Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
275274
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
ëè÷íà îò íóëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç ÷åòû-
ðåõ öèôð ðàâíî
!4
4
=P
è ñðåäè íèõ
!3
3
=P
ïåðå-
ñòàíîâîê íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, òî èñêîìîå êîëè÷åñòâî
ðàâíî 4! 3! = 3 · 3! = 1 · 2 · 3 · 3 = 18. n
Ï ð è ì å ð 2. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî
íàíèçàòü íà íèòü 4 çåëåíûõ, 5 ñèíèõ è 6 êðàñíûõ
áóñ?
q Çäåñü ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ïåðåñòàíî-
âîê ñ ïîâòîðåíèÿìè, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
k
1
= 4 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà (çåëåíûõ áóñ), k
2
= 5
ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà (ñèíèõ áóñ) è k
3
= 6 ýëåìåí-
òîâ òðåòüåãî òèïà (êðàñíûõ áóñ). Èñïîëüçóÿ ôîðìó-
ëó (2), íàõîäèì
.630630
!6!5!4
!15
!6!5!4
)
!654
(
)
6,5,4
(
==
++
=P
n
202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê
Ïàñêàëÿ. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáè-
íàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ
n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïî êðàé-
íåé ìåðå îäíèì ýëåìåíòîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ñî÷åòàíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé
â êîìáèíàöèþ, ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìï-
ëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 4
ýëåìåíòîâ
dcba ,,,
ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû:
cdbdbcadacab ,,,,,
);
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿ-
ùèé â êîìáèíàöèþ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå
÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ ñ ïî-
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ïåðåñòàíîâîê:
à) áåç ïîâòîðåíèé êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåì-
ïëÿðîì (íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c òàêîâû:
,,,, bcabacacbabc
cbacab,
);
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (çàïèøåì, íàïðèìåð, âñå ïåðå-
ñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè èç ýëåìåíòîâ a è b òà-
êèå, ÷òî ýëåìåíò à ïîâòîðÿåòñÿ òðèæäû, à ýëåìåíò
b äâàæäû:
,,,,, ababaabaabaabbaaababaaabb
bbaaababaabaababaaababbaa ,,,,
).
×èñëî ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåí-
òîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
,!nP
n
=
(1)
à ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿ-
ìè, ñîäåðæàùèõ k
1
ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k
2
ýëå-
ìåíòîâ âòîðîãî òèïà,..., k
n
ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà, ïî
ôîðìóëå
,
!!...!
)
!...
(
)
,...,,
(
21
21
21
n
n
n
kkk
kkk
kkkP
+++
=
(2)
ãäå
....
21
nkkk
n
=+++
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ
÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
öèôð 0, 1, 2, 3, åñëè êàæäàÿ öèôðà â èçîáðàæåíèè
÷èñëà âñòðå÷àåòñÿ îäèí ðàç.
q Êàæäîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç
óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåñòà-
íîâêó èç öèôð 0, 1, 2, 3, â êîòîðîé ïåðâàÿ öèôðà îò-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
275274
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
ëè÷íà îò íóëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç ÷åòû-
ðåõ öèôð ðàâíî
!4
4
=P
è ñðåäè íèõ
!3
3
=P
ïåðå-
ñòàíîâîê íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, òî èñêîìîå êîëè÷åñòâî
ðàâíî 4! 3! = 3 · 3! = 1 · 2 · 3 · 3 = 18. n
Ï ð è ì å ð 2. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî
íàíèçàòü íà íèòü 4 çåëåíûõ, 5 ñèíèõ è 6 êðàñíûõ
áóñ?
q Çäåñü ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ïåðåñòàíî-
âîê ñ ïîâòîðåíèÿìè, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
k
1
= 4 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà (çåëåíûõ áóñ), k
2
= 5
ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà (ñèíèõ áóñ) è k
3
= 6 ýëåìåí-
òîâ òðåòüåãî òèïà (êðàñíûõ áóñ). Èñïîëüçóÿ ôîðìó-
ëó (2), íàõîäèì
.630630
!6!5!4
!15
!6!5!4
)
!654
(
)
6,5,4
(
==
++
=P
n
202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê
Ïàñêàëÿ. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáè-
íàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ
n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïî êðàé-
íåé ìåðå îäíèì ýëåìåíòîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ñî÷åòàíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé
â êîìáèíàöèþ, ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìï-
ëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 4
ýëåìåíòîâ
dcba ,,,
ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû:
cdbdbcadacab ,,,,,
);
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿ-
ùèé â êîìáèíàöèþ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå
÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ ñ ïî-
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ïåðåñòàíîâîê:
à) áåç ïîâòîðåíèé êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåì-
ïëÿðîì (íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c òàêîâû:
,,,, bcabacacbabc
cbacab,
);
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (çàïèøåì, íàïðèìåð, âñå ïåðå-
ñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè èç ýëåìåíòîâ a è b òà-
êèå, ÷òî ýëåìåíò à ïîâòîðÿåòñÿ òðèæäû, à ýëåìåíò
b äâàæäû:
,,,,, ababaabaabaabbaaababaaabb
bbaaababaabaababaaababbaa ,,,,
).
×èñëî ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåí-
òîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
,!nP
n
=
(1)
à ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿ-
ìè, ñîäåðæàùèõ k
1
ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k
2
ýëå-
ìåíòîâ âòîðîãî òèïà,..., k
n
ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà, ïî
ôîðìóëå
,
!!...!
)
!...
(
)
,...,,
(
21
21
21
n
n
n
kkk
kkk
kkkP
+++
=
(2)
ãäå
....
21
nkkk
n
=+++
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ
÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
öèôð 0, 1, 2, 3, åñëè êàæäàÿ öèôðà â èçîáðàæåíèè
÷èñëà âñòðå÷àåòñÿ îäèí ðàç.
q Êàæäîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç
óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåñòà-
íîâêó èç öèôð 0, 1, 2, 3, â êîòîðîé ïåðâàÿ öèôðà îò-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
277276
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
q Çäåñü íóæíî íàéòè ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ êîì-
áèíàöèé ïî 9 ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç òðåõ äàííûõ ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû
â êàæäîé êîìáèíàöèè ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, à ñàìè êîì-
áèíàöèè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà õîòÿ áû îäíèì
ýëåìåíòîì. Çíà÷èò, ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñ-
ëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç òðåõ ýëåìåíòîâ ïî
9. Êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ íàáîðîâ íàéäåì ïî ôîð-
ìóëå (2):
.55
2
1011
~
2
11
9
11
9
3
=
×
=== CCC
n
Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (4) ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëè-
öó äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé (áåç ïîâòîðå-
íèé)
k
n
C
~
ïðè n = 2, 3, 4,... . Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî
.1,1
~
00
0
===
n
nn
CCC
à
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4),
íàõîäèì
;1,211,1
2
2
1
1
0
1
1
2
0
2
==+=+== CCCCC
,321,1
1
2
0
2
1
3
0
3
=+=+== CCCC
.1,312
3
3
2
2
1
2
2
2
==+=+=
CCCC
Ðàñïîëîæèì íàéäåííûå ÷èñëà â âèäå òðåóãîëüíîé
òàáëèöû, êîòîðóþ ñîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
âòîðåíèÿìè èç n = 4 ýëåìåíòîâ
dcba ,,,
ïî k = 2
ýëåìåíòà òàêîâû:
,,,,,,,,, cdccbdbcbbadacabaa
;dd
ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ à,
b ïî k = 4 ýëåìåíòà òàêîâû:
bbbbabbbababaaaa ,,,
).
×èñëî ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
,
!
)
!
(
!
kkn
n
P
A
C
k
k
n
k
n
-
==
ãäå
,1,
0
=£
n
Cnk
(1)
à ÷èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî
k ýëåìåíòîâ ïî ôîðìóëå
.
)
!1
(
!
!
)
1
(
~
1
11
-
-+
===
-
-+-+
nk
kn
CCC
n
kn
k
kn
k
n
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷èñëà ñî÷åòà-
íèé áåç ïîâòîðåíèé:
;
kn
n
k
n
CC
-
=
(3)
.
1
1
1
+
+
+
=+
k
n
k
n
k
n
CCC
(4)
Ï ð è ì å ð 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èç äåñÿòè
÷åëîâåê ìîæíî èçáðàòü êîìèññèþ, ñîñòîÿùóþ èç ÷å-
òûðåõ ÷ëåíîâ?
q Èñêîìîå êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàâíî ÷èñëó ñî-
÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç äåñÿòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
ïîëó÷èì
.210
!4!6
!10
4
10
==C
n
Ï ð è ì å ð 2. Â êîíäèòåðñêîì îòäåëå ïðîäàþòñÿ
òðè ñîðòà ïèðîæíûõ: áåçå, ýêëåðû è áèñêâèòû. Ñêîëü-
êî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïî 9 ïèðî-
æíûõ â êàæäîì?
0
0
C
0
1
C
1
1
C
0
2
C
1
2
C
2
2
C
0
3
C
1
3
C
2
3
C
3
3
C
1
1
121
1
3311
, ò. å.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
277276
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
q Çäåñü íóæíî íàéòè ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ êîì-
áèíàöèé ïî 9 ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç òðåõ äàííûõ ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû
â êàæäîé êîìáèíàöèè ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, à ñàìè êîì-
áèíàöèè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà õîòÿ áû îäíèì
ýëåìåíòîì. Çíà÷èò, ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñ-
ëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç òðåõ ýëåìåíòîâ ïî
9. Êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ íàáîðîâ íàéäåì ïî ôîð-
ìóëå (2):
.55
2
1011
~
2
11
9
11
9
3
=
×
=== CCC
n
Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (4) ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëè-
öó äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé (áåç ïîâòîðå-
íèé)
k
n
C
~
ïðè n = 2, 3, 4,... . Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî
.1,1
~
00
0
===
n
nn
CCC
à
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4),
íàõîäèì
;1,211,1
2
2
1
1
0
1
1
2
0
2
==+=+== CCCCC
,321,1
1
2
0
2
1
3
0
3
=+=+== CCCC
.1,312
3
3
2
2
1
2
2
2
==+=+=
CCCC
Ðàñïîëîæèì íàéäåííûå ÷èñëà â âèäå òðåóãîëüíîé
òàáëèöû, êîòîðóþ ñîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
âòîðåíèÿìè èç n = 4 ýëåìåíòîâ
dcba ,,,
ïî k = 2
ýëåìåíòà òàêîâû:
,,,,,,,,, cdccbdbcbbadacabaa
;dd
ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ à,
b ïî k = 4 ýëåìåíòà òàêîâû:
bbbbabbbababaaaa ,,,
).
×èñëî ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
,
!
)
!
(
!
kkn
n
P
A
C
k
k
n
k
n
-
==
ãäå
,1,
0
=£
n
Cnk
(1)
à ÷èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî
k ýëåìåíòîâ ïî ôîðìóëå
.
)
!1
(
!
!
)
1
(
~
1
11
-
-+
===
-
-+-+
nk
kn
CCC
n
kn
k
kn
k
n
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷èñëà ñî÷åòà-
íèé áåç ïîâòîðåíèé:
;
kn
n
k
n
CC
-
=
(3)
.
1
1
1
+
+
+
=+
k
n
k
n
k
n
CCC
(4)
Ï ð è ì å ð 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èç äåñÿòè
÷åëîâåê ìîæíî èçáðàòü êîìèññèþ, ñîñòîÿùóþ èç ÷å-
òûðåõ ÷ëåíîâ?
q Èñêîìîå êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàâíî ÷èñëó ñî-
÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç äåñÿòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
ïîëó÷èì
.210
!4!6
!10
4
10
==C
n
Ï ð è ì å ð 2. Â êîíäèòåðñêîì îòäåëå ïðîäàþòñÿ
òðè ñîðòà ïèðîæíûõ: áåçå, ýêëåðû è áèñêâèòû. Ñêîëü-
êî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïî 9 ïèðî-
æíûõ â êàæäîì?
0
0
C
0
1
C
1
1
C
0
2
C
1
2
C
2
2
C
0
3
C
1
3
C
2
3
C
3
3
C
1
1
121
1
3311
, ò. å.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
ÀËÃÅÁÐÀ
279278
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
=++=+
34
)()()(
bababa
.464
432234
babbabaa ++++=
Ïîäìå÷àåì ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü: ïðè âîç-
âåäåíèè áèíîìà â ñòåïåíü n â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû
ïîëó÷àåòñÿ ñóììà n + 1 ñëàãàåìûõ, ïðè÷åì êàæäîå
èç íèõ ñîäåðæèò ìíîæèòåëè à è b â ñòåïåíÿõ, ñóììà
ïîêàçàòåëåé êîòîðûõ ðàâíà ñòåïåíè áèíîìà . Ïîêàçà-
òåëè ïðè à ïîñëåäîâàòåëüíî óáûâàþò îò n äî íóëÿ, à
ïîêàçàòåëè ïðè b ïîñëåäîâàòåëüíî âîçðàñòàþò îò íóëÿ
äî n. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ à è b â ðàçëîæå-
íèè (à + b)
n
íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè. Ëåãêî
çàìåòèòü, ÷òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæå-
íèÿ (à + b)
n
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç
n ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïî íóëþ, îäíî-
ìó, äâóì, ..., n ýëåìåíòàì (íàïðèìåð, â ðàçëîæåíèè
(à + b)
4
èìååì
1,4,6,4,1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
===== CCCCC
).
Ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îáùåé ôîðìóëû áè-
íîìà Íüþòîíà:
...
)
(
22211
+++=+
--
baCbaCaba
n
n
n
n
nn
.......
11
nnn
n
kknk
n
babCbaC
++++
---
(1)
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü ðàçëîæåíèå
.2
1
5
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ x
x
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïðè
5,2,
1
2
=== nxb
x
a
ïîëó÷èì
+×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
22
3
2
455
2
)2(
1
102
1
5
1
2
1
x
x
x
xx
x
x
ßñíî, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñòðîêà ýòîé òàáëèöû ñîäåð-
æèò ÷èñëà
.,,,,
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
CCCCC
Êðàéíèå ÷ëåíû ýòîé
ñòðîêè ðàâíû 1, à êàæäûé èç îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ ðà-
âåí ñóììå äâóõ ðàñïîëîæåííûõ íàä íèì ÷ëåíîâ ïðå-
äûäóùåé ñòðîêè. Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àþòñÿ è îñòàëü-
íûå ñòðîêè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåóãîëüíóþ òàá-
ëèöó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì Ïàñêàëÿ:
1
1
121
1
3311
64141
15101051
Ïðè ýòîì n-ÿ ñòðîêà òàáëèöû ñîñòîèò èç ÷èñåë
.,...,,,
210
n
nnnn
CCCC
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
203. Áèíîì Íüþòîíà. Ðàíåå (ñì. ï. 62) óæå áûëà
ïðèâåäåíà ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà. Çäåñü ìû ðàñ-
ñìîòðèì åå áîëåå ïîäðîáíî. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ
äëÿ
n
ba
)( +
ïðè
:4,3,2,1=n
;)(
1
baba +=+
;2)(
222
bababa ++=+
;33)(
32233
babbaaba +++=+
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
ÀËÃÅÁÐÀ
279278
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
=++=+
34
)()()(
bababa
.464
432234
babbabaa ++++=
Ïîäìå÷àåì ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü: ïðè âîç-
âåäåíèè áèíîìà â ñòåïåíü n â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû
ïîëó÷àåòñÿ ñóììà n + 1 ñëàãàåìûõ, ïðè÷åì êàæäîå
èç íèõ ñîäåðæèò ìíîæèòåëè à è b â ñòåïåíÿõ, ñóììà
ïîêàçàòåëåé êîòîðûõ ðàâíà ñòåïåíè áèíîìà . Ïîêàçà-
òåëè ïðè à ïîñëåäîâàòåëüíî óáûâàþò îò n äî íóëÿ, à
ïîêàçàòåëè ïðè b ïîñëåäîâàòåëüíî âîçðàñòàþò îò íóëÿ
äî n. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ à è b â ðàçëîæå-
íèè (à + b)
n
íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè. Ëåãêî
çàìåòèòü, ÷òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæå-
íèÿ (à + b)
n
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç
n ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïî íóëþ, îäíî-
ìó, äâóì, ..., n ýëåìåíòàì (íàïðèìåð, â ðàçëîæåíèè
(à + b)
4
èìååì
1,4,6,4,1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
===== CCCCC
).
Ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îáùåé ôîðìóëû áè-
íîìà Íüþòîíà:
...
)
(
22211
+++=+
--
baCbaCaba
n
n
n
n
nn
.......
11
nnn
n
kknk
n
babCbaC
++++
---
(1)
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü ðàçëîæåíèå
.2
1
5
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ x
x
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïðè
5,2,
1
2
=== nxb
x
a
ïîëó÷èì
+×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
22
3
2
455
2
)2(
1
102
1
5
1
2
1
x
x
x
xx
x
x
ßñíî, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñòðîêà ýòîé òàáëèöû ñîäåð-
æèò ÷èñëà
.,,,,
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
CCCCC
Êðàéíèå ÷ëåíû ýòîé
ñòðîêè ðàâíû 1, à êàæäûé èç îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ ðà-
âåí ñóììå äâóõ ðàñïîëîæåííûõ íàä íèì ÷ëåíîâ ïðå-
äûäóùåé ñòðîêè. Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àþòñÿ è îñòàëü-
íûå ñòðîêè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåóãîëüíóþ òàá-
ëèöó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì Ïàñêàëÿ:
1
1
121
1
3311
64141
15101051
Ïðè ýòîì n-ÿ ñòðîêà òàáëèöû ñîñòîèò èç ÷èñåë
.,...,,,
210
n
nnnn
CCCC
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
203. Áèíîì Íüþòîíà. Ðàíåå (ñì. ï. 62) óæå áûëà
ïðèâåäåíà ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà. Çäåñü ìû ðàñ-
ñìîòðèì åå áîëåå ïîäðîáíî. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ
äëÿ
n
ba
)( +
ïðè
:4,3,2,1=n
;)(
1
baba +=+
;2)(
222
bababa ++=+
;33)(
32233
babbaaba +++=+
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
ÀËÃÅÁÐÀ
281280
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
.924
123456
789101112
!6!6
!12
)
!612
(
!6
!12
3
12
=
×××××
×××××
==
-
=C
n
Ï ð è ì å ð 2. Â ðàçëîæåíèè
15
3
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
z
z
íàéòè
÷ëåí, íå ñîäåðæàùèé z.
q Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1), çàïèøåì îáùèé ÷ëåí
ðàçëîæåíèÿ
.
)
2
(
2
32
15
15
3
1
15
2
1
151
kk
kk
kk
k
k
zCzzCT
-
-
-
-
+
-=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
Ïðèðàâíÿâ íóëþ ïîêàçàòåëü ïðè z â âûðàæåíèè
,
1
+k
T
íàéäåì k:
.9;02345;0
32
15
==--=-
-
kkk
kk
Èòàê, z íå ñîäåðæèò 10-é ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ; îí
ðàâåí
.56056225125005
)
2
(
99
1519
-=×-=-=
+
CT
n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè íàèáîëüøèé áèíîìèàëü-
íûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ
,
1
n
n
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
åñëè ïðî-
èçâåäåíèå ÷åòâåðòîãî îò íà÷àëà è ÷åòâåðòîãî îò êîí-
öà ñëàãàåìûõ ðàâíî 14 400.
q ×åòâåðòîå ñëàãàåìîå îò íà÷àëà èìååò âèä
=
4
T
,
1
3
33
n
nC
n
n
×=
-
à ÷åòâåðòîå îò êîíöà âèä
=
-2n
T
=+×+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
524232
2
)2()2(
1
5)2(
1
10
xx
x
x
x
.32808040
101
1074
25
xxxx
xx
+++++=
n
204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà.
1
0
. ×èñëî âñåõ ñëàãàåìûõ ðàçëîæåíèÿ ðàâíî
n + 1.
2
0
. Îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ èìååò âèä
,
1
kknk
nk
baCT
-
+
=
(1)
ãäå
.,...,2,1,0 nk =
3
0
. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîí-
öîâ ðàçëîæåíèÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
4
0
. Ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ðàâíà 2
n
.
5
0
. Ñóììà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ
íà ÷åòíûõ ìåñòàõ, ðàâíà ñóììå áèíîìèàëüíûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà íå÷åòíûõ ìåñòàõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè íàèáîëüøèé êîýôôèöèåíò
ðàçëîæåíèÿ
,)(
n
ba
+
åñëè ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ
êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 4096.
q Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 4
0
, ñóììà âñåõ áèíîìèàëü-
íûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà
,2
n
îòêóäà ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå
,40962 =
n
ò. å.
.22
12
=
n
Çíà÷èò, n = 12.
Òàê êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè áèíîìà, ðàâíûé 12,
÷åòíîå ÷èñëî, òî íàèáîëüøèì áèíîìèàëüíûì êîýô-
ôèöèåíòîì ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò ïðè ñðåäíåì
(ò. å. 6-ì) ÷ëåíå. Èòàê, ýòîò êîýôôèöèåíò ðàâåí
Ñ
6
12
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
ÀËÃÅÁÐÀ
281280
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
C
k
n
.924
123456
789101112
!6!6
!12
)
!612
(
!6
!12
3
12
=
×××××
×××××
==
-
=C
n
Ï ð è ì å ð 2. Â ðàçëîæåíèè
15
3
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
z
z
íàéòè
÷ëåí, íå ñîäåðæàùèé z.
q Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1), çàïèøåì îáùèé ÷ëåí
ðàçëîæåíèÿ
.
)
2
(
2
32
15
15
3
1
15
2
1
151
kk
kk
kk
k
k
zCzzCT
-
-
-
-
+
-=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
Ïðèðàâíÿâ íóëþ ïîêàçàòåëü ïðè z â âûðàæåíèè
,
1
+k
T
íàéäåì k:
.9;02345;0
32
15
==--=-
-
kkk
kk
Èòàê, z íå ñîäåðæèò 10-é ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ; îí
ðàâåí
.56056225125005
)
2
(
99
1519
-=×-=-=
+
CT
n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè íàèáîëüøèé áèíîìèàëü-
íûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ
,
1
n
n
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
åñëè ïðî-
èçâåäåíèå ÷åòâåðòîãî îò íà÷àëà è ÷åòâåðòîãî îò êîí-
öà ñëàãàåìûõ ðàâíî 14 400.
q ×åòâåðòîå ñëàãàåìîå îò íà÷àëà èìååò âèä
=
4
T
,
1
3
33
n
nC
n
n
×=
-
à ÷åòâåðòîå îò êîíöà âèä
=
-2n
T
=+×+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
524232
2
)2()2(
1
5)2(
1
10
xx
x
x
x
.32808040
101
1074
25
xxxx
xx
+++++=
n
204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà.
1
0
. ×èñëî âñåõ ñëàãàåìûõ ðàçëîæåíèÿ ðàâíî
n + 1.
2
0
. Îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ èìååò âèä
,
1
kknk
nk
baCT
-
+
=
(1)
ãäå
.,...,2,1,0 nk =
3
0
. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîí-
öîâ ðàçëîæåíèÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
4
0
. Ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ðàâíà 2
n
.
5
0
. Ñóììà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ
íà ÷åòíûõ ìåñòàõ, ðàâíà ñóììå áèíîìèàëüíûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà íå÷åòíûõ ìåñòàõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè íàèáîëüøèé êîýôôèöèåíò
ðàçëîæåíèÿ
,)(
n
ba
+
åñëè ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ
êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 4096.
q Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 4
0
, ñóììà âñåõ áèíîìèàëü-
íûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà
,2
n
îòêóäà ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå
,40962 =
n
ò. å.
.22
12
=
n
Çíà÷èò, n = 12.
Òàê êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè áèíîìà, ðàâíûé 12,
÷åòíîå ÷èñëî, òî íàèáîëüøèì áèíîìèàëüíûì êîýô-
ôèöèåíòîì ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò ïðè ñðåäíåì
(ò. å. 6-ì) ÷ëåíå. Èòàê, ýòîò êîýôôèöèåíò ðàâåí
Ñ
6
12
ÀËÃÅÁÐÀ
282
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
283
Ðàçäåë VII
ÝËÅÌÅÍÒÛ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü
êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ïîñòàâëåíî â ñîîòâåò-
ñòâèå îïðåäåëåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî: ÷èñëó
1 ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî à
1
, ÷èñëó 2 ÷èñëî à
2
, ..., ÷èñëó
n ÷èñëî à
n
è ò. ä. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ÷èñëî-
âàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïèøóò: à
1
, à
2
,..., à
n
,... .
Èíà÷å ìîæíî çàïèñàòü (à
n
). ×èñëà à
1
, à
2
,..., à
n
,...
íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè.
Íàïðèìåð, äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé
äðîáè ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå äåñÿ-
òè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èëè ïî èçáûò-
êó. Òàê, äëÿ ÷èñëà å = 2,71828... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èìååò âèä
2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... .
206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èìå-
åòñÿ òðè îñíîâíûõ ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè.
1. Àíàëèòè÷åñêèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäà-
åòñÿ ôîðìóëîé n-ãî ÷ëåíà.
Ï ð è ì å ð 1. Ôîðìóëîé
1+
=
n
n
a
n
çàäàåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à
1
, à
2
, à
3
,..., à
n
,..., ó êîòîðîé
.
1
3
33
-
-
=
n
n
n
n
nC
Ïîýòîìó
===
-
-
2333
24
)
(
n
n
nnn
CCCTT
= 14 400, îòêóäà
.120
3
=
n
C
Äàëåå èìååì
´- )1(nn
ç (n 2) = 720; n (n 1) (n 2) = 10 · 9 · 8, îòêóäà
n = 10. Èòàê, íàèáîëüøèé áèíîìèàëüíûé êîýôôè-
öèåíò, âõîäÿùèé â ñëàãàåìîå, îäèíàêîâî óäàëåííîå
îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, åñòü
.252
!5!5
!10
5
10
==C
n
ÀËÃÅÁÐÀ
282
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
C
k
n
283
Ðàçäåë VII
ÝËÅÌÅÍÒÛ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü
êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ïîñòàâëåíî â ñîîòâåò-
ñòâèå îïðåäåëåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî: ÷èñëó
1 ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî à
1
, ÷èñëó 2 ÷èñëî à
2
, ..., ÷èñëó
n ÷èñëî à
n
è ò. ä. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ÷èñëî-
âàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïèøóò: à
1
, à
2
,..., à
n
,... .
Èíà÷å ìîæíî çàïèñàòü (à
n
). ×èñëà à
1
, à
2
,..., à
n
,...
íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè.
Íàïðèìåð, äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé
äðîáè ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå äåñÿ-
òè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èëè ïî èçáûò-
êó. Òàê, äëÿ ÷èñëà å = 2,71828... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èìååò âèä
2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... .
206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èìå-
åòñÿ òðè îñíîâíûõ ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè.
1. Àíàëèòè÷åñêèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäà-
åòñÿ ôîðìóëîé n-ãî ÷ëåíà.
Ï ð è ì å ð 1. Ôîðìóëîé
1+
=
n
n
a
n
çàäàåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à
1
, à
2
, à
3
,..., à
n
,..., ó êîòîðîé
.
1
3
33
-
-
=
n
n
n
n
nC
Ïîýòîìó
===
-
-
2333
24
)
(
n
n
nnn
CCCTT
= 14 400, îòêóäà
.120
3
=
n
C
Äàëåå èìååì
´- )1(nn
ç (n 2) = 720; n (n 1) (n 2) = 10 · 9 · 8, îòêóäà
n = 10. Èòàê, íàèáîëüøèé áèíîìèàëüíûé êîýôôè-
öèåíò, âõîäÿùèé â ñëàãàåìîå, îäèíàêîâî óäàëåííîå
îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, åñòü
.252
!5!5
!10
5
10
==C
n