Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

261

Наведені доведення модусів свідчать про те, що зазна-

чений вище список правил висновку достатній для обгрун-

тування логічної коректності будь-якого модусу II, III та

ІV фігур.

в) Перевірка коректності силогізму

Розгляд способів обгрунтування спеціальних правил фі-

гур простого категоричного силогізму, модусів фігур пере-

конує в надійності загальних правил простого категорич-

ного силогізму, але у практиці міркування часто виникає

потреба перевірки коректності конкретної схеми міркуван-

ня шляхом співставлення з відповідною фігурою силогіз-

му. Іншими словами, іноді наявна ситуація, коли зовні

(завдяки особливостям природної мови) побудова мірку-

вання здається логічно бездоганною, висновок істинний,

але ми відчуваємо його ненадійність, а то й суперечність

звичайним уявленням і твердженням.

Наприклад,

Злочин є суспільно небезпечним діянням.

Крадіжка є суспільно небезпечним діянням.

Отже, крадіжка є злочин.

Будь-яка теорія підтверджується практикою.

Геометрія Евкліда підтверджується практикою.

II.

Отже, геометрія Евкліда – теорія.

Крадіжка є злочином.

Шахрайство – це не крадіжка.

III.

Отже, шахрайство не є злочином.

Геологія є наукою про землю.

Географія – це не геологія.

IV.

Отже, географія не є наукою про землю.

Для того, щоб встановити правильність силогізму

необхідно здійснити такі кроки:

а) Знайти засновки і висновок даного силогізму.

Зазначимо, що у процесі обміну інформацією та спілку-

вання види міркування не розписуються так як у прикла-

дах, що наведені вище. Тому треба мати на увазі, що якщо

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

262

у виразі проголошеному або записаному кимось є слова

«тому, що», «так, як» тощо, то висновок буде розташо-

ваний перед цими словами, а засновки – після вказаних

слів. Якщо ж у виразі є слова «отже», «таким чином»

тощо, то засновки будуть розташовані перед цими словами,

а висновок – після них.

Наприклад, «Мідь електропровідник, тому що усі ме-

тали проводять електричний струм, а мідь – метал»,

«Будь-яка книжка є джерелом інформації, отже підручник

з хімії є джерелом інформації».

б) Визначити середній (М), більший (Р) та менший (S)

терміни досліджуваного силогізму.

в) Визначити більший та менший засновок.

г) Перевірити дотримання загальних правил силогізму.

д) Втановити фігуру досліджуваного силогізму.

е) Перевірити, чи відповідає даний силогізм правилам

тієї фігури, за якою він побудований.

Виходячи із наведеного алгоритму, розглянемо наведені

вище приклади.

Приклади І та ІІ побудовані за ІІ-ю фігурою простого

категоричного силогізму. Але в них порушено правило цієї

фігури, що один із засновків повинен бути заперечуваль-

ним судженням. А у прикладі І і ІІ він стверджувальний.

Отже, хоча засновки і висновок у цих прикладах істинні

судження, але висновок із данних засновків логічно не

слідує, не випливає.

Подібна ситуація часто виникає у слідчій практиці, ко-

ли відомо, хто вчинив злочин, але потрібно зібрати докази,

щоб це довести.

У прикладах ІІІ та ІV порушено друге правило І-ї фігури

простого категоричного силогізму, що менший засновок

повинен бути стверджувальним судженням. А у цих при-

кладах менший засновок – заперечувальне судження. Тому

при істинних засновках отримані явно хибні судження.

г) Ентимема

У практиці міркування, як правило, ми користуємося

силогізмами не у повному, а у скороченому вигляді.

Наприклад:

«Геометрія Евкліда перевіряється на практиці, тому

що вона теорія»;

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

263

«Крадіжка – злочин, тому що вона суспільно небезпе-

чне діяння» тощо.

Силогізм, у якому пропущено один із засновків або

висновок називається скороченим силогізмом, або е н -

т и м е м о ю.

Термін «ентимема» походить від грецького inthymos,

що означає «в думці», «на думці» тощо.

Існує три види ентимеми:

а) Ентимема з пропущеним більшим засновком.

Наприклад, «Земля має природний супутник, тому що

вона планета»;

б) Ентимема з пропущеним меншим засновком.

Наприклад, «Земля має природний супутник, тому що

усі планети мають природні супутники»;

в) Ентимема з пропущеним висновком.

Наприклад, «Всі планети мають природний супутник,

а Земля – планета».

Застосування ентимем у практиці міркування значно

підвищує ефективність процесу обміну думками, процесу

спілкування, але іноді приводить до значної кількості по-

милок у наших міркуваннях. Коли користуються повним

силогізмом, помилку легше помітити. Але якщо у силогіз-

мі пропускається якась частина, то саме в ній і може кри-

тися помилка.

З метою уникнення помилок при користуванні скороче-

ними силогізмами треба вміти знайти пропущену частину

силогізму і відновити силогізм у повному вигяді. І лише

потім звернутися до наведеного вище алгориту перевірки

силогізму.

Для того, щоб відновити силогізм у повному вигляді,

необхідно здійснити такі кроки:

а) Визначити, що дано в ентимемі: два засновки, або

один засновок і висновок;

б) Знайти терміни силогізму в наявних частинах си-

логізму;

в) Відновити по знайдених термінах силогізму відсу-

тню частину силогізму;

г) Застосувати алгоритм перевірки силогізму до ре-

конструйованого силогізму.

Розглянемо вищезазначене на прикладах.

І. «Крадіжка – злочин, тому що вона суспільно небез-

печне діяння».

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

264

ІІ. «Земля – планета, тому що вона обертається на-

вколо Сонця».

Відновимо у повному вигляді силогізм, виходячи із на-

явної ентимеми. У ентимемі ІІ маємо висновок (який сто-

їть перед словами «тому що») і засновок. Запишемо їх за

схемою силогізму:

Земля обертається навколо Сонця.

Земля – планета.

Виходячи із висновку, визначимо більший та менший

терміни силогізму. Відповідно S – «Земля» і Р – «пла-

нета», тоді наявний засновок «Земля обертається навко-

ло Сонця» – буде меншим. Отже, пропущеним є більший

засновок. Він може мати два варіанти структури:

1) М – Р і

2) Р – М.

У зв’язку з цим сформулюємо два силогізми:

Усі планети (Р) обертаються навколо Сонця (М).

Земля (S) обертається навколо Сонця (М).

Земля (S) – планета (Р).

Деякі небесні тіла , що обертаються навколо

Сонця(М), є планети (Р).

Земля (S) обертається навколо Сонця (М).

IІ.

Земля (S) – планета (Р).

Тепер застосуємо алгоритм перевірки силогізму. Якщо

розглянути силогізм І, то очевидно, що він побудований за

ІІ-ю фігурою простого категоричного силогізму. Але у

ньому порушується друге правило цієї фігури. Отже, ви-

сновок логічно не слідує із даних засновків. Схема силогі-

зму ІІ побудована за І-ю фігурою простого категоричного

силогізму, але в ній порушується перше правило цієї фігу-

ри («Більший засновок повинен бути загальним суджен-

ням»). Отже, висновок логічно не слідує із даних заснов-

ків. Якщо ж спробувати утворити загальне судження, то

воно виявиться хибним: «Усі небесні тіла, що обертають-

ся навколо Сонця – планети». Таким чином, наведена

ентимема неправильна.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

265

Але цілком правомірно виникає питання: «Хіба Земля

не планета?». Дійсно, Земля є планетою і, у цьому випад-

ку, висновок даної ентимеми є істинним судженням. Але

ще раз підкреслимо, що цей висновок логічно не випливає

із даних засновків. Тому треба знайти ті засновки, із яких

з необхідністю буде випливати істинність даного висновку.

Подібні випадки зустрічаються досить часто. На перший

погляд, достатньо мати істинний висновок, щоб стверджу-

вати правильність умовиводу. Але це не так. Тому що ви-

сновок може бути істинним, а його обгрунтування помил-

ковим.

д) Силогістика та метод аналітичних таблиць

Окрім наведених способів доведення правильності моду-

сів категоричного силогізму застосовують ще й метод ана-

літичних таблиць. Особливо цей метод ефективний у

зв’язку з перекладом висновків із категоричних висловлю-

вань на мову логіки предикатів. Справа в тому, що існує

суттєва відмінність арістотелівської силогістики від класи-

чної логіки предикатів. Ця відмінність полягає в тому, що

класична логіка предикатів припускає такі предикати, об-

сяг яких не містить жодного елемента (пуста множина).

Силогістика ж не передбачає пустих термінів. Тому не

будь-який вираз логіки предикатів, що репрезентує прави-

льний висновок силогістики, буде загальнозначущим.

Щоб застосувати метод аналітичних таблиць для

перевірки правильності висновків, сформульованих мо-

вою логіки предикатів, необхідно додатково до аналі-

тичних правил логічних термінів, що використовують-

ся у логіці висловлювань, ввести по два аналітичних

правила для кожного квантора:

Т ∀х Р(х),F ∀x P(x),T ∃x P(x),F ∃x P(x)

T P(a) F P(в) Т Р(в) F Р(а).

У наведених правилах у ролі змінних фігурують а і в.

Вони відрізняються тим, що змінна а є необмеженою

змінною, а в – обмеженою.

Ці обставини справляють певний вплив на застосування

аналітичних правил для кванторів. Мається на увазі те,

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

266

що при застосуванні правил Т∀ і F∃ використовується бук-

ва а, яка означає будь-яку змінну.

У правилах F∀ та Т∃ змінна в означає таку предметну

змінну, яка не зустрічається в жодній формулі гілки таб-

лиці, де застосовувалося це правило.

Правила Т∀ та F∃ дають можливість підставити будь-

яку змінну, але підставляють лише ті змінні, які роблять

аналітичну таблицю замкненою. Проілюструємо сказане на

прикладі.

Встановимо методом аналітичних таблиць тотожно-іс-

тинність виразу.

Доведення:

0. F ∃x ∀y A (x,y) ⊃ ∀y ∃x A (x,y)

І.

1. T

∃

x ∀y A(x,y)

2. F ∀y ∃x A(x,y) F⊃ до 0

ІІ.

3.T ∀y A(в,y) T∃ до 1

ІІІ.

4. F ∃x A(x,c) F∀ до 2

IV. 5.T A(в,c)

T∀ до 3

V. 6. F A(в, c)

F ∃ до 4

На першому кроці доведення ми отримали формули 1,

2, застосувавши правило F⊃, на другому кроці ми застосу-

вали правило Т∃, де замість х підставили змінну з обме-

женням в. На третьому кроці правило Т∃ також вимагає

ввести обмежену змінну в, але ми вже в цій гілці, вико-

ристовуючи правило Т∃, зверталися до букви в, тому вво-

димо змінну с.

На четвертому і п’ятому кроках, відповідно до правил

Т∀ та F∃, маємо право вводити будь-які змінні, але ми під-

ставляємо саме ті змінні, які роблять дану таблицю за-

мкненою.

Зробивши загальні зауваження щодо використання ме-

тоду аналітичних таблиць, перевіримо коректність виснов-

ків із категоричних суджень, перекладених на мову класи-

чної логіки предикатів.

Перевіримо правильність безпосереднього умовиводу,

заснованого на відношенні підпорядкування. Побудуємо

аналітичну таблицю для цього виразу:

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

267

0. F ∀x (S(x) ⊃ P(x)) ⊃ ∃x (S(x) ∧ P(x))

І.1. T ∀x (S(x) ⊃ P(x)

)

2. F ∃x (S(x) ∧ P(x)) F⊃ до 0

ІІ.3. T S(a) ⊃ P(a) T∀ до 1

ІІІ.4. F S(a) ∧ P(x) ¬ F∃ до 2

IV. 5.F S(a) ¬ 5

′

. TP(a) ¬ T⊃

V. 6. F S(a) 6

′

. F P(a) 6

′′

. F S(a) 6

′′′

. F P(a)

—— — +

Отже, аналітична таблиця не замкнена, а це свідчить

про те, що правильний висновок у традиційній логіці не

може бути виражений завжди істинним виразом у логі-

ці предикатів, що й доводить його некоректність з то-

чки зору логіки предикатів.

Застосуємо метод аналітичних таблиць для перевірки

логічної коректності модусів категоричного силогізму.

Для прикладу візьмемо модус «Cesare» другої фігури

та модус «Fesapo» четвертої фігури:

0. F [∀x (Px) ⊃



M(x)) ∧ ∀x (S(x) ⊃ M(x))] ⊃ ∀x (S(x) ⊃



P(x))

І.1. T [∀x (P(x) ⊃



M(x)) ∧ ∀x (S(x) ⊃ M(x))]

2. F ∀x (S(x) ⊃



P(x)) F⊃ до 0

ІІ.3. T ∀x (P(x) ⊃



M(x))

4. T ∀x (S(x) ⊃ M(x)) T∧ до 1

ІІІ.5. F (S(в) ⊃



P(в)) F∀ до 2

IV. 6. T S(в)

7. F



P(в) F⊃ до 5

V. 8. T P(в) F∼ до 7

VI. 9. T (P(в) ⊃



M(в)) T∀ до 3

VII. 10. T (S(в) ⊃ М(в)) ¬ Т∀ до 4

VIII. 11. F P(в) ¬ 11’. Т



М(в) ¬ Т⊃ до 9

IX. 12. F S(в) 12

′

. T M(в) 12

′′

. F S(в) 12

′′′

.Т М(в) Т⊃ до 10

′′

.F M(в) 13

′′′

.F M(в)

+ + + +

Зробимо необхідні пояснення. Кроки 1, 2, 3, 4 отримані

завдяки застосуванню аналітичних правил до імплікації та

кон’юнкції. Правило F∀, застосоване до 2, дало можли-

вість у виразі 5 замінити х на в.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

268

При застосуванні правила Т∀ (кроки 9,10) ми знову за-

мість х підставляємо в. Це зумовлено тим, що правило Т∀

дає право замість х підставляти будь-яку змінну, тому ми

вибираємо ту змінну, яка робить нашу таблицю замкне-

ною. Вирази 11–13 отримуємо, застосовуючи аналітичні

правила для імплікації та заперечення.

У результаті доведення отримуємо замкнену таблицю.

Отже, вихідна формула тотожно-істинна, а модус, який

вона представляє, логічно коректний.

Побудуємо в такий самий спосіб аналітичну таблицю

для модусу «Fesapo».

0. F[∀x (P(x) ⊃



M(x)) ∧ ∀x (Mx) ⊃ S(x))] ⊃ ∃x (S(x) ∧



P(x))

І.1. T (∀x (P(x) ⊃



M(x)) ∧ ∀x (M(x) ⊃ S(x)))

2. F ∃x (S(x) ∧



P(x)) F⊃, 0

ІІ.3. T ∀x

(P(x) ⊃



M(x))

4. T ∀x (M(x) ⊃ S(x)) T∧, 1

ІІІ.5. Т

(Р(а) ⊃



М(а)) Т∀, 3

IV. 6. Т (М(а) ⊃ S(a)) T∀, 4

V. 7. F (S(a) ∧ P(a)) ¬ F∃, 2

VI. 8. F P(a) 8’.T



M(a) ¬ T⊃, 5

VII. 9. F M(a) ¬ 9

′

. TS(a)¬ 9

′′

. FM(a) ¬ 9

′′′

. TS(a) ¬ T⊃, 6

VIII. 10. FS(a) 10

′

. FР(a) 10

′′

.FS(a) 10

′′′

. F



P(a) P(a) F∧ 7

—10

′

. ТР(а) +10

′′′

. ТР(а)

1234

ІV

. FS(a) 10

. F



P(a) 10

VІ

. FS(a) 10

VП

. F

ІV

. FM(a) 10

VП

. FM(a)

—10

.TP(a) +10

VП

. TP(a)

——

5678

Отже, аналітична таблиця для модусу «Fesapo» неза-

мкнена, що свідчить про неможливість виразити його

завжди істинною формулою логіки предикатів.

Застосовуючи метод аналітичних таблиць, ми можемо

перевірити, чи всі висновки силогістики являються логіч-

но коректними, чи ні.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

269

4. Недедуктивні умовиводи

До недедуктивних умовиводів відносяться:

 індуктивні умовиводи та

 умовиводи за аналогією.

Як уже зазначалося, для недедуктивних умовиводів ха-

рактерним є те, що в них між засновками та висновком іс-

нує відношення підтвердження, а висновок носить харак-

тер гіпотези.

Розпочнемо розгляд недедуктивних умовиводів з індукції.

а) Індуктивні умовиводи

І н д у к т и в н и м умовиводом називається умови-

від, в якому із одиничних або часткових суджень виво-

диться загальне судження. Наприклад:

Земля має природний супутник.

Марс має природний супутник.

Юпітер має природний супутник.

...................................

Земля, Марс, Юпітер ... це планети

Сонячної системи.

Отже, імовірно, що будь-яка планета

Сонячної системи має природний с

тник.

Індуктивні умовиводи поділяються на :

 повну індукцію і

 неповну індукцію.

У свою чергу, неповна індукція має два види:

 популярна індукція і

 наукова індукція.

Виходячи з цього, схема типології індуктивних умови-

водів має такий вигляд:

Індуктивні умовиводи

Повна індукція Неповна індукція

популярна індукція

наукова індукція, або

методи знаходження

причинних зв’язків

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

270

Повна індукція

П о в н о ю індукцією називається такий умовивід, у

якому на підставі притаманності ознаки кожному

предметові деякої множини робиться висновок про на-

лежність цієї ознаки всім предметам цієї множини.

Із даної дефініції видно, що повна індукція може ефек-

тивно використовуватися тільки стосовно скінченних і

осяжних множин. Оскільки повна індукція передбачає

дослідження кожного елемента певної множини, то ви-

сновок тут носить достовірний характер. Іноді, маючи

це на увазі, говорять, що дедуктивний умовивід і повна ін-

дукція схожі.

Наприклад:

N знав потерпілого.

М знав потерпілого.

К знав потерпілого.

Z знав потерпілого.

N, M, K, Z – це всі

мої найближчі родичі.

Отже, всі мої найближчі родичі знали потерпілого.

Мовою логіки предикатів структура повної індукції

записується так:

Р (а

)

Р (а

)

Р (а

)

Р (а

)

∀х Р(х).

У математиці застосовується спосіб доведення загальних

положень, який нагадує зовні повну індукцію. Цей спосіб

доведення називають математичною індукцією. Він ба-

зується на особливостях будови і властивостях натурально-

го ряду чисел. Відомо, що натуральний ряд чисел побудо-

ваний за простим законом: «Кожне натуральне число

більше від попереднього рівно на одиницю».

Враховуючи цей закон, можна обгрунтувати загальні

положення: «Якщо якась ознака притаманна першому

Слово «всі» тут вживається у значенні, що N, K, M, Z вичерпують

клас найближчих родичів.