Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
285284
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð. à)
,...
1
,...,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
+n
n
âîçðàñ-
òàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
á)
,...
1
...,,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
n
óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü.
â)
,...)1(,...,6,5,4,3,2,1 n
n
×----
ýòà ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
ã) 3, 3, 3, 3, ..., 3, ... ïîñòîÿííàÿ (èëè ñòàöèîíàð-
íàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (à
n
), êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé, íà-
÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, ñëîæåííîìó ñ
îäíèì è òåì æå ÷èñëîì d, íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè-
÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî d íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ
ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðî-
ãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåí-
òíî ðàâåíñòâîì à
n+1
= à
n
+ d.
Åñëè d > 0, òî àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðà-
ñòàåò, åñëè d < 0, òî îíà óáûâàåò.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 9, 7, 5, 3, ...
ýòî óáûâàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòî-
ðîé à
1
= 9, d = 2.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à
1
= 1, d = 0,5. Ýòèìè
óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó
êîòîðîé à
2
= 1 + 0,5 = 0,5; à
3
= 0,5 + 0,5 = 0;
à
4
= 0 + 0,5 = 0,5;... .
Èòàê, ïîëó÷àåì âîçðàñòàþùóþ àðèôìåòè÷åñêóþ
ïðîãðåññèþ: 1; 0,5; 0; 0,5; ... .
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
,...,
4
3
13
3
;
3
2
12
2
;
2
1
11
1
321
=
+
==
+
==
+
= aaa
ò. å.
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
.,...
1
,...,
4
3
,
3
2
,
2
1
+n
n
2. Ðåêóððåíòíûé ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåä-
øåñòâóþùèå ÷ëåíû. Ïðè ýòîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòè óêàçûâàþò åå ïåðâûé ÷ëåí (èëè íå-
ñêîëüêî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ) è ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ
îïðåäåëèòü ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èçâå-
ñòíûì ïðåäøåñòâóþùèì ÷ëåíàì.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à
1
=1, à
2
=1, à
n+2
=à
n
+à
n+1
.
Òîãäà
;211
213
=+=+= aaa
;321
324
=+=+= aaa
.853;532
546435
=+=+==+=+= aaaaaa
 èòîãå ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34,... . Êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâûõ äâóõ,
ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäøåñòâóþùèõ åìó ÷ëåíîâ.
3. Ñëîâåñíûé çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïè-
ñàíèåì. Òàêîâà, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿ-
òè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó ÷èñëà å (ñì. ï.
205).
207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (à
n
) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòà-
þùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí ìåíüøå ñëåäóþùåãî çà
íèì, ò. å. åñëè à
n
< à
n+1
äëÿ ëþáîãî n. Ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü (à
n
) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé, åñëè êàæäûé åå
÷ëåí áîëüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè à
n
>
> à
n+1
äëÿ ëþáîãî n. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè.
; ... .
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
285284
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð. à)
,...
1
,...,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
+n
n
âîçðàñ-
òàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
á)
,...
1
...,,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
n
óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü.
â)
,...)1(,...,6,5,4,3,2,1 n
n
×----
ýòà ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
ã) 3, 3, 3, 3, ..., 3, ... ïîñòîÿííàÿ (èëè ñòàöèîíàð-
íàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (à
n
), êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé, íà-
÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, ñëîæåííîìó ñ
îäíèì è òåì æå ÷èñëîì d, íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè-
÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî d íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ
ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðî-
ãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåí-
òíî ðàâåíñòâîì à
n+1
= à
n
+ d.
Åñëè d > 0, òî àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðà-
ñòàåò, åñëè d < 0, òî îíà óáûâàåò.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 9, 7, 5, 3, ...
ýòî óáûâàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòî-
ðîé à
1
= 9, d = 2.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à
1
= 1, d = 0,5. Ýòèìè
óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó
êîòîðîé à
2
= 1 + 0,5 = 0,5; à
3
= 0,5 + 0,5 = 0;
à
4
= 0 + 0,5 = 0,5;... .
Èòàê, ïîëó÷àåì âîçðàñòàþùóþ àðèôìåòè÷åñêóþ
ïðîãðåññèþ: 1; 0,5; 0; 0,5; ... .
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
,...,
4
3
13
3
;
3
2
12
2
;
2
1
11
1
321
=
+
==
+
==
+
= aaa
ò. å.
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
.,...
1
,...,
4
3
,
3
2
,
2
1
+n
n
2. Ðåêóððåíòíûé ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåä-
øåñòâóþùèå ÷ëåíû. Ïðè ýòîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòè óêàçûâàþò åå ïåðâûé ÷ëåí (èëè íå-
ñêîëüêî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ) è ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ
îïðåäåëèòü ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èçâå-
ñòíûì ïðåäøåñòâóþùèì ÷ëåíàì.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à
1
=1, à
2
=1, à
n+2
=à
n
+à
n+1
.
Òîãäà
;211
213
=+=+= aaa
;321
324
=+=+= aaa
.853;532
546435
=+=+==+=+= aaaaaa
 èòîãå ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34,... . Êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâûõ äâóõ,
ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäøåñòâóþùèõ åìó ÷ëåíîâ.
3. Ñëîâåñíûé çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïè-
ñàíèåì. Òàêîâà, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿ-
òè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó ÷èñëà å (ñì. ï.
205).
207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (à
n
) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòà-
þùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí ìåíüøå ñëåäóþùåãî çà
íèì, ò. å. åñëè à
n
< à
n+1
äëÿ ëþáîãî n. Ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü (à
n
) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé, åñëè êàæäûé åå
÷ëåí áîëüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè à
n
>
> à
n+1
äëÿ ëþáîãî n. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè.
; ... .
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
287286
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ñèþ, ó êîòîðîé
.5,400
1
-== da
Ïóòü, êîòîðûé ïðî-
áåæèò ñïîðòñìåí çà 1 ÷, ò. å. çà 60 ìèí, ðàâåí ñóììå
ïåðâûõ 60 ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó
(3), ïîëó÷èì
S
60
= · 60 = = 15 150,
ò. å. çà 1 ÷ îí ïðîáåæèò 15 êì 150 ì. n
210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (b
n
), ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè-
÷åí îò íóëÿ è êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðà-
âåí ïðåäûäóùåìó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå îò-
ëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî q, íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñ-
êîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî q íàçûâàåòñÿ çíàìåíàòå-
ëåì ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðî-
ãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåí-
òíî ðàâåíñòâîì
,
1
qbb
nn
=
+
ãäå
.0,0
1
¹¹ qb
Åñëè
1>q
è
,0
1
>b òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåñ-
ñèÿ âîçðàñòàåò; åñëè
10 << q
è
,0
1
>b
òî îíà óáû-
âàåò; ïðè
0<q
îíà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 30; 9; 2,7;
0,81; ... åñòü óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ,
ó êîòîðîé
.3,0,30
1
== qb
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü
.3,2
1
-== qb
Óêàçàííû-
ìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåñ-
ñèÿ, ó êîòîðîé
,18)3()6(;6)3(2
32
=-×-=-=-×= bb
b
4
= 18 · (3) = 54; b
5
= (54) · (3) = 162; ... . Ýòà
ïðîãðåññèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (a
n
)
ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
....,,...,,,
321
n
aaaa
¸
209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
1
0
. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
)
.1
(
1
-+= ndaa
n
(1)
2
0
. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
,
2
1
n
aa
S
n
n
×
+
= (2)
.
2
)1(2
1
n
nda
S
n
×
-+
= (3)
Çäåñü
....,
32111
nn
aaaaSaS
++++==
3
0
. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé àðèôìåòè-
÷åñêîé ïðîãðåññèè), ðàâåí ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêî-
ìó ïðåäûäóùåãî è ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíîâ:
.
2
11
+-
+
=
nn
n
aa
a
Ï ð è ì å ð. Ñïîðòñìåí çà ïåðâóþ ìèíóòó ïðîáå-
æàë 400 ì, à â êàæäóþ ñëåäóþùóþ ìèíóòó ïðîáåãàë
íà 5 ì ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùóþ. Êàêîé ïóòü ïðî-
áåæàë îí çà 1 ÷?
q Çà ïåðâóþ ìèíóòó ñïîðòñìåí ïðîáåæàë 400 ì,
çà âòîðóþ 395 ì, çà òðåòüþ 390 ì è ò. ä. ×èñëà
400, 395, 390, ... îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåñ-
ò
;
2 · 400 + d · 59
2
800 59 · 5
2
.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
287286
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ñèþ, ó êîòîðîé
.5,400
1
-== da
Ïóòü, êîòîðûé ïðî-
áåæèò ñïîðòñìåí çà 1 ÷, ò. å. çà 60 ìèí, ðàâåí ñóììå
ïåðâûõ 60 ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó
(3), ïîëó÷èì
S
60
= · 60 = = 15 150,
ò. å. çà 1 ÷ îí ïðîáåæèò 15 êì 150 ì. n
210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (b
n
), ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè-
÷åí îò íóëÿ è êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðà-
âåí ïðåäûäóùåìó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå îò-
ëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî q, íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñ-
êîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî q íàçûâàåòñÿ çíàìåíàòå-
ëåì ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðî-
ãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåí-
òíî ðàâåíñòâîì
,
1
qbb
nn
=
+
ãäå
.0,0
1
¹¹ qb
Åñëè
1>q
è
,0
1
>b òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåñ-
ñèÿ âîçðàñòàåò; åñëè
10 << q
è
,0
1
>b
òî îíà óáû-
âàåò; ïðè
0<q
îíà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 30; 9; 2,7;
0,81; ... åñòü óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ,
ó êîòîðîé
.3,0,30
1
== qb
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü
.3,2
1
-== qb
Óêàçàííû-
ìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåñ-
ñèÿ, ó êîòîðîé
,18)3()6(;6)3(2
32
=-×-=-=-×= bb
b
4
= 18 · (3) = 54; b
5
= (54) · (3) = 162; ... . Ýòà
ïðîãðåññèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (a
n
)
ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
....,,...,,,
321
n
aaaa
¸
209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
1
0
. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
)
.1
(
1
-+= ndaa
n
(1)
2
0
. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
,
2
1
n
aa
S
n
n
×
+
= (2)
.
2
)1(2
1
n
nda
S
n
×
-+
= (3)
Çäåñü
....,
32111
nn
aaaaSaS
++++==
3
0
. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé àðèôìåòè-
÷åñêîé ïðîãðåññèè), ðàâåí ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêî-
ìó ïðåäûäóùåãî è ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíîâ:
.
2
11
+-
+
=
nn
n
aa
a
Ï ð è ì å ð. Ñïîðòñìåí çà ïåðâóþ ìèíóòó ïðîáå-
æàë 400 ì, à â êàæäóþ ñëåäóþùóþ ìèíóòó ïðîáåãàë
íà 5 ì ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùóþ. Êàêîé ïóòü ïðî-
áåæàë îí çà 1 ÷?
q Çà ïåðâóþ ìèíóòó ñïîðòñìåí ïðîáåæàë 400 ì,
çà âòîðóþ 395 ì, çà òðåòüþ 390 ì è ò. ä. ×èñëà
400, 395, 390, ... îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåñ-
ò
;
2 · 400 + d · 59
2
800 59 · 5
2
.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
289288
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), èìååì
,
1
)
1
(
3
189
-
-
=
q
q
n
èëè
.63
1
1
=
-
-
q
q
n
(4)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
qq
n
32=
, è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæå-
íèå â ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷èì
.2,6363132;63
1
132
=-=-=
-
-
qqq
q
q
Çíàÿ
1
b
è
,
q
íàéäåì
.38423
77
18
=×== qbb
n
Ï ð è ì å ð 2. Òðè ÷èñëà îáðàçóþò êîíå÷íóþ
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè âòîðîå ÷èñëî óâå-
ëè÷èòü íà 2, òî íîâàÿ òðîéêà ÷èñåë ñîñòàâèò êîíå÷-
íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè æå òðåòüå
÷èñëî ýòîé íîâîé òðîéêè óâåëè÷èòü íà 9, òî ñíîâà
ïîëó÷èòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Íàéòè ïåð-
âóþ òðîéêó ÷èñåë.
q Ïóñòü b
1
, b
2
, b
3
èñêîìûå òðè ÷èñëà. Òîãäà
çàäàííûå óñëîâèÿ çàïèøóòñÿ òàê:
1)
¸¸ b
1
, b
2
, b
3
; 2) ¸ b
1
, b
2
+2, b
3
; 3) ¸¸ b
1
, b
2
+ 2, b
3
+ 9.
Èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà àðèôìå-
òè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèé, ïîëó÷èì:
1)
)
.9
(
)
2
(
)
3;
2
2
)
2;
31
2
2
31
231
2
2
+=+
+
=+= bbb
bb
bbbb
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (b
n
)
ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
¸¸ b
1
, b
2
, ..., b
n
, ... .
211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
1
0
. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
.
1
1
-
=
n
n
qbb
(1)
2
0
. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
;
1
1
-
-
=
q
bqb
S
n
n
(2)
.
1
)
1
(
1
-
-
=
q
qb
S
n
n
(3)
Çäåñü
;1,...,
32111
¹++++== qbbbbSbS
nn
åñëè
,1=q
òî
.
1
nbS
n
=
3
0
. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãåîìåòðè-
÷åñêîé ïðîãðåññèè), ñâÿçàí ñ ïðåäûäóùèì è ïîñëåäó-
þùèì ÷ëåíàìè ôîðìóëîé
.
11
2
+-
×=
nnn
bbb
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè 8-é ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé
.189,96,3
1
===
nn
Sbb
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïîëó÷àåì
,396
1
-
=
n
q
ò. å.
,32
1
=
-n
q
îòêóäà
.32qq
n
=
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
289288
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), èìååì
,
1
)
1
(
3
189
-
-
=
q
q
n
èëè
.63
1
1
=
-
-
q
q
n
(4)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
qq
n
32=
, è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæå-
íèå â ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷èì
.2,6363132;63
1
132
=-=-=
-
-
qqq
q
q
Çíàÿ
1
b
è
,
q
íàéäåì
.38423
77
18
=×== qbb
n
Ï ð è ì å ð 2. Òðè ÷èñëà îáðàçóþò êîíå÷íóþ
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè âòîðîå ÷èñëî óâå-
ëè÷èòü íà 2, òî íîâàÿ òðîéêà ÷èñåë ñîñòàâèò êîíå÷-
íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè æå òðåòüå
÷èñëî ýòîé íîâîé òðîéêè óâåëè÷èòü íà 9, òî ñíîâà
ïîëó÷èòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Íàéòè ïåð-
âóþ òðîéêó ÷èñåë.
q Ïóñòü b
1
, b
2
, b
3
èñêîìûå òðè ÷èñëà. Òîãäà
çàäàííûå óñëîâèÿ çàïèøóòñÿ òàê:
1)
¸¸ b
1
, b
2
, b
3
; 2) ¸ b
1
, b
2
+2, b
3
; 3) ¸¸ b
1
, b
2
+ 2, b
3
+ 9.
Èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà àðèôìå-
òè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèé, ïîëó÷èì:
1)
)
.9
(
)
2
(
)
3;
2
2
)
2;
31
2
2
31
231
2
2
+=+
+
=+= bbb
bb
bbbb
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (b
n
)
ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
¸¸ b
1
, b
2
, ..., b
n
, ... .
211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
1
0
. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
.
1
1
-
=
n
n
qbb
(1)
2
0
. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
;
1
1
-
-
=
q
bqb
S
n
n
(2)
.
1
)
1
(
1
-
-
=
q
qb
S
n
n
(3)
Çäåñü
;1,...,
32111
¹++++== qbbbbSbS
nn
åñëè
,1=q
òî
.
1
nbS
n
=
3
0
. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãåîìåòðè-
÷åñêîé ïðîãðåññèè), ñâÿçàí ñ ïðåäûäóùèì è ïîñëåäó-
þùèì ÷ëåíàìè ôîðìóëîé
.
11
2
+-
×=
nnn
bbb
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè 8-é ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé
.189,96,3
1
===
nn
Sbb
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïîëó÷àåì
,396
1
-
=
n
q
ò. å.
,32
1
=
-n
q
îòêóäà
.32qq
n
=
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
291290
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
×èñëî
b
íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñ-
òè (à
n
), åñëè, êàêîå áû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî e íè âçÿòü,
íàéäåòñÿ íîìåð N, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî (ò. å. ïðè
Nn ³
)
îòëè÷èå à
n
îò
b
ïî ìîäóëþ áóäåò ìåíüøå
,
e
ò. å.
.e<- ba
n
 ýòîì ñëó÷àå ïèøóò:
.¥®n
= b, èëè
ba
n
®
ïðè
.¥®n
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(à
n
) ñõîäèòñÿ ê
.b
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè: åñëè
b
ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (à
n
), òî,
êàêóþ áû îêðåñòíîñòü òî÷êè
b
íè âûáðàòü, âñÿ ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N, áó-
äåò èçîáðàæàòüñÿ òî÷êàìè, ëåæàùèìè â ýòîé îêðåñò-
íîñòè; îêðåñòíîñòü òî÷êè
b
ýòî èíòåðâàë ñ öåí-
òðîì â òî÷êå
b
.
Ï ð è ì å ð. à)
.,...
1
,...,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
n
×åì áîëüøå
íîìåð ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òåì ìåíüøå ýòîò
÷ëåí îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà 0. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å.
.0
1
lim =
¥®
n
n
á)
.,...
3
1
,...,
3
1
,
3
1
,
3
1
32
n
Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å.
.0
3
1
lim =
¥®
n
n
â) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå
èìååò ïðåäåëà.
Äàëåå, òàê êàê
,,
2
1312
qbbqbb ==
òî çàïèñàííûå
ðàâåíñòâà ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:
1) b
2
1
q
2
= b
1
· b
1
q
2
; 2) b
1
q + 2 = ;
3)
)
.9
(
)
2
(
2
11
2
1
+=+ qbbqb
Ïåðâîå óñëîâèå êàê òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî ìîæ-
íî îïóñòèòü. Òîãäà ïðèäåì ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíå-
íèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè b
1
è q:
ï
î
ï
í
ì
+=+
+=+
..
)
,9
(
)
2
(
,
)
2
(
2
2
11
2
1
2
111
åòqbbqb
qbbqb
ï
î
ï
í
ì
=-
=-+
.4)49(
,4)21(
1
2
1
qb
qqb
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì
.
49
4
1
q
b
-
=
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå,
èìååì
,1
49
21
2
=
-
-+
q
qq
îòêóäà íàõîäèì
.4,2
21
-== qq
Çíà÷èò,
4
1
=b ïðè q = 2 è
25
4
1
=b
ïðè q = 4.
Èòàê, óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò äâå òðîéêè ÷èñåë:
à) 4, 8, 16 (ïðè
)
;2,4
1
== qb
á)
25
64
,
25
16
,
25
4
-
(ïðè
).4,
25
4
1
-== qb n
b
1
+ q
2
2
lim a
n
.0
1
lim =
¥®
n
n
a
n
= b,
b
1
q
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
291290
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
×èñëî
b
íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñ-
òè (à
n
), åñëè, êàêîå áû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî e íè âçÿòü,
íàéäåòñÿ íîìåð N, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî (ò. å. ïðè
Nn ³
)
îòëè÷èå à
n
îò
b
ïî ìîäóëþ áóäåò ìåíüøå
,
e
ò. å.
.e<- ba
n
 ýòîì ñëó÷àå ïèøóò:
.¥®n
= b, èëè
ba
n
®
ïðè
.¥®n
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(à
n
) ñõîäèòñÿ ê
.b
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè: åñëè
b
ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (à
n
), òî,
êàêóþ áû îêðåñòíîñòü òî÷êè
b
íè âûáðàòü, âñÿ ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N, áó-
äåò èçîáðàæàòüñÿ òî÷êàìè, ëåæàùèìè â ýòîé îêðåñò-
íîñòè; îêðåñòíîñòü òî÷êè
b
ýòî èíòåðâàë ñ öåí-
òðîì â òî÷êå
b
.
Ï ð è ì å ð. à)
.,...
1
,...,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
n
×åì áîëüøå
íîìåð ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òåì ìåíüøå ýòîò
÷ëåí îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà 0. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å.
.0
1
lim =
¥®
n
n
á)
.,...
3
1
,...,
3
1
,
3
1
,
3
1
32
n
Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å.
.0
3
1
lim =
¥®
n
n
â) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå
èìååò ïðåäåëà.
Äàëåå, òàê êàê
,,
2
1312
qbbqbb ==
òî çàïèñàííûå
ðàâåíñòâà ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:
1) b
2
1
q
2
= b
1
· b
1
q
2
; 2) b
1
q + 2 = ;
3)
)
.9
(
)
2
(
2
11
2
1
+=+ qbbqb
Ïåðâîå óñëîâèå êàê òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî ìîæ-
íî îïóñòèòü. Òîãäà ïðèäåì ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíå-
íèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè b
1
è q:
ï
î
ï
í
ì
+=+
+=+
..
)
,9
(
)
2
(
,
)
2
(
2
2
11
2
1
2
111
åòqbbqb
qbbqb
ï
î
ï
í
ì
=-
=-+
.4)49(
,4)21(
1
2
1
qb
qqb
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì
.
49
4
1
q
b
-
=
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå,
èìååì
,1
49
21
2
=
-
-+
q
qq
îòêóäà íàõîäèì
.4,2
21
-== qq
Çíà÷èò,
4
1
=b ïðè q = 2 è
25
4
1
=b
ïðè q = 4.
Èòàê, óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò äâå òðîéêè ÷èñåë:
à) 4, 8, 16 (ïðè
)
;2,4
1
== qb
á)
25
64
,
25
16
,
25
4
-
(ïðè
).4,
25
4
1
-== qb n
b
1
+ q
2
2
lim a
n
.0
1
lim =
¥®
n
n
a
n
= b,
b
1
q
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
293292
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à)
;
1
lim
2
n
n
¥®
á)
.
12
2
lim
2
2
--
++
¥®
nn
nn
n
q à) Òàê êàê
,
111
2
nn
n
×=
à
,0
1
®
n
òî
=×® 00
1
2
n
0. Èòàê,
.0
1
lim
2
=
¥®
n
n
Àíàëîãè÷íî óñòà-
íàâëèâàåòñÿ, ÷òî
0
1
®
k
n
äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíî-
ãî
.k
á) Ðàçäåëèì ïî÷ëåííî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü
äàííîé äðîáè íà íàèâûñøóþ (èç èìåþùèõñÿ) ñòå-
ïåíü ïåðåìåííîé, ò. å. íà
.
2
n
Òîãäà ïîëó÷èì
.
11
2
1
2
1
1
lim
12
2
lim
2
2
222
2
222
2
n
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
n
n
nn
--
×++
=
--
++
¥®¥®
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü òåì, ÷òî
,0
1
lim =
¥®
n
n
,0
1
lim
2
=
¥®
n
n
,22lim
=
¥®n
è òåîðåìîé 7.1, íàõîäèì
.
2
1
002
0201
12
2
lim
2
2
=
--
×++
=
--
++
¥®
nn
nn
n
n
ã) Ïîñòîÿííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à, à, à, ..., à, ...
ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó à, ò. å.
.lim aa
n
=
¥®
213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñ-
ïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1
0
. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n
1
ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó 0
(ñì. ïðèìåð à) èç ï. 212):
.0
1
lim
=
¥®
n
n
2
0
. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
,
n
q
ãäå
,1<q
ñõîäèòñÿ
ê ÷èñëó 0 (ñì. ïðèìåð á) èç ï. 212), ãäå
3
1
=q
):
,0lim =
¥®
n
n
q
åñëè
.1<q
3
0
.
aa
n
=
¥®
lim
(ñì. ïðèìåð ã) èç ï. 212).
Êðîìå òîãî, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ òåîðåìó:
Ò.7.1. Åñëè
aa
n
n
=
¥®
lim
è à
,lim bb
n
n
=
¥®
òî:
à)
;
)
(
lim baba
nn
n
±=±
¥®
á)
;
)
(
lim abba
nn
n
=
¥®
â)
,lim
b
a
b
a
n
n
n
=
¥®
ïðè óñëîâèè
0¹b
(òåîðåìà îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä
ïðåäåëàìè).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
293292
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à)
;
1
lim
2
n
n
¥®
á)
.
12
2
lim
2
2
--
++
¥®
nn
nn
n
q à) Òàê êàê
,
111
2
nn
n
×=
à
,0
1
®
n
òî
=×® 00
1
2
n
0. Èòàê,
.0
1
lim
2
=
¥®
n
n
Àíàëîãè÷íî óñòà-
íàâëèâàåòñÿ, ÷òî
0
1
®
k
n
äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíî-
ãî
.k
á) Ðàçäåëèì ïî÷ëåííî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü
äàííîé äðîáè íà íàèâûñøóþ (èç èìåþùèõñÿ) ñòå-
ïåíü ïåðåìåííîé, ò. å. íà
.
2
n
Òîãäà ïîëó÷èì
.
11
2
1
2
1
1
lim
12
2
lim
2
2
222
2
222
2
n
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
n
n
nn
--
×++
=
--
++
¥®¥®
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü òåì, ÷òî
,0
1
lim =
¥®
n
n
,0
1
lim
2
=
¥®
n
n
,22lim
=
¥®n
è òåîðåìîé 7.1, íàõîäèì
.
2
1
002
0201
12
2
lim
2
2
=
--
×++
=
--
++
¥®
nn
nn
n
n
ã) Ïîñòîÿííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à, à, à, ..., à, ...
ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó à, ò. å.
.lim aa
n
=
¥®
213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñ-
ïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1
0
. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n
1
ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó 0
(ñì. ïðèìåð à) èç ï. 212):
.0
1
lim
=
¥®
n
n
2
0
. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
,
n
q
ãäå
,1<q
ñõîäèòñÿ
ê ÷èñëó 0 (ñì. ïðèìåð á) èç ï. 212), ãäå
3
1
=q
):
,0lim =
¥®
n
n
q
åñëè
.1<q
3
0
.
aa
n
=
¥®
lim
(ñì. ïðèìåð ã) èç ï. 212).
Êðîìå òîãî, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ òåîðåìó:
Ò.7.1. Åñëè
aa
n
n
=
¥®
lim
è à
,lim bb
n
n
=
¥®
òî:
à)
;
)
(
lim baba
nn
n
±=±
¥®
á)
;
)
(
lim abba
nn
n
=
¥®
â)
,lim
b
a
b
a
n
n
n
=
¥®
ïðè óñëîâèè
0¹b
(òåîðåìà îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä
ïðåäåëàìè).