Лапин И.А., Ратафьева Л.С. Кратные интегралы. Теория поля
Подождите немного. Документ загружается.
51
àÁÏÂθ˜‡fl ‰ðÓ·ÎÂÌËÂ, ·Û‰ÂÏ ËÒ͇ڸ Ôð‰ÂÎ ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθÌÓÒÚË
ËÌÚ„ð‡Î¸Ì˚ı ÒÛÏÏ ÔðË ÛÒÎÓ‚ËË, ˜ÚÓ
0
λ
→ :
0
lim
n
I
λ
σ
→
=
.
ÖÒÎË ˝ÚÓÚ Ôð‰ÂÎ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÒÔÓÒÓ·‡ ‰ðÓ·ÎÂ-
ÌËfl Ë ‚˚·Óð‡ ÚÓ˜ÂÍ
(,)
kk
ξ
η
, ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Ï
ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË
(,)fxy ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl
(,)
AB
IfxydS=
∫
.
í.Â. ÍÓðÓ˜Â:
1
0
0
(,) lim ( , )
n
def
kk k
k
AB
n
fxydS f S
λ
ξη
−
→
=
→∞
=
⋅Δ
∑
∫
.
á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ËÁ ÒÚðÛÍÚÛð˚ ËÌÚ„ð‡Î¸ÌÓÈ ÒÛÏÏ˚ ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ ÌÂ
Ë„ð‡ÂÚ ðÓÎË, ͇ÍÛ˛ ËÁ ÚÓ˜ÂÍ ÔðËÌflÚ¸ Á‡ ̇˜‡ÎÓ, ‡ ͇ÍÛ˛ Á‡ ÍÓ̈
ÍðË‚ÓÈ, Ú.Â. Ә‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ
(,) (,)
AB BA
fxydS fxydS=
∫
∫
.
ëÓ‚Âð¯ÂÌÌÓ ‡Ì‡Îӄ˘ÌÓ ÓÔð‰ÂÎflÂÚÒfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î
ÔÓ ÔðÓÒÚð‡ÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÍðË‚ÓÈ
(,,)
AB
IfxyzdS=
∫
.
2. íÂÓðÂχ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ I ðÓ‰‡.
íÂÓðÂχ. ÖÒÎË ÍðË‚‡fl
AB Á‡‰‡Ì‡ Ô‡ð‡ÏÂÚð˘ÂÒÍËÏË Ûð‡‚ÌÂ-
ÌËflÏË
()
()
xt
yt
ϕ
ψ
=
⎫
⎬
=
⎭
,
„‰Â ÙÛÌ͈ËË
()t
ϕ
Ë ()t
ψ
ÓÔð‰ÂÎÂÌ˚, ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ Ë ËÏÂ˛Ú ÌÂÔðÂ-
ð˚‚Ì˚ ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚Â
()t
ϕ
′
Ë ()t
ψ
′
̇ ÔðÓÏÂÊÛÚÍ [,]pq (pq
<
), Ë
ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ
AB
Á‡‰‡Ì‡ ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy, ÚÓ ÚÓ„‰‡ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË
(,)fxy ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ ÓÔð‰ÂÎеÌ-
Ì˚È ËÌÚ„ð‡Î Ú‡Í:
[]
22
( , ) (), () () ()
q
AB p
fxydS f t t t t dt
ϕψ ϕ ψ
′′
=+
∫∫
(·ÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡).
52
á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ‰Îfl ÔðÓÒÚð‡ÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÍðË‚ÓÈ, Á‡‰‡ÌÌÓÈ Ô‡ð‡ÏÂÚ-
ð˘ÂÒÍËÏË Ûð‡‚ÌÂÌËflÏË
()
()
()
xt
yt
zt
ϕ
ψ
η
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
=
⎭
, [,]tpq
∈
(pq
<
)
ÔðË Òӷβ‰ÂÌËË ÛÒÎÓ‚ËÈ ÚÂÓðÂÏ˚, ÔÓÎÛ˜ËÏ:
[]
222
( , , ) (), (), () () () ()
q
AB p
fxyzdS f t t t t t t dt
ϕψη ϕ ψ η
′′′
=++
∫∫
.
ó‡ÒÚÌ˚È ÒÎÛ˜‡È ÚÂÓðÂÏ˚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó
ËÌÚ„ð‡Î‡ I ðÓ‰‡.
íÂÓðÂχ. ÖÒÎË ÍðË‚‡fl
AB
Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ ()yx
ψ
=
, Ôð˘ÂÏ
ÙÛÌ͈Ëfl
()x
ψ
ÓÔð‰ÂÎÂ̇ Ë ÌÂÔðÂð˚‚̇ ̇ ÔðÓÏÂÊÛÚÍ [,]ab ,
(
ab<
) Ë ËÏÂÂÚ Ì‡ ˝ÚÓÏ ÔðÓÏÂÊÛÚÍ ÌÂÔðÂð˚‚ÌÛ˛ ÔðÓËÁ‚Ó‰ÌÛ˛
()x
ψ
′
, Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ AB Á‡‰‡Ì‡ ÌÂÔðÂð˚‚̇fl
ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy, ÚÓ ÚÓ„‰‡ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡ ÓÚ
ÙÛÌ͈ËË
(,)fxy ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ
ÓÔð‰ÂÎеÌÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î Ú‡Í:
[]
2
1(,) , () ()
b
AB a
fxydS fx x x dt
ψψ
′
=+
∫∫
.
ÖÒÎË ÔðËÌflÚ¸ ‚Ó ‚ÌËχÌËÂ, ˜ÚÓ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ÔÂð‚Ó-
„Ó ðÓ‰‡ ‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ ÓÔð‰ÂÎеÌÌ˚È, ÚÓ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ Â„Ó ÒÚ‡ÌÛÚ
Ә‚ˉÌ˚. éÒÚ‡ÌÓ‚ËÏÒfl ̇ Â„Ó ÔðËÏÂÌÂÌËË.
3. èðËÏÂÌÂÌË ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ı ËÌÚ„ð‡ÎÓ‚ ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡.
1. Ç˚˜ËÒÎÂÌË ‰ÎËÌ˚ ‰Û„Ë ÍðË‚ÓÈ.
àÁ ÓÔð‰ÂÎÂÌËfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡ ÒΉÛ-
ÂÚ, ˜ÚÓ ‰ÎË̇ ‰Û„Ë ÍðË‚ÓÈ
AB , ÔÓ ÍÓÚÓðÓÈ ‚‰ÂÚÒfl ËÌÚ„ðËðÓ‚‡-
ÌËÂ, ð‡‚̇
AB
AB
SdS=
∫
.
èðËÏÂð. Ç˚˜ËÒÎËÚ¸ ‰ÎËÌÛ ‰Û„Ë ‡ÒÚðÓˉ˚
3
3
cos
sin
xa t
ya t
⎫
=
⎪
⎬
=
⎪
⎭
( 0a > ).
ê¯ÂÌËÂ. èðËÌËχfl ‚Ó ‚ÌËχÌËÂ, ˜ÚÓ
sint Ë cost 2
π
-
ÔÂðËӉ˘Ì˚ ÙÛÌ͈ËË, ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒfl Ә‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ÚӘ͇
(,)Mxy
53
ӷ„‡ÂÚ ÍÓÌÚÛð ÍðË‚ÓÈ
ABCDA ‚ Û͇Á‡ÌÌÓÏ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËË, ÂÒÎË
02[, ]t
π
∈ . Ç‚Ë‰Û ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ ÍðË‚‡fl ÒËÏÏÂÚð˘̇ (ðËÒ. 2.1.2), ̇ȉÂÏ
˜ÂÚ‚ÂðÚÛ˛ ˜‡ÒÚ¸  ‰ÎËÌ˚
()()
()( )
2
22
33
0
2
22
22
0
22
22 2
00
2
2
2
0
0
1
4
33
93
3
33
22
sin cos
sin cos cos ( sin )
sin cos sin cos
sin
sin sin .
tt
AB
SdS at atdt
at t at tdt
at tdtattdt
ta
atdta
π
π
ππ
π
π
′′
== + =
=
⋅+ ⋅− =
=⋅=⋅=
===
∫∫
∫
∫∫
∫
éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ ËÏÂÂÏ: ‰ÎË̇ ‰Û„Ë ‡ÒÚðÓˉ˚
6Sa
=
‰ËÌˈ ‰ÎËÌ˚.
2. Ç˚˜ËÒÎÂÌË χÒÒ˚ χÚÂðˇθÌÓÈ ÍðË‚ÓÈ.
ç‡È‰ÂÏ Ï‡ÒÒÛ ÍðË‚ÓÈ
AB
, Á‡‰‡ÌÌÓÈ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ ()yfx= , „‰Â
()fx – ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl ̇ ÔðÓÏÂÊÛÚÍ [,]ab , ÂÒÎË ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸
 ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ ÓÔð‰ÂÎÂ̇ ÌÂÔðÂð˚‚ÌÓÈ ÙÛÌ͈ËÂÈ
(,)xy
ρ
ρ
= .
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÍðË‚Û˛
AB
̇
n
˜‡ÒÚÂÈ ÔðÓËÁ‚ÓθÌ˚Ï Ó·ð‡ÁÓÏ. é˜Â-
‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ Â χÒÒ‡
x
y
(,)Mxy
0(,)Aa
0(,)Ca−
0(, )Dc
−
0(, )Ba
êËÒ. 2.1.2
54
1
0
(,)
n
kk k
k
MS
ρξ η
−
=
≈⋅Δ
∑
,
„‰Â
(,)
kk
ξ
η
– ÔðÓËÁ‚Óθ̇fl ÚӘ͇, ÔðË̇‰ÎÂʇ˘‡fl ͇ʉÓÏÛ ÓÚðÂÁ-
ÍÛ ÍðË‚ÓÈ
AB , ‡
k
S
Δ
– ‰ÎË̇ ‰Û„Ë ˝ÚÓ„Ó Û˜‡ÒÚ͇. Ç Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚË
‚˚ð‡ÊÂÌËfl ‰Îfl
M ÒÚÓËÚ ËÌÚ„ð‡Î¸Ì‡fl ÒÛÏχ, ‡ ÔÓÚÓÏÛ, ËÁÏÂθ-
˜‡fl ‰ðÓ·ÎÂÌËÂ Ë ÛÒÚðÂÏÎflfl Â„Ó ð‡Ì„ Í ÌÛβ, Ï˚ ÔÓÎÛ˜ËÏ ‚ Ôð‰Â-
ÎÂ:
(,)
AB
MxydS
ρ
=
∫
.
3. Ç˚˜ËÒÎÂÌË ð‡·ÓÚ˚.
ç‡È‰ÂÏ ð‡·ÓÚÛ ÒËÎ˚ ÔÓ ÔÂðÂÏ¢ÂÌ˲ χÚÂðˇθÌÓÈ ÚÓ˜ÍË ‚‰Óθ
ÍðË‚ÓÈ
AB
(ðËÒ. 2.1.3). ÅÛ‰ÂÏ ð‡ÒÒχÚðË‚‡Ú¸ ÍðË‚Û˛
AB
Í‡Í Ì‡-
Ôð‡‚ÎÂÌÌÛ˛, ÚÓ„‰‡ Ë Ì‡ ͇҇ÚÂθÌÓÈ Í ÌÂÈ ÏÓÊÌÓ Á‡‰‡Ú¸ ̇Ôð‡‚ÎÂ-
ÌËÂ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘ÂÂ Ò Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ ÍðË‚ÓÈ. ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ, ÔÛÒÚ¸
ÔðË ‰‚ËÊÂÌËË ÔÓ ÍðË‚ÓÈ ÓÚ
A Í B ÚӘ͇ M Ôð‰¯ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚÓ˜ÍÂ
N , ÚÓ„‰‡ ·Û‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ ÒÂÍÛ˘‡fl, ÔðÓıÓ‰fl˘‡fl ÓÚ M Í N ,
ËÏÂÂÚ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘ÂÂ Ò Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ ÍðË‚ÓÈ
AB . ä‡-
Ò‡ÚÂθ̇fl
τ
ÂÒÚ¸ Ôð‰ÂθÌÓ ÔÓÎÓÊÂÌË ÒÂÍÛ˘ÂÈ ÔðË ÛÒÎÓ‚ËË, ˜ÚÓ
NM→ . íÓ„‰‡ ̇Ôð‡‚ÎÂÌËÂ Ò ÒÂÍÛ˘ÂÈ ÔÂðÂıÓ‰ËÚ Ì‡ ͇҇ÚÂθÌÛ˛,
Ë ÔðÓ Ú‡ÍÛ˛ ͇҇ÚÂθÌÛ˛ „Ó‚ÓðflÚ, ˜ÚÓ Ó̇ ËÏÂÂÚ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂ, ÒÓ‚-
Ô‡‰‡˛˘ÂÂ Ò Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ ÍðË‚ÓÈ
AB .
ç‡È‰ÂÏ ð‡·ÓÚÛ ÒËÎ˚
F ÔÓ ÔÂðÂÏ¢ÂÌ˲ χÚÂðˇθÌÓÈ ÚÓ˜ÍË
M ËÁ ÚÓ˜ÍË A ‚ ÚÓ˜ÍÛ B ‚‰Óθ ÍðË‚ÓÈ AB (ðËÒ. 2.1.4).
N
M
êËÒ. 2.1.3
x
y
0
A
B
τ
r
55
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÍðË‚Û˛
AB ÔðÓËÁ‚ÓθÌ˚Ï Ó·ð‡ÁÓÏ Ì‡ n ˜‡ÒÚÂÈ Ë ·Û-
‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ Í‡Ê‰˚È
k -È Û˜‡ÒÚÓÍ ÍðË‚ÓÈ – ÔðflÏÓÎËÌÂÈÌ˚È
ÓÚðÂÁÓÍ, ‰ÎË̇ ÍÓÚÓðÓ„Ó
k
S
Δ
. ëË· F ̇ ͇ʉÓÏ Ú‡ÍÓÏ Û˜‡ÒÚÍÂ
ÔÓÒÚÓflÌ̇ ÔÓ ‚Â΢ËÌÂ Ë Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌ˲, Ë Û„ÓÎ ÏÂÊ‰Û ÒËÎÓÈ
F Ë
Û˜‡ÒÚÍÓÏ ÍðË‚ÓÈ ð‡‚ÂÌ
k
θ
. íÓ„‰‡ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ð̇fl ð‡·ÓÚ‡ ÒËÎ˚ F ̇
ð‡ÒÒχÚðË‚‡ÂÏÓÏ Û˜‡ÒÚÍÂ
cos
kk k k
AF S
θ
Δ
=⋅Δ
.
éÚÒ˛‰‡ ‚Òfl ð‡·ÓÚ‡
cos
AB
AF dS
θ
=
∫
.
§2. äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚ II ðÓ‰‡
1. éÔð‰ÂÎÂÌË ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡.
èÛÒÚ¸ ‚ ÔÎÓÒÍÓÒÚË
xOy ÎÂÊËÚ ÍðË‚‡fl AB , ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍÓ-
ÚÓðÓÈ ÓÔð‰ÂÎÂ̇ ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy (ðËÒ. 2.1.1).
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÍðË‚Û˛
AB ÔðÓËÁ‚ÓθÌ˚Ï Ó·ð‡ÁÓÏ ÚӘ͇ÏË
0
MA
=
,
1
M ,
2
M , ...,
n
M , ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏË ‰ðÛ„ Á‡ ‰ðÛ„ÓÏ, ̇
n
˜‡ÒÚÂÈ; ÔÛÒÚ¸
1
d
,
2
d
, ...,
n
d
– ‰Ë‡ÏÂÚð˚ ‰Û„
01
MM ,
12
MM , ...,
1nn
MM
−
, ̇Ë-
·Óθ¯ËÈ ËÁ ‰Ë‡ÏÂÚðÓ‚
k
d , ð‡‚Ì˚È
λ
, ÂÒÚ¸ ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.
ç‡ Í‡Ê‰ÓÈ ‰Û„Â
1kk
MM
+
‚ÓÁ¸ÏÂÏ ÔðÓËÁ‚ÓθÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ
(,)
kkk
P
ξ
η
,
‚˚˜ËÒÎËÏ ‚ ÌÂÈ Á̇˜ÂÌË ÙÛÌ͈ËË
(,)
kk
f
ξ
η
Ë ÒÓÒÚ‡‚ËÏ ÔðÓËÁ‚‰Â-
ÌËÂ
(,)
kk k
fx
ξ
η
⋅
Δ
, „‰Â
1kk k
xx x
+
Δ= −
.
k
M
êËÒ. 2.1.4
x
y
0
A
B
τ
r
k
F
u
ur
k
θ
56
èðÓÒÛÏÏËðÛÂÏ ‚Ò ڇÍË ÔðÓËÁ‚‰ÂÌËfl, Ú.Â. ÒÓÒÚ‡‚ËÏ ËÌÚÂ-
„ð‡Î¸ÌÛ˛ ÒÛÏÏÛ (ÒÛÏÏÛ êËχ̇):
1
0
(,)
n
nkkk
k
fx
σξη
−
=
=⋅Δ
∑
.
àÁÏÂθ˜‡fl ‰ðÓ·ÎÂÌËÂ Ë ÛÒÚðÂÏÎflfl ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl Í ÌÛβ,
ˢÂÏ Ôð‰ÂÎ
0
lim
n
n
I
λ
σ
→∞
→
=
.
ÖÒÎË ˝ÚÓÚ Ôð‰ÂÎ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÒÔÓÒÓ·‡ ‰ðÓ·ÎÂ-
ÌËfl Ë ‚˚·Óð‡ ÚÓ˜ÂÍ
(,)
kk
ξ
η
, ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Ï
ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË
(,)fxy ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB Ë
Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í:
(,)
AB
Ifxydx=
∫
.
àÚ‡Í, ÍÓðÓ˜Â:
1
0
0
(,) lim ( , )
n
def
kk k
n
k
AB
fxydx f x
λ
ξη
−
→∞
=
→
=
⋅Δ
∑
∫
.
éÔð‰ÂÎÂÌË ÓÚÌÓÒËÚÒfl Í ÔÎÓÒÍÓÈ ÍðË‚ÓÈ. íÓ˜ÌÓ Ú‡Í Ê ÓÔð‰Â-
ÎflÂÚÒfl ËÌÚ„ð‡Î ÔÓ ÔðÓÒÚð‡ÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÍðË‚ÓÈ
(,,)
AB
fxyzdx
∫
.
Ä̇Îӄ˘ÌÓ ÓÔð‰ÂÎfl˛ÚÒfl ËÌÚ„ð‡Î˚
(,,)
AB
fxyzdy
∫
Ë
(,,)
AB
fxyzdz
∫
.
ëÛÏÏÛ ËÌÚ„ð‡ÎÓ‚ ÔÓ ÍðË‚ÓÈ
AB Ó·ÓÁ̇˜‡˛Ú Ú‡Í:
(,,) (,,) (,,)
(,,) (,,) (,,) .
AB AB AB
AB
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
++=
=++
∫∫∫
∫
ÇÒ Ò͇Á‡ÌÌÓ Ì ËÒÍβ˜‡ÂÚ ÒÎÛ˜‡fl, ÍÓ„‰‡ ÚӘ͇
A ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò
ÚÓ˜ÍÓÈ
B , Ú.Â. ÍðË‚‡fl AB Ôð‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ Á‡ÏÍÌÛÚ˚È ÍÓÌÚÛð
K , ‚ ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡ Ó·ÓÁ̇˜‡-
ÂÚÒfl Ú‡Í:
(,)
K
fxydx
∫
,
Ôð˘ÂÏ ·ÂÁð‡Á΢ÌÓ, ‚ ͇ÍÓÈ ÚӘ͠ÒΉÛÂÚ Ì‡˜‡Ú¸ ‰‚ËÊÂÌË ÔÓ
ÍÓÌÚÛðÛ. ëΉÛÂÚ Á‡ÏÂÚËÚ¸, ˜ÚÓ ÂÒÎË
K – ÔÎÓÒÍËÈ Á‡ÏÍÌÛÚ˚È ÍÓÌ-
ÚÛð Ò‡ÏÓÌÂÔÂðÂÒÂ͇˛˘ÂÈÒfl ÍÓÌÚÛð, ÚÓ Û Ú‡ÍÓ„Ó ÍÓÌÚÛð‡ ð‡Á΢‡˛Ú
57
ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓÂ Ë ÓÚðˈ‡ÚÂθÌÓ ̇Ôð‡‚ÎÂÌË ӷıÓ‰‡, ‡ ËÏÂÌÌÓ: Á‡
ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓ ̇Ôð‡‚ÎÂÌË ӷıÓ‰‡ ÔðËÌËχ˛Ú Ú‡ÍÓ ̇Ôð‡‚ÎÂÌËÂ,
ÔðË ÍÓÚÓðÓÏ Ó·Î‡ÒÚ¸, Ó„ð‡Ì˘ÂÌ̇fl ÍÓÌÚÛðÓÏ
K , ÓÒÚ‡ÂÚÒfl Ò΂‡,
ÂÒÎË Ì‡·Î˛‰‡ÚÂθ ‰‚ËÊÂÚÒfl ÔÓ ÍÓÌÚÛðÛ. Ç Ú‡ÍÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÂÒÎË
K
–
ÔðÓÒÚð‡ÌÒÚ‚ÂÌ̇fl ÍðË‚‡fl, ÚÓ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌË ӷıÓ‰‡ ÍÓÌÚÛð‡ Ó„Ó‚‡ðË-
‚‡ÂÚÒfl ÓÒÓ·Ó. àÌÓ„‰‡ ‰Îfl ËÌÚ„ð‡ÎÓ‚ ÔÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏÛ Ò‡ÏÓÌÂÔÂðÂÒÂ-
͇˛˘ÂÏÛÒfl ÍÓÌÚÛðÛ ÛÔÓÚð·Îfl˛Ú Ú‡ÍË ӷÓÁ̇˜ÂÌËfl:
(,)
AB
fxydx
∫
ËÎË (,)
AB
fxydx
∫
.
2. íÂÓðÂχ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó
ðÓ‰‡.
íÂÓðÂχ. ÖÒÎË ÍðË‚‡fl
AB Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËflÏË
()
()
xt
yt
ϕ
ψ
=
⎫
⎬
=
⎭
,
„‰Â
()t
ϕ
Ë ()t
ψ
ÓÔð‰ÂÎÂÌ˚ Ë ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ ̇ ÔðÓÏÂÊÛÚÍÂ
[,]pq
,
Ôð˘ÂÏ
()t
ϕ
′
Ú‡ÍÊ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ÌÂÔðÂð˚‚̇ ̇ [,]pq , ‡ Ô‡ð‡ÏÂÚð
t ‚ÓÁð‡ÒÚ‡ÂÚ ÓÚ p ‰Ó q , ÚÓ ÍðË‚‡fl AB (ËÎË ÍÓÌÚÛð K ) ÓÔËÒ˚‚‡ÂÚ-
Òfl ‚ Ó‰ÌÓÏ Ë ÚÓÏ Ê ̇Ôð‡‚ÎÂÌËË ÓÚ
A
‰Ó
B
; Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ
ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ
AB Á‡‰‡Ì‡ ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl (,)fxy, ÚÓ ÚÓ„‰‡
ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË
(,)fxy ÔÓ ÍðË-
‚ÓÈ
AB ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ ÓÔð‰ÂÎÂÌÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î
Ú‡Í:
[]
( , ) (), () ()
q
AB p
fxydx f t t t dt
ϕψ ϕ
′
=
∫∫
.
ó‡ÒÚÌ˚È ÒÎÛ˜‡È. ÖÒÎË ÍðË‚‡fl
AB Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ
()yx
ψ
= , „‰Â ()x
ψ
– ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ̇ ÔðÓÏÂÊÛÚÍ [,]ab ÙÛÌ͈Ëfl, Ë
ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ
AB
Á‡‰‡Ì‡ ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy, ÚÓ ÚÓ„‰‡ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡
(,)
AB
Ifxydx=
∫
ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ ÓÔð‰ÂÎÂÌÌ˚È ËÌ-
Ú„ð‡Î Ú‡Í:
[]
(,) , ()
b
AB a
fxydx fx x dx
ψ
=
∫∫
.
58
3. ë‚ÓÈÒÚ‚‡ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡.
éÒÚ‡ÌÓ‚ËÏÒfl ̇ ÌÂÍÓÚÓð˚ı Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ı Ë ÔðËÏÂÌÂÌËflı ÍðË‚ÓÎË-
ÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡, Ôð˘ÂÏ Ì ·Û‰ÂÏ ÛÔÓÏË̇ڸ Ë ‰Ó-
͇Á˚‚‡Ú¸ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡, ÍÓÚÓð˚ Ә‚ˉÌ˚.
1. èðË ÓÔð‰ÂÎÂÌËË ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡
(,)
AB
Ifxydx=
∫
ÌÛÊÌÓ ð‡Á΢‡Ú¸ ̇˜‡ÎÓ Ë ÍÓ̈ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ-
‚‡ÌËfl, ‡ ËÏÂÌÌÓ:
(,) (,)
AB BA
fxydx fxydx=−
∫∫
.
ùÚÓ Ò‚ÓÈÒÚ‚Ó ÒÚ‡ÌÂÚ Ó˜Â‚Ë‰Ì˚Ï, ÂÒÎË ‰Îfl Ó‰ÌÓ„Ó Ë ÚÓ„Ó Ê ÒÔÓ-
ÒÓ·‡ ð‡Á·ËÂÌËfl ÒÓÒÚ‡‚ËÚ¸ ËÌÚ„ð‡Î¸Ì˚ ÒÛÏÏ˚ ‰Îfl ËÌÚ„ð‡ÎÓ‚,
ÒÚÓfl˘Ëı ‚ ΂ÓÈ Ë Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚË ð‡‚ÂÌÒÚ‚‡.
2. Ç ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÍÓ„‰‡ ÍðË‚‡fl
AB Á‡ÏÍÌÛÚ‡, Ú.Â. Ôð‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ
ÒÓ·ÓÈ Á‡ÏÍÌÛÚ˚È ÍÓÌÚÛð
K , ÚÓ
(,) (,)fxydx fxydx=−
∫∫
,
Ú.Â. ËÁÏÂÌÂÌË ̇Ôð‡‚ÎÂÌËfl Ó·ıÓ‰‡ ÍÓÌÚÛð‡
K ÏÂÌflÂÚ ÁÌ‡Í ËÌÚÂ-
„ð‡Î‡ ̇ ÔðÓÚË‚ÓÔÓÎÓÊÌ˚È.
3. ÖÒÎË ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy ËÌÚ„ðËðÛÂχ ̇ ÍðË‚ÓÈ AB Ë ÂÒÎË
ÚӘ͇
C
ð‡Á·Ë‚‡ÂÚ ÍðË‚Û˛ ̇ ‰‚‡ Û˜‡ÒÚ͇
AC
Ë
CB
, ÚÓ
(,) (,) (,)
AB AC CB
fxydx fxydx fxydx=+
∫∫∫
.
ÑÎfl ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡ ˝ÚÓ„Ó Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ÒÓÒÚ‡‚ËÚ¸ ËÌÚÂ-
„ð‡Î¸ÌÛ˛ ÒÛÏÏÛ, ‡ ÚÓ˜ÍÛ
C
‚Íβ˜ËÚ¸ ‚ ˜ËÒÎÓ ÚÓ˜ÂÍ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.
4. é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ÂÒÎË ÍðË‚‡fl
AB ÂÒÚ¸ ÔðflÏÓÎËÌÂÈÌ˚È ÓÚðÂÁÓÍ,
ÔÂðÔẨËÍÛÎflðÌ˚È ÓÒË
Ox , ÚÓ ÔðË Î˛·ÓÈ (,)fxy ËÌÚ„ð‡Î
(,)
AB
Ifxydx=
∫
ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ð‡‚ÂÌ ÌÛβ.
4. ë‚flÁ¸ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ı ËÌÚ„ð‡ÎÓ‚ ÔÂð‚Ó„Ó Ë ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡.
ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ËÌÚ„ð‡Î
(,)
AB
IPxydx=
∫
,
„‰Â
(,)Pxy – ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl, ÓÔð‰ÂÎÂÌ̇fl ‚ ͇ʉÓÈ ÚÓ˜ÍÂ
ÍðË‚ÓÈ
AB
, ‡ ÍðË‚‡fl
AB
Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ ()yx
ψ
=
, Ôð˘ÂÏ
59
()x
ψ
ÌÂÔðÂð˚‚̇ Ë ËÏÂÂÚ ÌÂÔðÂð˚‚ÌÛ˛ ÔðÓËÁ‚Ó‰ÌÛ˛ ()x
ψ
′
̇ ÔðÓ-
ÏÂÊÛÚÍÂ
[,]ab , „‰Â ab< (ðËÒ. 2.2.1).
èðË ‚˚ÔÓÎÌÂÌËË Ú‡ÍËı ÛÒÎÓ‚ËÈ ÍðË‚‡fl
AB ‚ ͇ʉÓÈ ÚÓ˜ÍÂ
ËÏÂÂÚ Í‡Ò‡ÚÂθÌÛ˛. å˚ ·Û‰ÂÏ ð‡ÒÒχÚðË‚‡Ú¸ ͇҇ÚÂθÌÛ˛, Ëϲ-
˘Û˛ ̇Ôð‡‚ÎÂÌËÂ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘ÂÂ Ò Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ ÍðË‚ÓÈ
AB
. é·Ó-
Á̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ
α
Û„ÓÎ ÏÂÊ‰Û ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ÏË Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ Í‡Ò‡-
ÚÂθÌÓÈ Ë ÓÒ¸˛
Ox . Ç ÒËÎÛ „ÂÓÏÂÚð˘ÂÒÍÓ„Ó ÒÏ˚Ò· ÔðÓËÁ‚Ó‰ÌÓÈ
ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ
tg ( )x
α
ψ
′
=
, ‡ ÚÓ„‰‡
2
1
1
cos
[()]
x
α
ψ
=
′
+
.
àÌÚ„ð‡Î
I Ï˚ ÏÓÊÂÏ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Ú‡Í:
[
]
2
1,()cos
x
AB
IPxx dx
ψαψ
′
=+
∫
.
èÂðÂȉÂÏ ‚ Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚË Í ÓÔð‰ÂÎÂÌÌÓÏÛ ËÌÚ„ð‡ÎÛ:
[]
2
1,()cos [ ()]
b
a
IPxx xdx
ψαψ
′
=+
∫
.
íÓ˜ÌÓ Ú‡ÍÓÏÛ Ê ÓÔð‰ÂÎÂÌÌÓÏÛ ËÌÚ„ð‡ÎÛ ð‡‚ÂÌ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈ-
Ì˚È ËÌÚ„ð‡Î ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡
1
(,)cos
AB
IPxy dS
α
=
∫
,
Ú.Â.
1
II= .
éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
(,)cos (,)
AB AB
Pxy dS Pxydx
α
=
∫∫
.
ëÓ‚Âð¯ÂÌÌÓ ‡Ì‡Îӄ˘ÌÓ ÏÓÊÌÓ ‰Ó͇Á‡Ú¸ Ë Ú‡ÍÛ˛ ÙÓðÏÛÎÛ:
(,)cos (,)
AB AB
Qxy dS Qxydy
β
=
∫∫
,
τ
r
êËÒ. 2.2.1
x
0
y
M
A
B
β
α
b
a
60
„‰Â
β
– Û„ÓÎ ÏÂÊ‰Û ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚Ï Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ Í‡Ò‡ÚÂθÌÓÈ Ë
ÓÒ¸˛
Oy .
ëÍ·‰˚‚‡fl ÔÓ˜ÎÂÌÌÓ ‰‚ ÔÓÒΉÌË ÙÓðÏÛÎ˚, ÔÓÎÛ˜ËÏ ÒÓÓÚÌÓ-
¯ÂÌËÂ, ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡˛˘Â ҂flÁ¸ ÏÂÊ‰Û ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ÏË ËÌÚ„ð‡-
·ÏË ÔÂð‚Ó„Ó Ë ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡ ÔÓ ÍðË‚ÓÈ
AB , ÎÂʇ˘ÂÈ ‚ ÔÎÓÒÍÓÒÚË
xOy :
[
]
(,) (,) (,)cos (,)cos
AB AB
Pxydx Qxydy Pxy Qxy dS
αβ
+= +
∫∫
.
åÂÊ‰Û Î‚ÓÈ Ë Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚflÏË ð‡‚ÂÌÒÚ‚‡ Á‰ÂÒ¸ Ú‡ÍÓ Òӄ·ÒÓ‚‡-
ÌËÂ: Ò΂‡ ËÌÚ„ð‡Î ‚˚˜ËÒÎflÂÚÒfl ÔÓ ÍðË‚ÓÈ
AB ÓÚ A Í B , ‡
ÒÔð‡‚‡ ˜ÂðÂÁ
α
Ë
β
Ó·ÓÁ̇˜ÂÌ˚ Û„Î˚ ͇҇ÚÂθÌÓÈ, ̇Ôð‡‚ÎÂÌËÂ
ÍÓÚÓðÓÈ ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ ÍðË‚ÓÈ
AB , Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË
ÓÒflÏË.
ÖÒÎË
AB
– ÔðÓÒÚð‡ÌÒÚ‚ÂÌ̇fl ÍðË‚‡fl,
α
,
β
,
γ
– Û„Î˚ ͇҇-
ÚÂθÌÓÈ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘ÂÈ ÔÓ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌ˲ Ò ÍðË‚ÓÈ
AB , Ò ÍÓÓð‰Ë-
̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË
Ox , Oy Ë Oz ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ, ÚÓ ÒÔð‡‚‰ÎË‚Ó Ú‡-
ÍÓ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ:
[]
(,,) (,,) (,,)
( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos .
AB
AB
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Pxyz Qxyz Rxyz dS
αβγ
++=
=++
∫
∫
5. Ç˚˜ËÒÎÂÌË ð‡·ÓÚ˚ Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡.
å˚ ÔÓÎÛ˜ËÎË ð‡Ì ‚˚ð‡ÊÂÌË ‰Îfl ð‡·ÓÚ˚ ÒËÎ˚
F ÔÓ ÔÂðÂÏÂ-
˘ÂÌ˲ χÚÂðˇθÌÓÈ ÚÓ˜ÍË
M ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB ˜ÂðÂÁ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈ-
Ì˚È ËÌÚ„ð‡Î ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡:
cos
AB
AFdS
θ
=
∫
.
á‰ÂÒ¸
θ
– Û„ÓÎ ÏÂÊ‰Û ‚ÂÍÚÓðÓÏ F Ë Í‡Ò‡ÚÂθÌÓÈ, ̇Ôð‡‚ÎÂÌËÂ
ÍÓÚÓðÓÈ ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËÂÏ ÍðË‚ÓÈ
AB
.
M
A
B
êËÒ. 2.2.2
x
0
y
β
α
τ
r
δ
θ
F
u
r