10.2. Достаточные статистики и оптимальные оценки
– Это верный подход, – Благозвон произнес,
Торопливо вмешавшись опять,
– Это правильный путь, если хочешь всерьез
Настоящего Снарка поймать!
Льюис Кэрролл, «Охота на Снарка»
Оказывается, что оптимальная оценка, если она существует, является
функцией от достаточной статистики. Точнее говоря, для любой несмещен-
ной оценки, не являющейся функцией от достаточной статистики, можно
указать несмещенную оценку, зависящую от достаточной статистики, дис-
персия которой меньше, чем дисперсия исходной оценки. Это доказывает
следующая теорема.
Теорема 10.4 (теорема Pao – Блекуэлла – Колмогорова). Пусть
T (X) – достаточная статистика, d(X) – несмещенная оценка θ,
ϕ(T ) = E (d(X)/T (X) = t). Тогда
D d(X) > D ϕ(T ).
Доказательство.
Схема доказательства.
(1) Покажем, что ϕ(T ) не зависит от θ и, значит, может служить оцен-
кой θ.
(2) Покажем, что ϕ(T ) – несмещенная оценка θ.
(3) Докажем, что D d(X) > D ϕ(T ).
Для простоты записи обозначим f
X/T (X)=t
= f
T
.
(1) ϕ(T ) не зависит от θ, так как
ϕ(T ) = E (d(X)/T (X) = t) =
Z
d(x)f
T
(x)dx.
(f
T
(x) не зависит от θ, так как T (x) – достаточная статистика).
(2) ϕ(T ) ∈ T
θ
, так как
E[ϕ(T )] = E
T
[E
X
(d(X)/T (X) = t)] = E(d(X)) = θ.
Использована формула из курса теории вероятностей
E
η
[E
ξ
(ξ/η)] = E ξ.
(3) Вычислим дисперсию d(X) :
D d(X) = E(d(X) − θ)
2
= E(d(X) − ϕ(T ) + ϕ(T ) − θ)
2
=
90