Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
265264
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
q à) Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñè-
ñòåìå íåðàâåíñòâ:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
<--
>
³--
.12
,0
,012
22
2
xxx
x
xx
Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì
.4³x
á) Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñ-
òè äâóõ ñèñòåì:
ï
î
ï
í
ì
³+-
<+
;024
,03
2
xx
x
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+>+-
³+-
³+
.
)
3
(
24
,024
,03
22
2
xxx
xx
x
Âòîðîå íåðàâåíñòâî âòîðîé ñèñòåìû ìîæíî îïóñ-
òèòü êàê ñëåäñòâèå òðåòüåãî íåðàâåíñòâà.
Ðåøèâ ïåðâóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì õ < 3, èç âòî-
ðîé ñèñòåìû èìååì
.7,03 -<£- x
Îáúåäèíèâ ýòè
ðåøåíèÿ, íàõîäèì
.7,0-<x
n
194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ðàññìîò-
ðèì ïðèìåð ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ, ò. å. íåðàâåíñòâ âèäà
axf >)(
(èëè
axf <)(
), ãäå
)(xf
îäíà èç òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
.5,0cos <x
q Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
xy
cos
=
è ïðîâå-
äåì ïðÿìóþ ó = 0,5. Íàñ èíòåðåñóþò òå çíà÷åíèÿ
àðãóìåíòà õ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè ãðàôèêà,
ëåæàùèå íèæå ïðÿìîé ó = 0,5. Îäíèì èç íóæíûõ
ïðîìåæóòêîâ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë
÷
ø
ö
ç
è
æ
pp
3
5
,
3
(ðèñ. 86).
Âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè
,cos
xy =
çàïèøåì îòâåò:
,2
3
5
2
3
kxk p+
p
<<p+
p
.ZÎk
n
195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî
>),( yxf
),,( yxg>
êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ
äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøåíèåì òàêîãî íåðàâåí-
ñòâà íàçûâàåòñÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðà-
ùàþùàÿ íåðàâåíñòâî â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî.
Èçâåñòíî, ÷òî ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (õ; ó) îäíî-
çíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èçîáðàçèòü ðåøåíèÿ íåðàâåí-
ñòâà èëè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ãåîìåòðè÷åñêè, â âèäå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
Ðèñ. 86
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
265264
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
q à) Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñè-
ñòåìå íåðàâåíñòâ:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
<--
>
³--
.12
,0
,012
22
2
xxx
x
xx
Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì
.4³x
á) Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñ-
òè äâóõ ñèñòåì:
ï
î
ï
í
ì
³+-
<+
;024
,03
2
xx
x
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+>+-
³+-
³+
.
)
3
(
24
,024
,03
22
2
xxx
xx
x
Âòîðîå íåðàâåíñòâî âòîðîé ñèñòåìû ìîæíî îïóñ-
òèòü êàê ñëåäñòâèå òðåòüåãî íåðàâåíñòâà.
Ðåøèâ ïåðâóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì õ < 3, èç âòî-
ðîé ñèñòåìû èìååì
.7,03 -<£- x
Îáúåäèíèâ ýòè
ðåøåíèÿ, íàõîäèì
.7,0-<x
n
194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ðàññìîò-
ðèì ïðèìåð ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ, ò. å. íåðàâåíñòâ âèäà
axf >)(
(èëè
axf <)(
), ãäå
)(xf
îäíà èç òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
.5,0cos <x
q Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
xy
cos
=
è ïðîâå-
äåì ïðÿìóþ ó = 0,5. Íàñ èíòåðåñóþò òå çíà÷åíèÿ
àðãóìåíòà õ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè ãðàôèêà,
ëåæàùèå íèæå ïðÿìîé ó = 0,5. Îäíèì èç íóæíûõ
ïðîìåæóòêîâ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë
÷
ø
ö
ç
è
æ
pp
3
5
,
3
(ðèñ. 86).
Âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè
,cos
xy =
çàïèøåì îòâåò:
,2
3
5
2
3
kxk p+
p
<<p+
p
.ZÎk
n
195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî
>),( yxf
),,( yxg>
êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ
äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøåíèåì òàêîãî íåðàâåí-
ñòâà íàçûâàåòñÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðà-
ùàþùàÿ íåðàâåíñòâî â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî.
Èçâåñòíî, ÷òî ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (õ; ó) îäíî-
çíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èçîáðàçèòü ðåøåíèÿ íåðàâåí-
ñòâà èëè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ãåîìåòðè÷åñêè, â âèäå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
Ðèñ. 86
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
267266
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ï ð è ì å ð. Èçîáðàçèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêî-
ñòè ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
,0,0 ³³ yx
.5,4 <+> yxxy
q Ãåîìåòðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé ñèñ-
òåìû íåðàâåíñòâ
0,0 ³³ yx
ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Äàëåå, èçîáðàæåíèåì
ðåøåíèé íåðàâåíñòâà
5<+ yx
èëè
xy -< 5
ÿâëÿ-
åòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íèæå ïðÿìîé
.5 xy -=
Íàêîíåö, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåí-
ñòâà
4>xy
èëè, ïîñêîëüêó
,0>x
íåðàâåíñòâà
,
4
x
y >
ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âûøå
âåòâè ãèïåðáîëû
.
4
x
y =
 èòîãå ïîëó÷àåì ìíîæå-
ñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ëåæàùèõ â I êî-
îðäèíàòíîì óãëå íèæå ïðÿìîé
xy -= 5
è âûøå ãè-
ïåðáîëû
x
y
4
=
(ðèñ. 87). n
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè. Ñóòü ýòîãî
ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ òîãî ÷òîáû
óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
>),,( zyxf
),,( zyxg>
ñîñòàâëÿþò ðàçíîñòü
,(),,( xgzyxf -
),zy
è äîêàçûâàþò, ÷òî îíà ïîëîæèòåëüíà.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
,0,0 ³³ yx
òî
xy
yx
³
+
2
(ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äâóõ íåî-
òðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåò-
ðè÷åñêîãî; ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
Êîøè).
q Ñîñòàâèì ðàçíîñòü
.
2
xy
yx
-
+
Èìååì
.
2
)
(
2
2
2
2
yxxyyx
xy
yx
-
=
-+
=-
+
Íåðàâåíñòâî
0
)
(
2
³- yx
âåðíî ïðè ëþáûõ íå-
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó. Çíà÷èò,
,
2
xy
yx
³
+
ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå õ = ó.n
Èç íåðàâåíñòâà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò íåðà-
âåíñòâî
,2
1
³+
x
x
ñïðàâåäëèâîå äëÿ âñåõ õ > 0.
Ðèñ. 87
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
267266
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ï ð è ì å ð. Èçîáðàçèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêî-
ñòè ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
,0,0 ³³ yx
.5,4 <+> yxxy
q Ãåîìåòðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé ñèñ-
òåìû íåðàâåíñòâ
0,0 ³³ yx
ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Äàëåå, èçîáðàæåíèåì
ðåøåíèé íåðàâåíñòâà
5<+ yx
èëè
xy -< 5
ÿâëÿ-
åòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íèæå ïðÿìîé
.5 xy -=
Íàêîíåö, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåí-
ñòâà
4>xy
èëè, ïîñêîëüêó
,0>x
íåðàâåíñòâà
,
4
x
y >
ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âûøå
âåòâè ãèïåðáîëû
.
4
x
y =
 èòîãå ïîëó÷àåì ìíîæå-
ñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ëåæàùèõ â I êî-
îðäèíàòíîì óãëå íèæå ïðÿìîé
xy -= 5
è âûøå ãè-
ïåðáîëû
x
y
4
=
(ðèñ. 87). n
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè. Ñóòü ýòîãî
ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ òîãî ÷òîáû
óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
>),,( zyxf
),,( zyxg>
ñîñòàâëÿþò ðàçíîñòü
,(),,( xgzyxf -
),zy
è äîêàçûâàþò, ÷òî îíà ïîëîæèòåëüíà.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
,0,0 ³³ yx
òî
xy
yx
³
+
2
(ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äâóõ íåî-
òðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåò-
ðè÷åñêîãî; ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
Êîøè).
q Ñîñòàâèì ðàçíîñòü
.
2
xy
yx
-
+
Èìååì
.
2
)
(
2
2
2
2
yxxyyx
xy
yx
-
=
-+
=-
+
Íåðàâåíñòâî
0
)
(
2
³- yx
âåðíî ïðè ëþáûõ íå-
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó. Çíà÷èò,
,
2
xy
yx
³
+
ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå õ = ó.n
Èç íåðàâåíñòâà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò íåðà-
âåíñòâî
,2
1
³+
x
x
ñïðàâåäëèâîå äëÿ âñåõ õ > 0.
Ðèñ. 87
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
269268
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðà-
âåíñòâ. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
ñ ïîìîùüþ ðÿäà ïðåîáðàçîâàíèé âûâîäÿò òðåáóåìîå
íåðàâåíñòâî èç íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ (îïîðíûõ) íå-
ðàâåíñòâ. Îïîðíûìè íåðàâåíñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðè-
ìåð, òàêèå: 1)
,
2
xy
yx
³
+
ãäå
0,0 ³³ yx
(íåðà-
âåíñòâî Êîøè); 2)
,2
1
³+
x
x
ãäå õ > 0;
3) |x + a| £ |x| + |a| (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà);
4) 1 £ sin a
;1£
5) 1 £ cos a
;1£
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî
,
4
4
abcd
dcba
³
+++
ãäå
dcba ,,,
íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóåì çäåñü â êà÷åñòâå îïîðíîãî íåðà-
âåíñòâî Êîøè, ñîñòàâëåííîå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ
÷èñåë
.
2
,
2
dc
y
ba
x
+
=
+
=
Èìååì
.
222
22
dcba
dcba
x
+
×
+
³
+
+
+
=
Ïðèìåíèâ òåïåðü íåðàâåíñòâî Êîøè ê ÷èñëàì à
è b, à òàêæå ê ÷èñëàì ñ è d, ïîëó÷èì
.
22
cdab
dcba
׳
+
×
+
Íî
.
4
abcdcdab =×
Èòàê,
.
4
4
abcd
dcba
³
+++
Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà à = b = c =
= d. n
198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðî-
òèâíîãî. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþ-
ùåì. Ïóñòü íóæíî äîêàçàòü èñòèííîñòü íåðàâåíñòâà
).,,(),,( zyxgzyxf >
(1)
Ïðåäïîëàãàþò ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî õîòÿ áû äëÿ
îäíîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
).,,(),,( zyxgzyxf £
(2)
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà íåðàâåíñòâ, âûïîëíÿþò ïðå-
îáðàçîâàíèÿ íåðàâåíñòâà (2). Åñëè â ðåçóëüòàòå ýòèõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåòñÿ ëîæíîå íåðàâåíñòâî, òî
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè
íåðàâåíñòâà (2) íåâåðíî, à ïîòîìó âåðíî íåðàâåíñò-
âî (1).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåí-
ñòâà
.cos)(cos)(cos
2
a£b-ab+a
q Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå
a
è
b
, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿ-
åòñÿ íåðàâåíñòâî
.cos)(cos)(cos
2
a>b-ab+a
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
269268
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðà-
âåíñòâ. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
ñ ïîìîùüþ ðÿäà ïðåîáðàçîâàíèé âûâîäÿò òðåáóåìîå
íåðàâåíñòâî èç íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ (îïîðíûõ) íå-
ðàâåíñòâ. Îïîðíûìè íåðàâåíñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðè-
ìåð, òàêèå: 1)
,
2
xy
yx
³
+
ãäå
0,0 ³³ yx
(íåðà-
âåíñòâî Êîøè); 2)
,2
1
³+
x
x
ãäå õ > 0;
3) |x + a| £ |x| + |a| (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà);
4) 1 £ sin a
;1£
5) 1 £ cos a
;1£
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî
,
4
4
abcd
dcba
³
+++
ãäå
dcba ,,,
íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóåì çäåñü â êà÷åñòâå îïîðíîãî íåðà-
âåíñòâî Êîøè, ñîñòàâëåííîå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ
÷èñåë
.
2
,
2
dc
y
ba
x
+
=
+
=
Èìååì
.
222
22
dcba
dcba
x
+
×
+
³
+
+
+
=
Ïðèìåíèâ òåïåðü íåðàâåíñòâî Êîøè ê ÷èñëàì à
è b, à òàêæå ê ÷èñëàì ñ è d, ïîëó÷èì
.
22
cdab
dcba
׳
+
×
+
Íî
.
4
abcdcdab =×
Èòàê,
.
4
4
abcd
dcba
³
+++
Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà à = b = c =
= d. n
198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðî-
òèâíîãî. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþ-
ùåì. Ïóñòü íóæíî äîêàçàòü èñòèííîñòü íåðàâåíñòâà
).,,(),,( zyxgzyxf >
(1)
Ïðåäïîëàãàþò ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî õîòÿ áû äëÿ
îäíîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
).,,(),,( zyxgzyxf £
(2)
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà íåðàâåíñòâ, âûïîëíÿþò ïðå-
îáðàçîâàíèÿ íåðàâåíñòâà (2). Åñëè â ðåçóëüòàòå ýòèõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåòñÿ ëîæíîå íåðàâåíñòâî, òî
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè
íåðàâåíñòâà (2) íåâåðíî, à ïîòîìó âåðíî íåðàâåíñò-
âî (1).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåí-
ñòâà
.cos)(cos)(cos
2
a£b-ab+a
q Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå
a
è
b
, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿ-
åòñÿ íåðàâåíñòâî
.cos)(cos)(cos
2
a>b-ab+a
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
271270
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè -ab+a (cos)(cos
2
2cos2cos
)
a+b
=b-
(ñì. ï. 87) è
2
2cos1
cos
2
a+
=a
(ñì. ï. 84), ïîëó÷èì
,
2
2cos1
2
2cos2cos a+
>
a+
b
îò-
êóäà
.12cos >b
Òàê êàê íà ñàìîì äåëå
12cos £b
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ
b
, òî ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå-
÷èå. Çíà÷èò, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, à ïî-
ýòîìó ñïðàâåäëèâî èñõîäíîå íåðàâåíñòâî. n
199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè
óðàâíåíèé. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå
=)(xf
)(xg=
è ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî À, êîòîðîå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîâðåìåííî íàèáîëüøåå çíà÷å-
íèå ôóíêöèè
)(xfy =
è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíê-
öèè
).(xgy =
Òîãäà êîðíÿìè óðàâíåíèÿ
)()( xgxf =
ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé
,)( Axf =
,)( Axg =
è òîëüêî îíè. Ýòîò ìåòîä ñëóæèò ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (ñì.
ï. 165).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2
2
1
x
x +
.)1(2
4
--= x
q Ñ îäíîé ñòîðîíû,
2
1
2
2
³+
x
x
ïðè âñåõ
0¹x
(ñì. ï. 196). Ñ äðóãîé, ïðè âñåõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðà-
âåíñòâî
.2)1(2
4
£-- x Çíà÷èò, êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé
2
1
2
2
=+
x
x
è
2)1(2
4
=-- x (åñëè, êîíå÷íî, òàêèå
îáùèå êîðíè åñòü). Èç óðàâíåíèÿ
2
1
2
2
=+
x
x
íàõî-
äèì
;1,1
21
-== xx
èç óðàâíåíèÿ
2)1(2
4
=-- x íà-
õîäèì õ = 1. Îáùèé êîðåíü ýòèõ óðàâíåíèé çíà-
÷åíèå õ = 1, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êîð-
íåì çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
271270
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè -ab+a (cos)(cos
2
2cos2cos
)
a+b
=b-
(ñì. ï. 87) è
2
2cos1
cos
2
a+
=a
(ñì. ï. 84), ïîëó÷èì
,
2
2cos1
2
2cos2cos a+
>
a+
b
îò-
êóäà
.12cos >b
Òàê êàê íà ñàìîì äåëå
12cos £b
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ
b
, òî ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå-
÷èå. Çíà÷èò, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, à ïî-
ýòîìó ñïðàâåäëèâî èñõîäíîå íåðàâåíñòâî. n
199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè
óðàâíåíèé. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå
=)(xf
)(xg=
è ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî À, êîòîðîå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîâðåìåííî íàèáîëüøåå çíà÷å-
íèå ôóíêöèè
)(xfy =
è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíê-
öèè
).(xgy =
Òîãäà êîðíÿìè óðàâíåíèÿ
)()( xgxf =
ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé
,)( Axf =
,)( Axg =
è òîëüêî îíè. Ýòîò ìåòîä ñëóæèò ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (ñì.
ï. 165).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2
2
1
x
x +
.)1(2
4
--= x
q Ñ îäíîé ñòîðîíû,
2
1
2
2
³+
x
x
ïðè âñåõ
0¹x
(ñì. ï. 196). Ñ äðóãîé, ïðè âñåõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðà-
âåíñòâî
.2)1(2
4
£-- x Çíà÷èò, êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé
2
1
2
2
=+
x
x
è
2)1(2
4
=-- x (åñëè, êîíå÷íî, òàêèå
îáùèå êîðíè åñòü). Èç óðàâíåíèÿ
2
1
2
2
=+
x
x
íàõî-
äèì
;1,1
21
-== xx
èç óðàâíåíèÿ
2)1(2
4
=-- x íà-
õîäèì õ = 1. Îáùèé êîðåíü ýòèõ óðàâíåíèé çíà-
÷åíèå õ = 1, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êîð-
íåì çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
272
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
273
C
k
n
à ÷èñëî ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ ôîðìóëîé
.
~
kk
n
nA
=
(2)
Ñèìâîë n! (÷èòàåòñÿ «ýí ôàêòîðèàë») ýòî ñî-
êðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ 1 · 2 · 3... n.
Ï ð è ì å ð 1. Êîìèññèÿ ñîñòîèò èç ïðåäñåäàòåëÿ,
çàìåñòèòåëÿ è åùå ÷åòûðåõ ÷åëîâåê. Ñêîëüêèìè ñïî-
ñîáàìè ÷ëåíû êîìèññèè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü ìåæäó
ñîáîé îáÿçàííîñòè ïðåäñåäàòåëÿ è çàìåñòèòåëÿ?
q Ïðè âûáîðå ïðåäñåäàòåëÿ è åãî çàìåñòèòåëÿ èç
äàííûõ øåñòè ÷åëîâåê èìååò çíà÷åíèå íå òîëüêî òî,
êàêèå äâà ÷åëîâåêà âûáðàíû, íî è òî, êàê ðàñïðåäå-
ëåíû äîëæíîñòè ìåæäó íèìè (ò. å. âàæåí è ñîñòàâ, è
ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ). Òàêèì
îáðàçîì, ðå÷ü èäåò î ðàçìåùåíèÿõ (áåç ïîâòîðåíèé)
èç øåñòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
íàõîäèì
3056
2
6
=×=A
(ñïîñîáîâ). n
Ï ð è ì å ð 2 . Ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæ-
íî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
q Êàæäîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêà-
çàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçìåùåíèå
ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîñòàâëåííîå èç òðåõ öèôð, âçÿòûõ
èç äàííûõ ñåìè öèôð. Êîëè÷åñòâî òàêèõ ÷èñåë íàé-
äåì ïî ôîðìóëå (2):
.3437
~
33
7
==
A
n
201. Ïåðåñòàíîâêè. Ïåðåñòàíîâêàìè èç n ðàç-
ëè÷íûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîì-
áèíàöèè èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ.
Ïåðåñòàíîâêè ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ðàçìåùåíèé (à èìåííî, ðàçìåùåíèÿìè èç m ýëåìåí-
òîâ ïî m).
Ðàçäåë VI
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
200. Ðàçìåùåíèÿ. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ðàçëè÷-
íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîç-
ìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿ-
òûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà ëèáî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, ëèáî èõ ïîðÿäêîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ðàçìåùåíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåì-
ïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: ab,
cbbccaacba ,,,,
);
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòî-
ðåíèÿìè èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà
òàêîâû:
cccbcabcbbbaacabaa ,,,,,,,,
; ðàçìåùåíèÿ
ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ a, b ïî
k = 3 ýëåìåíòà òàêîâû:
,,,,,, babbaaabbabaaabaaa
bbbbba,
).
×èñëî ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåí-
òîâ ïî k ýëåìåíòîâ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
)
,1
)
...
(
1
(
)
!
(
!
+--=
-
= knnn
kn
n
A
k
n
ãäå
,nk £
(1)
272
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
273
C
k
n
à ÷èñëî ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ ôîðìóëîé
.
~
kk
n
nA
=
(2)
Ñèìâîë n! (÷èòàåòñÿ «ýí ôàêòîðèàë») ýòî ñî-
êðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ 1 · 2 · 3... n.
Ï ð è ì å ð 1. Êîìèññèÿ ñîñòîèò èç ïðåäñåäàòåëÿ,
çàìåñòèòåëÿ è åùå ÷åòûðåõ ÷åëîâåê. Ñêîëüêèìè ñïî-
ñîáàìè ÷ëåíû êîìèññèè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü ìåæäó
ñîáîé îáÿçàííîñòè ïðåäñåäàòåëÿ è çàìåñòèòåëÿ?
q Ïðè âûáîðå ïðåäñåäàòåëÿ è åãî çàìåñòèòåëÿ èç
äàííûõ øåñòè ÷åëîâåê èìååò çíà÷åíèå íå òîëüêî òî,
êàêèå äâà ÷åëîâåêà âûáðàíû, íî è òî, êàê ðàñïðåäå-
ëåíû äîëæíîñòè ìåæäó íèìè (ò. å. âàæåí è ñîñòàâ, è
ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ). Òàêèì
îáðàçîì, ðå÷ü èäåò î ðàçìåùåíèÿõ (áåç ïîâòîðåíèé)
èç øåñòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
íàõîäèì
3056
2
6
=×=A
(ñïîñîáîâ). n
Ï ð è ì å ð 2 . Ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæ-
íî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
q Êàæäîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêà-
çàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçìåùåíèå
ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîñòàâëåííîå èç òðåõ öèôð, âçÿòûõ
èç äàííûõ ñåìè öèôð. Êîëè÷åñòâî òàêèõ ÷èñåë íàé-
äåì ïî ôîðìóëå (2):
.3437
~
33
7
==
A
n
201. Ïåðåñòàíîâêè. Ïåðåñòàíîâêàìè èç n ðàç-
ëè÷íûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîì-
áèíàöèè èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ.
Ïåðåñòàíîâêè ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ðàçìåùåíèé (à èìåííî, ðàçìåùåíèÿìè èç m ýëåìåí-
òîâ ïî m).
Ðàçäåë VI
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
200. Ðàçìåùåíèÿ. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ðàçëè÷-
íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîç-
ìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿ-
òûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà ëèáî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, ëèáî èõ ïîðÿäêîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ðàçìåùåíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåì-
ïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: ab,
cbbccaacba ,,,,
);
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè êàæäûé âõîäÿùèé â êîì-
áèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòî-
ðåíèÿìè èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà
òàêîâû:
cccbcabcbbbaacabaa ,,,,,,,,
; ðàçìåùåíèÿ
ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ a, b ïî
k = 3 ýëåìåíòà òàêîâû:
,,,,,, babbaaabbabaaabaaa
bbbbba,
).
×èñëî ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåí-
òîâ ïî k ýëåìåíòîâ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
)
,1
)
...
(
1
(
)
!
(
!
+--=
-
= knnn
kn
n
A
k
n
ãäå
,nk £
(1)