Лобасова М.С. Тепломассообмен

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 33. Тройная аналогия



Тепломассообмен. Курс лекций 261

Познакомившись с тремя видами процессов молекулярного переноса: с

переносом импульса (т.е трение в ламинарном потоке), переносом тепла (те-

плопроводностью) и переносом массы примеси (диффузией), нетрудно заме-

тить аналогию между этими процессами.

Действительно, формулу Ньютона для вязкого трения в плоскопарал-

лельном ламинарном потоке, законы Фурье и Фика для одномерных процес-

сов теплопроводн

ости и диффузии в случае постоянных плотности и тепло-

емкости среды можно записать соответственно следующим образом:

()

;

u

y









(33.5)

()

;

p

cT

qa

y









(33.6)

ρ

,

i

jD

y







(33.7)

где

y – координата, в направлении которой происходит перенос импульса,

тепла и вещества. Как видно из выражений (33.5

), (33.6), (33.7), плотность

потока каждой из субстанций, т. е. импульса τ, тепла q и вещества j

i

, пропор-

циональна градиенту, объемной плотности, соответственно, импульса (ρu),

энтальпии (ρc

p

T) и вещества (ρ

i

).

Таким образом, закономерности всех трех процессов переноса могут

быть обобщены и сформулированы следующим образом: поток субстанции

пропорционален движущей силе, а коэффициентом пропорциональности яв-

ляется коэффициент переноса. Движущей силой в каждом случае является

градиент объемной плотности соответствующей субстанции. В этой форму-

лировке отражено существо известного в термодинамике необратимых про-

цессов принципа линейности Онзаг

ера, являющегося одним из общих прин-

ципов переноса.

Аналогия процессов молекулярного переноса импульса, тепла и массы

при определенных условиях приводит к тождественности соответствующих

дифференциальных уравнений и позволяет создать общую теорию процессов

переноса. В дальнейшем будет показано, что и между процессами турбу-

лентного переноса импульса, тепла и массы также существует достаточно

глубокая аналогия.

Необходи

мо отметить, что процессы переноса тепла и массы аналогич-

ны только при отсутствии вторичных эффектов, обусловленных их взаимным

влиянием, т.е. термодиффузии и диффузионного переноса тепла. Практиче-

ски это означает, что для получения указанной аналогии роль вторичных эф-

фектов тепло- и массообмена должна быть невелика.

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 33. Тройная аналогия



Тепломассообмен. Курс лекций 262

Р

а

с

ч

е

т

м

а

с

о

т

д

а

ч

и

в

с

л

у

ч

а

е

л

а

м

и

н

а

р

н

о

г

о

п

о

г

р

а

н

и

ч

н

о

г

о

с

л

о

я

п

р

и

в

ы

н

у

ж

д

е

н

о

м

д

в

и

ж

е

н

и

Рассчитаем процесс массоотдачи при ламинарном движении жидкости

вдоль плоской поверхности с помощью уравнения потока массы для погра-

ничного слоя. При этом, однако, необходимо предположить, что интенсив-

ность массоотдачи настолько невелика, что поперечная компонента скорости

на поверхности близка к нулю.

Полагая, что толщина диффузионного пограничного слоя не превыша-

ет толщины гидродинамического, получим:

3

c

/1/Sc, (33.8)

что соответствует предположению о зависимости соотношения толщин диф-

фузионного и гидродинамического пограничных слоев от критерия Шмидта.

Подставим в выражение (33.8

) формулу для толщины гидродинамиче-

ского пограничного слоя, найдем закон изменения толщины диффузионного

пограничного слоя по длине пластины:

0,5 1/3

c

δ 4,64 Re Sc .

x



 (33.9)

Используя формулу, полученную из дифференциального уравнения

конвективной массоотдачи, найдем связь между коэффициентом массоотда-

чи и толщиной диффузионного пограничного слоя:

c

3

.

2

D





(33.10)

Таким образом, коэффициент массоотдачи также обратно пропорцио-

нален толщине диффузионного пограничного слоя, что обусловлено возрас-

танием сопротивления поперечному переносу массы по мере увеличения

толщины пограничного слоя.

Формулы (33.9

) и (33.10) позволяют определить, как изменяется коэф-

фициент массоотдачи по длине пластины:

3

0,332 Re Sc.

x

D

x



(33.11)

Уменьшение β по мере удаления от передней кромки пластины так же,

как и в случае теплоотдачи, обусловлено нарастанием толщины диффузион-

ного пограничного слоя.

Разделив обе части выражения (33.11

) на D и умножив на x, получим в

левой части безразмерную величину βx/D=Sh, аналогичную числу Нуссельта,

представляющую собой безразмерный коэффициент массоотдачи и называе-

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 33. Тройная аналогия



Тепломассообмен. Курс лекций 263

мую числом Шервуда. В результате формула (33.11) приобретает следующий

вид:

0,5 1/3

Sh 0,332 Re Sc ,

x



где все величины являются безразмерными.

Принципиальный характер полученных результатов имеет не частное, а

всеобщее значение. Во всех случаях конвективная теплоотдача при вынуж-

денном движении описывается зависимостями вида

Nu=Nu(Re,Pr), а кон-

вективная массоотдача – зависимостями вида

Sh=Sh(Re,Sc).

Более того, оказывается, что во всех случаях вынужденной конвекции

при ламинарном режиме и при отсутствии отрыва потока от стенки критерий

Рейнольдса входит в формулы для тепло- и массоотдачи в степени 0,5, как и

в том простом частном случае, который был рассмотрен с помощью аналити-

ческого метода.

Р

а

с

ч

е

т

м

а

с

о

т

д

а

ч

и

п

р

и

т

у

р

б

у

л

е

н

т

н

о

м

т

е

ч

е

н

и

ж

и

д

к

о

с

т

и

н

а

о

с

н

о

в

е

у

р

а

в

н

е

н

и

й

т

е

п

л

о

т

д

а

ч

и

При рассмотрении процесса массоотдачи, происходящего в турбулент-

ном пограничном слое, можно воспользоваться двухслойной схемой этого

течения, в соответствии с которой турбулентный пограничный слой состоит

из двух зон: собственно турбулентной зоны и вязкого или ламинарного под-

слоя, прилегающего к поверхности тела.

Ранее рассматривался процесс теплоотдачи в ламинарном пограничном

слое. Воспользовавшись тройной аналогией, которая при определенных ус-

ловиях приводит к тождественности соответствующих дифференциальных

уравнений процессов теплоотдачи и массоотдачи, можно получить уже зна-

комые формулировки и закономерности для массоотдачи при турбулентном

течении жидкос

ти.

Таким образом, формулы массоотдачи для турбулентного погранично-

го слоя на плоской пластине будут иметь следующий вид:

0,8 0,43

жжж

S0,0296Re

xx

hSc

и

0,8 0,43

жжж

S0,037Re

ll

hSc

.

В общем случае турбулентного движения формулы для массоотдачи

при вынужденном движении имеют вид

Sh=f(Re,Sc).

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 33. Тройная аналогия



Тепломассообмен. Курс лекций 264

К

о

н

т

р

о

л

ь

н

ы

е

в

о

п

р

о

с

ы

1. Запишите уравнения Ньютона, Фурье и Фика.

2. Перечислите условия, при которых процессы теплоотдачи и массо-

отдачи будут аналогичными.

3. Сформулируйте принцип Онзагера.

4. Запишите выражение для соотношения толщин диффузионного и

гидродинамического пограничного слоев.

5. Запишите выражение для соотношения толщин теплового и гидро-

динамического пограничного слоев.

6. В каком случае толщины диффузионного, теплового и гидродин

ами-

ческого пограничных слоев будут одинаковыми?

7. Запишите критериальное уравнение для расчета массоотдачи в слу-

чае ламинарного пограничного слоя при вынужденном движении.

8. Запишите критериальное уравнение для расчета массоотдачи в слу-

чае турбулентного пограничного слоя при вынужденном движении.

Л

е

к

ц

и

я

3

4

.

Т

е

п

л

о

-

и

м

а

с

о

т

д

а

ч

а

п

р

и

с

п

а

р

е

н

и

ж

и

д

к

о

с

т

и

в

п

а

р

о

г

а

з

о

в

у

ю

с

р

е

д

у

.

И

с

п

а

р

е

н

и

е

в

о

д

ы

в

о

з

д

у

х

Влажный воздух. Давление насыщенного пара. Состояния и основные

характеристики влажного воздуха. Испарение воды. Температура мокрого

термометра.

В

л

а

ж

н

ы

й

в

о

з

д

у

х

.

Д

а

в

л

е

н

и

е

н

а

с

ы

щ

е

н

о

г

о

п

а

р

а

Влажный воздух представляет собой механическую смесь сухого воз-

духа и паров воды. Процессы с влажным воздухом рассчитывают по уравне-

ниям состояния идеальных газов (вследствие малых парциальных давлений

пары воды считают идеальным газом) в условиях термодинамического рав-

новесия (температура паров воды, сухого воздуха, влажного воздуха прини-

мается одинаковой) [8

].

Уравнение состояния сухого воздуха:

ввв в в

8314 /pRТТ



 

.

Уравнение состояния паров воды:

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 34. Тепло- и массоотдача при испарении жидкости в парогазовую среду. Испарение воды в воздух



Тепломассообмен. Курс лекций 265

ппппп

/8314











ТТRp

.

Здесь

вп

;

mm

VV

 

,

где m

п

, m

в

– масса паров воды и сухого воздуха; V – объем влажного воздуха.

Давление влажного воздуха p есть сумма парциальных давлений сухого

воздуха p

в

и паров воды p

п

. Парциальное давление паров воды является важ-

ной характеристикой влажного воздуха, так как состояние влажного воздуха

определяется соотношением парциального давления паров воды p

п

и давлени-

ем насыщенных паров воды p

s

при температуре влажного воздуха. Давление

насыщенных паров жидкости p

s

определяется по уравнению Клапейрона –

Клаузиуса. Состояние насыщения (кипения жидкости) наступает, если при

данной температуре давление насыщенных паров p

s

равно давлению окру-

жающей среды p. В неограниченном объеме p = p

в

, в замкнутом объеме p =

= p

в

+ p

п

.

Давление насыщенных паров воды в интервале 20…100

о

С можно оп-

ределить по эмпирической зависимости

бар

4,2224

9778,5lg

T

p

s



. (34.1)

В табл. 34.1

дано сопоставление значений p

s

, рассчитанных по уравне-

нию (34.1

) и взятых по таблицам водяного пара.

Таблица 34.1

Значения р

s,

, бар t,

o

C

из таблицы расчетные по (34.1)

Погрешность, %

0

5

10

15

20

25

30

40

50

60

70

80

90

100

0,006108

0,008718

0,01227

0,01704

0,02337

0,03167

0,04241

0,07375

0,1234

0,1992

0,3116

0,4736

0,7011

1,013

0,006758

0,00947

0,01311

0,01796

0,02432

0,03261

0,04330

0,07432

0,1233

0,1986

0,3109

0,4747

0,7080

1,0330

10,6

8,6

6,9

5,4

4,0

3,0

2,1

0,8

-

0,3

0,2

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 34. Тепло- и массоотдача при испарении жидкости в парогазовую среду. Испарение воды в воздух



Тепломассообмен. Курс лекций 266

С

о

с

т

о

я

н

и

я

и

о

с

н

о

в

н

ы

е

х

а

р

а

к

т

е

р

и

с

т

и

к

и

в

л

а

ж

н

о

г

о

в

о

з

д

у

х

а

В зависимости от соотношения p

п

и p

s

можно рассмотреть следующие

состояния влажного воздуха [8

].

Ненасыщенный влажный воздух. Парциальное давление паров воды p

п

меньше давления насыщения p

s

при данной температуре: p

п

< p

s

. Температура

паров воды (влажного воздуха) больше температуры насыщения (кипения)

воды при данном давлении: t

в

> t

s

. Пары воды находятся в перегретом со-

стоянии относительно температуры насыщения.

Насыщенный влажный воздух. Парциальное давление паров воды равно

давлению насыщения при температуре воздуха: p

п

= p

s

. Температура влажного

воздуха равна температуре насыщения воды при данном давлении: t

в

= t

s

.

Пересыщенный влажный воздух. Парциальное давление паров воды p

п

больше давления насыщения p

s

при данной температуре. Температура влаж-

ного воздуха меньше температуры насыщения воды при давлении p

п

: t

в

< t

s

.

Происходит конденсация части паров или пары при отсутствии центров кон-

денсации остаются в термодинамически неустойчивом (пересыщенном со-

стоянии) состоянии.

Рассмотрим основные характеристики влажного воздуха. Все расчеты

влажного воздуха ведут на 1 кг сухого воздуха.

Абсолютная влажность ρ

п

– количество паров воды в 1м

3

влажного

воздуха.

Относительная влажность φ – отношение парциального давления па-

ров воды p

п

к давлению насыщенных паров воды p

s

при данной температуре

воздуха t

в

:

φ = p

п

/p

s

.

Относительная влажность φ меняется от 0 (p

п

= 0, сухой воздух) до 1

(p

п

= p

s

, насыщенный влажный воздух).

Удельное влагосодержание d есть количество паров воды на 1 кг сухо-

го воздуха:

пп пп

вв вв

0,622 .

s

mp p

d

mp pp





 





(34.2)

Удельное влагосодержание насыщенного воздуха (φ = 1)

0,622 .

s

p

d

p





(34.3)

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 34. Тепло- и массоотдача при испарении жидкости в парогазовую среду. Испарение воды в воздух



Тепломассообмен. Курс лекций 267

Молярное влагосодержание d

μ

– отношение количества киломолей во-

дяного пара N

п

к количеству киломолей сухого воздуха N

в

:

ппп

μ

ввв

/

1, 608

/

s

Nm p

dd

Nm pp





  





.

Относительное влагосодержание







s

ss

s

pp

ppp

d















.

При малой относительной влажности φ << 1 φ  .

Температура сухого термометра равна температуре влажного воздуха t

в

.

Температура мокрого термометра t

м

– равновесная температура, ко-

торую принимает датчик в потоке влажного воздуха, когда относительная

влажность на поверхности датчика равна относительной влажности воздуха

(что достигается смачиванием поверхности датчика).

Плотность влажного воздуха ρ

в.п

= ρ

п

+ ρ

в

. Выражая ρ

п

и ρ

в

через пар-

циальные давления p

п

и p

в

, получим:



3

в.п

3, 48 10

0,378

s

pp

T





  

.

Кажущаяся молярная масса μ

в.п

влажного воздуха





в.пппв п

1rr



   ,

где r

п

= φp

s

/р. После преобразований и подстановки значений μ

п

и μ

в

полу-

чим

в.п

28,95 10,93

s

p



 

.

Газовая постоянная

в.п

8314 8314

28,95 10,93 /

s

R

p





.

Энтальпия сухого воздуха, при невысоких температурах и теплоемко-

сти воздуха с

р в

= 1кДж/(кг ·К)

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 34. Тепло- и массоотдача при испарении жидкости в парогазовую среду. Испарение воды в воздух



Тепломассообмен. Курс лекций 268

i

в

= с

р в

t

в

 t

в

.

Удельная энтальпия водяного пара при температуре влажного воздуха t

в

i

п

= r

0

+ с

р п

t

в

,

где r

0

– скрытая теплота парообразования воды при t = 0

o

C; с

р п

– теплоем-

кость паров воды. Принимаем в дальнейшем r

0

=2501 кДж/кг, с

р п

=1,97

кДж/(кг·К).

Для зависимости скрытой теплоты парообразования воды от темпера-

туры используем эмпирическое соотношение

r = 2501 – 2,43t. (34.4)

Удельная энтальпия влажного воздуха i

в.п

рассчитывается на 1 кг сухо-

го воздуха и равна сумме энтальпии 1 кг сухого воздуха h

в

и энтальпии d кг

водяного пара i

п

d:





в.пвп в в

2501 1,97iiidtd t   .

Энтальпия насыщенного влажного воздуха (d = d

s

)





в.пв в

2501 1,97

ss

itd t 

.

Энтальпия пересыщенного влажного воздуха (d > d

s

) с каплями воды









в.пв в в

2501 1,97 4,19

ss s

itd t ddt   

Энтальпия пересыщенного влажного воздуха (d > d

s

) с кристаллами

льда









в.пв в л

2501 1,97

ss s

itd tddi   

,

где

ллл

335 2,1irct t   

– энтальпия льда (теплоту парообразования

льда принимаем отрицательной), кДж/кг.

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 34. Тепло- и массоотдача при испарении жидкости в парогазовую среду. Испарение воды в воздух



Тепломассообмен. Курс лекций 269

И

с

п

а

р

е

н

и

е

в

о

д

ы

.

Т

е

м

п

е

р

а

т

у

р

а

м

о

к

р

о

г

о

т

е

р

м

о

м

е

т

р

а

Так как парциальное давление паров воды в воздухе невелико, то для

расчета массового потока паров с поверхности воды в воздух с температурой

Т

в

можно воспользоваться уравнением



пп

п

iw

j

pp

RT







. (34.5)

Принимая в уравнении (34.2

) для удельного влагосодержания р

в

 р,

получим приближенные выражения для р

пw

и р

п

:









 d

p

pd

p

ww

п

в

п

в

п

;

.

Подставляя эти значения в уравнение (34.5

) и учитывая, что R

п

=

8314/μ

п

, R

в

= 8314/μ

в

, ρ

в

 р/R

в

T, получим:





вiw

j

dd



 

, (34.6)

где d

w

и d



– удельное влагосодержание у испаряющейся поверхности и в ок-

ружающей среде.

Используя выражения для , найдем:



iw

p

j

dd

c







. (34.7)

Определим температуру мокрого термометра t

м

. Используя уравнение

(34.7

), найдем:

mD

R











, (34.8)

где t

м

и t

в

– соответственно, температура «мокрого» (поверхности) и «сухо-

го» (воздуха) термометров; r

м

– скрытая теплота парообразования воды при

температуре t

м

; d

s м

– удельное влагосодержание, соответствующее давлению

насыщения при температуре t

м

.

МОДУЛЬ 5. МАССООТДАЧА

Лекция 34. Тепло- и массоотдача при испарении жидкости в парогазовую среду. Испарение воды в воздух



Тепломассообмен. Курс лекций 270

Записывая последнее уравнение через парциальные давления паров и

подставляя значения μ

в

= 28,95 кг/кмоль, μ

п

= 18 кг/кмоль, с

р

= 1 кДж/(кг·К),

получим:









пw,

п

м

мв

622,0

pp

r

tt

s

. (34.9)

Введем относительную влажность φ = р

п

/ р

s в

, где р

s в

– давление насыщен-

ных паров при температуре воздуха t

в

. После преобразований найдем урав-

нение для относительной влажности:























м

мв

в,

м

мв

м,

622,0

1

622,0

r

tt

p

r

ttp

p

s

. (34.10)

Если приближенно предположить, что в уравнении (34.9

)

ppp





п

, то

получим:





в,

м

мв

м,

622,0

s

p

r

ttp

p





. (34.11)

Из уравнений (34.10

) и (34.11) следует, что при t

м

= t

в

, р

s м

= р

s в

, φ = 100 %.

Используя уравнения (34.1

) и (34.4) для p

s

и r, можно рассчитать пси-

хрометрические таблицы, связывающие относительную влажность воздуха φ

с величиной t

м

и p(t

в

– t

м

).

Испарение в замкнутый объем. В этом случае плотность массового по-

тока m



, удельное влагосодержание d и парциальное давление паров р

п

бу-

дут меняться в процессе испарения. Дадим приближенный вывод уравнения

плотности массового потока паров при испарении воды с поверхности А в

ограниченный объем V при постоянной температуре поверхности. Удельное

влагосодержание паров в воздухе d



в момент времени 

п0 п0

п

0

вв в в

τττ

ρρ

iii

mjAmjA jA

m

dd

mm V V





  

,

где d

0

– начальное удельное влагосодержание паров в воздухе.

р

s в

Лобасова М.С. Тепломассообмен

Подождите немного. Документ загружается.