Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
295294
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
q Ïóñòü
...,,...,,,
321
n
bbbb
çàäàííàÿ ïðîãðåñ-
ñèÿ. Ïî óñëîâèþ åå ñóììà ðàâíà 9, ò. å.
.9
1
1
=
- q
b
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
....,...,,,,
22
3
2
2
2
1
n
bbbb
Êàæäûé åå ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíî-
æåíèåì íà
,
2
q
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ýòî ãåîìåòðè÷åñ-
êàÿ ïðîãðåññèÿ
,...,...,,,,
321
n
BBBB
ó êîòîðîé ïåð-
âûé ÷ëåí ðàâåí
,
2
1
b
ò. å.
,
2
11
bB =
à çíàìåíàòåëü Q
ðàâåí
,
2
q
ò. å.
.
2
qQ =
Òàê êàê
,1
2
<q
òî
,1<Q
à
ñóììà íîâîé ïðîãðåññèè ðàâíà
.
1
1
Q
B
-
Ñîãëàñíî óñ-
ëîâèþ ýòà ñóììà ðàâíà 40,5. Çíà÷èò, ìû ïðèõîäèì
ê ñèñòåìå
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
=
-
.5,40
1
,9
1
2
2
1
1
q
b
q
b
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì
);1(9
1
qb -=
ïîä-
ñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
,
2
81
1
)1(81
2
2
=
-
-
q
q
îòêóäà
.
3
1
,
2
1
1
1
==
+
-
q
q
q
Òîãäà
.6
3
1
19)1(9
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=-= qb
Òåïåðü ìîæíî íàéòè
214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ-
ñèè ïðè
.q 1<
Ïóñòü
...,...,,,,
321
n
bbbb
áåñêî-
íå÷íàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé
.1<q
Ðàññìîòðèì ñóììó åå ïåðâûõ
n
÷ëåíîâ: =
n
S
....
321
n
bbbb
++++=
Èìååì
.
1
)
1
(
1
-
-
=
q
qb
S
n
n
(ñì.
ï. 211). Âû÷èñëèì
.lim
n
n
S
¥®
Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ,
ïðèâåäåííûå â ï.213, ïîëó÷èì
=-
-
=
-
-
=
¥®¥®¥®
)
1
(
1
lim
1
)
1
(
limlim
11
n
n
n
n
n
n
q
q
b
q
qb
S
.
1
)
10
(
1
11
q
b
q
b
-
=-
-
=
Èòàê, äëÿ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ-
ñèè, ó êîòîðîé
,1<q
ñóùåñòâóåò
,lim
n
n
S
¥®
ãäå
=
n
S
....
321
n
bbbb
++++=
Ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò ñóììîé áåñêîíå÷íîé ãåî-
ìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è îáîçíà÷àþò S:
.
1
1
q
b
S
-
=
(1)
Ï ð è ì å ð. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé
,1<q
ðàâíà 9, à ñóììà êâàä-
ðàòîâ åå ÷ëåíîâ ðàâíà 40,5. Íàéòè ñóììó ïåðâûõ øå-
ñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÀËÃÅÁÐÀ
295294
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
q Ïóñòü
...,,...,,,
321
n
bbbb
çàäàííàÿ ïðîãðåñ-
ñèÿ. Ïî óñëîâèþ åå ñóììà ðàâíà 9, ò. å.
.9
1
1
=
- q
b
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
....,...,,,,
22
3
2
2
2
1
n
bbbb
Êàæäûé åå ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíî-
æåíèåì íà
,
2
q
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ýòî ãåîìåòðè÷åñ-
êàÿ ïðîãðåññèÿ
,...,...,,,,
321
n
BBBB
ó êîòîðîé ïåð-
âûé ÷ëåí ðàâåí
,
2
1
b
ò. å.
,
2
11
bB =
à çíàìåíàòåëü Q
ðàâåí
,
2
q
ò. å.
.
2
qQ =
Òàê êàê
,1
2
<q
òî
,1<Q
à
ñóììà íîâîé ïðîãðåññèè ðàâíà
.
1
1
Q
B
-
Ñîãëàñíî óñ-
ëîâèþ ýòà ñóììà ðàâíà 40,5. Çíà÷èò, ìû ïðèõîäèì
ê ñèñòåìå
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
=
-
.5,40
1
,9
1
2
2
1
1
q
b
q
b
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì
);1(9
1
qb -=
ïîä-
ñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
,
2
81
1
)1(81
2
2
=
-
-
q
q
îòêóäà
.
3
1
,
2
1
1
1
==
+
-
q
q
q
Òîãäà
.6
3
1
19)1(9
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=-= qb
Òåïåðü ìîæíî íàéòè
214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ-
ñèè ïðè
.q 1<
Ïóñòü
...,...,,,,
321
n
bbbb
áåñêî-
íå÷íàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé
.1<q
Ðàññìîòðèì ñóììó åå ïåðâûõ
n
÷ëåíîâ: =
n
S
....
321
n
bbbb
++++=
Èìååì
.
1
)
1
(
1
-
-
=
q
qb
S
n
n
(ñì.
ï. 211). Âû÷èñëèì
.lim
n
n
S
¥®
Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ,
ïðèâåäåííûå â ï.213, ïîëó÷èì
=-
-
=
-
-
=
¥®¥®¥®
)
1
(
1
lim
1
)
1
(
limlim
11
n
n
n
n
n
n
q
q
b
q
qb
S
.
1
)
10
(
1
11
q
b
q
b
-
=-
-
=
Èòàê, äëÿ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ-
ñèè, ó êîòîðîé
,1<q
ñóùåñòâóåò
,lim
n
n
S
¥®
ãäå
=
n
S
....
321
n
bbbb
++++=
Ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò ñóììîé áåñêîíå÷íîé ãåî-
ìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è îáîçíà÷àþò S:
.
1
1
q
b
S
-
=
(1)
Ï ð è ì å ð. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé
,1<q
ðàâíà 9, à ñóììà êâàä-
ðàòîâ åå ÷ëåíîâ ðàâíà 40,5. Íàéòè ñóììó ïåðâûõ øå-
ñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
297296
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ïðÿìàÿ
by =
ìîæåò ñëóæèòü ãîðèçîíòàëüíîé
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
è ïðè âûáî-
ðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ, íî îòðèöàòåëü-
íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà (ðèñ. 89). Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè ñòðåì-
ëåíèè õ ê
× , è ïèøóò:
,
)
(
lim bxf
x
=
-¥®
èëè
bxf ®)(
ïðè
.-¥®x
Íàïðèìåð,
,3)23(lim =+
-¥®
x
x
ò. å. ïðÿ-
ìàÿ ó = 3 ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóí-
êöèè
x
xf
23)( +=
ïðè
.-¥®x
Íàêîíåö, ïðÿìàÿ
by =
ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
è ïðè
+¥®x
, è ïðè
.-¥®x
Òàê, ïðÿìàÿ ó = 0 ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèì-
ïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè
xy /1=
(ñì. ðèñ. 24). Â ýòîì
ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè ñòðåìëåíèè õ ê
,¥
è ïèøóò:
,
)
(
lim bxf
x
=
¥®
èëè
bxf ®)(
ïðè
.¥®x
ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè:
.
81
80
8
1
3
1
1
3
1
6
1
)1(
6
6
1
6
=
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
-
=
q
qb
S
n
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
215. Ïðåäåë ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè
.x ¥®
Ãîðè-
çîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì
ôóíêöèè
)(xfy = ïðè ñòðåìëåíèè õ ê
,
+¥
åñëè, êà-
êîå áû ÷èñëî
0>e
íè âçÿòü, íàéäåòñÿ ÷èñëî
0
>M
òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ
Mx >
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
.
)
(
e<- bxf
Ïðè ýòîì ïèøóò:
,
)
(
lim bxf
x
=
+¥®
èëè
bxf ®)(
ïðè
.+¥®x
Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé õ
áåçãðàíè÷íî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðÿìîé
by =
(ðèñ. 88),
ò. å. ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ãðàôèêà äî ïðÿìîé
by =
ïî
ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè â áåñêîíå÷íîñòü ìîæåò áûòü ñäå-
ëàíî ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà
.0>e
Ïðÿìàÿ
by =
íà-
çûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòî-
òîé ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
. Òàê, ãîðèçîíòàëüíîé
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè
x
y
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
1
ïðè +¥®x
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ó = 0, ò. å. îñü Îõ (ñì. ðèñ. 38).
Ðèñ. 88 Ðèñ. 89
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
297296
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ïðÿìàÿ
by =
ìîæåò ñëóæèòü ãîðèçîíòàëüíîé
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
è ïðè âûáî-
ðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ, íî îòðèöàòåëü-
íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà (ðèñ. 89). Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè ñòðåì-
ëåíèè õ ê
× , è ïèøóò:
,
)
(
lim bxf
x
=
-¥®
èëè
bxf ®)(
ïðè
.-¥®x
Íàïðèìåð,
,3)23(lim =+
-¥®
x
x
ò. å. ïðÿ-
ìàÿ ó = 3 ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóí-
êöèè
x
xf
23)( +=
ïðè
.-¥®x
Íàêîíåö, ïðÿìàÿ
by =
ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
è ïðè
+¥®x
, è ïðè
.-¥®x
Òàê, ïðÿìàÿ ó = 0 ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèì-
ïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè
xy /1=
(ñì. ðèñ. 24). Â ýòîì
ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè ñòðåìëåíèè õ ê
,¥
è ïèøóò:
,
)
(
lim bxf
x
=
¥®
èëè
bxf ®)(
ïðè
.¥®x
ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè:
.
81
80
8
1
3
1
1
3
1
6
1
)1(
6
6
1
6
=
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
-
=
q
qb
S
n
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
215. Ïðåäåë ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè
.x ¥®
Ãîðè-
çîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì
ôóíêöèè
)(xfy = ïðè ñòðåìëåíèè õ ê
,
+¥
åñëè, êà-
êîå áû ÷èñëî
0>e
íè âçÿòü, íàéäåòñÿ ÷èñëî
0
>M
òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ
Mx >
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
.
)
(
e<- bxf
Ïðè ýòîì ïèøóò:
,
)
(
lim bxf
x
=
+¥®
èëè
bxf ®)(
ïðè
.+¥®x
Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé õ
áåçãðàíè÷íî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðÿìîé
by =
(ðèñ. 88),
ò. å. ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ãðàôèêà äî ïðÿìîé
by =
ïî
ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè â áåñêîíå÷íîñòü ìîæåò áûòü ñäå-
ëàíî ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà
.0>e
Ïðÿìàÿ
by =
íà-
çûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòî-
òîé ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
. Òàê, ãîðèçîíòàëüíîé
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè
x
y
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
1
ïðè +¥®x
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ó = 0, ò. å. îñü Îõ (ñì. ðèñ. 38).
Ðèñ. 88 Ðèñ. 89
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
299298
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
.
111
41
111
3
111
23
lim
xxx
xxxxxx
x
×××+
×××+×+×-
=
¥®
Òàê êàê
0
1
lim =
¥®
x
x
(ñì. ï. 215), òî âîñïîëüçîâàâ-
øèñü òåîðåìàìè 7.2 7.5, ïîëó÷èì
.3
00041
000300023
4
323
lim
3
23
=
×××+
×××+×+×-
=
+
++-
¥®
x
xxx
x
n
217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóí-
êöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè
),(xfy =
)(xgy =
è
),(xhy =
ãðàôèêè êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 90.
Ýòî ðàçíûå ôóíêöèè, îíè îòëè÷àþòñÿ ñâîèì ïîâåäå-
íèåì â òî÷êå õ = à. Åñëè æå
,
ax ¹
òî
== )()( xgxf
).(xh=
Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ çàìå÷àåì, ÷òî ÷åì áëè-
æå õ ê à, òåì ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè
216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè
.x ¥®
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè
¥®x
èñ-
ïîëüçóþò ñëåäóþùèå òåîðåìû îá îïåðàöèÿõ íàä ïðå-
äåëàìè:
Ò.7.2. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
,
)
(
lim bxg
x
=
¥®
òî
+
¥®
)
(
(
lim xf
x
baxg +=+ ))(
(òåîðåìà î ïðåäåëå ñóììû).
Ò.7.3. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
,
)
(
lim bxf
x
=
¥®
òî
)
(
(
lim xf
x
¥®
g(x)) = ab (òåîðåìà î ïðåäåëå ïðîèçâåäå-
íèÿ).
Ò.7.4. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
òî
kaxkf
x
=
¥®
)
(
lim
(òåîðå-
ìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê
ïðåäåëà).
Ò.7.5. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
bxg
x
=
¥®
)
(
lim
è
,0¹b
òî
b
a
xg
xf
x
=
¥®
)
(
)
(
lim
(òåîðåìà î ïðåäåëå ÷àñòíîãî).
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.
4
323
lim
3
23
+
++-
¥®
x
xxx
x
q Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïî÷ëåííî
íà õ
3
, èìååì
=
+
++-
¥®
3
32
4
1
312
3
lim
x
xx
x
x
a)
á) â)
Ðèñ. 90
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
299298
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
.
111
41
111
3
111
23
lim
xxx
xxxxxx
x
×××+
×××+×+×-
=
¥®
Òàê êàê
0
1
lim =
¥®
x
x
(ñì. ï. 215), òî âîñïîëüçîâàâ-
øèñü òåîðåìàìè 7.2 7.5, ïîëó÷èì
.3
00041
000300023
4
323
lim
3
23
=
×××+
×××+×+×-
=
+
++-
¥®
x
xxx
x
n
217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóí-
êöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè
),(xfy =
)(xgy =
è
),(xhy =
ãðàôèêè êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 90.
Ýòî ðàçíûå ôóíêöèè, îíè îòëè÷àþòñÿ ñâîèì ïîâåäå-
íèåì â òî÷êå õ = à. Åñëè æå
,
ax ¹
òî
== )()( xgxf
).(xh=
Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ çàìå÷àåì, ÷òî ÷åì áëè-
æå õ ê à, òåì ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè
216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè
.x ¥®
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè
¥®x
èñ-
ïîëüçóþò ñëåäóþùèå òåîðåìû îá îïåðàöèÿõ íàä ïðå-
äåëàìè:
Ò.7.2. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
,
)
(
lim bxg
x
=
¥®
òî
+
¥®
)(
(
lim xf
x
baxg +=+ ))(
(òåîðåìà î ïðåäåëå ñóììû).
Ò.7.3. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
,
)
(
lim bxf
x
=
¥®
òî
)(
(
lim xf
x
¥®
g(x)) = ab (òåîðåìà î ïðåäåëå ïðîèçâåäå-
íèÿ).
Ò.7.4. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
òî
kaxkf
x
=
¥®
)
(
lim
(òåîðå-
ìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê
ïðåäåëà).
Ò.7.5. Åñëè
,
)
(
lim axf
x
=
¥®
bxg
x
=
¥®
)
(
lim
è
,0¹b
òî
b
a
xg
xf
x
=
¥®
)
(
)
(
lim
(òåîðåìà î ïðåäåëå ÷àñòíîãî).
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.
4
323
lim
3
23
+
++-
¥®
x
xxx
x
q Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïî÷ëåííî
íà õ
3
, èìååì
=
+
++-
¥®
3
32
4
1
312
3
lim
x
xx
x
x
a)
á) â)
Ðèñ. 90
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
301300
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
òî ôóíêöèÿ
)(xfy =
íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà
îòðåçêå
].,[ ba
Âìåñòî çàïèñè
bxf
ax
=
®
)
(
lim
èñïîëüçóþò òàêæå
çàïèñü
bxf ®)(
ïðè
.ax ®
 ÷àñòíîñòè, îïðåäåëå-
íèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé â òî÷êå à, çàïèñûâàþò òàê:
)()( afxf ®
ïðè
.ax ®
Ñìûñë ïîíÿòèÿ íåïðåðûâ-
íîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ìà-
ëûì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà (ïðè îòõîäå îò òî÷êè
à) ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèè.
Îòìåòèì äâà ïðàâèëà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà:
Ïðàâèëî 1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå
à, òî
0®Df
ïðè
ax ®
(ñì. ï. 220).
Ïðàâèëî 2. Åñëè
BxgAxf ®® )(,)(
ïðè
,
ax ®
òî
,)()(,)()( BAxgxfBAxgxf ×®×+®+
®
)
(
)
(
xg
xf
B
A
®
(â ñëó÷àå
0¹B
) ïðè
.ax ®
218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà. Ãðàôèê ôóíêöèè
),(xfy =
èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 91, îáëàäàåò ñëåäó-
þùåé îñîáåííîñòüþ: êàêîå áû ÷èñëî
0>p
íè âçÿòü,
ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè à, ÷òî äëÿ
ëþáîãî õ èç ýòîé îêðåñòíîñòè
)( ax ¹
ñîîòâåòñòâóþ-
ùàÿ îðäèíàòà ãðàôèêà ïî ìîäóëþ áóäåò áîëüøå ð,
ò. å.
.
)
(
pxf >
Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ õ = à åñòü âåðòè-
êàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè
),(xfy =
è
ïèøóò:
.
)
(
lim
¥=
®
xf
ax
),(xf
èëè
),(xg
èëè
)(xh
îò ÷èñëà b ýòî îòëè÷èå
õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèåì
,
)
(
bxf -
,
)
(
bxg -
.
)
(
bxh -
Äëÿ ëþáîé èç ðàññìàò-
ðèâàåìûõ ôóíêöèé ãîâîðÿò, ÷òî
ïðåäåë ôóíêöèè ïðè
ñòðåìëåíèè õ ê à ðàâåí b; ïèøóò ñîîòâåòñòâåííî:
.
)
(
lim,
)
(
lim,
)
(
lim bxhbxgbxf
axaxax
===
®®®
Ïîä÷åðêíåì
åùå ðàç, ÷òî ïðè ýòîì çíà÷åíèå ôóíêöèè â ñàìîé òî÷-
êå à (è äàæå ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èëè íåñóùå-
ñòâîâàíèÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ) íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìà-
íèå.
Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â
òî÷êå: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à, åñëè, êàêîå áû ÷èñ-
ëî
0>e
íè âçÿòü, äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê à
çíà÷åíèé õ, ò. å. äëÿ âñåõ õ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñ-
òè òî÷êè à, èñêëþ÷àÿ, áûòü ìîæåò, ñàìó ýòó òî÷êó,
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
.
)
(
e<- bxf
Âåðíåìñÿ ê ðèñ. 90. Çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè
)(xfy =
, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 90 à,
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
),(afb =
ò. å.
=
®
)
(
lim xf
ax
).(af=
Åñëè
)
,
(
)
(
lim afxf
ax
=
®
òî ôóíêöèÿ íàçûâàåò-
ñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå à. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ
â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (à, b), íàçûâàåòñÿ íåïðå-
ðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Åñëè ôóíêöèÿ íåïðå-
ðûâíà íà èíòåðâàëå (à, b), îïðåäåëåíà â òî÷êàõ à è b
è ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè õ, ïðèíàäëåæàùåé èíòåð-
âàëó (à, b), ê òî÷êàì à è b çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê çíà÷åíèÿì
)(af
è
),(bf
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
301300
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
òî ôóíêöèÿ
)(xfy =
íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà
îòðåçêå
].,[ ba
Âìåñòî çàïèñè
bxf
ax
=
®
)
(
lim
èñïîëüçóþò òàêæå
çàïèñü
bxf ®)(
ïðè
.ax ®
 ÷àñòíîñòè, îïðåäåëå-
íèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé â òî÷êå à, çàïèñûâàþò òàê:
)()( afxf ®
ïðè
.ax ®
Ñìûñë ïîíÿòèÿ íåïðåðûâ-
íîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ìà-
ëûì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà (ïðè îòõîäå îò òî÷êè
à) ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèè.
Îòìåòèì äâà ïðàâèëà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà:
Ïðàâèëî 1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå
à, òî
0®Df
ïðè
ax ®
(ñì. ï. 220).
Ïðàâèëî 2. Åñëè
BxgAxf ®® )(,)(
ïðè
,
ax ®
òî
,)()(,)()( BAxgxfBAxgxf ×®×+®+
®
)
(
)
(
xg
xf
B
A
®
(â ñëó÷àå
0¹B
) ïðè
.ax ®
218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà. Ãðàôèê ôóíêöèè
),(xfy =
èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 91, îáëàäàåò ñëåäó-
þùåé îñîáåííîñòüþ: êàêîå áû ÷èñëî
0>p
íè âçÿòü,
ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè à, ÷òî äëÿ
ëþáîãî õ èç ýòîé îêðåñòíîñòè
)( ax ¹
ñîîòâåòñòâóþ-
ùàÿ îðäèíàòà ãðàôèêà ïî ìîäóëþ áóäåò áîëüøå ð,
ò. å.
.
)
(
pxf >
Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ õ = à åñòü âåðòè-
êàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè
),(xfy =
è
ïèøóò:
.
)
(
lim
¥=
®
xf
ax
),(xf
èëè
),(xg
èëè
)(xh
îò ÷èñëà b ýòî îòëè÷èå
õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèåì
,
)
(
bxf -
,
)
(
bxg -
.
)
(
bxh -
Äëÿ ëþáîé èç ðàññìàò-
ðèâàåìûõ ôóíêöèé ãîâîðÿò, ÷òî
ïðåäåë ôóíêöèè ïðè
ñòðåìëåíèè õ ê à ðàâåí b; ïèøóò ñîîòâåòñòâåííî:
.
)
(
lim,
)
(
lim,
)
(
lim bxhbxgbxf
axaxax
===
®®®
Ïîä÷åðêíåì
åùå ðàç, ÷òî ïðè ýòîì çíà÷åíèå ôóíêöèè â ñàìîé òî÷-
êå à (è äàæå ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èëè íåñóùå-
ñòâîâàíèÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ) íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìà-
íèå.
Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â
òî÷êå: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
)(xfy =
ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à, åñëè, êàêîå áû ÷èñ-
ëî
0>e
íè âçÿòü, äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê à
çíà÷åíèé õ, ò. å. äëÿ âñåõ õ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñ-
òè òî÷êè à, èñêëþ÷àÿ, áûòü ìîæåò, ñàìó ýòó òî÷êó,
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
.
)
(
e<- bxf
Âåðíåìñÿ ê ðèñ. 90. Çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè
)(xfy =
, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 90 à,
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
),(afb =
ò. å.
=
®
)(
lim xf
ax
).(af=
Åñëè
)
,
(
)
(
lim afxf
ax
=
®
òî ôóíêöèÿ íàçûâàåò-
ñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå à. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ
â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (à, b), íàçûâàåòñÿ íåïðå-
ðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Åñëè ôóíêöèÿ íåïðå-
ðûâíà íà èíòåðâàëå (à, b), îïðåäåëåíà â òî÷êàõ à è b
è ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè õ, ïðèíàäëåæàùåé èíòåð-
âàëó (à, b), ê òî÷êàì à è b çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê çíà÷åíèÿì
)(af
è
),(bf
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
303302
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ñâîåé îêðåñòíîñòüþ); åñëè õ = à âíóòðåííÿÿ òî÷-
êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè
))(( xgf
(ñì. ï. 224), òî è ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ
))(( xgf
íåïðå-
ðûâíà â òî÷êå à;
2) åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
íåïðåðûâíà â òî÷êå
õ = à, òî
)
.
(
)
(
lim afxf
ax
=
®
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à)
;
12
lim
2
4
+
+
®
x
xx
x
á)
;
65
9
lim
2
2
3
+-
+
®
xx
x
x
â)
;
65
9
lim
2
2
3
+-
-
®
xx
x
x
ã)
.
37
2
lim
2
+-
+
-®
x
x
x
q à) Òàê êàê õ = 4 âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
,
12
)(
2
+
+
=
x
xx
xf
òî ôóíêöèÿ
íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå. Èìååì f(4) = = 2.
Çíà÷èò,
.2
12
lim
2
4
=
+
+
®
x
xx
x
á) Ôóíêöèÿ
65
9
)
(
2
2
+-
+
=
xx
x
xf
íå îïðåäåëåíà â
òî÷êå õ = 3, ïîñêîëüêó â ýòîé òî÷êå çíàìåíàòåëü äðî-
áè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òàê êàê ÷èñëèòåëü õ
2
+ 9
îòëè÷åí îò íóëÿ â òî÷êå õ = 3 , òî
¥=
+-
+
®
65
9
lim
2
2
3
xx
x
x
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 1/õ èìååò âåðòè-
êàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 è ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìï-
òîòó ó = 0 (ñì. ðèñ. 24); ãðàôèê ôóíêöèè
xy tg=
èìååò âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû
,2/p=x
,2/p-=x
,2/3p=x
2/3p-=x
è ò. ä. (ñì. ðèñ. 50); ãðàôèê
ôóíêöèè
xy
5,0
log
=
èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòî-
òó õ = 0 (ðèñ. 92).
219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèè â òî÷êå îñíîâíûìè
ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôàêòû:
1) ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ôóíêöèÿ,
çàäàííàÿ àíàëèòè÷åñêè ðàöèîíàëüíûì, èððàöèîíàëü-
íûì, òðàíñöåíäåíòíûì âûðàæåíèåì èëè âûðàæå-
íèåì, ñîñòàâëåííûì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ
êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåïðå-
ðûâíà â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè îïðåäå-
ëåíèÿ ôóíêöèè (ò. å. â ëþáîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âìåñòå ñ íåêîòîðîé
Ðèñ. 91 Ðèñ. 92
Ö4 + 4
2
2 · 4 + 1
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ÀËÃÅÁÐÀ
303302
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ñâîåé îêðåñòíîñòüþ); åñëè õ = à âíóòðåííÿÿ òî÷-
êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè
))(( xgf
(ñì. ï. 224), òî è ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ
))(( xgf
íåïðå-
ðûâíà â òî÷êå à;
2) åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
íåïðåðûâíà â òî÷êå
õ = à, òî
)
.
(
)
(
lim afxf
ax
=
®
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à)
;
12
lim
2
4
+
+
®
x
xx
x
á)
;
65
9
lim
2
2
3
+-
+
®
xx
x
x
â)
;
65
9
lim
2
2
3
+-
-
®
xx
x
x
ã)
.
37
2
lim
2
+-
+
-®
x
x
x
q à) Òàê êàê õ = 4 âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
,
12
)(
2
+
+
=
x
xx
xf
òî ôóíêöèÿ
íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå. Èìååì f(4) = = 2.
Çíà÷èò,
.2
12
lim
2
4
=
+
+
®
x
xx
x
á) Ôóíêöèÿ
65
9
)
(
2
2
+-
+
=
xx
x
xf
íå îïðåäåëåíà â
òî÷êå õ = 3, ïîñêîëüêó â ýòîé òî÷êå çíàìåíàòåëü äðî-
áè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òàê êàê ÷èñëèòåëü õ
2
+ 9
îòëè÷åí îò íóëÿ â òî÷êå õ = 3 , òî
¥=
+-
+
®
65
9
lim
2
2
3
xx
x
x
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 1/õ èìååò âåðòè-
êàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 è ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìï-
òîòó ó = 0 (ñì. ðèñ. 24); ãðàôèê ôóíêöèè
xy tg=
èìååò âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû
,2/p=x
,2/p-=x
,2/3p=x
2/3p-=x
è ò. ä. (ñì. ðèñ. 50); ãðàôèê
ôóíêöèè
xy
5,0
log
=
èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòî-
òó õ = 0 (ðèñ. 92).
219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèè â òî÷êå îñíîâíûìè
ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôàêòû:
1) ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ôóíêöèÿ,
çàäàííàÿ àíàëèòè÷åñêè ðàöèîíàëüíûì, èððàöèîíàëü-
íûì, òðàíñöåíäåíòíûì âûðàæåíèåì èëè âûðàæå-
íèåì, ñîñòàâëåííûì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ
êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåïðå-
ðûâíà â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè îïðåäå-
ëåíèÿ ôóíêöèè (ò. å. â ëþáîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âìåñòå ñ íåêîòîðîé
Ðèñ. 91 Ðèñ. 92
Ö4 + 4
2
2 · 4 + 1