Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

скорость

)/( hzUVU

⋅

≅≅ при 0→z и асимптотически приближает-

ся к значениям скорости, равным

.0,

V Спираль бесконечное

число раз пе

которые

ресекает ось

U при таких значениях скорости U ,

или больше, или меньше

U , но которые тем ближе к

U , чем больше

высота

. Данные наблюдений и измерений хорошо согласуются со

мо

схе-

ра

й спирали Экмана: возрастание скорости ветра с высотой вплоть до зна-

чения скорости геострофического вет и вращение ветра направо. Т. е.,

наблюдатель, стоящий лицом к ветру, фиксирует направление ветра в бо-

лее высоком слое атмосферы справа. Спираль Экмана вращается по часо-

вой

стрелке с ростом координаты

. Располагается она слева от вектора

ско

слое

вает

Поэтому нейтральные условия

при ся лишь в нес

лаю я случаи, когда

число

мало. Выше этого слоя

е выше приземного слоя воздух

осн ической

нтную диффузию в урав-

рого говоря, этого как раз

и нельзя делать. Тогда баланс энергии турбулентности выше приземного

рости геострофического ветра, поскольку сила Кори в атмосфер-

ном пограничном оказывается недостаточной для уравновешивания

градиента давления; угол между направлением ветра и градиентом давле-

ния меньше

.90

3.6.4. Свободная турбулентная конвекция

Для иллюстрации сложности описания турбулентного переноса в стра-

тифицированных течениях сплошной среды рассмотрим атмосферный по-

граничный слой в условиях неустойчивой стратификации атмосферы.

В условиях земной атмосферы абсолютное значение параметра Обухо-

ва-Монина редко бы

олиса

меньше

м10

ближенно могут соблюдать кольких метрах выше подсти-

щей поверхности, исключа скорость ветра мала.

В приземном слое, высота которого е превышает

м100

, потоковое

градиент среднего ветра и

генерацию энергии турбулентности сдвигом скорости можно исключить из

рассмотрения; с высотой градиент среднего ветра убывает быстрее, идуще-

го вверх от подстилающей поверхности потока тепла (условие солнечной

послеполуденной погоды). По этой причин

Ричардсона

овательно перемешивается терм конвекцией. Упростим еще

ситуацию,

положив пренебрежимо малой турбуле

нении баланса энергии турбулентности, хотя, ст

слоя принимает вид

εθ

≅><

. (3.145)

111

и хорош

Предположим, что флуктуации

о коррелированы, так что

)

;

(

><≡><≡⋅∝>< wwww

θθθθ

. Обозначим через h тол-

щину погранич о слоя. В предположении, что турбулентность имеет

один характерный масштаб ск

пац

ног

орости

невязкая оценка скорости дисси-

. (3.1 )

бретает вид

ой энергии турбулентных флуктуа-

⋅

. (3.147)

рирует эн

чины

емном с

u ⋅−

Если поток тепла напр

ии энергии турбулентности имеет вид

∝

м (3.146) оценка (3.146) прио

hw /

С учето

hwwg /

ˆˆ

)/(

∝⋅⋅Θ

откуда следует оценка для кинетическ

ций скорости

gw ⋅Θ∝

)/(

Эта оценка означает, что ускорение плавучести жидких частиц, действуя

на масштабах

h∝

, гене ергию турбулентности в единице массы

hg ⋅⋅Θ

)/(

жидкости порядка вели

Если поток тепла через пограничный слой по порядку величины тот же,

что и в приз лое, корреляция

)/(

Lguww ⋅⋅−∝⋅∝><

θθ

откуда

)/(

Lg ⋅Θ∝

. (3.148)

Подставляя (3.148) в (3.147), находим

3/22

)/()/

( Lhuw −∝

. (3.149)

авлен вверх, масштаб

. Значение

мL 10

−

отвеч конвекции. Высота атмосферного пограничного слоя

оценивается величиной

10h ∝

. Для этих характерных значений

20)10/10()/

(

3/2132

∝∝uw

. (3.150)

Следовательно, кинетическая энергия турбулентности в единице массы

жидкости,

)2/1( w

, оказывается величиной большей, чем

при усло-

вии, конечно, что поток тепла, идущий вверх, достаточно велик. В пренеб-

режении этим

ает сильной

м тепла, потоко

∝

. Оценка (3.150) п зывает, что

есть величина

ока

корреляция между пульсационными компонентами скорости

мала,

потому что характерный масштаб флуктуаций скорости

112

)

(

wwwuw ∝∝

, а компонента турбулентн о касательного напряже-

турбу-

ен нерируемые флуктуирующей силой плавучести, мало

эфф переносе импульса. Но они достаточно эффек

от

рованных течениях. Другими словами, эта коцепция приносит

ало пользы при решении задач свободноконвективных турбулентных те-

ргии турбулентности

термич

б плавучести

))

−

ем о к

)

Очевидно, что задача о свобо ной конвекции есть задача с

дву

ог

ния

uwu ∝><

. Таким образом, можно сделать вывод о том, что

л тные вихри, ге

ективны в тивны в пере-

носе тепла. Этот вывод подрывает эвристическую основу, на к орой ба-

зируется концепция эффективного коэффициента турбулентног обмена в

стратифици

чений, когда генерация эне посредством плавучести

доминирует.

Если градиент температуры поддерживается за счет перемешивания,

создаваемого еской конвекцией, справедлива оценка

hz /

∝∂Θ∂

В таком случае временной масшта имеет оценку вида

2/2

(/)/(

−

⋅⋅∝∂Θ∂⋅Θ−≡ hgzgT

. (3.151)

Принимая во внимание оценки (3.148) и (3.149), для масштаба

получа-

цен у

3/1

)/()/( hLuhT

−⋅∝ . (3.152)

Высота пограничного слоя, что легко показать, может быть оценена выра-

жением

−

⋅∝ fuh

. И оценка (3.152) может быть записана в виде

3/1

)/( hLfT

−=⋅ . (3.153

дной турбулент

мя характерными временными масштабами,

1−

, которые могут

различаться на порядок величины, если характерные линейные масштабы

L−

различаются на несколько порядков величины.

Большинство задач турбулентного переноса в атмосфере включает, как

правило, более одного динамически важного характерного масштаба вре-

мени или характерного линейного масштаба и оказывается столь сложным,

что решение этих задач при нынешнем знании возможно лишь с привлече-

нием дифференциальных моделей турбулентного переноса (см. «Лек-

ции…», часть 2).

113

3.7. Гипотезы подобия Колмогорова и спектр турбу-

лентности

В разд. 3.3 установлено, что в развитом турбулентном потоке с боль-

шими числами Рейнольдса мелкомасштабные компоненты пульсаций бу-

дут локально-изотропными и не зависящими от средних характеристик

потока. Поскольку масштабы времени мелкомасштабных вихрей малы по

сравнению с временными масштабами среднего течения, мелкомасштаб-

ные вихри быстро реагируют на изменение условий в среднем течении

, а

потому они находятся в приближенно равновесном состоянии по отноше-

нию к локальным условиям в среднем течени , если последние могут

эволюционировать во времени.

В силу этого область волновых чисел в спектре турбулентности с про-

явлением свойств

и даже

а локальной изотропии

называют интервалом равнове-

сия

ктерные масштабы в

лна

си

В этом интервале хара ремени столь малы, что

детали пе едачи энергии от среднего течения к турбулентности не играют

существенной роли. Однако величина энергии, проходящая по спектру из

низковолновой в коротковолновую часть спектра,

− важный параметр. По-

скольку вся энергия в конечном счете диссипируется вязкостью, по я

величина перено мой энергии должна быть равна скорости диссипации

кинетической энергии урбулентости

. Вторым существенным парамет-

ром будет сама молекулярна м образом, кинетическая энер-

гия турбулентности в интервале равновесия

),(

я вязкость ки. Та

kEE

− первая гипоте-

за Колмогорова.

Единственная универсальная зависимость для спектра

будет иметь вид

)()(

ηϕη

kvkE ⋅⋅=

, (3.154)

где

− колмогоровские микромасштабы скорости и длины соответ-

ственно. Можно отметить поразительную схожесть спектра (3.154) и зако-

на .58). Вблизи гладкой поверхности п к импульса равен

стенки (2 ото

В случае, когда

u и

− единственные определяющие параметры, сред-

няя скорость

В пограничном слое имеется

поток импульса в конфигурационном пространстве, а в спектре турбулент-

ности – спектральный поток энергии.

Большая часть энергии диссипируется в вихрях, линейный размер ко-

торых сравним с колмогоровским микромасштабом

есть функция

).(/

2*1

= xuU

. Интервал равнове-

сия включает, следовательно, и интервал волновых чисел, где происходит

114

диссипация энергии турбулентности. Спектральная плотность диссипации

ыражением [2]

д ся как

)()

⋅=

∫

. (3.155)

Значение

определяется в

,)(2)(

kEkkD ⋅=

а скорость иссипации энергии турбулентности определяет

Dss

jiji

=><≡

∫

∞∞

νε

dkkEkdkk

часто находится интегрированием спектра согласно

(3.155). На рис. 24 дано схематичное изображение спектров энергии и дис-

сипации в волновом пространстве.

новесия, 3. – инерц

)(kE

Рис. 24. Спектр турбулентности

)(kE

и спектр диссипации

)(kD

. 1 – об-

ласть энергонесущих вихрей, 2. – область универсального рав и-

онная подобласть спектра, 4. – область наиболее крупных вихрей с высокой степе-

нью устойчивости

При достаточно высоких числах Рейнольдса должен существовать до-

вольно представительный интервал волновых чисел,

11 −−

<<<<

, в

котором структура турбулентности целиком определяется величиной спек-

трального потока

( ический смысл «спектрального

расходования» энергии турбулентности, поступающей в «спектральный

трубопровод в низков лновой части спектра; см. рис. 24) и зависит от

который имеет физ

» о

вязкости. Это утвер дение составляет

содержание второй гипотезы Кол-

не

могорова

. Поскольку

))(()( kEkkv ⋅∝

− характерная скорость турбу-

2/1

115

лентных вихр

, для спектра в инерционном интервале находим универсаль-

ны

ей в волновом пространстве

, а согласно оценке спектрально-

го потока энергии турбулентности (1.28) величина диссипации

kkv ⋅∝ )(

й закон

3/53/2

)(

−

⋅⋅= kckE

11 −−

<<<<

, (3.156)

называемый

законом 5/3 ктра турбулентности в инерционном ин-

тервале.

Опытные данные показывают, что универсальное значение чис-

ленного коэффициента

5,1

для спе

≅

c . Гипотезы Колмогорова и фундаменталь-

ные следствия, вытекающие из них, подвергались проверке в многочис-

ленных экспериментах

− как в физической лаборатории, так и в натурных

словиях. При этом во всех измерениях, где соблюдались условия локаль-

ой изотропии, получено достаточно хорошее совпадение с теорией.

Определение турбулентного вихря в волновом пространстве дано в «Лекциях…»,

часть 2.

116

. Турбулентность. М.: ФМ, 1963.

967. Т. 2.

ambridge University Press, 1976.

Mathieu J., Scott J. An introduction to turbulent flow. Cambridge: Cam-

bridge University Press, 2000.

Pope S.B. Turbulent Flows. Cambridge: Cambridge University Press,

2000.

−

ЛИТЕРАТУРА

1. Бэтчелор Дж. Теория однородной турбулентности. М.: ИЛ, 1955.

Хинце О

Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Спб.:

Гидрометеоиздат, 1992. Т. 1; М.: Наука, 1

Tennekes H., Lumley J. L. A first course of turbulence. Boston: MIT

Press, 1972.

Townsend A.A. The structure of turbulent shear flow. Snd ed. Cam-

bridge: C

117

ОГЛАВЛЕНИЕ

Вв

1. Фи

1.1

1.2

1.3

2.1

....

3. Дин

3.4

3.5

3.6.2. Микромасштабы турбулентного температурного поля..........................99

3.6.3. Планетарный пограничный слой............................................................102

3.6.4. Свободная турбулентная конвекция ......................................................111

3.7. Гипотезы подобия Колмогорова и спектр турбулентности..........................114

ЛИТЕРАТУРА..............................................................................................................117

едение ...........................................................................................................................2

зическая природа турбулентности.........................................................................3

. Определение турбулентности .............................................................................3

. Уравнение Навье − Стокса и турбулентность

...................................................6

. Растяжение завихренности турбулентности......................................................9

1.4. Структура развитой турбулентности................................................................18

1.4.1. Макромасштабы турбулентности.............................................................18

1.4.2. Микромасштабы турбулентности ............................................................20

1.4.3. Турбулентная диффузия, лагранжевые корреляции, спектр и динамика

мелкомасштабной вихревой структуры

.............................................................29

Турбулентный перенос ..............................................................................................38

. Уравнения Рейнольдса для осредненного потока. Турбулентные напряжения

................................................................................................................................38

2.2. Линейные и временные масштабы молекулярного и турбулентного

движений

...................................................................................................................41

2.3. Турбулентные напряжения как функционал поля скорости ..........................49

2.3.1. Локальное приближение для функционала напряжений Рейнольдса ...50

2.3.2. Турбулентный пограничный слой............................................................59

амика турбулентности.........................................................................................66

3.1. Температурно-стратифицированная атмосфера. Уравнения гидродинамики

свободной конвекции

...............................................................................................66

3.2. Уравнение переноса турбулентных напряжений ............................................71

3.3 . Уравнение кинетической энергии турбулентности и его следствия. ............73

3.3.1. Локально-равновесная турбулентность. ..................................................74

3.3.2. Тейлоровский микромасштаб турбулентности. ......................................76

. Баланс энергии турбулентности в стратифицированном течении.................85

. Динамика завихренности турбулентности.......................................................90

3.6. Динамика турбулентных флуктуаций скалярного поля .................................97

3.6.1. Уравнения переноса для статистических характеристик турбулентного

поля температуры

................................................................................................97

118