Лапин И.А., Ратафьева Л.С. Кратные интегралы. Теория поля
Подождите немного. Документ загружается.
101
èÓÚÓÍ
Q ˜ÂðÂÁ ð‡ÒÒχÚðË‚‡ÂÏÛ˛ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ð‡‚ÂÌ ÒÛÏÏ ÚðÂı
ÔÓÚÓÍÓ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
1
S ,
2
S Ë
3
S , Ú.Â.
123
QQ Q Q=++. á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÔÓÚÓÍ ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ‚ÂÍÚÓðÌÓÈ
ÚðÛ·ÍË
3
Q ð‡‚ÂÌ ÌÛβ, Ú.Í. ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠‚ÂÍÚÓðÌÓÈ ÚðÛ·ÍË ‚ÂÍ-
ÚÓð ÔÓÎfl, ÒÓÓÚÌÂÒÂÌÌ˚È ˝ÚÓÈ ÚÓ˜ÍÂ, ͇҇ÂÚÒfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ˝ÚÓÈ
ÚðÛ·ÍË, ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Â„Ó ÔðÓÂ͈Ëfl ̇ ÌÓðχθ Í ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
ð‡‚̇ ÌÛβ.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ËÏÂÂÏ:
12
0
nn
SS
adS adS
′
+
=
∫
∫∫∫
.
àÁÏÂÌËÏ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌË ÌÓðχÎË
n
′
̇ ÔðÓÚË‚ÓÔÓÎÓÊÌÓÂ, ÚÓ„‰‡
ÔÓÎÛ˜ËÏ
12
nn
SS
adS adS=
∫
∫∫∫
.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Ï˚ ÏÓÊÂÏ Ò‰Â·ڸ ‚˚‚Ó‰, ˜ÚÓ ÔÓÚÓÍ ÒÓÎÂÌÓË-
‰‡Î¸ÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl ˜ÂðÂÁ ÔÓÔÂð˜ÌÓ Ò˜ÂÌË ‚ÂÍÚÓðÌÓÈ
ÚðÛ·ÍË ÂÒÚ¸ ‚Â΢Ë̇ ÔÓÒÚÓflÌ̇fl Ë Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÔÎÓ˘‡‰Ë Ò˜Â-
ÌËfl. ùÚ‡ ‚Â΢Ë̇ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ̇ÔðflÊÂÌËÂÏ ‚ÂÍÚÓðÌÓÈ ÚðÛ·ÍË.
ÖÒÎË ÒÓÎÂÌÓˉ‡Î¸ÌÓ ÔÓΠfl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÂÏ ÒÍÓðÓÒÚÂÈ ÚÂÍÛ˘ÂÈ
ÌÂÒÊËχÂÏÓÈ ÊˉÍÓÒÚË
v( , , )
xyz
vvv, ÚÓ Ï˚ ËÏÂÂÏ
0
v( , , ) v( , , ) v( , , )
xyz xyz xyz
vvv vvv vvv
xyz
∂
∂∂
+
+=
∂∂∂
.
á̇˜ËÚ, ÂÒÎË ‚ ÔðÓÒÚð‡ÌÒÚ‚Â, „‰Â Ú˜ÂÚ ÊˉÍÓÒÚ¸, ÌÂÚ ÌË ËÒÚÓ˜-
ÌËÍÓ‚, ÌË ÒÚÓÍÓ‚, ÚÓ ÔðÓÂ͈ËË ÒÍÓðÓÒÚÂÈ Ò‚flÁ‡Ì˚ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂÏ
(1), ÍÓÚÓðÓ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ ÌÂð‡Áð˚‚ÌÓÒÚË.
ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ÚÂÔÂð¸ ÌÂÍÓÚÓðÓ Ò͇ÎflðÌÓ ÔÓÎÂ
(,,)Uxyz Ë Ì‡È‰ÂÏ
Â„Ó „ð‡‰ËÂÌÚ:
a(,,)i
j
k
UUU
gradU x y z
xyz
∂
∂∂
==++
∂∂∂
.
ç‡È‰ÂÏ ‰‡Î ‰Ë‚Âð„ÂÌˆË˛ ˝ÚÓ„Ó ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl:
222
222
a(,,)
UUU
div div gradU x y z U
xyz
∂
∂∂
==∇⋅∇=++
∂
∂∂
ur ur
.
éÔð‰ÂÎÂÌË 2. éÔÂð‡ÚÓð
222
2
222
xyz
∂
∂∂
∇=∇⋅∇= + +
∂
∂∂
ur ur ur
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl
ÓÔÂð‡ÚÓðÓÏ ã‡Ô·҇ Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl ÒËÏ‚ÓÎÓÏ
Δ
, Ú.Â.
1()
102
222
2
222
xyz
∂
∂∂
Δ=∇ = + +
∂
∂∂
ur
.
ÇÓÁ‰ÂÈÒÚ‚Ûfl ÓÔÂð‡ÚÓðÓÏ ã‡Ô·҇
Δ
̇ Ò͇ÎflðÌÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛
(,,)Uxyz, ÔÓÎÛ˜ËÏ
222
222
UUU
U
xyz
∂
∂∂
Δ= + +
∂
∂∂
.
ùÚÓ ‚˚ð‡ÊÂÌË ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ·Ô·ÒˇÌÓÏ ÙÛÌ͈ËË
(,,)Uxyz.
éÔð‰ÂÎÂÌË 3. ÖÒÎË ÙÛÌ͈Ëfl
(,,)Uxyz Ú‡ÍÓ‚‡, ˜ÚÓ
222
222
0
UUU
xyz
∂∂∂
+
+=
∂∂∂
,
Ú.Â.
0UΔ=, ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl „‡ðÏÓÌ˘ÂÒÍÓÈ.
á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ Ûð‡‚ÌÂÌË (2) ÔðË ˝ÚÓÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ
ã‡Ô·҇.
íÂÓðÂχ. ÑÎfl ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ÔÓΠ„ð‡‰ËÂÌÚ‡ ͇ÍÓÈ-ÌË·Û‰¸ Ò͇Îflð-
ÌÓÈ ÙÛÌ͈ËË ·˚ÎÓ ÒÓÎÂÌÓˉ‡Î¸Ì˚Ï, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ë ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ,
˜ÚÓ·˚ ˝Ú‡ ÙÛÌ͈Ëfl ·˚· ·˚ „‡ðÏÓÌ˘ÂÒÍÓÈ.
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó.
çÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚ¸. èÛÒÚ¸ ÔÓΠ„ð‡‰ËÂÌÚ‡ ÒÓÎÂÌÓˉ‡Î¸ÌÓ, Ú.Â.
0U∇⋅∇ =
ur ur
, ÌÓ UU∇⋅∇ =Δ
ur ur
. á̇˜ËÚ, 0U
Δ
= , ‡ ˝ÚÓ ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ
ÙÛÌ͈Ëfl
(,,)Uxyz „‡ðÏÓÌ˘ÂÒ͇fl.
ÑÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸. èÛÒÚ¸ ÙÛÌ͈Ëfl
(,,)Uxyz – „‡ðÏÓÌ˘ÂÒ͇fl,
Ú.Â.
222
222
0
UUU
U
xyz
∂∂∂
Δ= + + =
∂∂∂
,
ÌÓ
U U div gradUΔ=∇⋅∇=
ur ur
, ‡ ˝ÚÓ Ë ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ ÔÓΠ„ð‡‰ËÂÌÚ‡
ÒÓÎÂÌÓˉ‡Î¸ÌÓ.
§5. ñËðÍÛÎflˆËfl ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl ÔÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏÛ ÍÓÌÚÛðÛ.
ÇËı𸠂ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl. ÇÂÍÚÓð̇fl ÙÓðχ ÚÂÓðÂÏ˚ ëÚÓ-
ÍÒ‡
èÛÒÚ¸ ‚ ÔÓΠ‚ÂÍÚÓð‡ a ÎÂÊËÚ ÍðË‚‡fl l , Ëϲ˘‡fl ‚ ͇ʉÓÈ
Ò‚ÓÂÈ ÚӘ͇҇͠ÚÂθÌ˚È ‚ÂÍÚÓð
τ
. é·ÓÁ̇˜ËÏ
Ôð aa
ττ
=
. íÓ„‰‡
ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î
2()
103
l
adS
τ
∫
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÎËÌÂÈÌ˚Ï ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ (ðËÒ. 4.5.1). Ç ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÍÓ„‰‡
ÍðË‚‡fl
l Á‡ÏÍÌÛÚ‡, ËÌÚ„ð‡Î
l
adS
τ
∫
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ˆËðÍÛÎflˆËÂÈ ‚ÂÍ-
ÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl
a ÔÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏÛ ÍÓÌÚÛðÛ.
éÔð‰ÂÎÂÌËÂ. ÇÂÍÚÓð
ca
=
∇×
u
r
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ‚ËıðÂÏ ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó
ÔÓÎfl
a Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í: aarot
=
∇×
u
r
.
Ç˚ð‡ÁËÏ ‚ÂÍÚÓðÌÓ ÔðÓËÁ‚‰ÂÌËÂ
a
∇
×
u
r
˜ÂðÂÁ ÓÔð‰ÂÎËÚÂθ:
i
j
k
a
xyz
rot
xyz
aaa
∂
∂∂
=
∂
∂∂
.
ê‡ÒÍð˚‚ ˝ÚÓÚ ÓÔð‰ÂÎËÚÂθ, ÔÓÎÛ˜ËÏ Ú‡ÍÓ ‚˚ð‡ÊÂÌË ‰Îfl ‚Ëı-
ðfl ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl:
ai
j
k
yy
zxzx
aa
aaaa
rot
yz zx xy
∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂∂∂
⎛⎞
=− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
.
íÂÓðÂχ. ÇËıð‚Ó ÔÓΠÒÓÎÂÌÓˉ‡Î¸ÌÓ, Ú.Â.
(
)
0a
∇
⋅∇× =
u
rur
.
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ Ò Ó˜Â‚Ë‰ÌÓÒÚ¸˛ ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ
(
)
0a∇⋅ ∇× =
ur ur
, Ú.Í. "‚ÂÍÚÓð˚"
∇
u
r
,
∇
u
r
Ë a ÍÓÏÔ·̇ðÌ˚.
ÑÓ͇ÊÂÏ, Ӊ̇ÍÓ, ˝ÚÛ ÚÂÓðÂÏÛ ÔÓ‰ðÓ·ÌÂÂ. é·ÓÁ̇˜ËÏ
ca
=
∇×
u
r
,
ÚÓ„‰‡
c
y
xz
c
cc
xyz
∂
∂
∂
∇⋅ = + +
∂
∂∂
ur
, ÌÓ ÍÓÓð‰Ë̇Ú˚ ‚Ëıðfl
y
z
x
a
a
c
yz
∂
∂
=−
∂∂
,
xz
y
aa
c
zx
∂∂
=−
∂∂
,
y
x
z
a
a
c
xy
∂
∂
=−
∂∂
.
êËÒ. 4.5.1
x
y
z
0
τ
a
l
104
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
22
2222
0
c
yy
zxzx
yy
zxzx
aa
aaaa
xy z yz x zx y
aa
aaaa
yx zx zy xy xz yz
∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
⎛⎞
∇⋅ = − + − + − =
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
∂∂
∂∂∂∂
=−+−+−=
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
ur
íÂÓðÂχ ‰Ó͇Á‡Ì‡.
á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÔðË ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Â ÚÂÓðÂÏ˚ Ï˚ Ôð‰ÔÓÎÓÊËÎË
ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌË ‚ÚÓð˚ı Òϯ‡ÌÌ˚ı ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı ÓÚ ÔðÓÂ͈ËÈ ‚ÂÍ-
ÚÓð‡
a Ë Ëı ÌÂÔðÂð˚‚ÌÓÒÚ¸.
ÑÓÔÛÒÚËÏ, ˜ÚÓ ‚ ÔÓΠ‚ÂÍÚÓð‡
a ÎÂÊËÚ Á‡ÏÍÌÛÚ˚È ÍÓÌÚÛð l ,
Ëϲ˘ËÈ ‚ ͇ʉÓÈ Ò‚ÓÂÈ ÚӘ͇҇͠ÚÂθÌÛ˛. èÂðÂÍËÌÂÏ ˜ÂðÂÁ
ÍÓÌÚÛð
l
‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌ˛˛ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S
, Ëϲ˘Û˛ ‚ ͇ʉÓÈ Ò‚ÓÂÈ
ÚӘ͠ÌÓðχθ
n Í ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË. èðË Ú‡ÍËı Ôð‰ÔÓÎÓÊÂÌËflı Ó
ÍÓÌÚÛðÂ
l Ë ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË S ÒÔð‡‚‰ÎË‚‡ ‰Ó͇Á‡Ì̇fl ð‡Ì ÙÓðÏÛ·
ëÚÓÍÒ‡.
ÑÓ͇ÊÂÏ ÚÂÔÂ𸠂ÂÍÚÓðÌÛ˛ ÙÓðÏÛ ÚÂÓðÂÏ˚ ëÚÓÍÒ‡.
íÂÓðÂχ ëÚÓÍÒ‡ (‚ÂÍÚÓð̇fl ÙÓðχ). ñËðÍÛÎflˆËfl ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó
ÔÓÎfl ÔÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏÛ ÍÓÌÚÛðÛ ð‡‚̇ ÔÓÚÓÍÛ Â„Ó ‚Ëıðfl ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚Âðı-
ÌÓÒÚ¸, ̇ÚflÌÛÚÛ˛ ̇ ˝ÚÓÚ ÍÓÌÚÛð.
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. àÚ‡Í, ÔÛÒÚ¸ ˜ÂðÂÁ Á‡ÏÍÌÛÚ˚È ÍÓÌÚÛð, ӷ·-
‰‡˛˘ËÈ Û͇Á‡ÌÌ˚ÏË ‚˚¯Â Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË, ÔÂðÂÍËÌÛÚ‡ (̇ÚflÌÛÚ‡) ‰‚Û-
ÒÚÓðÓÌÌflfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S . ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ˆËðÍÛÎflˆË˛ ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓ-
Îfl ÔÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏÛ ÍÓÌÚÛðÛ
l :
l
adS
τ
=
∫
Ц .
0
êËÒ. 4.5.2
x
y
z
xy
D
S
n
u
r
l
105
èÛÒÚ¸ ͇҇ÚÂθÌ˚È ‚ÂÍÚÓð
τ
Ó·ð‡ÁÛÂÚ Û„Î˚
α
,
β
Ë
γ
Ò ÍÓÓð‰Ë-
̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË
Ox , Oy Ë Oz , ÚÓ„‰‡ Ôð aaa
τ
τ
==⋅=
r
0
τ
cos cos cos
xyz
aaa
α
βγ
=++.
èÓ‰ÒÚ‡‚ËÏ
a
τ
‚ ‚˚ð‡ÊÂÌË ˆËðÍÛÎflˆËË, ÚÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ
cos cos cos
xyz
l
aaadS
αβγ
⎡⎤
=++
⎣⎦
∫
Ц ËÎË, ÔðËÌËχfl ‚Ó ‚ÌËχÌËÂ
Ò‚flÁ¸ ÏÂÊ‰Û ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ÏË ËÌÚ„ð‡Î‡ÏË ÔÂð‚Ó„Ó Ë ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡,
ÔÓÎÛ˜ËÏ
xyz
l
adx ady adz=++
∫
Ц .
ÇÓÒÔÓθÁÛÂÏÒfl ÚÂÔÂð¸ ÙÓðÏÛÎÓÈ ëÚÓÍÒ‡:
.
xyz
l
yy
zxzx
S
adx ady adz
aa
aaaa
dydz dzdx dxdy
yz zx xy
++=
∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂∂∂
⎛⎞
=− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
∫
∫∫
èðË ˝ ÚÓÏ Ôð‰ÔÓ·„‡ÂÚÒfl, ˜ÚÓ Ì‡·Î˛‰‡ÚÂθ, Û ÍÓÚÓðÓ„Ó ÌÓðχθ
Í ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÔðÓıÓ‰ËÚ ÓÚ ÌÓ„ Í „ÓÎÓ‚Â, Ó·ıÓ‰ËÚ ÍÓÌÚÛð ‚ Ú‡ÍÓÏ
̇Ôð‡‚ÎÂÌËË, ˜ÚÓ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S ÓÒÚ‡ÂÚÒfl Ò΂‡ (ðËÒ. 4.5.2).
çÂÚðÛ‰ÌÓ Á‡ÏÂÚËÚ¸, ˜ÚÓ ‚ Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚË ÔÓÒΉÌÂÈ ÙÓðÏÛÎ˚ ̇-
ıÓ‰ËÚÒfl ÔÓÚÓÍ ‚Ëıðfl ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl
a ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S
, Ú.Â.
ËÏÂÂÏ
(
)
a
n
lS
a dS rot dS
τ
=
∫
∫∫
.
íÂÓðÂχ ‰Ó͇Á‡Ì‡.
íÂÓðÂχ 2. ÇËı𸠂ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ‚˚·Óð‡ ÍÓÓð-
‰Ë̇ÚÌ˚ı ÓÒÂÈ.
(ÅÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡.)
èðËÏÂð. Ç˚˜ËÒÎËÚ¸ ˆËðÍÛÎflˆË˛ ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl
axzixjyk=++
urrrr
ÔÓ ÎËÌËË ÔÂðÂÒ˜ÂÌËfl ÍÓÌÛÒ‡
22 2
10()xy z+−−= Ò
ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÔÎÓÒÍÓÒÚflÏË, ÎÂʇ˘ÂÈ ‚ ÔÂð‚ÓÏ ÓÍÚ‡ÌÚÂ, ÌÂÔÓ-
Òð‰ÒÚ‚ÂÌÌÓ Ë ÔÓ ÚÂÓðÂÏ ëÚÓÍÒ‡ (ðËÒ. 4.5.3).
ê¯ÂÌËÂ.
1) çÂÔÓÒð‰ÒÚ‚ÂÌÌÓ ‚˚˜ËÒÎÂÌË ˆËðÍÛÎflˆËË. äÓÌÚÛð
l ÏÓÊ-
ÌÓ ð‡Á·ËÚ¸ ̇ ÚðË ˜‡ÒÚË:
1
l ,
2
l Ë
3
l , ÎÂʇ˘Ë ‚ ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ı
ÔÎÓÒÍÓÒÚflı
xOy , yOz Ë zOx ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ, Ú‡ÍËÏ Ó·ð‡ÁÓÏ ˆËð-
ÍÛÎflˆËfl
123
=
++ЦЦ Ц Ц
, „‰Â
106
1
1
l
xzdx xdy ydz=++
∫
Ц .
ç‡ ÍðË‚ÓÈ
1
l : 0z
=
, 0dz = ,
2
1xy
=
− , 01[,]y
∈
.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
1
2
1
0
1
4
ydy
π
=− =
∫
Ц .
чÎÂÂ
2
2
l
xzdx xdy ydz=++
∫
Ц .
ç‡ ÍðË‚ÓÈ
2
l : 1xz
+
= , 0x = , 0dx
=
, 01[,]z
∈
, Ú.Â.
1
2
0
1
1
2
()zdz
=
−=
∫
Ц .
à ̇ÍÓ̈,
3
3
l
xzdx xdy ydz=++
∫
Ц .
ç‡ ÍðË‚ÓÈ
3
l :
1xz
+
=
,
0y =
,
0dy
=
,
01[,]x
∈
, ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
1
3
0
1
1
6
()xxdx=− =
∫
Ц .
éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ
123
11 2
42643
π
π
=++=++=+ЦЦ Ц Ц .
2) Ç˚˜ËÒÎÂÌË ˆËðÍÛÎflˆËË ÔÓ ÚÂÓðÂÏ ëÚÓÍÒ‡.
yy
zxzx
S
aa
aaaa
dydz dzdx dxdy
yz zx xy
∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂∂∂
⎛⎞
=− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫
Ц .
êËÒ. 4.5.3
x
y
z
0
001
(,,)C
010(,,)B
100(, , )A
2
1:lyz
+
=
22
1
1:lx y
+
=
3
1:lxz+=
107
èÓ‰ÒÚ‡‚ËÏ Ò˛‰‡
z
axz= ,
y
ax
=
,
z
ay
=
, ÔÓÎÛ˜ËÏ:
S
dydx xdzdx dzdx=++
∫
Ц .
èÂðÂȉÂÏ ‚ Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚË Í ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌÓÏÛ ËÌÚ„ð‡ÎÛ ÔÂð‚Ó„Ó
ðÓ‰‡
[
]
11cos cos cos
S
xdS
λμν
=⋅ +⋅ +⋅
∫∫
Ц ,
„‰Â ËÌÚ„ð‡Î ‚˚˜ËÒÎflÂÚÒfl ÔÓ ‚ÂðıÌÂÈ ÒÚÓðÓÌ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S
.
ìð‡‚ÌÂÌË ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S :
22
1zxy
=
−+, ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
22
(,)
zx
pxy
x
xy
∂−
==
∂
+
,
22
(,)
zy
qxy
y
xy
∂
−
==
∂
+
,
22
12(,) (,)dS p x y q x y=+ + =
;
22 2 2
12
(,)
cos
pxy x
pq xy
λ
−
==
++ +
;
22 2 2
12
(,)
cos
qxy y
pq xy
μ
−
==
++ +
;
22
11
2
1
cos
pq
ν
==
++
.
èÓ‰ÒÚ‡‚Îflfl ̇ȉÂÌÌ˚ Á̇˜ÂÌËfl ‚ ‚˚ð‡ÊÂÌË ‰Îfl ˆËðÍÛÎflˆËË,
ÔÓÎÛ˜ËÏ
22
22 22 22
1
2
2
22
D D
xxy xxyxy
dxdy dxdy
xy xy xy
⎡⎤
++ +
=++=
⎢⎥
++ +
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫∫
Ц
.
èÂðÂȉÂÏ Í ÔÓÎflðÌ˚Ï ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏ:
cosxr
ϕ
= , sinyr
ϕ
=
, (, )Jr r
ϕ
=
,
ÚÓ„‰‡
()
1
2
2
2
00
cos sin cos
cos sin cos
D
rr r
rdrd d r r r dr
r
π
ϕϕϕ
ϕϕ ϕ ϕϕ
++
==++
∫∫ ∫ ∫
Ц
.
Ç˚˜ËÒÎËÏ ‚ÌÛÚðÂÌÌËÈ ËÌÚ„ð‡Î:
()
1
1
23 2
2
0
0
23 2
11 1
23 2
внутр
cos sin cos cos sin cos
cos sin cos .
rr r
Irr rdr
ϕϕϕ ϕϕϕ
ϕϕϕ
⎛⎞
=+ +=+ +=
⎜⎟
⎝⎠
=+ +
∫
íÓ„‰‡
108
22 2
00 0
11 12
23 243
cos sin cosddd
ππ π
π
ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ
== + + = +
∫∫ ∫
Ц
.
§6. èÓÚÂ̈ˇθÌÓ ‚ÂÍÚÓðÌÓ ÔÓÎÂ
éÔð‰ÂÎÂÌËÂ. ÇÂÍÚÓðÌÓ ÔÓΠa , ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍÓÚÓðÓ„Ó ‚˚-
ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÛÒÎÓ‚ËÂ
0arot = , ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÚÂ̈ˇθÌ˚Ï ËÎË ·ÂÁ-
‚Ëıð‚˚Ï.
íÂÓðÂχ. ÑÎfl ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ÔÓΠ‚ÂÍÚÓð‡
a ·˚ÎÓ ÔÓÚÂ̈ˇθÌ˚Ï,
ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ë ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ, ˜ÚÓ·˚ ÔÓΠ‚ÂÍÚÓð‡
a ·˚ÎÓ ·˚ ÔÓÎÂÏ
„ð‡‰ËÂÌÚ‡ ÌÂÍÓÚÓðÓ„Ó Ò͇Îflð‡
(,)UUxy
=
.
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó.
ÑÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸. èÛÒÚ¸
a gradU
=
, Ú.Â.
(,,) (,,) (,,)
ai
j
k
Uxyz Uxyz Uxyz
xyz
∂∂∂
=++
∂∂∂
, Ú.Â.
(,,)
x
Uxyz
a
x
∂
=
∂
,
(,,)
y
Uxyz
a
y
∂
=
∂
,
(,,)
z
Uxyz
a
z
∂
=
∂
.
ç‡È‰ÂÏ ÍÓÓð‰Ë̇Ú˚ ‚ÂÍÚÓð‡
carot
=
:
22
0
(,,) (,,)
y
z
x
a
a Uxyz Uxyz
c
yz yz yz
∂
∂∂ ∂
=−= − =
∂∂ ∂∂ ∂∂
.
Ä̇Îӄ˘ÌÓ
0
yz
cc==, Ú.Â. 0arot
=
.
á̇˜ËÚ ÔÓΠ‚ÂÍÚÓð‡
a ·ÂÁ‚Ëıð‚ÓÂ, Ú.Â. ÔÓÚÂ̈ˇθÌÓÂ.
çÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚ¸. èÛÒÚ¸
0arot
=
. ÇÓÁ¸ÏÂÏ Á‡ÏÍÌÛÚÛ˛ ÍðË‚Û˛ l ,
ÎÂʇ˘Û˛ ‚ ÔÓΠ‚ÂÍÚÓð‡
a , ÚÓ„‰‡ ·Û‰ÂÚ
0(a)
lS
adS rot dS
τ
=
=
∫∫∫
,
Ú.Â.
0
l
adS
τ
=
∫
,
ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
0
xyz
ll
adS adx ady adz
τ
=++=
∫∫
.
å˚ Ôð˯ÎË Í ÚÓÏÛ, ˜ÚÓ ËÌÚ„ð‡Î ÔÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏÛ ÍÓÌÚÛðÛ
l ð‡-
‚ÂÌ ÌÛβ, ‡ ˝ÚÓ Í‡Í ËÁ‚ÂÒÚÌÓ, ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Î˯¸ ‚ ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÍÓ-
109
„‰‡ ÔÓ‰ Á̇ÍÓÏ ËÌÚ„ð‡Î‡ ÒÚÓËÚ ÔÓÎÌ˚È ‰ËÙÙÂðÂ̈ˇΠÌÂÍÓÚÓðÓÈ
ÙÛÌ͈ËË
(,,)Uxyz, Ú.Â.
xyz
UUU
adx ady adz dU dx dy dz
xyz
∂
∂∂
++== + +
∂∂∂
.
éÚÒ˛‰‡ ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ
(,,)
x
Uxyz
a
x
∂
=
∂
,
(,,)
y
Uxyz
a
y
∂
=
∂
,
(,,)
z
Uxyz
a
z
∂
=
∂
,
Ú.Â.
a(,,)gradU x y z= .
íÂÓðÂχ ‰Ó͇Á‡Ì‡.
á‡Ï˜‡ÌË 1. á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl
(,,)Uxyz, „ð‡‰ËÂÌÚ ÓÚ ÍÓ-
ÚÓðÓÈ fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÂÏ ‚ÂÍÚÓð‡
a , ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÚÂ̈ˇÎÓÏ. í‡Í ͇Í
‚ ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÂÒÎË ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î
xyz
K
adx ady adz++
∫
Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl, ÚÓ ÔÓÚÂ̈ˇΠ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎfl
ÏÓÊÌÓ Ì‡ÈÚË, ‚˚˜ËÒÎË‚ ËÌÚ„ð‡Î
000
(,,)
(,,)
xyz
xyz
xyz
Iadxadyadz=++
∫
.
á‡Ï˜‡ÌË 2. àÁ ‰Ó͇Á‡ÌÌÓÈ ÚÂÓðÂÏ˚ flÒÌÓ, ˜ÚÓ ÔÓÚÂ̈ˇθÌÓÂ
ÔÓΠÏÓÊÌÓ ÓÔð‰ÂÎËÚ¸ Ë ÔÓ-‰ðÛ„ÓÏÛ, ‡ ËÏÂÌÌÓ: ‰‡Ú¸ ‰ðÛ„Ó ˝Í‚Ë-
‚‡ÎÂÌÚÌÓ ÓÔð‰ÂÎÂÌËÂ.
èÓΠ‚ÂÍÚÓð‡
a ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÚÂ̈ˇθÌ˚Ï, ÂÒÎË ÓÌÓ fl‚ÎflÂÚ-
Òfl ÔÓÎÂÏ „ð‡‰ËÂÌÚ‡ ÌÂÍÓÚÓðÓ„Ó Ò͇Îflð‡
(,,)UUxyz
=
.
á‡Ï˜‡ÌË 3. ì˜ËÚ˚‚‡fl ÙËÁ˘ÂÒÍËÈ ÒÏ˚ÒÎ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌ-
Ú„ð‡Î‡, ÔðËıÓ‰ËÏ Í ‚˚‚Ó‰Û, ˜ÚÓ ð‡·ÓÚ‡ ÔÓÚÂ̈ˇθÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓðÌÓ-
„Ó ÔÓÎfl ‚‰Óθ ÌÂÍÓÚÓðÓÈ ÍðË‚ÓÈ Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÙÓðÏ˚ ÍðË‚ÓÈ Ë
ð‡‚̇ ð‡ÁÌÓÒÚË Á̇˜ÂÌËÈ ÔÓÚÂ̈ˇ· ÔÓÎfl ‚ ̇˜‡Î¸ÌÓÈ Ë ÍÓ̘ÌÓÈ
ÚӘ͇ı ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl. Ä ÚÓ„‰‡ ÏÓÊÌÓ ‰‡Ú¸ ¢ ӉÌÓ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚ-
ÌÓ ‰‚ÛÏ Ôð‰˚‰Û˘ËÏ ÓÔð‰ÂÎÂÌË ÔÓÚÂ̈ˇθÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓ-
Îfl.
ÇÂÍÚÓðÌÓ ÔÓΠ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÚÂ̈ˇθÌ˚Ï, ÂÒÎË ð‡·ÓÚ‡
‚‰Óθ β·ÓÈ Á‡ÏÍÌÛÚÓÈ ÍðË‚ÓÈ ð‡‚̇ ÌÛβ.
110
ãËÚÂð‡ÚÛð‡
[1] ÄðıËÔÓ‚ É.à., 뇉ӂÌ˘ËÈ Ç.Ä., óÛ·‡ðËÍÓ‚‡ Ç.ç. ãÂ͈ËË
ÔÓ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓÏÛ ‡Ì‡ÎËÁÛ. å.: Ç˚Ò¯‡fl ¯ÍÓ·, 1999
[2] áÓð˘ Ç.Ä. å‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍËÈ ‡Ì‡ÎËÁ. í. 1 1997, í. 2 1988
[3] á‡ðÛ·ËÌ Ç.ë., à‚‡ÌÓ‚‡ Ö.Ö., äÛ‚˚ðÍËÌ É.ç. àÌÚ„ð‡Î¸ÌÓÂ
ËÒ˜ËÒÎÂÌË ÙÛÌ͈ËÈ Ó‰ÌÓ„Ó ÔÂðÂÏÂÌÌÓ„Ó. å.: åÉíì ËÏ. ç.ù.
ŇÛχ̇, 2000
[4] äÛ‰ðfl‚ˆÂ‚ ã.Ñ. äð‡ÚÍËÈ ÍÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡.
í. 1, 2. å.: Äθه, 1988
[5] äÛ‰ðfl‚ˆÂ‚ ã.Ñ. äð‡ÚÍËÈ ÍÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡.
å.: Ç˚Ò¯‡fl ¯ÍÓ·, í. 1, 2 1988, í. 3 1999
[6] çËÍÓθÒÍËÈ ë.å. äÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡. å.:
ç‡Û͇, 1985
[7] èËÒÍÛÌÓ‚ ç.ë. ÑËÙÙÂðÂ̈ˇθÌÓÂ Ë ËÌÚ„ð‡Î¸ÌÓ ËÒ˜ËÒÎÂ-
ÌËÂ. í.1, 2, å.: ç‡Û͇, 2000
[8] íÂð-äðËÍÓðÓ‚, ò‡·ÛÌËÌ å.à., äÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡-
ÎËÁ‡. å: ç‡Û͇, 1988
[9] îËıÚÂÌ„Óθˆ É.å. éÒÌÓ‚˚ χÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡. í.1,
2. å.: ç‡Û͇, 2001
[10] ôËÔ‡˜Â‚ Ç.ë. Ç˚Ò¯‡fl χÚÂχÚË͇. å.: Ç˚Ò¯‡fl ¯ÍÓ·,
1998
[11] å‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍËÈ ‡Ì‡ÎËÁ I / èÓ‰ Ó·˘ÂÈ ð‰‡ÍˆËÂÈ ã.ë. ê‡-
ڇٸ‚ÓÈ. ëè·.: àíåé, 2002
[12] å‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍËÈ ‡Ì‡ÎËÁ II / èÓ‰ Ó·˘
ÂÈ ð‰‡ÍˆËÂÈ ã.ë.
ê‡Ú‡Ù¸Â‚ÓÈ. ëè·.: àíåé, 2003
[13] ë·ÓðÌËÍ Á‡‰‡˜ ÔÓ Ï‡ÚÂχÚËÍ ‰Îfl ‚ÚÛÁÓ‚ / èÓ‰ ð‰‡ÍˆËÂÈ
Ä.Ç. ÖÙËÏÓ‚‡, Å.è. ÑÂÏˉӂ˘‡ ‚ 3 í. å.: ç‡Û͇, 1981
[14] ÅðÓ̯ÚÂÈÌ à.ç., ëÂωfl‚ à.Ä., ëÔð‡‚Ó˜ÌËÍ ÔÓ Ï‡ÚÂχ-
ÚËÍ ‰Îfl ËÌÊÂÌÂðÓ‚ Ë Û˜‡˘ËıÒfl ‚ÚÛÁÓ‚. å.: ç‡Û͇, 1986
[15] Éð‡‰¯ÚÂÈÌ à.ë., ê˚ÊËÍ à.å. 퇷Îˈ˚ ËÌÚ„ð‡ÎÓ‚, ÒÛÏÏ,
ðfl‰Ó‚ Ë ÔðÓËÁ‚‰ÂÌËÈ. å.: îËÁχÚÎËÚ, 1963