Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

201

Наприклад:

1. «Проблема польоту на Марс існує».

2. «Кентаври не існують».

3. «Трикутники існують».

4. «Існують математичні задачі, які не мають вирі-

шення».

5. «Є злочини, які не розкриті».

Структура цих суджень записується так:

1. «Деякий S є / не є існуючим».

2. «Будь-який S є / не є існуючим».

3. «Даний S є / не є існуючим».

Зауважимо, що при аналізі суджень існування випли-

ває низка проблем формального та змістовного харак-

теру.

Змістовний аспект проблеми пов’язаний із вирішен-

ням питанням про те, яким об’єктам можна приписувати

ознаку «існує». Можна виділити дві основні концепції іс-

нування:

а) сильна;

б) послаблена.

Сильна концепція існування приписує ознаку існуван-

ня лише індивідам, властивостям та відношенням

об’єктивного світу.

Наприклад: «Чорні лебеді існують»; «Електропровід-

ність існує» тощо.

Послаблена концепція дозволяє приписувати ознаку

«існування» лише предметам теорії. В цьому випадку

«існувати» означає «бути конструктом теорії». Тут

можна говорити про існування результатів інтелекту-

альної діяльності.

Формальний аспект проблеми існування полягає у

пошуку синтаксичних засобів фіксації ознаки існування.

Одна із таких спроб полягає в намаганні виразити озна-

ку «існування» через предикатну змінну. Якщо взяти

одиничне судження, то в цьому випадку лише предикат-

на змінна дійсно несе інформацію про існування. Напри-

клад: «Англійська конституційна монархія існує» –

ознака «існування» (Англійська конституційна монар-

хія) = Р(а).

Але у часткових судженнях ознаку існування несуть і

квантор, і предикат. Наприклад: «Деякі нерозкриті злочи-

ни існують» – ∃х (Нерозкриті х) & існують х). При пе-

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

202

рекладі частковостверджувальних суджень мовою логіки

предикатів особливих труднощів не виникає.

Недоречності виникають при перекладі частковозапере-

чувальних суджень на мову логіки предикатів.

Візьмемо судження «Деякі форми ведення землеробства

не існують» і перекладемо його мовою логіки предикатів:

∃x (F(x) &



Q(x)) – «Існує х такий, що є формою земле-

робства і х не існує». В логіці ця ситуація отримала назву

«парадокс існування».

Щоб уникнути подібної ситуації, Б.Рассел запропонував

фіксувати інформацію про ознаку «існування» лише в

кванторі існування ∃х. Ця позиція знаходить своє обгрун-

тування в тому, що ознака «існування» не є властивістю

об’єкта (тобто це не акцидентальна характеристика об’єк-

ту), а суттєва (субстанціональна) його характеристика. У

цьому випадку парадокси частковозаперечувальних суд-

жень елімінуються. Виходить, що «існувати» – це озна-

чає «бути значенням підкванторної змінної, яка вира-

жає об’єкт думки».

Як правило, у традиційній логіці спеціально не виділяли

суджень існування, оскільки судження існування з певними

застереженнями можна витлумачити як атрибутивні.

Підсумовуючи зазначене про прості судження (атрибу-

тивні, судження з відношеннями, судження існування), лег-

ко помітити, що в них приписування ознаки предмету від-

бувається з певною однозначністю.

Наприклад, «Місяць є природний супутник», «Напо-

леон сучасник Гегеля», «Електромагнітне поле Землі іс-

нує» тощо. Але часто зустрічаються судження, де зв’я-

зок предмета і ознаки обумовлюється певними обстави-

нами. Тому атрибутивні судження, судження з відно-

шеннями, судження існування називають категорич-

ними.

К а т е г о р и ч н и м називається судження, в яко-

му предикат стверджується або заперечується віднос-

но суб’єкта без формулювання спеціальних умов.

Категоричні судження протиставляються умовним, роз-

діловим і модальним. Можна зобразити поділ суджень за

характером зв’язку між предметом думки та ознакою

предмета думки такою схемою:

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

203

СУДЖЕННЯ

категоричні некатегоричні

атрибутивні

судження

модальні

судження

з відношення

умовні

судження

існування

розділові

судження

8. Модальні судження

Крім розглянутих простих суджень у традиційній логіці

розглядають ще й такий вид простих суджень, як «мода-

льні судження».

М о д а л ь н и м судженням називається таке про-

сте судження, в якому відношення між предметом ду-

мки і ознакою предмета думки обумовлюється своєрід-

ним характером зв’язку. Наприклад: «Необхідно, що

вода кипить при 100

».

Цей характер зв’язку фіксується спеціальними оцінка-

ми, які називаються модальностями.

Модальність (від лат. modus – міра, спосіб) – це оці-

нка висловлювання, яка проголошена з тієї чи іншої то-

чки зору. Модальні оцінки виражаються за допомогою по-

нять: «необхідно», «можливо», «імовірно», «доведено»,

«обов’язково» тощо.

У традиційній логіці модальні судження за природою

модальності поділяють на :

а) судження за об’єктивною модальністю і

б) судження за логічною модальністю.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

204

За об’єктивною модальністю судження поділяють на:

1) судження можливості;

2) судження дійсності;

3) судження необхідності.

Судженням м о ж л и в о с т і називається таке

модальне судження, в якому відображена реально існу-

юча, але не реалізована можливість.

Наприклад, «Можлива образа словом», «Можливий по-

зитивний результат іспиту» тощо.

Судженням д і й с н о с т і називається вид модаль-

ного судження, в якому дещо відображається як уже іс-

нуюче в дійсності.

Наприклад, «Робота першого блоку ЧАЕС зупинена»,

«Конституція України прийнята» тощо.

Судженням н е о б х і д н о с т і називається мода-

льне судження, яке відображає неминучість існування

якогось предмета, явища або зв’язку між ними.

Наприклад: «Після зими необхідно приходить весна»,

«Необхідно, що всі закони затверджує Верховна Рада»,

«Необхідно, що всі свідки повинні говорити правду» тощо.

За логічною модальністю судження поділяють на:

1) проблематичні (імовірні) та

2) достовірні.

П р о б л е м а т и ч н и м називається такий вид

модального судження, в якому яка-небудь ознака ствер-

джується або заперечується відносно предмета думки

лише передбачувано.

Наприклад: «Тут, імовірно, була симуляція крадіжки».

Треба розрізняти проблематичні судження і судження мо-

жливості.

Наприклад, візьмемо два судження:

1. «Можлива побудова мосту через річку» і

2. «Імовірно в цьому місці побудувати міст через Дніп-

ро».

Перше судження є судженням можливості, оскільки у

ньому виражене знання про те, що в дійсності можливо

розв’язати таке завдання, як побудову мосту через річку.

Друге судження проблематичне, оскільки у ньому зафік-

соване знання про те, що дана дія може конкретно реалі-

зуватися. Судження можливості висловлюється у ре-

зультаті глибшого вивчення предмета. Виражене в

ньому знання є завершеним.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

205

А проблематичне судження виражає знання передба-

чливе, незавершене. Передбачуване твердження про на-

лежність певної ознаки у предмета означає, що цей

предмет може й не мати цієї ознаки.

Наприклад: «Імовірно, підозрюваний знав потерпілого

до вчинення злочину» тощо.

Д о с т о в і р н и м називається судження, в якому

фіксується знання, що містить цілковиту визначеність

про належність ознаки предмету.

Наприклад: «Достовірно, що діагоналі квадрата при

перетині утворюють прямі кути».

У сучасній логіці існує цілий розділ, який вивчає типо-

логію модальностей, їх природу і основні функції в пізна-

вальній діяльності і практиці міркувань.

9. Запитання

Надзвичайну роль у пізнанні та практиці міркування ві-

діграють думки, що втілені в запитальних реченнях. Розв’я-

зання різноманітних проблем передбачає постановку тих

або інших запитань. Від правильного, своєчасного, послі-

довного формулювання запитань значною мірою залежить

успішне розв’язання проблеми. Часто ми висуваємо запи-

тання не тільки в процесі розв’язання нових завдань, які

стоять перед наукою чи практикою, а й у процесі засвоєн-

ня, оволодіння уже наявними знаннями. Таким чином,

З а п и т а н н я – це думка, в якій зафіксована вимо-

га або прохання поновити наявну інформацію з метою

усунення або зменшення пізнавальної невизначеності.

Запитання, на відміну від судження, оцінюються не як

«істинні» чи «хибні», а як «логічно коректні» чи «логіч-

но некоректні».

Логічно к о р е к т н и м називається запитання,

на яке можна дати істинну або хибну відповідь.

Наприклад, «Хто може бути обраний народним депу-

татом?», «Чому дорівнює відстань від Землі до Сонця?».

Логічно н е к о р е к т н и м називається запитання,

на яке не можна дати ні хибної, ні істинної відповіді.

Логічно некоректні запитання бувають двох видів:

а) тривіально некоректні запитання і

б) нетривіально некоректні запитання.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

206

Тривіально некоректним є запитання на яке не мож-

на дати ніякої відповіді.

Тривіально некоректні запитання втілюються в речен-

нях, що містять неясні (невизначені) слова або словоспо-

лучення. Наприклад, «Які інтенції властиві квадрату в

точці перетину його діагоналей?».

Нетривіально некоректним називається запитання,

на яке не можна дати істинної відповіді. Такі запитання

називають ще провокаційними. Наприклад, «Коли пере-

стануть вирощувати ананаси на Місяці?».

Існує типологія відповідей на запитання. Серед істин-

них відповідей на запитання розрізняють:

а) правильні відповіді і

б) неправильні відповіді.

П р а в и л ь н о ю відповіддю називається відповідь,

яка повністю або частково усуває пізнавальну невизна-

ченість.

У свою чергу, відповідь, яка повністю усуває пізнава-

льну невизначеність називають с и л ь н о ю, а яка не

повністю – с л а б к о ю. Наприклад, маємо запитання

«Хто відкрив Америку?».

Сильною відповіддю на це запитання буде: «Христофор

Колумб», а слабкою – «Іспанець», «Якийсь іноземець» тощо.

Н е п р а в и л ь н и м и називаються відповіді, які не

знижують пізнавальної невизначеності.

У таких відповідях частково або повністю повторюється

інформація передумови запитання.

Наприклад, на запитання «Кому із видатних письмен-

ників ХІХ ст. належить авторство романа «Граф Мон-

те-Крісто»?» маємо неправильну відповідь: «Видатний

письменник ХІХ ст.».

10. Види складних суджень.

Виклад складних суджень мовою логіки висловлювань

С к л а д н и м називається судження, яке склада-

ється з двох або більше простих суджень, з’єднаних за

допомогою логічних сполучників

. Наприклад: «Моя сес-

Види логічних сполучників та умови їх істинності розглядаються у § 3

розділу ІУ.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

207

тра навчається у консерваторії, а брат – в університе-

ті»; «Матеріали конференції будуть опубліковані в нау-

ковому журналі або в спеціальному збірнику» тощо.

За типом логічних сполучників складні судження по-

діляються на:

а) з’єднувальні;

б) роз’єднувальні;

в) умовні;

г) еквівалентні.

У традиційній логіці терміни, за допомогою яких

утворюються складні судження, подавалися в описовому

вигляді. Тут зосереджувалася увага на характеристиці

аналогів логічних термінів, якими є слова природної мо-

ви: «і», «або», «якщо, то», «неправильно, що» тощо. Це

в значній мірі ускладнювало дослідження логічної при-

роди складних суджень. Якщо ж застосувати до аналізу

складних суджень засоби сучасної логіки (а саме мову

логіки висловлювань), то це допоможе ефективніше до-

слідити основні властивості та характеристики складних

суджень.

Отже, розглянемо мову класичної логіки висловлю-

вань.

Мова класичної логіки висловлювань – це спеціальна

штучна мова, яка призначена для аналізу логічної

структури сладних суджень.

Вона складається із:

 алфавіту та

 правил утворення (дефініції формули).

Алфавіт

1. Пропозиційні змінні для позначення простих су-

джень:

p, q, r, p

, q

, r

, ... .

2. Пропозиційні зв’язки (константи)

– , &, ∨, ⊃, ↔ .

3. Технічні символи, якими є ліва та права дужка і ко-

ма: (,)

Кількість зв’язок може бути різною, але вона повинна бути функціонально

повною. Тобто за допомогою функцій даної системи можна виразити будь-яку

функцію істинності.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

208

Правила утворення

Дефініція формули:

1. Будь-яка пропозиційна змінна є формулою: p, q, r,

, q

, r

, ...

2. Якщо А

– формула, то А також формула.

3. Якщо А та В формули, то вирази А & В, А ∨ В, А ⊃ В,

А ↔ В також формули.

4. Ніщо, крім зазначеного в пунктах 1, 2, 3, не є форму-

лою мови класичної логіки висловлювань.

Формули, які зазначені в пункті 1 даної дефініції нази-

ваються е л е м е н т а р н и м и, а у пунктах 2 і 3 –

складними.

Наведена дефініція формули дозволяє ефективно визна-

чати, чи є деякий вираз формулою мови логіки висловлю-

вань (скорочено МЛВ), чи ні.

Візьмемо для прикладу такий вираз:

p ⊃ (q ∧ (r ∨ q)).

Цей вираз має вигляд схеми: А ⊃ В, де А є р, а В –

(q ∧ (r ∨ q)).

Отже, даний вираз є формулою МЛВ відповідно до 3

пункту наведеної дефініції.

Якщо ж маємо вираз « p ⊃ (q ∧ », то відповідно до де-

фініції він не буде формулою МЛВ, оскільки не відповідає

жодному пунктові дефініції.

Використовуючи МЛВ, можна перекласти будь-яке

складне судження для з’ясування його логічної форми.

Наприклад, маємо судження: «Якщо студент успішно

навчається і виявляє здібність до наукової роботи, то він

має підставу на рекомендацію до аспірантури».

Щоб перекласти це складне судження на мову логіки

висловлювань, необхідно виконати такі дії:

І. Спочатку потрібно виділити усі прості судження,

які входять до складу складного судження. У нашому

прикладі їх три:

1.«Студент успішно навчається».

2. «Студент виявляє хист до наукової роботи».

Перші великі літери латинського алфавіту належать до метамови. Вони не є

формулами об’єкт-мови, а схемами цих формул. Кожна із цих схем може позна-

чати безліч формул об’єкт-мови. Наприклад, p,



p ∨ q,



p ∧



q тощо.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

209

3. «Студент має підставу на рекомендацію до аспіра-

нтури».

Кожному простому судженню ставиться у відповідність

конкретна пропозиційна змінна: 1 – р, 2 – q, 3 – r.

ІІ. Далі потрібно виділити логічні терміни, що вхо-

дять до складного судження.

Дане судження має два логічних терміни: & та ⊃.

Визначивши імплікацію головним логічним сполуч-

ником отримаємо імплікативне висловлювання, яке буде

перекладом умовного судження мовою логіки висловлю-

вань:

(p & q) ⊃ r.

У природній мові прості судження можуть

об’єднуватися за допомогою таких логічних сполучників,

яким не відповідають за смислом ніякі пропозиційні

зв’язки із побудованої нами мови логіки висловлювань.

Наприклад, висловлювання «Ні вдень, ні вночі вони не

переставали думати про свої плани» утримує сполучник

«ні ... ні», у якого немає смислового аналогу в системі

зв’язок { , &, ∨, ⊃, ↔ }.

Щоб виявити логічну формулу в таких випадках, треба

переформулювати складне судження таким чином, щоб во-

но не змінило первісного смислу і утримувало ті сполуч-

ники, яким відповідають за смислом які-небудь зв’язки із

алфавіту МЛВ. У нашому випадку матимемо: «Невірно, що

вдень вони переставали думати про свої плани і невірно,

що вночі вони переставали думати про свої плани». При

перекладі на мову логіки висловлюваль дане судження

отримає вигляд такого висловлювання:

p &q.

11. Логічні відношення

між складними судженнями

Складні судження виступають у тих самих відношен-

нях, в яких виступають категоричні судження.

Складні судження поділяють на:

 порівнювані та

 непорівнювані.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

210

П о р і в н ю в а н и м и називають складні суджен-

ня, які складаються з одих і тих же простих суджень,

але різняться логічними термінами.

Наприклад, A & B і А ⊃ В тощо.

Н е п о р і в н ю в а н и м и називаються складні су-

дження, в яких хоча б одне просте судження не співпа-

дає.

Наприклад, A & B і А & С; А ∨ В і А ⊃ С, тощо.

Серед порівнюваних суджень виділяють:

 сумісні та

 несумісні.

С у м і с н и м и називаються складні судження, які

при однакових наборах значень простих можуть бути

істинними.

Н е с у м і с н и м и називаються складні судження,

які при однакових наборах значень простих не можуть

бути разом істинними.

Між сумісними складними судженнями існують від-

ношення:

а) еквівалентності;

б) часткової сумісності;

в) логічного слідування.

Для несумісних складних суджень характерні відно-

шення:

а) протиріччя;

б) протилежності.

Для наочного уявлення названих відношень використа-

ємо семантичну таблицю істинності складного висловлю-

вання, яке складається із двох простих висловлювань:

pqp qp ⊃ qp & qp ∨ qp & q



p &q



p ∨ q



p ∨qq ⊃ pp &qp ↔ qp ⊃q

ііхх і і і х х і х і х і і

іххі х х і і х х і і і х і

хі і х і х і і х і і х х х і

ххі і і х х і і і і і х і х

1234567891011

У відношенні еквівалентності знаходяться такі про-

сті висловлювання, які при однакових наборах значень

їх змінних набувають одні й ті самі значення.