Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

ромасштаб. Однако для капельных жидкостей, например воды, для кото-

рой число Прандтля

7

≅

rP

, пульсации температуры простираются до

масштабов

θ

η

, примерно в 3 раза меньших колмогоровского микромас-

шта

η

.

ба

Образование «температурных вихрей» в жидкости (при

1

>>rP

) с ли-

нейными размерами

θ

η

, меньшими колмогоровского микромасштаба

η

,

объясняется эффектом растяжения вихрей под воздействием ти

фо х пор, ка не начнет действовать молеку-

<<

,

темпер

аг

скорос де-

рмации в тонкие нит пои до те

лярная теплопроводность. И если оказывается, что

η

θ

то градиенты

пульсационного температурного поля могут быть весьма крутыми. Для

указанного процесса растяжения « атурных вихрей» можно привести

очень н лядную аналогию со смешением жидких красок различных цве-

тов, помещенных в широкое блюдце. Коэффициент молекулярной диффу-

зии красителя обычно мал по сравнению с вязкостью жидкости

(

1/ <<

η

ν

χ

). Вследствие продолжительности процесса лярной диф-

фузии растяжение превращает струйки краски в очень т -

ные нити ещё до того, как молекулярная ди

вать смесь красителей.

молеку

онкие искривлен

ффузия сможет гомогенизиро-

rP

2. Число Прандтля,

).(1

ν

χ

>

<

В этом микромасштаб температурного поля

η

θ

>

; даже самые

е вихри не заполняют всего спектра флуктуаций ско-

и

случае

малые температурны

ν

χ

>>

рости деформации. Поэтому пр

фл

исеть от вязкости

уктуирующая скорость дефор-

мации

ji

s

не должна зав

ν

. Вя

параметров

зкость в этом случае не

может служить масштабным параметром. В качестве характерных мас-

штабн могут быть взяты параметры ых

ε

и

θ

η

. Тогда для

флуктуации скорости деформации имеет место оц

3/2−

⋅

θ

η

.

Уравнение (3.103) может ак

ен

ε

ji

s

быть оценено к

ка

3/1

∝

4

2

3/23/1

2

ˆˆ

θ

η

θ

χηε

η

θ

∝⋅⋅

−

. (3.105)

Из (3.105) нахо

дим

4/13

)/(

νχη

θ

=

, (3.106)

4/34/3

)/(/

−

== rP

νχηη

θ

. (3.107)

101

Интересно отметить, что для жидких металлов, для которых число Пран-

дтля

)(1

ν

χ

>><<rP

, может вообще не

пературных вихрей. Например, для ртути

8

существовать турбулентных тем-

число

,0/ ≅≡

m

rP

χν

, и при

чис

магн

2

ле

Рейнольдса

107 ⋅<

L

eR

итное число Рейнольдса

mm

LueR

χ

/)

ˆ

( ⋅≡ оказывается величиной меньше единицы (

m

6

χ

играет роль

коэффициен молекулярной диффузии магнитного поля).

3.6.3. Планетарный пограничный слой

Геострофический ветер.

Движение воздуха над земной поверхностью

подвержено влиянию илы Кориолиса, которая возникает в системе коор-

динат, вращающ

та

с

ейся относительно инерциальной системы отсчета. Дейст-

вую

робежную силу можно объединить с силой давления в жидкости, вве-

дя ие эффективное давление

щую во вращющейся системе координат на единицу массы жидкости

цент

в рассмотрен

(

2

1

ˆ

xpp

G

×Ω⋅⋅−=

ρ

2

) .

Кориолисовая же сила, равная

)(2 Ω×⋅

G

u

, не зависит от расстояния до

я системы координат, вращающейся с по угловой

скоростью

Ω

оси вращени стоянной

G

жидкой част изменяет направ

. Сила Кориолиса направлена перпендикулярно оси враще-

ния и вектору скорости ицы; она ление дви-

жения частиц жидкости, не совершая над ними работы. Это изменение на-

правления компоненты скорости частицы происходит в плоскости перпен-

дикулярной вектору

Ω

G

и противоположно направлению вращения систе-

мы координат.

Уравнение Навье

− Стокса во вращающейся системе координат имеет

вид

.2

1

)

2

ugupu

t

(u

u

G

∇++×Ω−∇⋅−=

∂

ν

ρ

(3.108)

Для движений свободной атмосферы со скоростями жидких частиц

1

10

−

⋅= смu

пространственным масштабом движения

мl

4

10=

(сравни-

мым с высотой однородной атмосферы) и при кинематическом коэффици-

енте вязкости воздуха

125

10

−−

⋅= cм

ν

число

10

10/)( ≅⋅=

ν

lueR

. Следова-

тельно, вязким трением можно пренебрегать всюду, за исключением

∇⋅+

∂

мы

щен

и

при-

кающего к Земле тонкого пограничного слоя, поскольку именно вяз-

кость обусловливает обра ие в нуль вектора скорости на твердой по-

верхност Земли.

102

При благоприятных условиях движение воздуха вне пограничного слоя

можно считать установившимся и горизонтально однородным:

0///

=

∂

∂=∂∂=∂∂ уxt . Довольн ча о воздушные массы в течение

сут

о ст

равны нулю). В этом случае уравнения движения становятся

про иентом давлен

цио ого трения малы

ми членами). Течения, в которых силы инерции пренебрежимо малы, носят

наз

сть обусловле

В декартовой системе координат, вращающейся с постоянной угловой

остью

ок проходят большие расстояния. При этом направление скорости их

движения изменяется весьма незначительно (инерционные ускорения,

приближенно,

стым балансом между град ия и силой Кориолиса (инер-

нное ускорение и сила вязк по сравнению с остальны-

вание

геострофических, то е нных вращением Земли.

скор

Ω

G

, плоскость y

x

, которой нормальна локальной вертикали на

ϕ

,

широте

а компонента скости,

⋅Ω== 22 ,

угловой скорости нормальная к пло

Ω параметром Кориолиса. Его величину

ϕ

Sinf

z

можно считать постоянной, если течение охватывает малую область по

широте

называется

ϕ

. На широте

14

10,40

−−

≅= cf

D

ϕ

.

Система уравнений геострофическог ния в такой сис -

нат имеет вид

о тече теме коорди

x

p

∂

Vf

g

∂

−=⋅− , (3.109)

y

p

Uf

g

∂

−=⋅

, (3.110)

где

gg

VU ,

− компоненты скорости геострофического ветра в плоскости

y

x

, , а

−+=

22

gg

VUG

модуль скорости геострофического ветра.

Вблизи поверхности Земли движение воздуха находится под домини-

рую

ет

щим влиянием силы трения атмосферы о подстилающую поверхность,

величина которой, как показано ниже, больше всех других сил как мини-

мум на порядок величины. На широте

D

40=

ϕ

при скорости

1

10

−

⋅= смu

величина силы Кориолиса вблизи поверхности Земли имеет оценку

2

0010

−

⋅∝⋅⋅∝ мнufF

k

ρ

. (3.111)

Поскольку сила трения убыва с высотой, движение воздуха вне тонкого

слоя вблизи поверхности Земли испытывает влияние силы Кориолиса и

должно учитываться.

,

103

Первопричина формирования пограничного слоя атмосферы

− «прили-

пание» частиц воздуха к земной поверхности. Структура атмосферного

пограничного слоя сложна

− она включает иерархию пограничных слоев

разного вертикального масштаба, в каждом из которых имеются свои оп-

ределяющие параметры (или физические факторы).

слой. Тонкий слой воз

но

ым сл

когда на

и дует ветер неизменного направления со скоро-

стью . Направим ось

Приземный пограничный духа непосредствен-

у поверхности Земли, где сила трения атмосферы о подстилающую по-

верхность Земли доминирует, называется приземн оем.

Рассмотрим идеализированную ситуацию, д абсолютно глад-

кой поверхностью Земл

x

, зависящей от высоты

декарт

нат сь

вертикально вверх,

поверх .

дненное

овой системы коорди-

в направлении ветра, о

начало координат раз-

z

местим на ности Земли Поскольку приземный слой очень тонок, а

скорость ветра много меньше скорости звука, плотность воздуха можно

считать величиной постоянной, а движение воздуха рассматривать как не-

сжимаемое. Осре уравнение движение воздуха в таком слое имеет

вид

()

+

∂∂

∂

jj

i

ji

xx

U

x

2

ν

ρ

+

∂

⋅−=><+⋅

∂

+

∂

i

P

uuUU

U

1

∂∂

ji

j

xt

⋅

Ω

⋅

−

+

kjkjii

Ug

ε

2

(3.112)

Полагая гидродинамические поля стационарными и однородными в го-

ризонтально на каждом уровне

constz

м направлении

=

, уравнени (3.112)

принимает про

е

стой вид

,

2

Ud

d

zd

wu

zd

νρρ

=>< (3.113)

вертикальная

отве

где

u и w − горизонтальная и компоненты пульсационной

скорости со тственно. При записи уравнения (3.113) использовано гра-

ничное условие,

0

=

=z

W

(где

W

− средняя вертикальная скорость), а так-

же уравнение неразрывности

.0/

=

zd

Интегрирование уравнения (3.113) дает

Wd

00

)/(

τ

ρ

ν

=

>

<

−

⋅

=

zddU

z

ли,

верхности. Согл

wu

, (3.114)

где

2

*0

/ uzddU

ρρντ

=⋅=

− напряжение трения на поверхности Зем

*

u

− скорость трения на п асно данным многочисленных о

измерений,

1

*

3,0

−

⋅≅ смu

. С учетом того, что плотность воздуха

104

3

25,1 ⋅≅ мкг

ρ

, для силы тре ующей на единицу поверхности,

−

ния, действ

получаем оценку

в типичных условиях со стороны ат-

ьная сила в

пр

2

0

1,0

−

⋅≅ мн

τ

. (3.115)

То есть на

2

1м

земной поверхности

мосферы действует горизонтал

н1,0 .

Связь профиля скорости

)(zU с на яжением трения

0

τ

можно полу-

чить, как и в п. 2.3.2, на об ажен й размерн

основании со р и ости:

),,;()(

0

τ

ν

ρ

zfzU

=

.

орости не включает

(3.116)

Размерность ск единицы измерения массы, поэтому

),;()(

*

uzfzU

ν

=

. (3.117)

Оц олщины вязкого подслоя. В вязком подслое уравнениеенка т

(3.114) имеет вид

0

τρν

≈

zd

Ud

. (3.118)

Толщину вязкого подслоя можно определить как высоту, при которой тур-

булентные напряжения составляют 10% от вязких напряжений. Из сообра-

жений размерности можно записа

ть

*

/uc

ν

δ

νν

⋅

=

, (3.119)

не сл

ходится в пределах

где интервал значений коэфф

ишком велик и обычно на-

ициента

ν

c

85

≤

ν

c

. Для воздуха

12

15,0

−

⋅= ссм

ν

,

1−

⋅= смu

и, следовательно

*

3,0

,

мм3,0

≈

ν

δ

.

Логарифмический профиль среднего ветра. При значениях коорди-

наты

ν

δ

>>z

в уравнении (3.114) доминируют турбулентные напряжения

constwu

=

≈

>

<

−

0

τ

ρ

.

Вязко ется определяющим параметр -

(3.120)

сть теперь не явля ом (условие прили

пания к земной поверхности не выполняется), и уравнения оказываются

инвариантными относительно преобразований Галилея. В этом случае, как

и в п. 2.3.2, можно использовать метод теории подобия и размерностей для

нахождения градиента скорости

zdUd / − величины, инвариантной этому

преобразованию

);(/

*

uzfzdUd

=

. (3.121)

Из соображений размерности следует, что

105

,

*

uUd

=

(3.122)

zkzd ⋅

где

≅k .

Инт и 22), получаем

4,0 − константа Кармана

егр руя уравнение (3.1

⎟

⎠

⎞

⎜

=−

2*

12

ln)()(

zk

zUzU

⎝

⎛

1

zu

. (3.123)

олняется это соо

рифмическим пограничным слоем.

й масштаб неоднородности которых не пре-

Слой воздуха, в котором вып тношение, называется

лога-

Поверхности, вертикальны

восходит

ν

δ

, называются аэродинмически .

В природе поверхности ески шероховатые. Для

гладкими

обычно аэродинамич

остей ввхарактеристики поверхн одится параметр шероховатости

0

z

. При-

ведем численные значения параметра шероховатости для некоторых раз-

нов : идностей поверхности

o гладкий снег:

смz 1,0

0

≅

;

o травяной покров:

смz 1

0

≅

;

o лес:

z

0

м1

≅

.

В э нки записывается в виде

том случае закон сте

)(

0

*

zzkzd +

⋅=

. (3.124)

Интегрир ание (3.124) дает

1

udU

ов

⎟

⎠

⎟

⎜

⎝

⋅=

0

0*

ln)(

zk

zU

. (3.125)

⎞

⎛

+

zzu

Из (3.125) следует, что

0

=

=z

U

, и те ым исключается логарифмиче-

ская расходим я ветра в начале координа

Оценка пр начения турбулентной

м сам

ость профил т.

едельного з вязкости в планетар-

.4 отмече

е

ном пограничном слое.

В разд. 3 но, что турбулентность в стра-

тифицированной среде не вырождается, сли число Ричардсона удовлетво-

ряет неравенству:

250

)/(

/ln

2

≤< ,

Θ

⋅

=

Оценим предельное значение, которое может принимать турбулентная

вязкость

кр

Ri

zdUd

zddg

Ri

. (3.126)

Т

ν

в планетарном пограничном слое.

106

При проведении этой оценки будем предполагать справедливой модель

«градиентной диффузии»

zddUwu /

Т

⋅

=

>

<

−

ν

. (3.127)

С учетом закона стенки (3.124) при

0

=

z

и стоянстве рейнольдсовых по

напряжений,

2

*

uwu =><−

, из (3.127) следует, что

zuk

Т *

=

ν

. (3.128)

Коэффициент молекулярной вязкости

ν

, равный по порядку величины

произведению скорости звука на среднюю длину свободного пробега мо-

лекул воздуха, имеет численное значение, равное приближенно

124

1016,0

−−

⋅⋅ см

. С другой стороны, на высоте уже одного метра, мz 1

=

,

121

102,113,04,0 =⋅⋅=

Т

ν

−−

⋅⋅ см

. ьно, турбулентное

лярное трение, поскольку

Следовател трение в

1000 раз превосходит молеку

3

4

10

106,1

102,1

∝

⋅

≅

−

ν

Т

.

Однако

Т

1

−

ν

не растёт неограниченно с высотой, так как уже с высоты в

несколько десятков метров начинает играт

ческой стратификации. Вертикальный профи

ь роль фактор устойчивой тер-

ми ль потенциально

тур

я потоком тепла через поверхн

х плоскостях редуцируется к

вид

й темпера-

ы

)(zΘ определяетс ость Земли. В при-

ближении Буссинеска уравнение притока тепла в предположении стацио-

нарности и однородности в горизонтальны

у

><⋅−=

Θ

w

d

c

d

к

p

θρ

2

, (3.129)

2

zd

где

ним, что в

при потенциал

wczd

p

к

− коэффициент молекулярной теплопроводности. Напом

ближении Буссинеска понятие ьной и кинетической темпе-

ратуры неразличимы и коэффициент теплопроводности обычно полагается

величиной постоянной.

Интегрирование уравнения (3.129) дает

d

0

qк )/( ><

−

=

Θ

θ

ρ

−

=

, (3.130)

где

− поток тепла через поверхность Земли. Поток тепла

0

q

можно из

соображений размерностей записать в виде

*0

ˆ

ucq

p

⋅=

θρ

. (3.131)

0

q

107

Масштаб температурных флук орядка десятых долей гра-туаций обычно п

дуса.

Вне вязкого подслоя поток тепла определяется выражением

>

<

≈

wcq

p

θ

ρ

0

.

В этой записи молекулярный поток тепла предполагается пренебрежимо

м по сравнению с турбулентным потоком тепла. Примем, что для

турбулентного потока тепла справедлива модель градиентного переноса

(3.132)

малы

)/( zddw

Т

Θ

⋅

=

>

<

−

χ

θ

, (3.133)

где

Т

χ

− коэффициент турбулентной температуропроводности. Если пр

нять, что структура турбулентности определяется поверхностным трением,

то есть превалируют условия с доминированием среднего сдвига скорости,

то

и-

zuk

ТТ

⋅

=

≈

*

ν

χ

. (3.134)

Из 0), (3.131) и (3.13 (3.126), с учетом (3.127), (3.13 4), следует, что

1

ˆ

2

*

⎟

⎞

⎜

⎛

⋅⋅−

zkug

θ

**

≤

⎟

⎠

⎜

⎝

uzuk

, (3.135)

Θ

или

)/()/(

0

3

*

p

cqgk

u

Lz

, (3.136)

ρ

⋅Θ

−=≤

О

положителен стратификации и отрицателен при неустой-

чивой стратификации виях конвекции) и проходит через бесконечно

альной стратификации.

где

L − масштаб бухова − Монина, введённый в разд. 3.4. Параметр L

при устойчивой

(в усло

большие значения при нейтр

Предельное значение турбулентной вязкости можно оценить, как

Luk

предТ

⋅

=

*.

ν

. (3.137)

Монина в виде

Запишем масштаб Обухова

−

.пред

2

3

*

Т

Nk

u

L

χ

⋅⋅

=

, 38) (3.1

где

Luk

предТ

⋅

⋅≅

*.

χ

, а

)/ln(

2

zddgN Θ⋅=

− частота Брента – Вяйсяля,

Полагая, что

соответствующая предельному значению градиента температуры

)/( zddΘ

.пред

Luk

предТпредТ

.

⋅

=

≅

*..

ν

χ

, (3.139)

108

и учитывая (3.138), получаем выражение для предельного значения турбу-

лентной вязкости

предТ

.

∗

ν

(3.140)

Для типичных значений

80,103,0

21

мLNсмu ==⋅=

−−

∗

Nu /

2

≅

.

,

получаем

(3.141)

что

,

12

.

10

−

⋅≅ см

предТ

ν

,

превышает молекулярную вязкость в миллион раз!

Выше высоты

Lz

⋅

≈

1,0 необходимо учитывать отклоняющую силу

Кориолиса, и эта часть планетарного пограничного слоя называется слоем

Экмана.

Пограничный слой Экман ысот от 10 до 1000 а. В диапазоне в

м

оп-

еляющим является баланс го трения и отклоняющей ред сил турбулентно

силы Кориолиса. Поскольку в атмосферном пограничном слое гори

тал ий много больше верт

ведливо

зон-

ьный масштаб движен икального масштаба, спра-

уравнение гидростатики

)(/ constgzp −=

∂

=

ρ

, и в этом

слу о тальных плоскостях не

зависят от вертикальной координаты

Действительно

чае к мпоненты градиента давления в горизон

.z , 0)/(/

=

∂

xpz

и

.)0)/(/ =∂∂∂∂ уpz

Найдем распределение ветра с выс ии однородно-

гидродинамических полей в горизонтальном направлении и справед-

ливости модели градиентного переноса для переноса турбулентного им-

пульса, имеем вух уравнений

отой. В предположен

сти

систему д

2

z

U

Vf

Т

∂

⋅=⋅−

ν

, (3.142)

2

(

z

UUf

−⋅

. (3

2

)

V

Тg

∂

⋅=

ν

.143)

Ось

x

направлена по геос у

U

трофическому ветр

g

)/()/(1 ypf

∂

⋅

−

=

ρ

,

зонтальном уровне считается прямо-

линейным и равномерным, так что

и движение воздуха на каждом гори

.0//

=

tdVdtddU Коэффициент

Т

ν

считается не зависящим но от высоты. Если ввести вую переменную

скордля ости

,iVUw

+

=

систему уравнен 43) можно запи-

ого уравнения

ий (3.142) - (3.1

сать в виде одн

109

gТ

Ufiwfi

z

w

⋅⋅−⋅⋅=

∂

2

ν

.

Для вспо тельной переменной

w

мога

Uw

g

−

=



получается уравнение

0

2

=⋅⋅−

∂

wfi

z

w

Т



ν

,

общее решение которого имеет вид

h

z

i

h

z

i

eBe⋅Aw

)1()1( +−+

⋅+=



,

где

BA, − комплексные постоянные, а

2/11

)2(

−

⋅= fh

Т

ν

. При значении

12

25

−

⋅= см

Т

ν

, что одного порядка с оценкой

.предТ

ν

по формуле (3.141),

−−

и

14

10= cf

для высоты слоя получаем ое значение, равн .700мh

≈

В

силу естественных граничных условий задачи

при

;,0,0

g

Uwwz

−

=



при

0,, →→

∞

→ wwwz

g



можно записать решение как

h

z

i

g

eUw

)1( +−

−=



.

Отделяя вещественную и мнимую части, окончательно находим

,)cos1(

h

z

eUU

h

g

⋅−=

−

z

.sin

z

eUV

h

g

⋅=

−

(3.144)

Это распределение ветра с высот ень наглядно лоскос годографа

вектора ск ров, п нных из одной точки и изобра-

жающих по направлению и величин зных высотах).

Рис. 23. Спираль Экмана в планетарном пограничном слое.

Кривая на рис. 23 – логарифмическая спираль. Спираль проходит через

начало координат на плоскости (

VU ,

) под углом

D

45 к оси U . При этом

h

ой оч в п ти

орости ветра (векто роведе

е скорость на ра

z

110

Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.