Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

255254

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî:

à)

;0252

>+- xx

á)

.044

>-+- xx

q Óðàâíåíèå

0252

=+- xx èìååò äâà êîðíÿ:

.2,5,0

== xx

Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóí-

êöèè

,252

+-= xxy

èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà

ðèñ. 80, à. Íåðàâåíñòâî

0252

>+- xx

âûïîëíÿåòñÿ

ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ õ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû

ëåæàò âûøå îñè Îõ: ýòî áóäåò ïðè

xx <

èëè

xx >

ò. å. ïðè

5,0<x

èëè ïðè

.2>x

Çíà÷èò, ðåøåíèÿ

íåðàâåíñòâà òàêîâû:

.2,5,0 >< xx

á) Óðàâíåíèå

044

=-+- xx

èìååò îäèí êîðåíü

õ = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè

,44

-+-= xxy

èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.

81, á.

Íåðàâåíñòâî

044

>-+- xx

âûïîëíÿåòñÿ ïðè

òåõ çíà÷åíèÿõ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò

âûøå îñè Îõ. Òàêèõ òî÷åê íåò, çíà÷èò, íåðàâåíñòâî

íå èìååò ðåøåíèé. n

189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè. Ïðè ðåøåíèè íå-

ðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì ìî-

äóëÿ, èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

xfxf

åñëè

Èíîãäà ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èí-

òåðïðåòàöèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 29).

Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä âîçâåäåíèÿ

â êâàäðàò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà, îñíîâàííûé íà

ñëåäóþùåé òåîðåìå:

Ò.5.7. Åñëè âûðàæåíèÿ

)(xf

)(xg

ïðè ëþáûõ õ

ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ,

òî íåðàâåíñòâà

)()( xgxf >

))(())((

xgxf >

ðàâíîñèëüíû.

Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

.21 <-x

q I ñïîñîá. Âåëè÷èíó

1-x

ìîæíî ðàññìàòðè-

âàòü êàê ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæ-

äó òî÷êàìè õ è 1. Çíà÷èò, íàì íóæíî óêàçàòü âñå

òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 ìåíüøå ÷åì íà

2 åäèíèöû. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé óñòà-

íàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü

èíòåðâàë (1, 3).

II ñïîñîá. Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè äàííîãî íåðàâåíñòâà

â êâàäðàò, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî

.4)1(

<-x Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì

,032

<-- xx îòêóäà íàõîäèì, ÷òî

31 <<- x

(ñì.

ï.187 èëè ï.188).

III ñïîñîá. Ïî îïðåäåëåíèþ,

<---

³--

0.1

)

(

,01,1

åñëè

Ïîýòîìó äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâî-

êóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì íåðàâåíñòâ:

³-

;21

,01

<--

)

(

,01

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

255254

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî:

à)

;0252

>+- xx

á)

.044

>-+- xx

q Óðàâíåíèå

0252

=+- xx èìååò äâà êîðíÿ:

.2,5,0

== xx

Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóí-

êöèè

,252

+-= xxy

èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà

ðèñ. 80, à. Íåðàâåíñòâî

0252

>+- xx

âûïîëíÿåòñÿ

ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ õ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû

ëåæàò âûøå îñè Îõ: ýòî áóäåò ïðè

xx <

èëè

xx >

ò. å. ïðè

5,0<x

èëè ïðè

.2>x

Çíà÷èò, ðåøåíèÿ

íåðàâåíñòâà òàêîâû:

.2,5,0 >< xx

á) Óðàâíåíèå

044

=-+- xx

èìååò îäèí êîðåíü

õ = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè

,44

-+-= xxy

èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.

81, á.

Íåðàâåíñòâî

044

>-+- xx

âûïîëíÿåòñÿ ïðè

òåõ çíà÷åíèÿõ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò

âûøå îñè Îõ. Òàêèõ òî÷åê íåò, çíà÷èò, íåðàâåíñòâî

íå èìååò ðåøåíèé. n

189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè. Ïðè ðåøåíèè íå-

ðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì ìî-

äóëÿ, èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

xfxf

åñëè

Èíîãäà ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èí-

òåðïðåòàöèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 29).

Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä âîçâåäåíèÿ

â êâàäðàò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà, îñíîâàííûé íà

ñëåäóþùåé òåîðåìå:

Ò.5.7. Åñëè âûðàæåíèÿ

)(xf

)(xg

ïðè ëþáûõ õ

ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ,

òî íåðàâåíñòâà

)()( xgxf >

))(())((

xgxf >

ðàâíîñèëüíû.

Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

.21 <-x

q I ñïîñîá. Âåëè÷èíó

1-x

ìîæíî ðàññìàòðè-

âàòü êàê ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæ-

äó òî÷êàìè õ è 1. Çíà÷èò, íàì íóæíî óêàçàòü âñå

òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 ìåíüøå ÷åì íà

2 åäèíèöû. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé óñòà-

íàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü

èíòåðâàë (1, 3).

II ñïîñîá. Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè äàííîãî íåðàâåíñòâà

â êâàäðàò, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî

.4)1(

<-x Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì

,032

<-- xx îòêóäà íàõîäèì, ÷òî

31 <<- x

(ñì.

ï.187 èëè ï.188).

III ñïîñîá. Ïî îïðåäåëåíèþ,

<---

³--

0.1

)

(

,01,1

åñëè

Ïîýòîìó äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâî-

êóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì íåðàâåíñòâ:

³-

;21

,01

<--

)

(

,01

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

257256

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî

,31 <£ x

à èç

âòîðîé  ÷òî

.11 <<- x

Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ,

ïîëó÷èì ïðîìåæóòîê (1, 3). n

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;2342 +£+ xx

á)

.821 xx ->-

q à) Åñëè

,042 ³+x

òî

,4242 +=+ xx

è, ñëåäî-

âàòåëüíî, íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä

.2342 +£+ xx

Åñëè æå

,042 <+x

òî

)

,42

(

42 +-=+ xx

è íåðàâåí-

ñòâî ïðèíèìàåò âèä

.23)42( +£+- xx

Òàêèì îáðà-

çîì, äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíî-

ñòüþ äâóõ ñèñòåì:

+£+

³+

;2342

,042

+£+-

.23

)

(

,042

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì

,2³x

à âòîðàÿ íå

èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðà-

âåíñòâ  ëó÷

).,2[ ¥+

á) Åñëè

,021 ³- x

òî

,2121 xx -=-

ò. å. íåðà-

âåíñòâî ïðèìåò âèä

.821 xx ->-

Åñëè æå

,021 <- x

òî

,1221 -=- xx

ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä

.812 xx ->-

Çíà÷èò, îò äàííîãî íåðàâåíñòâà ïåðå-

õîäèì ê ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:

->-

³-

.812

,021

;821

,021

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî x <  7, à èç âòî-

ðîé  ÷òî x > 3. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü êàê îáúåäè-

íåíèå äâóõ ïðîìåæóòêîâ:

).,3()7,( ¥+-¥- 7

190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòî-

äîì ïðîìåæóòêîâ. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðà-

âåíñòâ âèäà

)

(

)

(

(âìåñòî çíàêà > ìîæåò áûòü

ëþáîé äðóãîé çíàê íåðàâåíñòâà), ãäå

)(xp

)(xq



ìíîãî÷ëåíû, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

dxcx

bxax

ãäå

.dcba <<<

Åñëè

,dx >

òî êàæäûé èç ìíîæèòåëåé

dxcxbxax ---- ,,,

ïîëîæèòåëåí, è, ñëåäîâàòåëü-

íî, íà ïðîìåæóòêå

),( ¥+d

èìååì

.0)( >xh

Åñëè

,dxc <<

òî

,0<- dx

à îñòàëüíûå ìíîæèòåëè ïî-

ïðåæíåìó ïîëîæèòåëüíû. Çíà÷èò, íà èíòåðâàëå

(c, d) èìååì h(x) < 0. Àíàëîãè÷íî íà èíòåðâàëå

),( cb

ïîëó÷èì

0)( >xh

è ò. ä. (ðèñ. 82, à).

Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè

)(xh

óäîáíî èëëþñ-

òðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîîáðàçíîé êðèâîé (åå íà-

çûâàþò êðèâîé çíàêîâ), êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íà-

ëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó (ðèñ. 82, á). Ýòó èëëþñòðàöèþ

à) á)

Ðèñ. 82

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

257256

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî

,31 <£ x

à èç

âòîðîé  ÷òî

.11 <<- x

Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ,

ïîëó÷èì ïðîìåæóòîê (1, 3). n

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;2342 +£+ xx

á)

.821 xx ->-

q à) Åñëè

,042 ³+x

òî

,4242 +=+ xx

è, ñëåäî-

âàòåëüíî, íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä

.2342 +£+ xx

Åñëè æå

,042 <+x

òî

)

,42

(

42 +-=+ xx

è íåðàâåí-

ñòâî ïðèíèìàåò âèä

.23)42( +£+- xx

Òàêèì îáðà-

çîì, äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíî-

ñòüþ äâóõ ñèñòåì:

+£+

³+

;2342

,042

+£+-

.23

)

(

,042

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì

,2³x

à âòîðàÿ íå

èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðà-

âåíñòâ  ëó÷

).,2[ ¥+

á) Åñëè

,021 ³- x

òî

,2121 xx -=-

ò. å. íåðà-

âåíñòâî ïðèìåò âèä

.821 xx ->-

Åñëè æå

,021 <- x

òî

,1221 -=- xx

ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä

.812 xx ->-

Çíà÷èò, îò äàííîãî íåðàâåíñòâà ïåðå-

õîäèì ê ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:

->-

³-

.812

,021

;821

,021

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî x <  7, à èç âòî-

ðîé  ÷òî x > 3. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü êàê îáúåäè-

íåíèå äâóõ ïðîìåæóòêîâ:

).,3()7,( ¥+-¥- 7

190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòî-

äîì ïðîìåæóòêîâ. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðà-

âåíñòâ âèäà

)

(

)

(

(âìåñòî çíàêà > ìîæåò áûòü

ëþáîé äðóãîé çíàê íåðàâåíñòâà), ãäå

)(xp

)(xq



ìíîãî÷ëåíû, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

dxcx

bxax

ãäå

.dcba <<<

Åñëè

,dx >

òî êàæäûé èç ìíîæèòåëåé

dxcxbxax ---- ,,,

ïîëîæèòåëåí, è, ñëåäîâàòåëü-

íî, íà ïðîìåæóòêå

),( ¥+d

èìååì

.0)( >xh

Åñëè

,dxc <<

òî

,0<- dx

à îñòàëüíûå ìíîæèòåëè ïî-

ïðåæíåìó ïîëîæèòåëüíû. Çíà÷èò, íà èíòåðâàëå

(c, d) èìååì h(x) < 0. Àíàëîãè÷íî íà èíòåðâàëå

),( cb

ïîëó÷èì

0)( >xh

è ò. ä. (ðèñ. 82, à).

Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè

)(xh

óäîáíî èëëþñ-

òðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîîáðàçíîé êðèâîé (åå íà-

çûâàþò êðèâîé çíàêîâ), êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íà-

ëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó (ðèñ. 82, á). Ýòó èëëþñòðàöèþ

à) á)

Ðèñ. 82

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

259258

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

íóæíî ïîíèìàòü òàê: íà òåõ ïðîìåæóòêàõ, ãäå ýòà

êðèâàÿ ïðîõîäèò âûøå êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, âû-

ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

,0)( >xh

íà òåõ æå ïðîìå-

æóòêàõ, ãäå êðèâàÿ ïðîõîäèò íèæå ïðÿìîé,  íå-

ðàâåíñòâî h(x) < 0.

Äëÿ ïðîâåäåííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ íåñóùå-

ñòâåííî êîëè÷åñòâî ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â ÷èñëè-

òåëå è çíàìåíàòåëå, à òàêæå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå

êîðíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà êîîðäè-

íàòíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó îíî ïðèìåíèìî è äëÿ ôóí-

êöèè âèäà

)

(

)

...

(

)

(

)

(

)

...

(

)

(

)

(

bxbxbx

axaxax

---

ãäå ÷èñëà

bbbaaa

,...,,,,...,,

2121

ïîïàðíî ðàçëè÷-

íû. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè

)(xf

òàêæå èëëþñ-

òðèðóþò ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ, êîòîðóþ ÷åðòÿò

ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó, è ïðîâîäÿò ÷åðåç âñå

îòìå÷åííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè

,...,,

.,...,,,

bbba

Íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä

ïðîìåæóòêîâ, êîòîðûé ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ

ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

+-+

xxx

á)

)

(

)

(

q à) Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà:

 

25,145,12

)

(

)

(

)

(

+×-

+-+

xxx

è óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 8; ïîëó÷èì

íåðàâåíñòâî

)

25,1

(

)

5,1

(

)

(

)

(

)

(

+-+

xxx

ðàâíîñèëü-

íîå äàííîìó.

Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè

f(x)

)

25,1

(

)

5,1

(

)

(

)

(

)

(

+-+

xxx

èëëþñòðèðóåì ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ (ðèñ. 83).

Çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ

0)( <xf

(ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå ïðîìåæóòêè çàøòðèõîâàíû), óäîâëåòâîðÿþò

ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì:

;25,12;5 -<<--< xx

.35,1 << x

Ýòî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà.

á) Èìååì

;01

£-

)

(

)

(

Íà÷åðòèì êðèâóþ çíàêîâ äëÿ ôóíêöèè

=)(xf

)

(

)

(

(ðèñ. 84). Ñ åå ïîìîùüþ íàõîäèì ðå-

øåíèÿ íåðàâåíñòâà:

.1;15 >-<£- xx

Ðèñ. 83 Ðèñ. 84

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

259258

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

íóæíî ïîíèìàòü òàê: íà òåõ ïðîìåæóòêàõ, ãäå ýòà

êðèâàÿ ïðîõîäèò âûøå êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, âû-

ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

,0)( >xh

íà òåõ æå ïðîìå-

æóòêàõ, ãäå êðèâàÿ ïðîõîäèò íèæå ïðÿìîé,  íå-

ðàâåíñòâî h(x) < 0.

Äëÿ ïðîâåäåííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ íåñóùå-

ñòâåííî êîëè÷åñòâî ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â ÷èñëè-

òåëå è çíàìåíàòåëå, à òàêæå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå

êîðíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà êîîðäè-

íàòíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó îíî ïðèìåíèìî è äëÿ ôóí-

êöèè âèäà

)

(

)

...

(

)

(

)

(

)

...

(

)

(

)

(

bxbxbx

axaxax

---

ãäå ÷èñëà

bbbaaa

,...,,,,...,,

2121

ïîïàðíî ðàçëè÷-

íû. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè

)(xf

òàêæå èëëþñ-

òðèðóþò ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ, êîòîðóþ ÷åðòÿò

ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó, è ïðîâîäÿò ÷åðåç âñå

îòìå÷åííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè

,...,,

.,...,,,

bbba

Íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä

ïðîìåæóòêîâ, êîòîðûé ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ

ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

+-+

xxx

á)

)

(

)

(

q à) Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà:

 

25,145,12

)

(

)

(

)

(

+×-

+-+

xxx

è óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 8; ïîëó÷èì

íåðàâåíñòâî

)

25,1

(

)

5,1

(

)

(

)

(

)

(

+-+

xxx

ðàâíîñèëü-

íîå äàííîìó.

Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè

f(x)

)

25,1

(

)

5,1

(

)

(

)

(

)

(

+-+

xxx

èëëþñòðèðóåì ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ (ðèñ. 83).

Çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ

0)( <xf

(ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå ïðîìåæóòêè çàøòðèõîâàíû), óäîâëåòâîðÿþò

ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì:

;25,12;5 -<<--< xx

.35,1 << x

Ýòî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà.

á) Èìååì

;01

£-

)

(

)

(

Íà÷åðòèì êðèâóþ çíàêîâ äëÿ ôóíêöèè

=)(xf

)

(

)

(

(ðèñ. 84). Ñ åå ïîìîùüþ íàõîäèì ðå-

øåíèÿ íåðàâåíñòâà:

.1;15 >-<£- xx

Ðèñ. 83 Ðèñ. 84

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

261260

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè

íåðàâåíñòâ âèäà

)()( xgxf

ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî

ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = à

âîçðàñòàåò ïðè à > 1

è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 114). Çíà÷èò, â ñëó÷àå,

êîãäà à > 1, îò íåðàâåíñòâà

)()( xgxf

ïåðåõîäÿò ê

íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà

).()( xgxf >

Â ñëó÷àå

æå, êîãäà 0 < a < 1, îò íåðàâåíñòâà

)()( xgxf

ïåðå-

õîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà

<)(xf g(x).

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;22

1273

á)

.625)04,0(

--xx

q Çäåñü îñíîâàíèå ñòåïåíè áîëüøå 1, ïîýòîìó, ñðàâ-

íèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî òîãî æå

ñìûñëà: 3õ + 7 < 2x 1. Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì x < 8.

á) Ïîñêîëüêó 625 = 25

= (0,04)



, çàïèøåì äàí-

íîå íåðàâåíñòâî â âèäå

.)04,0()04,0(

285

---

Òàê

êàê 0 < 0,04 < 1, òî, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì

íåðàâåíñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà:

.28 -³-

Èìååì

x

+ 5x  6 ³ 0, x

 5x + 6 £ 0, (x  2) (x  3) £ 0.

Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî (ñì. ï. 190 èëè

ï. 187), ïîëó÷èì

.32 ££ x

Èòàê, ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà

åñòü îòðåçîê [2, 3]. n

192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøå-

íèè íåðàâåíñòâ âèäà

)

(

log

)

(

log xgxf

ñëåäóåò

ó÷èòûâàòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

log=

âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì.

ï. 116). Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò èñõîäíîãî

íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñ-

ëà

).()( xgxf >

Â ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò èñõîä-

íîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâî-

ïîëîæíîãî ñìûñëà

).()( xgxf <

Ïðè ýòîì íåîáõîäè-

ìî ïîìíèòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îïðåäå-

ëåíà ëèøü íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Çíà-

÷èò, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà

0)( >xf

.0)( >xg

Â èòîãå îò íåðàâåíñòâà

)(log)(log xgxf

ïå-

ðåõîäÿò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ

)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

(1) èëè

)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

(2)

Çàìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå (1) (ïðè à > 1) íåðàâåíñò-

âî

0)( >xf

ìîæíî îïóñòèòü; àíàëîãè÷íî, â ñèñòåìå (2)

(ïðè 0 < a < 1) ìîæíî îïóñòèòü íåðàâåíñòâî

.0)( >xg

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;2)592(log

5,0

->+x

á)

).62(lg2)2(lg --<+ xx

q à) Òàê êàê

,4log2

5,0

òî íåðàâåíñòâî ìîæíî

ïåðåïèñàòü â âèäå

.4log)592(log

5,05,0

>+x

Äàëåå

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

261260

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè

íåðàâåíñòâ âèäà

)()( xgxf

ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî

ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = à

âîçðàñòàåò ïðè à > 1

è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 114). Çíà÷èò, â ñëó÷àå,

êîãäà à > 1, îò íåðàâåíñòâà

)()( xgxf

ïåðåõîäÿò ê

íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà

).()( xgxf >

Â ñëó÷àå

æå, êîãäà 0 < a < 1, îò íåðàâåíñòâà

)()( xgxf

ïåðå-

õîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà

<)(xf g(x).

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;22

1273

á)

.625)04,0(

--xx

q Çäåñü îñíîâàíèå ñòåïåíè áîëüøå 1, ïîýòîìó, ñðàâ-

íèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî òîãî æå

ñìûñëà: 3õ + 7 < 2x 1. Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì x < 8.

á) Ïîñêîëüêó 625 = 25

= (0,04)



, çàïèøåì äàí-

íîå íåðàâåíñòâî â âèäå

.)04,0()04,0(

285

---

Òàê

êàê 0 < 0,04 < 1, òî, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì

íåðàâåíñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà:

.28 -³-

Èìååì

x

+ 5x  6 ³ 0, x

 5x + 6 £ 0, (x  2) (x  3) £ 0.

Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî (ñì. ï. 190 èëè

ï. 187), ïîëó÷èì

.32 ££ x

Èòàê, ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà

åñòü îòðåçîê [2, 3]. n

192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøå-

íèè íåðàâåíñòâ âèäà

)

(

log

)

(

log xgxf

ñëåäóåò

ó÷èòûâàòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

log=

âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì.

ï. 116). Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò èñõîäíîãî

íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñ-

ëà

).()( xgxf >

Â ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò èñõîä-

íîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâî-

ïîëîæíîãî ñìûñëà

).()( xgxf <

Ïðè ýòîì íåîáõîäè-

ìî ïîìíèòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îïðåäå-

ëåíà ëèøü íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Çíà-

÷èò, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà

0)( >xf

.0)( >xg

Â èòîãå îò íåðàâåíñòâà

)(log)(log xgxf

ïå-

ðåõîäÿò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ

)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

(1) èëè

)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

(2)

Çàìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå (1) (ïðè à > 1) íåðàâåíñò-

âî

0)( >xf

ìîæíî îïóñòèòü; àíàëîãè÷íî, â ñèñòåìå (2)

(ïðè 0 < a < 1) ìîæíî îïóñòèòü íåðàâåíñòâî

.0)( >xg

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;2)592(log

5,0

->+x

á)

).62(lg2)2(lg --<+ xx

q à) Òàê êàê

,4log2

5,0

òî íåðàâåíñòâî ìîæíî

ïåðåïèñàòü â âèäå

.4log)592(log

5,05,0

>+x

Äàëåå

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

263262

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

èìååì

,4592

,0592

ò. å.

,5,27

,5,29

îòêóäà 29,5 < x < 27,5.

á) ×òîáû âñå ëîãàðèôìû èìåëè ñìûñë, äîëæíû

âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà õ + 2 > 0 è 2x  6 > 0.

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ïðåîáðàçóåì çàäàí-

íîå íåðàâåíñòâî:

,2)62(lg)2(lg <-++ xx

.100lg))62)(2((lg <-+ xx

Òàêèì îáðàçîì, çàäàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëü-

íî ñèñòåìå íåðàâåíñòâ

<-+

,100

)

(

)

(

,062

,02

ò. å.

<--

.056

Äàëåå èìååì

<-+

)

(

)

(

ò. å.

<<-

.87

Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 85) óñòà-

íàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ïîñëåäíåé ñèñ-

òåìû, à çíà÷èò, è çàäàííîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ

èíòåðâàë (3, 8). n

193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøå-

íèè èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ èñïîëüçóåòñÿ ñëå-

äóþùåå óòâåðæäåíèå:

Ò.5.8. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà íåêîòîðîì ìíî-

æåñòâå Õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå

çíà÷åíèÿ, òî ïðè âîçâåäåíèè îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåí-

ñòâà â êâàäðàò (èëè â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü) è

ñîõðàíåíèè çíàêà èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷èò-

ñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó (íà ìíîæå-

ñòâå Õ). Âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â

îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü (ñ ñîõðàíåíèåì

çíàêà íåðàâåíñòâà) âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì

ïðåîáðàçîâàíèåì íåðàâåíñòâà.

Íåðàâåíñòâî âèäà

)

(

)

(

xgxf <

ðàâíîñèëüíî ñèñ-

òåìå

))

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

à íåðàâåíñòâî âèäà

)

(

)

(

xgxf >

ðàâíîñèëüíî ñîâî-

êóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;12

xxx <--

á)

.324

+>+- xxx

Ðèñ. 85

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ

263262

Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

èìååì

,4592

,0592

ò. å.

,5,27

,5,29

îòêóäà 29,5 < x < 27,5.

á) ×òîáû âñå ëîãàðèôìû èìåëè ñìûñë, äîëæíû

âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà õ + 2 > 0 è 2x  6 > 0.

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ïðåîáðàçóåì çàäàí-

íîå íåðàâåíñòâî:

,2)62(lg)2(lg <-++ xx

.100lg))62)(2((lg <-+ xx

Òàêèì îáðàçîì, çàäàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëü-

íî ñèñòåìå íåðàâåíñòâ

<-+

,100

)

(

)

(

,062

,02

ò. å.

<--

.056

Äàëåå èìååì

<-+

)

(

)

(

ò. å.

<<-

.87

Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 85) óñòà-

íàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ïîñëåäíåé ñèñ-

òåìû, à çíà÷èò, è çàäàííîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ

èíòåðâàë (3, 8). n

193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøå-

íèè èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ èñïîëüçóåòñÿ ñëå-

äóþùåå óòâåðæäåíèå:

Ò.5.8. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà íåêîòîðîì ìíî-

æåñòâå Õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå

çíà÷åíèÿ, òî ïðè âîçâåäåíèè îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåí-

ñòâà â êâàäðàò (èëè â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü) è

ñîõðàíåíèè çíàêà èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷èò-

ñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó (íà ìíîæå-

ñòâå Õ). Âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â

îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü (ñ ñîõðàíåíèåì

çíàêà íåðàâåíñòâà) âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì

ïðåîáðàçîâàíèåì íåðàâåíñòâà.

Íåðàâåíñòâî âèäà

)

(

)

(

xgxf <

ðàâíîñèëüíî ñèñ-

òåìå

))

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

à íåðàâåíñòâî âèäà

)

(

)

(

xgxf >

ðàâíîñèëüíî ñîâî-

êóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

à)

;12

xxx <--

á)

.324

+>+- xxx

Ðèñ. 85