Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

На поверхности,

0

2

=

x

, скорость 0

1

=

U , поэтому 0

=

сonst , и в резуль-

тате получаем линейный профиль скорости:

(2.56)

,/)(

2*21

+

= xuxU

где

− безразмерная поперечная координата.

ν

/)(

*22

uxx ⋅=

+

В области течения достаточно удаленной от поверхности, при значении

, в левой части (2.54) второй член оказывается много больше пер-

вого, так что приближенно получается

1

2

>>

+

x

.

02121

τ

ρ

τ

≈

>

⋅

<

−

=

uu

(2.57)

Эта область течения называется

слоем постоянного напряжения трения

(СПНТ).

Таким образом, поток импульса, направленный к поверхности и соз-

дающий на ней напряжение трения

0

τ

, может определяться только тремя

размерными величинами:

2

, x

ρ

и

0

τ

. Из этих трех величин можно соста-

вить одну комбинацию той же размерности, что и градиент скорости, а

именно

. Следовательно, вне вязкого подслоя

1

2

2/1

0

)/(

−

⋅x

ρτ

,

2

*

2

1

++

⋅

=

xк

u

xd

Ud

(2.58)

где

− безразмерная постоянная величина, называемая константой

Кармана (параметр, имеющий экспериментальное происхождение). Выра-

жение (2.58) называют

законом стенки, так как им определяется распреде-

ление скорости течения вблизи твердой поверхности. Решение уравнения

(2.58) имеет вид

41,0≅к

,ln

1

2

*

1

Bx

кu

U

+⋅=

+

(2.59)

где

B

– ещё одна универсальная безразмерная постоянная величина. Об-

ласть значений

, в которой справедливо распределение скорости (2.59),

называется

логарифмическим пограничным слоем. Для определения посто-

янной

+

2

x

B

нельзя воспользоваться граничным условием на поверхности,

поскольку первый член в правой части (2.59) обращается в бесконечность.

При очень малых значениях влияние вязкости существенно и им нельзя

пренебрегать. Выражение (2.59) обращается в бесконечность и при

В рассмотренной идеализированной задаче обтекаемая поверх-

+

2

x

.

2

∞=

+

x

61

ность предполагается бесконечной и её влияние простирается на бесконеч-

но большие расстояния.

Существенная особенность рассмотренного течения заключается в том,

что оно не имеет никаких характерных постоянных параметров длины,

которые могли бы быть использованы для определения характерного мас-

штаба турбулентности. Поэтому, характерный линейный масштаб крупно-

масштабных вихрей определяется самим расстоянием

, отсчитываемым

от поверхности. Характерная же скорость крупномасштабного турбулент-

ного движения порядка величины

. Это следует непосредственно из со-

ображений размерности, поскольку скорость трения

- единственная ве-

личина с размерностью скорости, которую можно составить из опреде-

ляющих параметров

2

x

*

u

*

u

.,,

20

x

ρ

τ

Интересно отметить, что средняя скорость

течения

убывает по мере приближения к обтекаемой поверхности, а

порядок величины скорости пульсационного движения остается одинако-

вым на всех расстояниях от поверхности:

1

U

*

22

*

1

2ln)ln2(ln

ˆ

u

k

u

xx

k

u

Uu ≅⋅=−=∆≡

++

.

Порядок величины пульсационной скорости

определяется изменени-

ем средней скорости

u

ˆ

1

U

∆

на расстояниях порядка величины , так как

нет характерного масштаба длины

, на протяжении которого можно бы-

ло бы определить это изменение. Следовательно, при изменении

на

величину порядка его самого, средняя скорость как раз и изменяется на

величину порядка .

+

2

x

L

+

2

x

*

Турбулентный пограничный слой на плоской пластине. Закон (2.59)

для плоскопараллельного течения справедлив формально во всем про-

странстве, поскольку площадь обтекаемой поверхности полагалась беско-

нечной. При течении же вдоль поверхности конечных размеров логариф-

мическое распределение скорости наблюдается лишь вблизи поверхности в

области течения, называемой

пограничным слоем. Толщина пограничного

слоя растет вниз по течению вдоль обтекаемой поверхности (плоской пла-

стины). По этой причине, например, при течении в круглой трубе лога-

рифмический профиль скорости имеет место, фактически, вдоль всего се-

чения трубы. Нарастая от входа в трубу, пограничный слой уже на некото-

ром расстоянии вниз по потоку заполняет

собой все сечение трубы. По-

этому для установившегося течения в трубе во всем её объёме течение того

же типа, как и в турбулентном пограничном слое. Согласно (2.59) распре-

u

62

деление скорости в последовательно расположенных сечениях подобны, во

всяком случае, в той области течения, где турбулентное напряжение сдвига

приблизительно постоянно. Этот СПНТ относительно тонок, а в остальной

части пограничного слоя распределение скорости может отличаться от

логарифмического распределения. Никакой строгой теории для этой части

слоя нет. В современной теории турбулентности описание

течения по всей

толщине пограничного слоя осуществляется на основе той или иной моде-

ли турбулентного переноса, реализуемой численными методами на компь-

ютере. Во второй части «Лекций…» излагается одна из наиболее употре-

бительных моделей.

Рис. 18. Распределение средней скорости вблизи непроницаемой гладкой

поверхности

*

.

На рис. 18 показано распределение средней скорости в турбулентном

пограничном слое на плоской пластине. Приведенные на этом рисунке

экспериментальные данные показывают, что распределение скорости

(2.56) имеет место при значениях

, в то время как логарифмиче-

ский закон (2.59) справедлив при

. Значение постоянной

10

2

<

+

x

30

2

>

+

x

5

≅

B . В

*

Приводится по кн.: Хинце О. Турбулентность. М.: ФМ, 1963 [2].

63

промежуточной области,

, измеренный профиль скорости

отклоняется от того и другого законов, плавно переходя от одного закона

распределения к другому.

3010

2

<<

+

x

Примечательно, что логарифмическое распределение скорости вполне

удовлетворительно согласуется с экспериментальным распределением в

областях течения, удаленных от поверхности пластины на значительно

большие расстояния, нежели те, для которых оно должно быть строго

справедливо. То есть,

в тех областях, где предположение о постоянстве

касательного напряжения, несомненно, уже не справедливо. Этот интерес-

ный экспериментальный факт позволяет лучше понять правомерность

оценки толщины пограничного слоя и трения на обтекаемой плоской пла-

стине, которая приводится ниже.

Отклонение от логарифмического закона в верхней части слоя, при

, обусловлено нерегулярными колебаниями границы слоя, вы-

зываемыми крупномасштабными возмущениями.

1500

2

≥

+

x

Оценим толщину турбулентного пограничного слоя и величину трения

на поверхности пластины.

Пусть на внешней границе пограничного слоя скорость жидкости равна

скорости основного потока

. Для определения этой скорости можно

воспользоваться логарифмическим распределением (2.59), в котором вме-

сто текущего значения координаты

можно подставить толщину погра-

ничного слоя

U

2

x

T

δ

и отбросить второй член в правой части. Такая операция

дает результат с логарифмической точностью

*

.

Это позволяет для распределения скорости записать выражение

,ln

*2*

1

ν

ux

k

u

U

⋅

⋅= (2.60)

а для скорости на внешней границе выражение

,ln

**

ν

δ

u

k

u

U

T

⋅

⋅= (2.61)

где

постоянный параметр. −U

*

При очень большом аргументе логарифма велик и сам логарифм. Прибавление к

нему члена

∝ эквивалентно введению под знаком логарифма небольшого чис-

ленного коэффициента, которым в логарифмическом приближении можно пренеб-

речь по сравнению с членом, содержащим большой логарифм.

*

u

64

Выше отмечено, что толщина пограничного слоя

T

δ

меняется вдоль об-

текаемой поверхности, а вместе с ней медленно меняющейся функцией

продольной координаты

оказывается и скорость трения . В 1-й гл.

была сделана оценка (1.26), согласно которой

1

x

*

u

U

xu

U

xu

T

1*1

ˆ

⋅

∝

⋅

∝

δ

. (2.62)

Зависимость силы трения, действующей на единицу площади поверх-

ности пластины, определяется формулами

ν

ρτ

⋅

=⋅=

U

xu

k

u

Uu

1

2

**

2

*0

ln,

. (2.63)

Вторая из формул (2.63) имеет логарифмическую точность.

Коэффициент сопротивления определяется как

2

*

2

0

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==

U

u

U

C

f

ρ

τ

. (2.64)

Исключив скорость трения

из (2.63) и (2.64), получим

*

u

ν

1

2

11

Re;)Reln(

2 xU

C

k

xxf

f

⋅

=⋅=

⋅

. (2.65)

Формула (2.65) определяет в неявном виде зависимость

от . Соглас-

но (2.65) коэффициент сопротивления

− медленно убывающая функ-

ция продольной координаты

.

f

C

1

x

f

C

1

x

Для оценки толщины слоя находим

2

/

0*

f

C

Uu ⋅==

ρτ

. (2.66)

Подстановка (2.66) в (2.62) дает для толщины турбулентного пограничного

слоя оценку вида

,

1 fTT

CxC ⋅⋅=

δ

(2.67)

65

где

коэффициент, численное значение которого определено

экспериментально.

−≅ 3,0

T

C

Таким образом, толщина турбулентного пограничного слоя растет, в ос-

новном, линейно с ростом продольной координаты

. В ламинарном по-

граничном слое толщина нарастает, как

1

x

1

x , т. е. медленнее, чем в турбу-

лентном пограничном слое.

3. Динамика турбулентности

3.1. Температурно-стратифицированная атмосфера.

Уравнения гидродинамики свободной конвекции

В поле тяжести при неоднородном распределении плотности жидкости

ρ

на жидкие частицы будут действовать кроме сил гидродинамического

происхождения еще и архимедовы силы. В результате частицы более (ме-

нее) плотные, чем окружающая среда, при движении вверх (вниз), наобо-

рот, теряют часть своей энергии на преодоление архимедовых сил. Это

означает, что потенциальная энергия стратифицированной (расслоенной)

по плотности среды в поле тяжести

может переходить в энергию турбу-

лентности, а энергия турбулентности

− в потенциальную энергию страти-

фицированной среды. В данном разделе мы рассмотрим эффект воздейст-

вия флуктуирующей архимедовой силы на поле турбулентности.

Стратифицированная сплошная среда. При изучении турбулентных

течений, например в атмосфере, необходимо учитывать температурную

стратификацию, создающую изменение плотности среды с высотой. Атмо-

сфера

− сжимаемая газообразная среда. Однако во многих случаях ее мож-

но рассматривать как эффективно несжимаемую, используя понятие

по-

тенциальной

температуры вместо реальной температуры. Принимаем, что

газ атмосферы удовлетворяет уравнению состояния Менделеева

− Клапей-

рона:

p

R

T

=

ρ

, где

R

− универсальная газовая постоянная,

T

− абсо-

лютная температура.

Потенциальная температура

Θ

и потенциальная плотность

ρ

Θ

опре-

деляются как температура и плотность среды, адиабатически приведенные

к «стандартному» состоянию (для которого плотность

ρ

0

, давление и

температура

зависят только от вертикальной координаты и удовле-

творяют уравнению гидростатики,

p

0

T

0

z

gzp

00

/

ρ

∂

−

=

, и уравнению состоя-

ния,

pR

00

= T

ρ

):

66

T

p

cc

pv

=

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

=

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

=Θ

Θ

00

1

γ

ρρ

γ

,(/) (3.1)

Из определения (3.1) непосредственно вытекает, что при адиабатиче-

ских процессах (

;const

s

=

s

− энтропия среды) потенциальная темпера-

тура остается неизменной. Действительно, при

(/ ) /

()/

pp TT

0

1

0

γγ

−

=

Θ

=

T const

0

. (3.2)

Условие (3.2) отвечает безразличной статической устойчивости сжимаемой

жидкости: вертикальные перемещения элементов среды происходят адиа-

батически, и потенциальная температура

оказывается консервативной

величиной (в отличие от обычной температуры, которая, вообще говоря,

может меняться).

Θ

Из (3.1) следует соотношение

−⋅ =⋅ =⋅ −

−

⋅⋅

111

1

0

ρ

∂

ρ

∂

γ

∂

Θ

zzT

T

zp

p

z

. (3.3)

При

вертикальный градиент абсолютной температуры опреде-

ляется из (3.3) как

Θ=const

dT

dz

T

H

g

c

p

=− =−

, (3.4)

где

Hc g

p

= /

β

− параметр, имеющий размерность длины, а

−

∂

∂⋅−=

p

T )/()/1(

00

ρ

β

коэффициент теплового расширения. Для иде-

ального газа

. Постоянная величина

0

/1 T=

β

Γ

A

p

g

c

g

R

==

−

⋅

γ

1

(3.5)

называется адиабатическим градиентом температуры (в атмосфере Земли

м).

100/1

C

A

D

≅Γ

С учетом уравнения гидростатики,

∂

ρ

pz/ = g

−

, из (3.3) находим

T

z

T

z

A

Θ

Γ⋅= +

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∂

. (3.6)

67

Отметим, что в атмосферном пограничном слое, толщина которого равна

примерно 1 км, изменения давления по высоте незначительны. Следова-

тельно, отношение

T /

Θ

практически постоянно (можно просто предпо-

лагать, что

T / Θ

≈

1

) и из (3.6) градиент потенциальной температуры

приближенно равен

d

dz

dT

dz

A

Θ

Γ≈+ ,

откуда

Θ

() ( / )zT zH

≈

+

1

. (3.7)

Для воздуха земной атмосферы при

и м характер-

ная толщина слоя, стратифицированного полем тяжести,

KT

D

288=

100/1

C

A

D

=Γ

H

≈

32 км. Сле-

довательно, в пределах (равнинного) атмосферного пограничного слоя

температура и плотность в пределах его толщины мало отличаются от

«стандартных» значений

и

T

0

ρ

0

132(/ / )zH≈

. Из (3.6) вытекают ус-

ловия, определяющие состояние стратифицированной среды.

Рис. 19. Зависимость температуры от высоты в стратифицированной атмосфере.

 Нейтральная или безразличная стратификация,

0)( =Γ+

A

zd

Td

, от-

вечает состоянию безразличного равновесия среды: смещенная

68

жидкая частица (с уровня

на уровень ) всегда имеет ту же

плотность, что и ее новое окружение (рис. 19).

z

1

z

2

 Устойчивая стратификация, ()

dT

dz

A

+>Γ 0 , отвечает повыше-

нию потенциальной температуры с высотой. Температура умень-

шается с высотой медленнее, чем в адиабатическом случае. При

этом жидкая частица, сместившаяся адиабатически вверх со своего

уровня, оказывается тяжелее по сравнению с ее новым окружени-

ем. Возникающая архимедова сила возвращает ее вниз.

 Неустойчивая стратификация, ()

dT

dz

A

+<Γ 0 , отвечает потенци-

альной температуре, убывающей с высотой. Выведенная вверх (на

уровень

) частица оказывается легче ее окружения, и архимедо-

ва сила будет удалять ее дальше вверх от первоначального поло-

жения (на уровне

): возникает свободная конвекция. Полное пе-

ремешивание произвольно стратифицированной сжимаемой среды

ведет к формированию адиабатической атмосферы.

z

2

1

z

Приближение Буссинеска. Система уравнений гидродинамики неод-

нородно-нагретой эффективно несжимаемой жидкости (см., например,

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.:Наука, 1986) имеет вид

,

1

2

gupuu

t

u

G

ρν

ρ

+∇+∇⋅−=∇⋅+

∂

, (3.8)

div u

G

=

0

, (

3.9)

TTu

t

T

2

∇⋅=∇⋅+

χ

∂

G

, (3.10)

где

p

cк

ρ

χ

/= − коэффициент температуропроводности.

ему уравн

лых отклонений

Сист ений (3.8)

− (3.10) запишем далее для ма

температуры

′

T

, плотности

′

ρ

и давления

′

p

от их «стандартных» значе-

ний

, pT

и

00 0

ρ

:

Tx x x t T T(, , ,)

123 0

=

+

′

,

pp p

=

+

′

0

,

ρ

=

+

′

0

.

69

Ввиду предполагаемой малости отклонения

′

T

мало и вызываемое им

отклонение плотности

′

ρ

. Поэтому для «капельных» жидкостей в качест-

ве уравнения состояния принимается обычно закон теплового расширения

′

=

−

′

ρ

β

0

T

. (3.11)

Приближение Буссинеска при рассмотрении свободной конвекции ос-

новывается на допущении, что масштаб среднего движения много меньше,

чем характерная толщина слоя жидкости

H

, стратифицированного полем

тяжести. Если условие

z

H

<

< не выполняется, то следует применять

приближение «глубокой конвекции»: в уравнении неразрывности учитыва-

ется изменение плотности с высотой, а вместо обычной температуры

должна использоваться потенциальная температура:

Θ

Γ

()zT

A

z

≈

+

⋅

.

Таким образом, в приближении Буссинеска предполагается, что поправка

на инерцию жидкости в уравнении Навье

− Стокса (3.8) мала по сравнению

с жидкостью плотности

ρ

0

. Тогда, с учетом уравнения состояния (3.11),

система уравнений гидродинамики свободной конвекции может быть пред-

ставлена в виде

'),(

1

2

0

Tzxgu

x

p

x

u

t

u

ii

i

ii

δβν

ρ

α

+∇+

∂

⋅−=

∂

+

∂

,

0=

i

x

u

∂

, (3.12)

2

α

∂

χ

∂

x

T

x

T

u

t

T

⋅=+ .

Как видно из (3.12), приближение Буссинеска в то же время означает, что

пульсации плотности, вызываемые локальными изменениями давления

также малы (среда эффективно несжимаемая!). То есть пульсации плотно-

сти турбулентного потока функционально зависят только от изменений

температуры (но не давления!):

′

≈

−

<

>

<

>

′

ρ

β

ρ

T

,

где

><

β

− среднее значение коэффициента объемного расширения жид-

кости [3]. Следовательно, для газов

Θ

−≈

><

′

−≈

><

′

θ

ρ

T

. (3.13)

70

Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.