функцией

аргумента x: f ′(x) = g(x), и можно ставить вопрос о ее производ-

ной g′(x). Производная от первой производной функции f(x),

т.е. ( f ′(x))′, называется второй производной, или производной вто-

рого порядка, и обозначается f ″(x) или y″. Итак,

f ″(x) = ( f ′(x))′, или y″

= (y′)′.

Аналогично определяется производная третьего порядка:

′′′

′′ ′ ′′′

′′ ′

f x f x y y( ) ( ( )) , ( )или и тт.д.

Производная n-го порядка обозначается f

(n)

(x) (или y

(n)

) и опре-

деляется в соответствии с описанной схемой так:

f x f x

n n( ) ( )

( ) ( ( )) ,=

′

−1

где f

(n-1)

(x) – производная (n - 1)-го порядка.

20

П р и м е р 16.6:

1) y = e

, y′ = ke

, y″ = k

, …, y

(n)

= k

;

2) y = sin x, y′ = cos x, y″ = -sin x, y′″ = -cos x, y

(4)

= sin x, … .

Нетрудно показать, что

(sin ) sin .

( )

x x n

= +













Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциа-

лом) функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциа-

ла этой функции, т.е. d(dy), и обозначается d

y = d(dy). (16.7)

Очевидно, d

y = d(dy) = d(f ′(x)dx) = (f ′(x)dx)′dx = f ″(x)dx

, где

= (dx)

. Здесь мы при дифференцировании считаем dx посто-

янной, так как dx = Dx не зависит от x. Итак,

y = f ″(x)dx

. (16.8)

Аналогично определяется третий дифференциал d

y = d(d

y) и т.д.;

наконец, дифференциал n-го порядка (n-й дифференциал) – это

дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка:

y = d(d

n-1

y). (16.9)

Выражение для d

y находим аналогично тому, как это сделано

для d

y = f

(n)

(x)dx

. (16.10)

Отсюда

f x

d y

( )

( ) .=

Следует заметить, что дифференциалы второго и более высо-

ких порядков н е о б л а д а ю т свойством инвариантности фор-

мы в отличие от дифференциала первого порядка. Убедимся в

этом.

Пусть y = f(u), u = ϕ(x), или y = f(ϕ(x)), тогда

y = d

f(ϕ(x)) = d(df(ϕ(x))).

По условию df(ϕ(x)) = f ′(u)du, где u = ϕ(x). Отсюда

d( f ′(u)du) = d( f ′(u))du + f ′(u)d(du)

. ()

Если обозначить f ′(u) = g(u), то

d( f ′(u)) = dg(u) = g′(u)du = (f ′(u))′du = f ″(u)du.

Кроме того, d(du) = d

u = d

ϕ(x).

20

Таким образом, из () получаем

f(u) = f ″(u)(du)

+ f ′(u)d

u, u = ϕ(x). (16.11)

Очевидно, что второй дифференциал сложной функции f(ϕ(x))

существует, если функции f(u) и ϕ(x) имеют конечные производ-

ные до второго порядка включительно.

Из формулы (16.11) следует, что второй дифференциал слож-

ной функции не обладает инвариантностью формы:

•

если y = f(x), где x – н е з а в и с и м ы й аргумент, то

dy = f ″(x)dx

;

• если y = f(u), где u – з а в и с и м ы й аргумент, u = ϕ(x), то

dy = f ″(u)du

+ f ′(u)d

вопросы

В чем заключается геометрический смысл производной?

Пусть для функции y = f(x) производная

′

=f ( ) .3 3

Под каким

углом к оси Ox расположена касательная к графику функции

при x = 3?

Что такое предельная производительность? Как связано это

понятие с понятием производной?

В чем заключается «золотое» правило экономики?

Что такое предельная себестоимость продукции?

Как определяется понятие дифференцируемости функции

y = f(x) в точке x

Почему функцию f(x), имеющую производную в точке x

, на-

зывают дифференцируемой в этой точке?

Будет ли функция, дифференцируемая в точке x = 2, непре-

рывной в этой точке?

Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке x = 5. Можно ли

утверждать, что эта функция имеет производную в указанной

точке?

Будет ли прямая y = 4x - 4 касательной к параболе y = x

? А пря-

мая y = -4x - 4?

Равносильны ли утверждения: «функция y = f(x) дифференци-

руема в точке x

» и «функция y = f(x) имеет в точке x

конечную

производную»?

10.

11.

Каков алгоритм нахождения производной произвольной

функции?

Можно ли утверждать, что любая из основных элементарных

функций дифференцируема в каждой точке, в которой она

определена?

В соответствии с каким правилом дифференцируется слож-

ная функция? Приведите примеры, отличные от указанных в

книге.

Каков геометрический смысл дифференциала?

ожет ли дифференциал функции f(x) быть больше прира-

щения этой функции?

Производная y′ нередко обозначается в виде

Каков смысл

этого обозначения?

На чем основано применение дифференциала в приближен-

ных вычислениях?

В чем заключается инвариантность формы дифференциала

сложной функции?

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20

Глава 1

своЙсТвА диффереНцируеМЫх фуНкциЙ

1.1. осНовНЫе ТеореМЫ

диффереНциАльНоГо исчислеНия

Т е о р е м а 17.1 (теорема Ферма). Пусть функция y = f(x) оп-

ределена на интервале (a, b) и имеет наибольшее (наименьшее)

значение в некоторой точке x

∈ (a, b). Тогда если в этой точке

существует конечная производная f ′(x

), то f ′(x

) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему для случая, когда

функция имеет в точке x

наибольшее значение (для наименьше-

го значения доказательство аналогично). В этом случае для всех

x ∈ (a, b) выполняется неравенство f(x) ≤ f(x

), что означает

Dy = f(x

+ Dx) - f(x

) ≤ 0 для любой точки x = (x

+ Dx) ∈ (a, b). Если

Dx > 0, то

∆

≤ 0,

следовательно,

lim ;

∆

→ +

≤

()

если же Dx < 0, то

∆

≥ 0,

следовательно,

lim .

∆

→ −

≥

()

По определению производной

′

→

f x

( ) lim ,

0∆

∆

причем этот предел не зависит от того, стремится Dx к нулю, буду-

чи положительным или будучи отрицательным. Но односторон-

ние пределы () и () совпадают только в случае, когда они равны

нулю:

lim lim lim ,

∆ ∆ ∆

∆

x x x

→ → + → −

= = =

0 0 0

откуда следует, что f ′(x

) = 0. Теорема доказана.

20

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: если в точке x

дифференцируемая функция принимает наибольшее (наимень-

шее) значение, то в точке M(x

, f(x

)) касательная к графику этой

функции параллельна оси Ox (рис. 17.1).

рис. 1.1. Геометрический смысл теоремы Ферма

Т е о р е м а 17.2 (теорема Ролля). Пусть функция f(x) удов-

летворяет следующим трем условиям:

1) непрерывна на отрезке [a, b];

2) дифференцируема на интервале (a, b);

3) на концах отрезка принимает равные значения: f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка x ∈ (a, b),

в которой производная равна нулю:

f ′(x) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f(x) непрерывна на [a, b], то

в силу второй теоремы Вейерштрасса (см. § 15.2) она достигает

на [a, b] своего наибольшего значения M и своего наименьшего

значения m.

Возможны два случая:

1. M = m. Тогда f(x) = M = m = const; поэтому f ′(x) = 0 во всех

точках, так что в качестве x можно взять любую точку из (a, b).

2. M ≠ m. Оба эти значения не могут достигаться на концах от-

резка (так как f(a) = f(b)). Следовательно, хотя бы одно из этих

значений достигается в некоторой внутренней точке x ∈ (a, b), и в

силу теоремы Ферма f ′(x) = 0. Теорема доказана.

210

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в следу-

ющем: если крайние ординаты кривой y = f(x) равны, то на кривой

найдется точка, где касательная параллельна оси Ox (рис. 17.2).

рис. 1.2. Геометрический смысл теоремы Ролля

Следует заметить, что все условия теоремы Ролля существен-

ны, и при невыполнении хотя бы одного из них заключение тео-

ремы может оказаться неверным.

Т е о р е м а 17.3 (теорема Лагранжа). Пусть функция f(x) не-

прерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует такая точка x ∈ (a, b), что для нее выполняется

равенство

f b f a

b a

( ) ( )

( ).

−

′

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную функцию

F x f x f a

f b f a

b a

x a( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ).= − −

−

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

она непрерывна на [a, b] (так как f(x) непрерывна), дифференци-

руема на (a, b):

′

−

F x f x

f b f a

b a

( ) ( )

а также принимает на концах отрезка [a, b] одинаковые значения:

F(a) = F(b) = 0.