Куликов В.П., Кузин А.В. Инженерная графика

Подождите немного. Документ загружается.

В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разре-

шающей задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, на-

пример я

1 я, или я

1 я

; при этом плоскость я

окажется горизонталь-

но-проецирующей, а плоскость щ — фронтально-проецирующей. Если

введение одной плоскости, я

или я

не позволяет разрешить задачу, то

прибегают к последовательному дополнению основной системы плос-

костей проекций новыми: например, вводят плоскость я

J_ я

}

, получа-

ют первую новую систему — я

, я,, а затем от этой системы переходят

ко второй новой системе, вводя некоторую плоскость я

± я

. При этом

плоскость я

оказывается плоскостью общего положения в основной

системе я,, я

. Таким образом, производится последовательный переход

от системы я,, я

к системе я

, я

через промежуточную систему я

, щ.

Если плоскости я

и я

все же не разрешают вопроса полностью,

можно перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость,

перпендикулярную к я

Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая, что

черта лежит на этой оси; обозначения плоскости представляют собой

как бы числитель и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится

по ту сторону оси, где должны размещаться соответствующие проекции.

2.31 Введение

систему ортогональных плоскостей

одной дополнительной плоскости проекций

В большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в сис-

тему я,, я

, в качестве плоскости проекций, выбирается согласно како-

му-либо условию, отвечающему цели построения.

На рисунке 151 выбор плоскости я

подчинен цели — определить

угол между прямой CD и плоскостью проекций я

, поэтому я

1 я

и в

то же время плоскость я

параллельна прямой CD (ось я

/я

|| CD" ).

Кроме искомого угла ср

определилась и натуральная величина отрезка

CD (ее выражает проекция C"D"').

Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность,

например, преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения,

заданная в системе я,, я

становится перпендикулярной к дополнитель-

ной плоскости проекций. Пример дан на рисунке 152, где дополнитель-

ная плоскость я

проведена так, что плоскость общего положения, за-

данная треугольником ABC, стала перпендикулярной к плоскости я

Как же это получено?

В треугольнике ABC проведена горизонталь AD. Плоскость, перпен-

дикулярная к AD

перпендикулярна к ABC и в то же время перпендику-

лярна к плоскости я, (так как /Ю||я,). Этому удовлетворяет плос-

кость я

; треугольник ABC проецируется на нее в отрезок В'"С".

111

•о

с'

{

п>

Рисунок

151

с г \ Ш

Рисунок

152

Построения на рисунке 152 приводят к получению угла ср, наклона

заданной плоскости к плоскости я,.

2.32 Введение

систему ортогональных плоскостей двух

дополнительных

плоскостей проекций

Рассмотрим введение в систему я,, я

двух дополнительных плоско-

стей проекций на следующем примере.

Пусть требуется заданную в системе я,, я

прямую общего положения

АВ расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проек-

112

ций. Можно ли достигнуть этого введением лишь одной дополнительной

плоскости? Нет. Ведь такая плоскость, будучи перпендикулярной к пря-

мой общего положения, сама в системе я,, я

окажется плоскостью об-

щего положения, т. е. не перпендикулярной ни к я,, ни к я

. Но этим на-

рушится условие введения дополнительных плоскостей проекций.

Как же обойти это препятствие и применить все же способ переме-

ны плоскостей проекций? Надо придерживаться следующей схемы: от

системы я,, я

перейти к системе я

, я,, в которой я

я, и я

\\АВ

а за-

тем перейти к системе я

, я

, где я

и я

АВ. Соответствующий чер-

теж дан на рисунке 153. Дело сводится к последовательному построе-

нию проекций А'" и А

,у

точки А и В" и 2?

/к

точки В. Прямая общего по-

ложения в системе я,, я

оказалась перпендикулярной к дополнительной

плоскости проекций я

с переходом через промежуточную стадию па-

раллельности по отношению к первой дополнительной плоскости я

Так как плоскость я

расположена параллельно прямой АВ, то расстоя-

ния точек А и В от плоскости я

равны между собой и выражаются, на-

пример, отрезком А'2\ взяв ось

/я

перпендикулярно к

А'"В'"

(что со-

ответствует в пространстве перпендикулярности плоскости я

к пря-

мой АВ) и, отложив отрезок

равный А'2, получаем обе проекции,

1У

и В

1У

в одной точке, т. е. то, что и должно получиться, если АВ

_1_

Рисунок 153

На рисунке 154 дан пример построения натурального вида тре-

угольника ABC. Здесь введены две дополнительные плоскости проек-

ций я

и я

по такой схеме: к

1 л, и я

1 ABC, а я

ABC. За-

ключительная стадия построения свелась к проведению плоскости

плоскости ABC (так как требовалось определить натуральный вид

треугольника ABC); промежуточной стадией была перпендикулярность

113

Рисунок

154

дополнительной плоскости л

к плоскости ABC. Эта промежуточная

стадия повторяет построение, показанное на рисунке 153. В заключи-

тельной стадии построения на рисунке 154 ось я

/л

С"'А"'В'",

т. е.

плоскость я

проведена параллельно плоскости ABC, что и приводит к

определению натурального вида, выражаемого проекцией A

Итак, в этом примере, чтобы получить параллельность плоскости

ABC и плоскости я

, потребовалось предварительно расположить взаим-

но перпендикулярно плоскость ABC и плоскость я

. Наоборот, в приме-

ре на рисунке 153, чтобы получить перпендикулярность АВ±щ, пред-

варительно потребовалось положение параллельности АВ

\ \

2.33

Способ вращения

При вращении вокруг некоторой неподвижной прямой (ось враще-

ния) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, пер-

пендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). Точка перемеща-

ется по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси

с плоскостью вращения (центр вращения), а радиус окружности равня-

114

ется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения).

Если какая-либо из точек данной системы находится на оси вращения,

то при вращении системы эта точка считается неподвижной.

Ось вращения может быть задана или выбрана; в последнем случае

выгодно расположить ось перпендикулярно к одной из плоскостей про-

екций, так как при этом упрощаются построения.

Действительно, если ось вращения перпендикулярна, например, к

плоскости тс

, то плоскость, в которой происходит вращение точки, па-

раллельна плоскости

7г

Следовательно, траектория точки проецируется

на плоскость к

без искажения, а на плоскость п

{

— в виде отрезка пря-

мой линии.

Вращение вокруг выбранной оси

В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом если

ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то

построение упростится, так как точка, через которую проходит ось, бу-

дет «неподвижной» и для поворота отрезка надо построить новое поло-

жение проекций только одной точки — другого конца.

На рисунке 155 показан случай, когда для поворота отрезка АВ вы-

брана ось вращения, перпендикулярная к плоскости тс, и проходящая

через точку А. При повороте вокруг такой оси можно, например, распо-

ложить отрезок параллельно плоскости тг

Именно такое положение показано на рисунке 155. Горизонтальная

проекция отрезка в своем_новом положении перпендикулярна к линии

связи А"А'. Найдя точку В" и построив отрезок А"В'\ получаем фрон-

тальную проекцию отрезка АВ в его новом положении. Проекция А"В"

выражает длину отрезка АВ. Угол А" В"В" равен углу между прямой АВ

и плоскостью к

Рисунок 155

11S

Если поставить перед собой цель —

определить угол наклона прямой общего

положения к плоскости тс

, то надо про-

вести ось вращения перпендикулярно к

плоскости тг

и повернуть прямую так,

чтобы она стала параллельной плоско-

сти ТГ,.

На рисунке 156 показано построение

действительной величины горизонталь-

но-проецирующей плоскости, заданной

треугольником ABC методом вращения

этого треугольника около вертикальной

оси до тех пор, пока плоскость тре-

угольника не станет параллельной плос-

кости тс

Ось вращения 00 проведена через вершину треугольника А. Враща-

ются одновременно две вершины треугольника -^5и С. После поворота

новая горизонтальная проекция треугольника А'В' С параллельна оси х.

Построение фронтальных проекций точек В и С находят, проводя

линии связи как показано на рисунке.

Рисунок

156

Вопросы

для

самопроверки

1. Как

найти длину

отрезка

прямой линии, вводя дополнительные плоскости про-

екций?

2. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести

систему

щ, л

чтобы

оп-

ределить натуральный

вид

фигуры, плоскость которой перпендикулярна

ПЛОСКОСТИ

7Г-|

Что

такое

центр вращения точки

при

повороте

ее

вокруг некоторой оси?

В чем

заключается способ вращения?

5. Что

такое

радиус вращения точки?

2.34 Аксонометрические проекции

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказыва-

ется необходимым наряду с изображением предметов в системе ортого-

нальных проекций иметь изображения более наглядные. Для построе-

ния таких изображений применяют проекции, называемые аксономет-

рическими или, сокращенно, аксонометрией.

Существует три разновидности наглядных изображений: перспекти-

ва, параллельная и центральная аксонометрии. Первую применяют для

изображения объектов больших размеров (зданий, плотин, самолетов,

крупных станков и т. д.), когда надо показать, как они будут выглядеть

с определенных точек зрения после их создания. Перспектива как бы

116

заменяет фотографии объектов, пока существующих только в представ-

лении проектировщиков. Однако значительно проще, чем перспектива,

строится параллельная аксонометрия (обычно объектов небольших раз-

меров), которую широко используют в различных отраслях техники, в

частности в машиностроении. Центральная аксонометрия представляет

больше научный интерес и в практике используется редко.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная

фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта система

точек отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую

плоскость. Следовательно, аксонометрическая проекция есть, прежде

всего, проекция только на одной плоскости, а не на двух или более, как

это имеет место в системе ортогональных проекций. При этом необхо-

димо обеспечить наглядность изображений и возможность производить

определения положений и размеров.

На рисунке 157 показана схема проецирования точки Л на некото-

рую плоскость а, принятую за плоскость аксонометрических проекций.

Направление проецирования указано стрелкой.

Рисунок 157

Полученное на ней изображение называют аксонометрическим (или

просто аксонометрией), а проекции координат осей — аксонометриче-

скими осями координат.

Очевидно, проекции прямых, параллельных в натуре натуральным

осям координат, параллельны соответствующим аксонометрическим.

Именно в использовании этого свойства параллельных проекций и за-

ключается простота построения параллельной аксонометрии.

Прямые Ox, Оу, Oz изображают оси координат в пространстве, пря-

мые Оах, Оау, Oaz — их проекции на плоскость а — аксонометриче-

ские оси.

На осях х, у, z отложен некоторый отрезок длиной /, принимаемый

за единицу измерения по этим осям (натуральная единица). Отрезки 1х,

117

ly, lz на аксонометрических осях представляют собой проекции отрезка

/; они вообще не равны / и не равны между собой. Отрезки /х, ly, lz, яв-

ляются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксоно-

метрическими единицами.

Отношения у,у,у называются коэффициентами искажения (или

I 1> ъ

показателями искажения) по аксонометрическим осям.

Коэффициент искажения по оси Оах обозначим к, по оси Оау обо-

значим т, по оси Oaz обозначим п.

Трехзвенная пространственная линия О Ах А' А спроецировалась в

плоскую ломаную линию Оа Аха А'а Аа (рисунок 157). Точка Аа — ак-

сонометрическая проекция точки А; точка А'а представляет собой аксо-

нометрическую проекцию точки А\ которая является одной из ортого-

нальных проекций точки А, а именно на плоскость л, (хОу). Точку А'а

называют вторичной проекцией точки А. Можно построить еще две вто-

ричные проекции точки А, соответствующие двум другим ее ортого-

нальным проекциям — на плоскостях n

(xOz) и n

(yOz).

Отношения между аксонометрическими проекциями отрезков пря-

мых линий, параллельных прямоугольным осям координат, и самими

отрезками выражаются коэффициентами к, т, п.

Так как А'Ах || Оу и А'А || Oz (рисунок 157), то при параллельном

проецировании

>Гау4ха||

Оау и

Л'а;4а||

Oaz. Отношение параллельных

отрезков при параллельном проецировании сохраняется; следователь-

но,

А'аАха :

1у

А'Ах : I или А'аАха : А 'Ах

1у: 1= т, где т — коэффи-

циент искажения по оси Оау. Аналогичные заключения можно сделать

и относительно отрезков, расположенных параллельно осям х и z'. отно-

шения проекций таких отрезков к самим отрезкам равны (соответст-

венно) коэффициентам искажения к и п.

Каждый из отрезков линии О Ах А' А (рисунок 157) определяет одну

из прямоугольных координат точки А; проекции этих отрезков — отрез-

ки плоской ломаной линии Оа Аха А'аАа — определяют соответствен-

но аксонометрические координаты той же точки А. Очевидно, при по-

мощи коэффициентов искажения можно перейти от прямоугольных

координат к аксонометрическим, и наоборот: ха = Ах, у а = ту, za = nz,

где буквами ха, у a, za обозначены отрезки, определяющие аксономет-

рические координаты точки, а буквами х, у, z — отрезки, определяю-

щие ее прямоугольные координаты.

Углы наклона натуральных осей координат к аксонометрической

плоскости проекций и направление проецирования могут быть выбра-

ны произвольно. Следовательно, возможно существование бесчислен-

ного множества видов параллельной аксонометрии. Их подразделяют

на три группы:

— все три показателя искажения равны (к=т

п). Этот вид аксоно-

метрии называют изометрической (или изометрией);

118

—

два каких-либо показателя равны (например, к

тФ п). Этот вид

аксонометрии называют диметрической (или диметрией);

— все три показателя различны (кФЩФп). Этот вид аксонометрии

называют триметрической (или триметрией).

В практике применяют несколько видов аксонометрии с наиболее

простыми соотношениями между показателями искажений.

Обратимость аксонометрического чертежа (возможность определе-

ния натуральных размеров изображенного объекта) обеспечивается ука-

занием на нем показателей искажения (или наличием условий для их

определения) и возможности построения аксонометрической коорди-

натной ломаной любой точки поверхности, принадлежащей изображен-

ному объекту.

На рисунке 158 дан пример построения аксонометрической проек-

ции точки по ее ортогональным проекциям.

Точка Аа построена по координатным отрезкам, взятым с чертежа:

ОАх, y

AxA

AxA". Учитывая коэффициенты искажения k, т и

п,

откладываем по оси Оах отрезок Оа Аха

к • ОАх, затем параллель-

но оси Оау отрезок Аха

А'а

= т • АхА' и, наконец, параллельно оси

Oaz отрезок A'aAa = rf АхА".

Плоскость р (рисунок 159) изображена следами и в аксонометриче-

ской проекции. Для построения следов взяты точки их пересечения с

Рисунок 159

119

осями по отрезкам на осях (например, точка Xfia, построена по отрезку

ОХР;

ОаХ$а

к* ОХ&).

Точка А, лежащая в плоскости р, построена в аксонометрической

проекции по ее координатам; горизонталь NaAa должна быть парал-

лельна своей вторичной проекции и следу на плоскости хОау. Точку

Аа можно было построить и как точку пересечения двух каких-либо

прямых в плоскости р, построив аксонометрические проекции этих

прямых.

Стандартные аксонометрические проекции.

ГОСТ 2.317—69 устанавливает правила построения аксонометриче-

ских проекций, применяемых на чертежах всех отраслей промышлен-

ности и строительства.

Изометрическая проекция.

Положение аксонометрических осей приведено на рисунке 160.

Рисунок 160

Коэффициент искажения по осям х

у, z равен 0,82. Изометриче-

скую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без искаже-

ния по осям х, у, z, т. е. приняв коэффициент искажения равным 1.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям про-

екций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эл-

липсы (рисунок 161).

Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям

х, у, z, то большая ось эллипсов 2, 3 равна 1,22, а малая ось —

0,71 диаметра окружности.

Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям

х, у, z, то большая ось эллипсов /, 2, 3 равна диаметру окружности,

а малая ось — 0,58 диаметра окружности.

У эллипса 1 большая ось расположена под углом 90° к оси у, у эл-

липса 2 — к оси z и у эллипса 3 — к оси х. Запомним также, что боль-

шая и малая оси эллипса перпендикулярны между собой.

Пример изометрической проекции детали приведен на рисунке 162.

120