Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

245

Ðàçäåë V

ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì

íåðàâåíñòâ. Ïóñòü äàíî íåðàâåíñòâî f(x) > g(x), êî-

òîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ îäíîé ïåðå-

ìåííîé. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì

äàííîå íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðà-

âåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà. Ðåøèòü

íåðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé  çíà÷èò íàéòè âñå åãî

ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.

Äâà íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé íàçûâàþòñÿ

ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ðåøåíèÿ ýòèõ íåðàâåíñòâ ñî-

âïàäàþò; â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíû, åñëè

îáà íå èìåþò ðåøåíèé.

Ò.5.1. Åñëè â íåðàâåíñòâå êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå

ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ çíàê

ýòîãî ñëàãàåìîãî íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó-

÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.

Ò.5.2. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,

òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.

Ò.5.3. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî,

èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâî-

ïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëü-

íîå äàííîìó.

245

Ðàçäåë V

ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì

íåðàâåíñòâ. Ïóñòü äàíî íåðàâåíñòâî f(x) > g(x), êî-

òîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ îäíîé ïåðå-

ìåííîé. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì

äàííîå íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðà-

âåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà. Ðåøèòü

íåðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé  çíà÷èò íàéòè âñå åãî

ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.

Äâà íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé íàçûâàþòñÿ

ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ðåøåíèÿ ýòèõ íåðàâåíñòâ ñî-

âïàäàþò; â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíû, åñëè

îáà íå èìåþò ðåøåíèé.

Ò.5.1. Åñëè â íåðàâåíñòâå êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå

ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ çíàê

ýòîãî ñëàãàåìîãî íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó-

÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.

Ò.5.2. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,

òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.

Ò.5.3. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî,

èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâî-

ïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëü-

íîå äàííîìó.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

247246

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâà 6õ < 12 è õ > 2 ðàâíî-

ñèëüíû (îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà 6õ < 12 ìû ðàçäåëè-

ëè íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî 6, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê

< èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà çíàê >).

Ò.5.4. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþ-

ùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé ïîëîæèòåëü-

íûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíî-

ñèëüíîå äàííîìó.

Ò.5.5. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþ-

ùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé îòðèöàòåëü-

íûå çíà÷åíèÿ, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà

íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî,

ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.

182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé

ïåðåìåííîé. Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà

)()( xgxf >

íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé

)(xf=

)(xgy =

è âûáðàòü òå ïðîìåæóòêè îñè àá-

ñöèññ, íà êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè

)(xfy =

ðàñïî-

ëîæåí âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè

).(xgy =

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî

log

x >

q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè

ôóíêöèé

log

(ðèñ. 77). Èç ðèñóíêà

âèäíî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè

log

ðàñïîëîæåí

âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè

ïðè õ > 2. Èòàê,

),2( ¥+

 ðåøåíèå íåðàâåíñòâà. n

183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé.

Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà

bax >

èëè

baxbaxbax £³< ,,

. Åñëè à > 0, òî íåðàâåíñòâî

bax >

ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó

x >

ò. å. ìíî-

æåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü ïðîìåæóòîê

¥+

Åñëè æå à < 0, òî íåðàâåíñòâî

bax >

ðàâ-

íîñèëüíî íåðàâåíñòâó

x <

, ïîýòîìó ìíîæåñòâîì

Ðèñ. 77

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

247246

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâà 6õ < 12 è õ > 2 ðàâíî-

ñèëüíû (îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà 6õ < 12 ìû ðàçäåëè-

ëè íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî 6, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê

< èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà çíàê >).

Ò.5.4. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþ-

ùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé ïîëîæèòåëü-

íûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíî-

ñèëüíîå äàííîìó.

Ò.5.5. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè

ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþ-

ùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé îòðèöàòåëü-

íûå çíà÷åíèÿ, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà

íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî,

ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.

182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé

ïåðåìåííîé. Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà

)()( xgxf >

íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé

)(xf=

)(xgy =

è âûáðàòü òå ïðîìåæóòêè îñè àá-

ñöèññ, íà êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè

)(xfy =

ðàñïî-

ëîæåí âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè

).(xgy =

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî

log

x >

q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè

ôóíêöèé

log

(ðèñ. 77). Èç ðèñóíêà

âèäíî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè

log

ðàñïîëîæåí

âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè

ïðè õ > 2. Èòàê,

),2( ¥+

 ðåøåíèå íåðàâåíñòâà. n

183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé.

Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà

bax >

èëè

baxbaxbax £³< ,,

. Åñëè à > 0, òî íåðàâåíñòâî

bax >

ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó

x >

ò. å. ìíî-

æåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü ïðîìåæóòîê

¥+

Åñëè æå à < 0, òî íåðàâåíñòâî

bax >

ðàâ-

íîñèëüíî íåðàâåíñòâó

x <

, ïîýòîìó ìíîæåñòâîì

Ðèñ. 77

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

249248

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê

¥-

Íàêîíåö, åñëè à = 0, òî íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä

,0 bx >×

ò. å. îíî íå èìååò ðåøåíèé â ñëó÷àå, êîãäà

,0³b

è âåðíî ïðè ëþáûõ õ â ñëó÷àå, êîãäà

.0<b

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

).52(7)1(5)3(2 -³-+- xxx

q Ðàñêðûâ ñêîáêè è óïðîùàÿ, èìååì

;35145562 -³-+-- xxx ;135143 +-³-- xx

.3417 -³- x

(1)

Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî çàäàííîìó. Ðàçäåëèâ

òåïåðü îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1) íà îòðèöàòåëüíîå

÷èñëî 17 è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì íå-

ðàâåíñòâî

,2£x

ðàâíîñèëüíîå (1). Èòàê,

]2,( ¥-



ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà. n

184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé.

Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåí-

íîé îáðàçóþò ñèñòåìó, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè

âñå îáùèå ðåøåíèÿ çàäàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå

ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîé êàæäîå íåðàâåíñòâî ñèñòå-

ìû îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçû-

âàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ

->+

.4713

,1325

q Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ïðåîáðàçóåòñÿ â

ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî õ > 1,5, à âòîðîå  â

íåðàâåíñòâî õ < 1,25. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâî-

äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû

.25,1

,5,1

Ñ ïîìîùüþ

êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 78) íàõîäèì, ÷òî èñêî-

ìîå ìíîæåñòâî åñòü èíòåðâàë (1,5; 1,25). n

185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåí-

íîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïå-

ðåìåííîé îáðàçóþò ñîâîêóïíîñòü, åñëè ñòàâèòñÿ çà-

äà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå

èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì õîòÿ áû îäíîãî èç

äàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êî-

òîðîì õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ, îáðàçóþùèõ ñî-

âîêóïíîñòü, îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåí-

ñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè íåðà-

âåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ

;

103

32 xxxx

q Ïðåîáðàçîâàâ êàæäîå èç íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì

ñîâîêóïíîñòü, ðàâíîñèëüíóþ çàäàííîé:

.8,0;4 << xx

Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 79) óñòàíàâ-

ëèâàåì, ÷òî ðåøåíèåì çàäàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëó-

æèò ïðîìåæóòîê

).4,(-¥

Ðèñ. 78 Ðèñ. 79

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

249248

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê

¥-

Íàêîíåö, åñëè à = 0, òî íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä

,0 bx >×

ò. å. îíî íå èìååò ðåøåíèé â ñëó÷àå, êîãäà

,0³b

è âåðíî ïðè ëþáûõ õ â ñëó÷àå, êîãäà

.0<b

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

).52(7)1(5)3(2 -³-+- xxx

q Ðàñêðûâ ñêîáêè è óïðîùàÿ, èìååì

;35145562 -³-+-- xxx ;135143 +-³-- xx

.3417 -³- x

(1)

Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî çàäàííîìó. Ðàçäåëèâ

òåïåðü îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1) íà îòðèöàòåëüíîå

÷èñëî 17 è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì íå-

ðàâåíñòâî

,2£x

ðàâíîñèëüíîå (1). Èòàê,

]2,( ¥-



ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà. n

184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé.

Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåí-

íîé îáðàçóþò ñèñòåìó, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè

âñå îáùèå ðåøåíèÿ çàäàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå

ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîé êàæäîå íåðàâåíñòâî ñèñòå-

ìû îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçû-

âàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ

->+

.4713

,1325

q Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ïðåîáðàçóåòñÿ â

ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî õ > 1,5, à âòîðîå  â

íåðàâåíñòâî õ < 1,25. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâî-

äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû

.25,1

,5,1

Ñ ïîìîùüþ

êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 78) íàõîäèì, ÷òî èñêî-

ìîå ìíîæåñòâî åñòü èíòåðâàë (1,5; 1,25). n

185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåí-

íîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïå-

ðåìåííîé îáðàçóþò ñîâîêóïíîñòü, åñëè ñòàâèòñÿ çà-

äà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå

èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì õîòÿ áû îäíîãî èç

äàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êî-

òîðîì õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ, îáðàçóþùèõ ñî-

âîêóïíîñòü, îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåí-

ñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè íåðà-

âåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ

;

103

32 xxxx

q Ïðåîáðàçîâàâ êàæäîå èç íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì

ñîâîêóïíîñòü, ðàâíîñèëüíóþ çàäàííîé:

.8,0;4 << xx

Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 79) óñòàíàâ-

ëèâàåì, ÷òî ðåøåíèåì çàäàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëó-

æèò ïðîìåæóòîê

).4,(-¥

Ðèñ. 78 Ðèñ. 79

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

251250

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Çäåñü ðå÷ü

èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà

dcx

bax

èëè

dcx

bax

ãäå

.0,0 ¹¹ ca

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

q Èìååì

,05

351073

+-+

427

Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà 1

è èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì

427

Äðîáü îòðèöàòåëüíà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè ÷èñ-

ëèòåëü îòðèöàòåëåí, à çíàìåíàòåëü ïîëîæèòåëåí;

2) åñëè ÷èñëèòåëü ïîëîæèòåëåí, à çíàìåíàòåëü îò-

ðèöàòåëåí. Çíà÷èò, ïîëó÷àåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì

íåðàâåíñòâ

;072

,0427

.072

,0427

Èç ïåðâîé íàõîäèì õ < 6, x > 3,5, ò. å. 3,5 < x < 6.

Èç âòîðîé íàõîäèì x > 6, x < 3,5, ò. å. ñèñòåìà íå

èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííî-

ãî íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (3,5; 6). n

187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè. Çäåñü ðå÷ü èäåò

î íåðàâåíñòâàõ âèäà

>++ cbxax èëè

++ bxax

,0<+c

ãäå

.0¹a

Ò.5.6. Åñëè äèñêðèìèíàíò

acbD 4

êâàäðàòíî-

ãî òðåõ÷ëåíà

cbxax ++

îòðèöàòåëåí, à ñòàð-

øèé êîýôôèöèåíò à ïîëîæèòåëåí, òî ïðè âñåõ çíà-

÷åíèÿõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

>++ cbxax

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà

.0³D

Äëÿ ðå-

øåíèÿ íåðàâåíñòâà

>++ cbxax

(èëè

++ bxax

0<+c

) íóæíî ðàçëîæèòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí

cbxax ++

íà ìíîæèòåëè ïî ôîðìóëå

++ bxax

)

(

)

(

xxxxac --=+

(ñì. ï. 60), çàòåì ðàçäåëèòü

îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà

0))((

>-- xxxxa (èëè

0))((

<-- xxxxa

)íà ÷èñëî à, ñîõðàíèâ çíàê íåðà-

âåíñòâà, åñëè

,0>a

è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà íà

ïðîòèâîïîëîæíûé, åñëè

0<a

(ñì. ï.181), ò. å.

ïåðåéòè ê íåðàâåíñòâó

)

(

)

(

>-- xxxx

(èëè

0)()(

<-- xxxx

). Òåïåðü îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòü-

ñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíî

(îòðèöàòåëüíî), åñëè ìíîæèòåëè èìåþò îäèíàêîâûå

(ðàçíûå) çíàêè.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

++ xx 52

2 > 0; á)

.235

xx ³-

q à) Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà

.252

++ xx

Èç óðàâíåíèÿ

0252

=++ xx ïîëó÷à-

åì

-=x

.5,0

-=x

Ïîýòîìó,

=++ 252

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

251250

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Çäåñü ðå÷ü

èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà

dcx

bax

èëè

dcx

bax

ãäå

.0,0 ¹¹ ca

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

q Èìååì

,05

351073

+-+

427

Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà 1

è èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì

427

Äðîáü îòðèöàòåëüíà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè ÷èñ-

ëèòåëü îòðèöàòåëåí, à çíàìåíàòåëü ïîëîæèòåëåí;

2) åñëè ÷èñëèòåëü ïîëîæèòåëåí, à çíàìåíàòåëü îò-

ðèöàòåëåí. Çíà÷èò, ïîëó÷àåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì

íåðàâåíñòâ

;072

,0427

.072

,0427

Èç ïåðâîé íàõîäèì õ < 6, x > 3,5, ò. å. 3,5 < x < 6.

Èç âòîðîé íàõîäèì x > 6, x < 3,5, ò. å. ñèñòåìà íå

èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííî-

ãî íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (3,5; 6). n

187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè. Çäåñü ðå÷ü èäåò

î íåðàâåíñòâàõ âèäà

>++ cbxax èëè

++ bxax

,0<+c

ãäå

.0¹a

Ò.5.6. Åñëè äèñêðèìèíàíò

acbD 4

êâàäðàòíî-

ãî òðåõ÷ëåíà

cbxax ++

îòðèöàòåëåí, à ñòàð-

øèé êîýôôèöèåíò à ïîëîæèòåëåí, òî ïðè âñåõ çíà-

÷åíèÿõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

>++ cbxax

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà

.0³D

Äëÿ ðå-

øåíèÿ íåðàâåíñòâà

>++ cbxax

(èëè

++ bxax

0<+c

) íóæíî ðàçëîæèòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí

cbxax ++

íà ìíîæèòåëè ïî ôîðìóëå

++ bxax

)

(

)

(

xxxxac --=+

(ñì. ï. 60), çàòåì ðàçäåëèòü

îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà

0))((

>-- xxxxa (èëè

0))((

<-- xxxxa

)íà ÷èñëî à, ñîõðàíèâ çíàê íåðà-

âåíñòâà, åñëè

,0>a

è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà íà

ïðîòèâîïîëîæíûé, åñëè

0<a

(ñì. ï.181), ò. å.

ïåðåéòè ê íåðàâåíñòâó

)

(

)

(

>-- xxxx

(èëè

0)()(

<-- xxxx

). Òåïåðü îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòü-

ñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíî

(îòðèöàòåëüíî), åñëè ìíîæèòåëè èìåþò îäèíàêîâûå

(ðàçíûå) çíàêè.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

++ xx 52

2 > 0; á)

.235

xx ³-

q à) Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà

.252

++ xx

Èç óðàâíåíèÿ

0252

=++ xx ïîëó÷à-

åì

-=x

.5,0

-=x

Ïîýòîìó,

=++ 252

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

253252

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

),5,0()2(2 ++= xx

è ìû ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó

,0)5,0()2(2 >++ xx

îòêóäà

.0)5,0()2( >++ xx

Çíà-

÷èò, âûðàæåíèÿ

2+x

äîëæíû èìåòü îäèíà-

êîâûå çíàêè, ò. å.

05,0

,02

èëè

.05,0

,02

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì, ÷òî

,5,0->x

à èç

âòîðîé  ÷òî

.2-<x

Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê:

).;5,0()2,( ¥+---¥ 7

á) Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî ê âèäó

-+ xx 32

.05 £-

Êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà

532

-+ xx

òàêîâû:

.1,5,2

=-= xx Ðàçëîæèâ òðåõ÷ëåí íà ìíî-

æèòåëè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

,0)1()5,2(2 £-+ xx

ò. å.

.0)1()5,2( £-+ xx

Îò ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà

ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì:

³-

£+

;01

,05,2

£-

³+

.01

,05,2

Ïåðâàÿ íå èìååò ðåøåíèé, à èç âòîðîé íàõîäèì

.15,2 ££- x

188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé

ñòåïåíè. Ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè y = ax

+ bx + ñ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâëå-

íû ââåðõ, åñëè

,0>a

è âíèç, åñëè

.0<a

Ïðè ýòîì

âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü Îõ

(ò. å. óðàâíåíèå

=++ cbxax

èìååò äâà ðàçëè÷-

íûõ êîðíÿ); ïàðàáîëà èìååò âåðøèíó íà îñè Îõ

(ò. å. óðàâíåíèå

=++ cbxax

èìååò îäèí êîðåíü);

ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ (ò. å. óðàâíåíèå

=++ cbxax

íå èìååò êîðíåé). Òàêèì îáðàçîì,

âîçìîæíû øåñòü ïîëîæåíèé ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðà-

ôèêîì ôóíêöèè

cbxaxy ++=

îòíîñèòåëüíî îñè

Îõ,  îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 80 è 81.

à)

á) â)

à) á)

â)

Ðèñ. 80

Ðèñ. 81

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

253252

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

),5,0()2(2 ++= xx

è ìû ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó

,0)5,0()2(2 >++ xx

îòêóäà

.0)5,0()2( >++ xx

Çíà-

÷èò, âûðàæåíèÿ

2+x

äîëæíû èìåòü îäèíà-

êîâûå çíàêè, ò. å.

05,0

,02

èëè

.05,0

,02

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì, ÷òî

,5,0->x

à èç

âòîðîé  ÷òî

.2-<x

Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê:

).;5,0()2,( ¥+---¥ 7

á) Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî ê âèäó

-+ xx 32

.05 £-

Êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà

532

-+ xx

òàêîâû:

.1,5,2

=-= xx Ðàçëîæèâ òðåõ÷ëåí íà ìíî-

æèòåëè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

,0)1()5,2(2 £-+ xx

ò. å.

.0)1()5,2( £-+ xx

Îò ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà

ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì:

³-

£+

;01

,05,2

£-

³+

.01

,05,2

Ïåðâàÿ íå èìååò ðåøåíèé, à èç âòîðîé íàõîäèì

.15,2 ££- x

188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé

ñòåïåíè. Ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè y = ax

+ bx + ñ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâëå-

íû ââåðõ, åñëè

,0>a

è âíèç, åñëè

.0<a

Ïðè ýòîì

âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü Îõ

(ò. å. óðàâíåíèå

=++ cbxax

èìååò äâà ðàçëè÷-

íûõ êîðíÿ); ïàðàáîëà èìååò âåðøèíó íà îñè Îõ

(ò. å. óðàâíåíèå

=++ cbxax

èìååò îäèí êîðåíü);

ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ (ò. å. óðàâíåíèå

=++ cbxax

íå èìååò êîðíåé). Òàêèì îáðàçîì,

âîçìîæíû øåñòü ïîëîæåíèé ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðà-

ôèêîì ôóíêöèè

cbxaxy ++=

îòíîñèòåëüíî îñè

Îõ,  îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 80 è 81.

à)

á) â)

à) á)

â)

Ðèñ. 80

Ðèñ. 81