Лекция 11. Интервальные оценки
Винер сказал: «Чем более вероятно сообщение,
тем меньше оно содержит информации».
Такие плакаты ты увидишь в любом зале ожидания.
А. и Б. Стругацкие «Дни кракена»
План лекции: понятие интервального оценивания параметров,
построение доверительного интервала с помощью центральной
статистики, доверительные интервалы для параметров нормаль-
ного распределения, примеры расчетов, асимптотический метод.
11.1. Понятие интервального оценивания параметров
Доверительный интервал среднего балла экзамена:
с достоверностью 0,95 – [72; 74],
с достоверностью 1 – [0; 100].
Консультация на экономическом факультете
Мы рассмотрели точечные оценки неизвестных параметров распреде-
ления наблюдаемой случайной величины. Всякая оценка параметра пред-
ставляет собой функцию от выборки, которая для данной реализации вы-
борки равна конкретному значению оценки, принимаемому за приближен-
ное значение параметра. Возникает вопрос, насколько близка данная оцен-
ка к неизвестному параметру распределения. Ответить на этот вопрос мож-
но только в вероятностном смысле. Например, указать такой интервал,
внутри которого с высокой вероятностью 1 − α находится точное значение
параметра. Построение таких интервалов называют интервальным или до-
верительным оцениванием, а соответствующий интервал – доверительным
интервалом параметра или интервальной оценкой параметра.
Таким образом, (1 − α)-доверительный интервал – случайный интер-
вал, который с вероятностью 1 − α накрывает истинное значение парамет-
ра θ. Уровень значимости α обычно берут равным одному из чисел 0,001;
0,005; 0,01; 0,05; 0,1. Уровень значимости выражает ошибку доверительно-
го интервала. Чем меньше α, тем больше доверительная вероятность и тем
надежнее доверительный интервал, но более надежный интервал является
более широким и менее информативным. Стандартный уровень значимости
α = 0, 05.
Рассмотрим доверительное оценивание скалярного параметра θ.
Пусть X = (X
1
, . . . , X
n
) – выборка из генеральной совокупности наблю-
даемой случайной величины ξ с функцией распределения F (x, θ).
Определение 11.1. Интервал I = [I
1
(X); I
2
(X)], (где I
1
(X) < I
2
(X))
называют доверительным интервалом значимости α для параметра
94