Лапин И.А., Ратафьева Л.С. Кратные интегралы. Теория поля
Подождите немного. Документ загружается.
71
22
2(,)
()
Qxy y
xxy
∂
=−
∂+
,
22
2(,)
()
Pxy y
yxy
∂
=−
∂+
.
ÇˉÌÓ, ˜ÚÓ
(,) (,)Pxy Qxy
yx
∂∂
=
∂∂
, Ú.Â. ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ ‰‡ÌÌÓ ‚˚ð‡-
ÊÂÌË fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÌ˚Ï ‰ËÙÙÂðÂ̈ˇÎÓÏ ÌÂÍÓÚÓðÓÈ ÙÛÌ͈ËË
(,)xyΦ , Ú.Â.
22
2
(,)
dx ydy
dxy
xy xy
Φ= +
+
+
.
ç‡È‰ÂÏ ÙÛÌÍˆË˛
(,)xyΦ , ‚˚˜ËÒÎË‚ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î
ÔÓ ÍðË‚ÓÈ
ABC , ÒÓÒÚÓfl˘ÂÈ ËÁ ‰‚Ûı ÓÚðÂÁÍÓ‚: AB Ë BC , Ú.Â. ·Û-
‰ÂÚ:
1
22 22
11 1
22
(,) (,)
(,) ( ,)
(,)
xxy
x
dx ydy dx ydy
xy
xy xy xy xy
Φ= + + +
++ ++
∫∫
(ðËÒ. 2.4.5.).
á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ Ì‡
AB : 1y
=
, 0dy
=
, 1[, ]xx
∈
;
̇
BC : xconst
=
, 0dx
=
, 1[, ]yy
∈
,
ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ:
2
2
1
1
11
22
2
1
1
12 1 2
(,) ln ln
ln ln ln ln ln ln
y
x
y
x
dx ydy
xy x x y
xxy
xxyxxy
Φ= + =+++=
++
= +− + +− += +−
∫∫
.
éÚ‚ÂÚ:
2
(,) lnxy x y cΦ=++
, „‰Â c – ÔðÓËÁ‚Óθ̇fl ÔÓÒÚÓflÌ̇fl.
á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÔðË ð¯ÂÌËË ‰‡ÌÌÓ„Ó ÔðËÏÂð‡ Ï˚ Ì ËÏÂÂÏ Ôð‡‚‡
ÔÓÏÂÒÚËÚ¸ ÚÓ˜ÍÛ
A ‚ ̇˜‡ÎÓ ÍÓÓð‰Ë̇Ú, Ú.Í. ‚ ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÔÓ‰˚Ì-
êËÒ. 2.4.5
1(,)Bx
x
0
y
11(,)A
(,)Cxy
1
1
72
Ú„ð‡Î¸Ì‡fl ÙÛÌ͈Ëfl ·Û‰ÂÚ ÔðÂÚÂðÔ‚‡Ú¸ ð‡Áð˚‚, Ú.Â. ̇ðÛ¯ËÚÒfl
ÛÒÎÓ‚Ë ÚÂÓðÂÏ˚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl ÓÔð‰ÂÎÂÌÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡.
á‡Ï˜‡ÌË 1. á‡ÏÂÚËÏ Â˘Â, ˜ÚÓ ÂÒÎË ÔðË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËË ‰ËÙ-
ÙÂðÂ̈ˇθÌÓ„Ó Ûð‡‚ÌÂÌËfl
0(,) (,)Pxydx Qxydy
+
= Ó͇Á˚‚‡ÂÚÒfl,
˜ÚÓ ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ÛÒÎÓ‚ËÂ
(,) (,)Pxy Qxy
yx
∂∂
=
∂∂
, ÚÓ ˝ÚÓ „Ó‚ÓðËÚ Ó ÚÓÏ,
˜ÚÓ Î‚‡fl ˜‡ÒÚ¸ ‰‡ÌÌÓ„Ó ‰ËÙÙÂðÂ̈ˇθÌÓ„Ó Ûð‡‚ÌÂÌËfl Ôð‰ÒÚ‡‚-
ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ÔÓÎÌ˚È ‰ËÙÙÂðÂ̈ˇΠÌÂÍÓÚÓðÓÈ ÙÛÌ͈ËË
(,)xy
Φ
, Ú.Â.
(,) (,)Pxydx Qxydy+= (,)dxy=Φ .
Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ‰ËÙÙÂðÂ̈ˇθÌÓ Ûð‡‚ÌÂÌË ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ó·˚ÍÌÓ-
‚ÂÌÌ˚Ï ‰ËÙÙÂðÂ̈ˇθÌ˚Ï Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ ‚ ÔÓÎÌ˚ı ‰ËÙÙÂðÂ̈ˇ-
·ı.
é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ÏÓÊÌÓ Î„ÍÓ Ì‡ÈÚË Ó·˘ËÈ ËÌÚ„ð‡Î ˝ÚÓ„Ó Ûð‡‚ÌÂ-
ÌËfl, ‡ ËÏÂÌÌÓ:
(,)xy cΦ=, ‡ ÙÛÌ͈Ëfl (,)xy
Φ
̇ıÓ‰ËÚÒfl, Í‡Í ÔÓ͇-
Á‡ÌÓ ‚˚¯Â, Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡,
Ú.Â.
(,)
(,)
(,) (,) (,)
xy
ab
xy Pxydx QxydyΦ= +
∫
.
á‡Ï˜‡ÌË 2. åÓÊÌÓ ‰Ó͇Á‡Ú¸, ˜ÚÓ ‰Îfl ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ÍðË‚ÓÎË-
ÌÂÈÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î
(,,) (,,) (,,)
L
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz++
∫
‚ ÌÂÍÓÚÓðÓÈ Ó·Î‡ÒÚË
S Ì Á‡‚ËÒÂÎ ÓÚ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl, ÌÂÓ·-
ıÓ‰ËÏÓ, ˜ÚÓ·˚ ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠˝ÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË ‚˚ÔÓÎÌflÎËÒ¸ ÛÒÎÓ‚Ëfl
(,,) (,,)Pxyz Qxyz
yx
∂∂
=
∂∂
,
(,,) (,,)Qxyz Rxyz
zy
∂
∂
=
∂∂
,
(,,) (,,)Rxyz Pxyz
xz
∂∂
=
∂∂
,
ÔðË ˝ÚÓÏ ÙÛÌ͈ËË
(,,)Pxyz , (,,)Qxyzd Ë (,,)Rxyz Ôð‰ÔÓ·„‡˛Ú-
Òfl ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ÏË Ë Ëϲ˘ËÏË ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ Û͇Á‡ÌÌ˚ ˜‡ÒÚÌ˚Â
ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚ ‚Ò˛‰Û ‚
S , ‡ ̇ ÍðË‚ÓÈ L ‚˚ÔÓÎÌÂÌ˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl ÚÂÓðÂ-
Ï˚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡.
73
É·‚‡ 3
èÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚
§1. èÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚ I ðÓ‰‡
éÔð‰ÂÎÂÌËÂ. èÛÒÚ¸ S – Í‚‡‰ðËðÛÂχfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸, ‚ ͇ʉÓÈ
ÚӘ͠ÍÓÚÓðÓÈ ÓÔð‰ÂÎÂ̇ ÙÛÌ͈Ëfl
(,,)Fxyz .
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S ÒÂÚ¸˛ ÔðÓÒÚ˚ı ÍðË‚˚ı ̇ fl˜ÂÈÍË
1
S ,
2
S , ...,
n
S Ò ÔÎÓ˘‡‰flÏË
1
S
Δ
,
2
S
Δ
, ...,
n
S
Δ
Ë ‰Ë‡ÏÂÚð‡ÏË
1
d ,
2
d ,
...,
n
d . ç‡Ë·Óθ¯ËÈ ËÁ ‰Ë‡ÏÂÚðÓ‚ ˜‡ÒÚ˘Ì˚ı fl˜ÂÂÍ
k
d Ó·ÓÁ̇˜ËÏ
˜ÂðÂÁ
λ
Ë ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ Â„Ó ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.
Ç Í‡Ê‰ÓÈ ˜‡ÒÚ˘ÌÓÈ fl˜ÂÈÍÂ
k
S
‚ÓÁ¸ÏÂÏ ÔðÓËÁ‚ÓθÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ
(,,)
kkkk
Mxyz
Ë ‚˚˜ËÒÎËÏ ‚ ÌÂÈ Á̇˜ÂÌË ÙÛÌ͈ËË
(,,)
kkk
Fx y z
.
ìÏÌÓÊËÏ
(,,)
kkk
Fx y z ̇ ÔÎÓ˘‡‰¸ fl˜ÂÈÍË
k
S
Δ
Ë ÒÓÒÚ‡‚ËÏ ËÌÚÂ-
„ð‡Î¸ÌÛ˛ ÒÛÏÏÛ
1
(,,)
n
nkkkk
k
Fx y z S
σ
=
=
⋅Δ
∑
.
àÁÏÂθ˜‡fl ‰ðÓ·ÎÂÌË ڇÍËÏ Ó·ð‡ÁÓÏ, ˜ÚÓ·˚ ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl
ÒÚðÂÏËÎÒfl Í ÌÛβ, ·Û‰ÂÏ ËÒ͇ڸ Ôð‰ÂÎ
0
lim
n
n
I
λ
σ
→∞
→
=
.
ÖÒÎË ˝ÚÓÚ Ôð‰ÂÎ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÒÔÓÒÓ·‡ ð‡Á·ËÂ-
ÌËfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S ̇ fl˜ÂÈÍË Ë ‚˚·Óð‡ ÚÓ˜ÂÍ (,,)
kkkk
Mxyz , ÚÓ ÓÌ
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚Ï ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡ ÓÚ ÙÛÌÍ-
ˆËË
(,,)Fxyz ÔÓ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË S Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í:
(,,)
S
IFxyzdS=
∫
∫
.
íÂÓðÂχ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ËÌÚ„ð‡Î‡ ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ-
‰‡. ÖÒÎË ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ (,)zfxy= , Ôð˘ÂÏ
ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy ÓÔð‰ÂÎÂ̇ Ë ÌÂÔðÂð˚‚̇ ‚ ÔðÓÒÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË D
ÔÎÓÒÍÓÒÚË
xOy Ë ËÏÂÂÚ ‚ ˝ÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ ˜‡ÒÚÌ˚ ÔðÓ-
ËÁ‚Ó‰Ì˚Â
(,)
(,)
fxy
pxy
x
∂
=
∂
Ë
(,)
(,)
fxy
qxy
y
∂
=
∂
, Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚÓ˜-
ÍÂ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S
ÙÛÌ͈Ëfl (,,)Fxyz ÌÂÔðÂð˚‚̇, ÚÓ ÚÓ„‰‡ ÔÓ‚Âðı-
74
ÌÓÒÚÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË
(,,)Fxyz ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë
‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ ‰‚ÓÈÌÓÈ ËÌÚ„ð‡Î Ú‡Í:
[]
22
1(,,) ,,(,) (,) (,)
SS
F x y z dS F x y f x y p x y q x y dxdy=++
∫∫ ∫∫
(·ÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡).
ç ·Û‰ÂÏ ÔÂð˜ËÒÎflÚ¸ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ÔÂð‚Ó-
„Ó ðÓ‰‡, Ú.Í. ÓÌË ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ Ó˜Â‚Ë‰Ì˚.
èðËÏÂð. Ç Í‡Ê‰ÓÈ ÚӘ͠ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S , ÎÂʇ˘ÂÈ ‚ ÔÂð‚ÓÏ ÓÍ-
Ú‡ÌÚÂ, Ûð‡‚ÌÂÌË ÍÓÚÓðÓÈ
1xyz++=, ð‡ÒÔð‰ÂÎÂ̇ χÒÒ‡ Ò ÔÎÓÚ-
ÌÓÒÚ¸˛
(,,)
z
xyz
k
=ρ , „‰Â kconst= . Ç˚˜ËÒÎËÚ¸ χÒÒÛ Ô·ÒÚËÌÍË.
ê¯ÂÌËÂ.
1zxy=− − , 1(,)
z
pxy
x
∂
=
=−
∂
, 1(,)
z
qxy
y
∂
=
=−
∂
,
22
13(,) (,)pxy qxy++=
.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, χÒÒ‡
11
113
() ()
SD
MxydSxydxdy
kk
=−−=−− =
∫∫ ∫∫
11
00
33
1
6
()
x
dx x y dy
kk
−
=−−=
∫∫
͂. ‰.
§2. Ñ‚ÛÒÚÓðÓÌÌËÂ Ë Ó‰ÌÓÒÚÓðÓÌÌË ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË. ëÚÓðÓ̇
ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
ÇÓÁ¸ÏÂÏ ÌÂÍÓÚÓðÛ˛ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S Ë ð‡ÒÒÏÓÚðËÏ ÌÓðχθ Í
˝ÚÓÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ‚ ÚÓ˜ÍÂ
M . á‡ÙËÍÒËðÛÂÏ Ì‡ ÌÓðχÎË Ó‰ÌÓ ËÁ
‰‚Ûı ‚ÓÁÏÓÊÌ˚ı ̇Ôð‡‚ÎÂÌËÈ (ðËÒ. 3.2.1).
êËÒ. 3.2.1
y
x
z
S
1
M
M
A
B
N
u
ur
N
u
ur
N
′
uur
0
75
ÇÓÁ¸ÏÂÏ Ì‡ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÌÂÍÓÚÓð˚È ÍÓÌÚÛð, Ì ÔÂðÂÒÂ͇˛˘ËÈ
„ð‡Ìˈ˚ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S . ÖÒÎË Ï˚ ·Û‰ÂÏ ÔÂðÂÏ¢‡Ú¸ ÓÒÌÓ‚‡ÌËÂ
ÌÓðχÎË ‚ ̇Ôð‡‚ÎÂÌËË
1
MAM BM→→ →→ , ÚÓ ÌÓðχθ, Ó·ÓÈ-
‰fl ˝ÚÓÚ ÍÓÌÚÛð, ‚ÂðÌÂÚÒfl Í ÚÓ˜ÍÂ
M Ë Á‡ÈÏÂÚ ÎË·Ó ËÒıÓ‰ÌÓ ÔÓ-
ÎÓÊÂÌËÂ
N , ÎË·Ó ÔÂð‚ÂðÌÛÚÓ N
′
.
ÖÒÎË Ì‡ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÌÂÚ ÌË Ó‰ÌÓ„Ó ÍÓÌÚÛð‡, ÍÓÚÓð˚È ÔÂð‚Óð‡-
˜Ë‚‡Î ·˚ ÌÓðχθ ÔÓÒÎÂ Â„Ó Ó·ıÓ‰‡, ÚÓ Ú‡Í‡fl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ̇Á˚‚‡-
ÂÚÒfl ‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌÂÈ, ‡ ÂÒÎË ıÓÚfl ·˚ Ó‰ËÌ ÍÓÌÚÛð, ÔÂð‚Óð‡˜Ë‚‡˛-
˘ËÈ ÌÓðχθ, ÚÓ Ú‡Í‡fl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ó‰ÌÓÒÚÓðÓÌÌÂÈ.
èðËÏÂðÓÏ Ó‰ÌÓÒÚÓðÓÌÌÂÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÏÓÊÂÚ ÒÎÛÊËÚ¸ ÎËÒÚ åÂ-
·ËÛÒ‡, ÍÓÚÓð˚È Î„ÍÓ ÏÓÊÌÓ ËÁ„ÓÚÓ‚ËÚ¸, ‚Áfl‚ ÔÓÎÓÒÍÛ ·Ûχ„Ë (ðËÒ.
3.2.2) Ë ÒÓ‰ËÌË‚ ÚÓ˜ÍÛ
1
A Ò ÚÓ˜ÍÓÈ
2
A , ÚÓ˜ÍÛ
1
B Ò ÚÓ˜ÍÓÈ
2
B .
çÂÚðÛ‰ÌÓ Á‡ÏÂÚËÚ¸, ˜ÚÓ Ó·ıÓ‰ ÍÓÌÚÛð‡
l
ÔÂð‚Óð‡˜Ë‚‡ÂÚ ÌÓð-
χθ.
éÔð‰ÂÎÂÌËÂ. ëÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚ¸ ÚÓ˜ÂÍ ‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌÂÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
‚ÏÂÒÚÂ Ò ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÏË Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËflÏË ÌÓðχÎÂÈ, ÌÂÔðÂ-
ð˚‚ÌÓ ÔÂðÂıÓ‰fl˘Ëı ‰ðÛ„ ‚ ‰ðÛ„‡ ÔðË ÔÂðÂÏ¢ÂÌËË ÓÒÌÓ‚‡ÌËfl ÌÓð-
χÎË ÔÓ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË, Ì ÔÂðÂÒÂ͇fl Â„Ó „ð‡Ìˈ˚, ̇Á˚‚‡˛Ú ÒÚÓ-
ðÓÌÓÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË.
1
A
1
B
2
A
1
B
êËÒ. 3.2.2
l
êËÒ. 3.2.3
x
y
z
0
D
ν
μ
λ
S
N
u
ur
76
Ç ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò Ôð˂‰ÂÌÌ˚Ï ÓÔð‰ÂÎÂÌËÂÏ ÏÓÊÌÓ Ò‰Â·ڸ ‚˚-
‚Ó‰, ˜ÚÓ ‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌflfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ËÏÂÂÚ ‰‚ ÒÚÓðÓÌ˚ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË:
‚ÂðıÌ˛˛ Ë ÌËÊÌ˛˛, ‡ Ó‰ÌÓÒÚÓðÓÌÌflfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ËÏÂÂÚ Î˯¸ Ó‰-
ÌÛ ÒÚÓðÓÌÛ.
èð˘ÂÏ, ÂÒÎË ‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌflfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ
(,)zfxy= , „‰Â (,)fxy Ë ˜‡ÒÚÌ˚ ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚Â
(,)
(,)
zxy
pxy
x
∂
=
∂
Ë
(,)
(,)
zxy
qxy
y
∂
=
∂
ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ ‚ ӷ·ÒÚË D ÔÎÓÒÍÓÒÚË xOy , ÚÓ ‰Îfl
‚ÂðıÌÂÈ ÒÚÓðÓÌ˚ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË Ì‡Ôð‡‚Îfl˛˘Ë ÍÓÒËÌÛÒ˚ ÌÓðχÎË
ÓÔð‰ÂÎfl˛ÚÒfl ‚˚ð‡ÊÂÌËflÏË
22
1
cos
p
pq
λ
−
=
++
,
22
1
cos
q
pq
μ
−
=
+
+
,
22
1
1
cos
pq
ν
=
++
,
‡ ‰Îfl ÌËÊÌÂÈ ÒÚÓðÓÌ˚ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ
22
1
cos
p
pq
λ
=
++
,
22
1
cos
q
pq
μ
=
+
+
,
22
1
1
cos
pq
ν
−
=
+
+
(ðËÒ.
3.2.3).
§3. èÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚ II ðÓ‰‡
éÔð‰ÂÎÂÌËÂ. èÛÒÚ¸ ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌÂÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S
Á‡‰‡Ì‡ ÙÛÌ͈Ëfl (,,)Fxyz . Ç˚·ÂðÂÏ Ì‡ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S
ÒÚÓðÓÌÛ
ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË (‚ÂðıÌ˛˛ ËÎË ÌËÊÌ˛˛).
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S ÒÂÚ¸˛ ÔðÓÒÚ˚ı ÍðË‚˚ı ̇ fl˜ÂÈÍË
1
S ,
2
S
, ...,
n
S
, ÍÓÚÓð˚ ÔðÓÂÍÚËðÛ˛ÚÒfl ̇ ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸ xOy ‚ fl˜ÂÈÍË
1
D ,
2
D , ...,
n
D Ò ÔÎÓ˘‡‰flÏË
1
F
Δ
,
2
F
Δ
, ...,
n
F
Δ
. ç‡Ë·Óθ¯ËÈ ËÁ
‰Ë‡ÏÂÚðÓ‚ fl˜ÂÈÍË
k
D ̇ÁÓ‚ÂÏ ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl Ë Ó·ÓÁ̇˜ËÏ Â„Ó
λ
. Ç Í‡Ê‰ÓÈ ˜‡ÒÚ˘ÌÓÈ fl˜ÂÈÍÂ
k
S ‚ÓÁ¸ÏÂÏ ÔðÓËÁ‚ÓθÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ
(,,)
kkkk
Mxyz Ë ‚˚˜ËÒÎËÏ ‚ ÌÂÈ Á̇˜ÂÌË ÙÛÌ͈ËË (,,)
kkk
Fx y z .
ìÏÌÓÊËÏ
(,,)
kkk
Fx y z
̇ ÔÎÓ˘‡‰¸ ÔðÓÂ͈ËË fl˜ÂÈÍË
k
S
̇ ÔÎÓÒ-
ÍÓÒÚ¸
xOy , Ú.Â. ÒÓÒÚ‡‚ËÏ ÔðÓËÁ‚‰ÂÌË (,,)
kkk k
Fx y z F
⋅
Δ Ë ÒÓÒÚ‡‚ËÏ
ËÌÚ„ð‡Î¸ÌÛ˛ ÒÛÏÏÛ ‰Îfl ‚ÂðıÌÂÈ Ë ‰Îfl ÌËÊÌÂÈ ÒÚÓðÓÌ˚ ÔÓ‚ÂðıÌÓ-
ÒÚË ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ:
1
(,,)
n
nkkkk
k
Fx y z F
σ
=
=⋅Δ
∑
Ë
()
1
(,,)
n
nkkkk
k
Fx y z F
σ
=
=⋅−Δ
∑
.
77
àÁÏÂθ˜‡fl ‰ðÓ·ÎÂÌËÂ Ë ÛÒÚðÂÏÎflfl ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl Í ÌÛβ, ·Û-
‰ÂÏ ËÒ͇ڸ Ôð‰ÂÎ
0
lim
n
n
I
λ
σ
→∞
→
=
.
ÖÒÎË ˝ÚÓÚ Ôð‰ÂÎ, Ì Á‡‚ËÒfl˘ËÈ ÓÚ ÒÔÓÒÓ·‡ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl Ë ‚˚·Óð‡
ÚÓ˜ÂÍ
k
M , ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚Ï ËÌ-
Ú„ð‡ÎÓÏ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ÔÓ ‚ÂðıÌÂÈ Ë ÔÓ ÌËÊÌÂÈ
ÒÚÓðÓÌ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl
(,,)
S
IFxyzdxdy=
∫
∫
.
Ä̇Îӄ˘ÌÓ ÓÔð‰ÂÎfl˛ÚÒfl ËÌÚ„ð‡Î˚
(,,)
S
F x y z dydz
∫
∫
Ë
(,,)
S
Fxyzdzdx
∫∫
, Ôð˘ÂÏ ÔðËÌflÚÓ Ó·ÓÁ̇˜ÂÌËÂ
SSS S
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy++ =++
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
,
„‰Â ‚Ò ËÌÚ„ð‡Î˚ ·ÂðÛÚÒfl ÔÓ Ó‰ÌÓÈ Ë ÚÓÈ Ê ÒÚÓðÓÌ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË.
ë‚ÓÈÒÚ‚‡ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚ı ËÌÚ„ð‡ÎÓ‚ Ә‚ˉÌ˚. éÚÏÂÚËÏ ÚÓθÍÓ,
˜ÚÓ ÂÒÎË ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S Ôð‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ˆËÎË̉ð˘ÂÒÍÛ˛ ÔÓ-
‚ÂðıÌÓÒÚ¸, Ó·ð‡ÁÛ˛˘Ë ÍÓÚÓðÓÈ ÔÂðÔẨËÍÛÎflðÌ˚ ÔÎÓÒÍÓÒÚË
xOy ,
ÚÓ
0(,,)
S
F x y z dxdy =
∫∫
.
ùÚÓ Ò Ó˜Â‚Ë‰ÌÓÒÚ¸˛ ÒΉÛÂÚ ËÁ ÓÔð‰ÂÎÂÌËfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌÓ„Ó ËÌ-
Ú„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡.
1. íÂÓðÂχ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ‚ÚÓðÓ„Ó
ðÓ‰‡.
íÂÓðÂχ. ÖÒÎË ‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌflfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S
Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ
(,)zfxy= , Ôð˘ÂÏ (,)fxy Ë ˜‡ÒÚÌ˚ ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚Â
(,)
(,)
zxy
pxy
x
∂
=
∂
Ë
(,)
(,)
zxy
qxy
y
∂
=
∂
ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú Ë ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ ‚ ÔðÓÒÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË D
ÔÎÓÒÍÓÒÚË
xOy Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË S Á‡‰‡Ì‡ ÌÂ-
ÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl
(,,)Fxyz , ÚÓ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ÔÓ
‚ÂðıÌÂÈ Ë ÌËÊÌÂÈ ÒÚÓðÓÌÂ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ‚˚ð‡Ê‡ÂÚ-
Òfl ˜ÂðÂÁ ‰‚ÓÈÌÓÈ ËÌÚ„ð‡Î ‰Îfl ‚ÂðıÌÂÈ ÒÚÓðÓÌ˚ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S
:
78
[
]
()
(,,) ,,(,)
SD
I Fxyzdxdy Fxyf xy dxdy==
∫∫ ∫∫
верхн. стор.
Ë ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‰Îfl ÌËÊÌÂÈ ÒÚÓðÓÌ˚ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S
:
[
]
()
(,,) ,,(,)
SD
IFxyzdxdyFxyfxydxdy==−
∫∫ ∫∫
нижн. стор.
.
èðËÏÂð. Ç˚˜ËÒÎËÚ¸
S
I zdxdy=
∫∫
ÔÓ ÌËÊÌÂÈ ÒÚÓðÓÌÂ ÔÓ‚ÂðıÌÓ-
ÒÚË
S , Á‡‰‡ÌÌÓÈ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ
22
zx y
=
+ ̇‰ ӷ·ÒÚ¸˛ D , Ó„ð‡ÌË-
˜ÂÌÌÓÈ ÔðflÏ˚ÏË
0x
=
,
0y =
,
1xy
+
=
(ðËÒ. 3.3.1)
ê¯ÂÌËÂ. Ç ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÚÂÓðÂÏÓÈ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËfl Ë ÔðËÌËχfl
‚Ó ‚ÌËχÌËÂ, ˜ÚÓ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î ·ÂðÂÚÒfl ÔÓ ÌËÊÌÂÈ ÒÚÓ-
ðÓÌÂ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S , ÔÓÎÛ˜ËÏ
11
22 22
00
1
2
()
() ()
x
SD
I zdxdy x y dxdy dx x y dy
−
==−+=−+=−
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
нижн. стор.
.
2. ë‚flÁ¸ ÏÂÊ‰Û ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚ÏË ËÌÚ„ð‡Î‡ÏË ÔÂð‚Ó„Ó Ë
‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡.
ÅÛ‰ÂÏ ð‡ÒÒχÚðË‚‡Ú¸ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚ ÔÂð‚Ó„Ó Ë ‚ÚÓðÓ-
„Ó ðÓ‰‡ ÔÓ ‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌÂÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
S , ÌÓðχθ Í ÍÓÚÓðÓÈ Ó·ð‡-
ÁÛÂÚ Û„Î˚
λ
,
μ
Ë
ν
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË Ox ,
Oy Ë Oz . èÓ͇ÊÂÏ, ˜ÚÓ
(,,) (,,)cos
SS
Fxyzdxdy Fxyz dS
ν
=
∫∫ ∫∫
,
êËÒ. 3.3.1
x
y
z
0
1
1
1
(1)
79
Ôð˘ÂÏ Á‰ÂÒ¸ ˜ÂðÂÁ
ν
Ó·ÓÁ̇˜ÂÌ Û„ÓÎ ÌÓðχÎË, ‚ıÓ‰fl˘ÂÈ ‚ ‚˚-
·ð‡ÌÌÛ˛ ÒÚÓðÓÌÛ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl ‚ ËÌÚ„ð‡ÎÂ, ÒÚÓfl-
˘ÂÏ Ò΂‡, Ò ÓÒ¸˛
Oz .
ÑÎfl ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡ ÔÂðÂȉÂÏ ‚ ËÌÚ„ð‡Î‡ı, ÒÚÓfl˘Ëı ‚ ΂ÓÈ Ë
Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚflı ð‡‚ÂÌÒÚ‚‡ (1), Í ‰‚ÓÈÌÓÏÛ ËÌÚ„ð‡ÎÛ, Ò˜ËÚ‡fl, ˜ÚÓ
‰‚ÛÒÚÓðÓÌÌflfl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËÂÏ (,)zfxy= , Ôð˘ÂÏ
(,)fxy,
(,)
(,)
zxy
pxy
x
∂
=
∂
Ë
(,)
(,)
zxy
qxy
y
∂
=
∂
ÓÔð‰ÂÎÂÌ˚ Ë ÌÂÔðÂ-
ð˚‚Ì˚ ‚ ÔðÓÒÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË
D ÔÎÓÒÍÓÒÚË xOy , ÚÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ
[
]
(,,) ,,(,)
SD
F x y z dxdy F x y f x y dxdy=
∫∫ ∫∫
.
ë ‰ðÛ„ÓÈ ÒÚÓðÓÌ˚:
[]
[]
22
22
1
1
1
(,,)cos ,,(,)
,,(,) .
SD
D
F x y z dS F x y f x y p q dxdy
pq
Fxyfxy dxdy
ν
=++=
++
=
∫∫ ∫∫
∫∫
å˚ ‚ˉËÏ, ˜ÚÓ Ôð‡‚˚ ˜‡ÒÚË ˝ÚËı ð‡‚ÂÌÒÚ‚ ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú, ÒΉӂ‡-
ÚÂθÌÓ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú Ë Î‚˚Â, Ú.Â.
(,,) (,,)cos
SS
Fxyzdxdy Fxyz dS
ν
=
∫∫ ∫∫
.
Ä̇Îӄ˘ÌÓ ÏÓÊÌÓ ‰Ó͇Á‡Ú¸ Ë Ú‡ÍÓÂ, ·ÓΠӷ˘Â ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ:
[]
(,,) (,,) (,,)
(,,)cos (,,)cos (,,)cos ,
S
S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
Pxyz Qxyz Rxyz dS
λμν
++ =
=++
∫∫
∫∫
„‰Â ˜ÂðÂÁ
λ
,
μ
Ë
ν
Ó·ÓÁ̇˜ÂÌ˚ Û„Î˚ ÌÓðχÎË, ‚ıÓ‰fl˘ÂÈ ‚ ‚˚-
·ð‡ÌÌÛ˛ ÒÚÓðÓÌÛ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl, ‚ ËÌÚ„ð‡Î˚, ÒÚÓfl-
˘Ë Ò΂‡, Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË
Ox , Oy Ë Oz , ‡ ËÌÚ„ð‡Î˚,
ÒÚÓfl˘Ë ‚ Ôð‡‚ÓÈ Ë Î‚ÓÈ ˜‡ÒÚflı ð‡‚ÂÌÒÚ‚‡, ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú.
§4. îÓðÏÛ· éÒÚðÓ„ð‡‰ÒÍÓ„Ó
ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ÌÂÍÓÚÓðÓ ÚÂÎÓ T , Ó„ð‡Ì˘ÂÌÌÓ ÒÌËÁÛ ÔðÓÒÚÓÈ ÔÓ-
‚ÂðıÌÓÒÚ¸
1
S , Ûð‡‚ÌÂÌË ÍÓÚÓðÓÈ (,)zxy
ϕ
=
, Ò‚ÂðıÛ – ÔðÓÒÚÓÈ ÔÓ-
‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛
3
S , Ûð‡‚ÌÂÌË ÍÓÚÓðÓÈ (,)zxy
=
Φ , ‡ Ò ·ÓÍÓ‚ – ˆËÎË̉-
ð˘ÂÒÍÓÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛
2
S
, Ó·ð‡ÁÛ˛˘Ë ÍÓÚÓðÓÈ Ô‡ð‡ÎÎÂθÌ˚ ÓÒË
80
Oz , ‡ ̇Ôð‡‚Îfl˛˘ÂÈ ÒÎÛÊËÚ ÍÓÌÚÛð ӷ·ÒÚË D ‚ ÔÎÓÒÍÓÒÚË xOy
(ðËÒ. 3.4.1).
ÑÓÔÛÒÚËÏ, ˜ÚÓ ÙÛÌ͈ËË
(,)xy
ϕ
Ë (,)xy
Φ
ÓÔð‰ÂÎÂÌ˚ Ë ÌÂÔðÂ-
ð˚‚Ì˚ ‚ ÔðÓÒÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË
D ÔÎÓÒÍÓÒÚË xOy Ë ËÏÂ˛Ú ‚ ÌÂÈ ÌÂÔðÂ-
ð˚‚Ì˚ ˜‡ÒÚÌ˚ ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚Â.
èÛÒÚ¸, ÍðÓÏÂ ÚÓ„Ó, ‚ ÚÂÎÂ
T ÓÔð‰ÂÎÂ̇ ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl
(,,)Rxyz , Ëϲ˘‡fl ÌÂÔðÂð˚‚ÌÛ˛ ÔðÓËÁ‚Ó‰ÌÛ˛
(,,)Rxyz
z
∂
∂
. èðË
Ú‡ÍËı Ôð‰ÔÓÎÓÊÂÌËflı ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚðÓÈÌÓÈ ËÌÚ„ð‡Î
(,,)
T
Rxyz
Idxdydz
z
∂
=
∂
∫∫∫
.
Ç˚˜ËÒÎËÏ Â„Ó, ‚˚ð‡ÁË‚ ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚ÚÓðÌ˚È:
(,)
(,)
(,,)
xy
Dxy
Rxyz
Idxdy dz
z
ϕ
Φ
∂
=
∂
∫∫ ∫
.
á‰ÂÒ¸ ‚ÌÛÚðÂÌÌËÈ ËÌÚ„ð‡Î
()()
(,)
внутр
(,)
,, (,) ,,(,)
xy
xy
R
I dz Rxy xy Rxy xy
z
ϕ
ϕ
Φ
∂
==Φ−
∂
∫
.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
êËÒ. 3.4.1
x
y
z
0
(,)zxy
=
Φ
3
S
D
(,)zxy
ϕ
=
1
S
T
2
S