Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
315314
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè äàíà ôóíêöèÿ
,
2
xy =
òî
;2)( xxf =
¢
ïðè õ = 2 íàõîäèì
,4)2( =
¢
f
à ïðè õ =
= 3 èìååì
.6)3( =
¢
f
Ýòî çíà÷èò, ÷òî â òî÷êå
õ = 2 ôóíêöèÿ èçìåíÿåòñÿ â 4 ðàçà áûñòðåå àðãóìåí-
òà, à â òî÷êå õ = 3 â 6 ðàç áûñòðåå.
226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
Ïóñòü ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò ïðîèçâîäíóþ
).(xf
¢
Ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò
èìåòü ïðîèçâîäíóþ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
)(xf
¢
íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
)(xfy =
è îáîçíà÷àåòñÿ
)(xf
¢¢
èëè
.y
¢¢
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè
,y
¢¢
åñëè ó = õ
10
.
q Èìååì
,10)(
910
xx =
¢
à
.90)10(
89
xx =
¢
Èòàê,
.90)(
810
xx =
¢¢
n
Ïóñòü
)(tss =
çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæå-
íèÿ. Òîãäà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåò ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ, ò. å. óñêîðå-
íèå
).(tsa
¢¢
=
 ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòî-
ðîé ïðîèçâîäíîé.
Ï ð è ì å ð 2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ
ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó
.
12
1
-
=
t
s
Äîêàçàòü, ÷òî
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïðîïîðöèîíàëüíà êóáó
ïðîéäåííîãî ïóòè.
q Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà
,maF =
ãäå
F
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, à óñêîðåíèå,
225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ñêîðîñòü
ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé
âåëè÷èíîé, îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðà
ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Îäíà-
êî åñëè òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé, òî åå ïîëîæåíèå,
ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå ìîæíî çàäàòü ÷èñ-
ëàìè, ò. å. ñ÷èòàòü ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü
)(tss =
ñêàëÿðíûé çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâè-
æåíèÿ, òîãäà
)(ts
¢
âûðàæàåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â
ìîìåíò t (ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü), ò. å.
).(tsv
¢
=
Íàïðèìåð, çàêîí ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà âûðà-
æàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ
.5,0
2
gts =
Òîãäà ñêîðîñòü ïà-
äåíèÿ â ìîìåíò t òàêîâà:
.25,0)(5,0)5,0(
22
gttgtggtsv =×=
¢
×=
¢
=
¢
=
Ïóñòü òåïåðü òî÷êà À äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåé-
íîé òðàåêòîðèè. Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç x (t) è y (t). Ýòè êîîðäèíàòû
çàâèñÿò îò t è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò t. Ðàññìîò-
ðèì ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t.Âåêòîð ìãíîâåííîé ñêîðîñòè
v
íà-
ïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå À. Êî-
îðäèíàòû âåêòîðà
v
òàêæå çàâèñÿò îò âðåìåíè t:
îíè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
)(tx
¢
è
)(ty
¢
, ãäå
x
¢
è
y
¢
ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé õ è ó â òî÷êå t.
Âîîáùå, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
f
â òî÷êå Õ âûðà-
æàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå Õ, ò. å.
ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâè-
ñèìîñòüþ
).(xfy =
 ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
315314
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè äàíà ôóíêöèÿ
,
2
xy =
òî
;2)( xxf =
¢
ïðè õ = 2 íàõîäèì
,4)2( =
¢
f
à ïðè õ =
= 3 èìååì
.6)3( =
¢
f
Ýòî çíà÷èò, ÷òî â òî÷êå
õ = 2 ôóíêöèÿ èçìåíÿåòñÿ â 4 ðàçà áûñòðåå àðãóìåí-
òà, à â òî÷êå õ = 3 â 6 ðàç áûñòðåå.
226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
Ïóñòü ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò ïðîèçâîäíóþ
).(xf
¢
Ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò
èìåòü ïðîèçâîäíóþ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
)(xf
¢
íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
)(xfy =
è îáîçíà÷àåòñÿ
)(xf
¢¢
èëè
.y
¢¢
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè
,y
¢¢
åñëè ó = õ
10
.
q Èìååì
,10)(
910
xx =
¢
à
.90)10(
89
xx =
¢
Èòàê,
.90)(
810
xx =
¢¢
n
Ïóñòü
)(tss =
çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæå-
íèÿ. Òîãäà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåò ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ, ò. å. óñêîðå-
íèå
).(tsa
¢¢
=
 ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòî-
ðîé ïðîèçâîäíîé.
Ï ð è ì å ð 2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ
ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó
.
12
1
-
=
t
s
Äîêàçàòü, ÷òî
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïðîïîðöèîíàëüíà êóáó
ïðîéäåííîãî ïóòè.
q Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà
,maF =
ãäå
F
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, à óñêîðåíèå,
225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ñêîðîñòü
ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé
âåëè÷èíîé, îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðà
ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Îäíà-
êî åñëè òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé, òî åå ïîëîæåíèå,
ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå ìîæíî çàäàòü ÷èñ-
ëàìè, ò. å. ñ÷èòàòü ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü
)(tss =
ñêàëÿðíûé çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâè-
æåíèÿ, òîãäà
)(ts
¢
âûðàæàåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â
ìîìåíò t (ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü), ò. å.
).(tsv
¢
=
Íàïðèìåð, çàêîí ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà âûðà-
æàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ
.5,0
2
gts =
Òîãäà ñêîðîñòü ïà-
äåíèÿ â ìîìåíò t òàêîâà:
.25,0)(5,0)5,0(
22
gttgtggtsv =×=
¢
×=
¢
=
¢
=
Ïóñòü òåïåðü òî÷êà À äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåé-
íîé òðàåêòîðèè. Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç x (t) è y (t). Ýòè êîîðäèíàòû
çàâèñÿò îò t è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò t. Ðàññìîò-
ðèì ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t.Âåêòîð ìãíîâåííîé ñêîðîñòè
v
íà-
ïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå À. Êî-
îðäèíàòû âåêòîðà
v
òàêæå çàâèñÿò îò âðåìåíè t:
îíè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
)(tx
¢
è
)(ty
¢
, ãäå
x
¢
è
y
¢
ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé õ è ó â òî÷êå t.
Âîîáùå, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
f
â òî÷êå Õ âûðà-
æàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå Õ, ò. å.
ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâè-
ñèìîñòüþ
).(xfy =
 ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
317316
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé
2
MP
âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå k
ñåê
=
x
y
D
D
(ñì. ï. 220).
Åñëè òî÷êà Ð äâèæåòñÿ ïî ãðàôèêó, ïðèáëèæà-
ÿñü ê òî÷êå Ì, òî ïðÿìàÿ ÌÐ íà÷íåò ïîâîðà÷è-
âàòüñÿ âîêðóã òî÷êè Ì. ×àùå âñåãî â ýòîì ïðîöåñ-
ñå ñåêóùàÿ ÌÐ ñòðåìèòñÿ çàíÿòü íåêîòîðîå ïðå-
äåëüíîå ïîëîæåíèå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿ-
ìóþ, ñ êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóí-
êöèè
)(xfy =
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à;
ýòà ïðÿìàÿ è åñòü êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíê-
öèè
)(xfy =
â òî÷êå õ = à. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò
òàêîé ïðåäåëüíîé ïðÿìîé (îáîçíà÷èì åãî k) ïîëó-
÷àåòñÿ èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ñåêóùåé â ïðî-
öåññå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò Ð ê Ì:
MP
k
®
=
lim
k
ñåê
.
Óñëîâèå
MP ®
ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì
,0®Dx
à âìåñòî k
ñåê
íàïèñàòü
.
x
y
D
D
 èòîãå ïîëó-
÷àåì
.lim
0
x
y
k
x
D
D
=
®D
Íî
x
y
x
D
D
®D 0
lim
ýòî çíà÷åíèå
ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
)(xfy =
â ôèêñèðîâàííîé òî÷-
êå õ = à, ò. å.
)(af
¢
(ñì. ï. 221).
Èòàê,
),(afk
¢
=
ò. å. çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíê-
öèè
)(xfy =
â òî÷êå õ = à ðàâíî óãëîâîìó êîýôôè-
öèåíòó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
)(xfy =
â
òî÷êå õ = à (ðèñ.93, á).  ýòîì ñîñòîèò
ãåîìåòðè÷åñ-
êèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.
m
ìàññà;
.sa
¢¢
=
Èìååì
;)12(2)12()12())12((
221
---
--=
¢
-×--=
¢
-=
¢
tttts
=
¢
-×-×-×-=
¢
--=
¢¢
--
)12()12()2(2))12(2(
32
ttts
.
)12(
8
)12(8
3
3
-
=-=
-
t
t
Çíà÷èò,
,8
)12(
8
3
3
ms
t
maF =
-
==
ò. å. ñèëà
F
ïðîïîðöèîíàëüíà
.
3
s
n
227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Ðàññìîò-
ðèì ãðàôèê ôóíêöèè
),(xfy =
äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå à, âûäåëèì íà íåì òî÷êó
))(;( afaM
è ïðîâå-
äåì ñåêóùóþ
,
2
MP
ãäå Ð
2
òî÷êà ãðàôèêà, ñîîò-
âåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþ àðãóìåíòà
xa D+
(ðèñ. 93, à).
Ðèñ. 93
à) á)
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
317316
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé
2
MP
âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå k
ñåê
=
x
y
D
D
(ñì. ï. 220).
Åñëè òî÷êà Ð äâèæåòñÿ ïî ãðàôèêó, ïðèáëèæà-
ÿñü ê òî÷êå Ì, òî ïðÿìàÿ ÌÐ íà÷íåò ïîâîðà÷è-
âàòüñÿ âîêðóã òî÷êè Ì. ×àùå âñåãî â ýòîì ïðîöåñ-
ñå ñåêóùàÿ ÌÐ ñòðåìèòñÿ çàíÿòü íåêîòîðîå ïðå-
äåëüíîå ïîëîæåíèå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿ-
ìóþ, ñ êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóí-
êöèè
)(xfy =
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à;
ýòà ïðÿìàÿ è åñòü êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíê-
öèè
)(xfy =
â òî÷êå õ = à. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò
òàêîé ïðåäåëüíîé ïðÿìîé (îáîçíà÷èì åãî k) ïîëó-
÷àåòñÿ èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ñåêóùåé â ïðî-
öåññå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò Ð ê Ì:
MP
k
®
=
lim
k
ñåê
.
Óñëîâèå
MP ®
ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì
,0®Dx
à âìåñòî k
ñåê
íàïèñàòü
.
x
y
D
D
 èòîãå ïîëó-
÷àåì
.lim
0
x
y
k
x
D
D
=
®D
Íî
x
y
x
D
D
®D 0
lim
ýòî çíà÷åíèå
ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
)(xfy =
â ôèêñèðîâàííîé òî÷-
êå õ = à, ò. å.
)(af
¢
(ñì. ï. 221).
Èòàê,
),(afk
¢
=
ò. å. çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíê-
öèè
)(xfy =
â òî÷êå õ = à ðàâíî óãëîâîìó êîýôôè-
öèåíòó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
)(xfy =
â
òî÷êå õ = à (ðèñ.93, á).  ýòîì ñîñòîèò
ãåîìåòðè÷åñ-
êèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.
m
ìàññà;
.sa
¢¢
=
Èìååì
;)12(2)12()12())12((
221
---
--=
¢
-×--=
¢
-=
¢
tttts
=
¢
-×-×-×-=
¢
--=
¢¢
--
)12()12()2(2))12(2(
32
ttts
.
)12(
8
)12(8
3
3
-
=-=
-
t
t
Çíà÷èò,
,8
)12(
8
3
3
ms
t
maF =
-
==
ò. å. ñèëà
F
ïðîïîðöèîíàëüíà
.
3
s
n
227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Ðàññìîò-
ðèì ãðàôèê ôóíêöèè
),(xfy =
äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå à, âûäåëèì íà íåì òî÷êó
))(;( afaM
è ïðîâå-
äåì ñåêóùóþ
,
2
MP
ãäå Ð
2
òî÷êà ãðàôèêà, ñîîò-
âåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþ àðãóìåíòà
xa D+
(ðèñ. 93, à).
Ðèñ. 93
à) á)
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
319318
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà.
Ò.7.10. Åñëè ôóíêöèÿ
f
íåïðåðûâíà íà îòðåçêå
],[ ba
è äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå
),,( ba
òî
íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà
),,( bac Î
÷òî
.
)()(
)(
ab
afbf
cf
-
-
=
¢
(1)
Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, à
òåîðåìà 7.10 òåîðåìîé Ëàãðàíæà.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôîðìóëû Ëàãðàíæà ñî-
ñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè äóãà ÀÂ ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé ãðàôèê íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå
],[ ba
ôóíêöèè
,f
ïðè÷åì â ëþáîé òî÷êå äóãè ê íåé ìîæíî ïðîâåñ-
òè êàñàòåëüíóþ, òî íà äóãå À íàéäåòñÿ òî÷êà Ñ ñ
àáñöèññîé õ = ñ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â
òî÷êå Ñ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí
))(cf
¢
áóäåò
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé ÀÂ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò
ðàâåí
;
)
(
)
(
ab
afbf
-
-
ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè èõ óãëî-
âûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñ-
òðàöèÿ ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 94.
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðî-
èçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ
f
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷-
êå õ
0
. Òîãäà äëÿ àðãóìåíòîâ õ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê
õ
0
, ñïðàâåäëèâà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà
).()()()(
00
xxxfxfxf -
¢
+»
(1)
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíê-
öèè f, äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå a, ìîæíî èñòîëêî-
âàòü: êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè
;0®Dx
êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)),
ñ îòðåçêîì êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê
ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèÿõ x, áëèçêèõ ê a; íàêîíåö,
êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)) è èìå-
þùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé
).(af
¢
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à,
òî â ýòîé òî÷êå ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè êàñà-
òåëüíóþ; âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òî÷êå õ = à ê
ãðàôèêó ôóíêöèè f ìîæíî ïðîâåñòè íåâåðòèêàëü-
íóþ êàñàòåëüíóþ, òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â
òî÷êå õ = à.
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
)(xfy =
â òî÷êå õ = à èìååò âèä
).()()( axafafy -
¢
+=
(1)
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê
ãðàôèêó ôóíêöèè
xy =
â òî÷êå õ = 4.
q Èìååì
,4,
2
1
)
(
,
)
(
==
¢
=
a
x
xfxxf
=)(af
.25,0
42
1
)
(
,24 ==
¢
==
af
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ à,
)(af
è
)(af
¢
â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì
),4(25,02 -+= xy
ò. å.
.125,0 += xy
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
319318
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà.
Ò.7.10. Åñëè ôóíêöèÿ
f
íåïðåðûâíà íà îòðåçêå
],[ ba
è äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå
),,( ba
òî
íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà
),,( bac Î
÷òî
.
)()(
)(
ab
afbf
cf
-
-
=
¢
(1)
Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, à
òåîðåìà 7.10 òåîðåìîé Ëàãðàíæà.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôîðìóëû Ëàãðàíæà ñî-
ñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè äóãà ÀÂ ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé ãðàôèê íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå
],[ ba
ôóíêöèè
,f
ïðè÷åì â ëþáîé òî÷êå äóãè ê íåé ìîæíî ïðîâåñ-
òè êàñàòåëüíóþ, òî íà äóãå À íàéäåòñÿ òî÷êà Ñ ñ
àáñöèññîé õ = ñ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â
òî÷êå Ñ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí
))(cf
¢
áóäåò
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé ÀÂ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò
ðàâåí
;
)
(
)
(
ab
afbf
-
-
ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè èõ óãëî-
âûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñ-
òðàöèÿ ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 94.
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðî-
èçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ
f
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷-
êå õ
0
. Òîãäà äëÿ àðãóìåíòîâ õ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê
õ
0
, ñïðàâåäëèâà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà
).()()()(
00
xxxfxfxf -
¢
+»
(1)
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíê-
öèè f, äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå a, ìîæíî èñòîëêî-
âàòü: êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè
;0®Dx
êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)),
ñ îòðåçêîì êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê
ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèÿõ x, áëèçêèõ ê a; íàêîíåö,
êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)) è èìå-
þùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé
).(af
¢
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à,
òî â ýòîé òî÷êå ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè êàñà-
òåëüíóþ; âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òî÷êå õ = à ê
ãðàôèêó ôóíêöèè f ìîæíî ïðîâåñòè íåâåðòèêàëü-
íóþ êàñàòåëüíóþ, òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â
òî÷êå õ = à.
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
)(xfy =
â òî÷êå õ = à èìååò âèä
).()()( axafafy -
¢
+=
(1)
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê
ãðàôèêó ôóíêöèè
xy =
â òî÷êå õ = 4.
q Èìååì
,4,
2
1
)
(
,
)
(
==
¢
=
a
x
xfxxf
=)(af
.25,0
42
1
)
(
,24 ==
¢
==
af
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ à,
)(af
è
)(af
¢
â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì
),4(25,02 -+= xy
ò. å.
.125,0 += xy
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
321320
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
230. Äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè
íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå åå ïðîèçâîäíîé íà ïðèðàùå-
íèå àðãóìåíòà. Äëÿ ôóíêöèè
)(xfy =
äèôôåðåíöè-
àë îáîçíà÷àþò
dy
èëè
.df
Òàêèì îáðàçîì,
=dy
.)( xxf D
¢
=
Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèè ó = õ èìååì
=dy
,1 xD×=
ò. å.
,xdx D=
äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè
f
îáû÷íî çàïèñûâàþò â ôîðìå
.)( dxxfdy
¢
=
Èç ýòîé çàïèñè ïîëó÷àåòñÿ îäíî èç îáîçíà÷åíèé ïðî-
èçâîäíîé
,)(
dx
dy
xf =
¢
êîòîðîå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê
îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà äèôôåðåíöèà-
ëà:
1
0
. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ýòî ëèíåéíàÿ ôóí-
êöèÿ ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà.
2
0
. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ýòî ãëàâíàÿ ÷àñòü
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ò. å.
dyy »D
(ðèñ. 95).
Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ðàç-
íîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïðîèçâîäíîé.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøà-
åò çàäàííàÿ ñèëà F ïðè ïåðåìåùåíèè ïî îòðåçêó îñè
Îõ. Åñëè ñèëà ïîñòîÿííà, òî ðàáîòà À ðàâíà ïðîèçâå-
äåíèþ F íà äëèíó ïóòè. Åñëè æå ñèëà ìåíÿåòñÿ, òî åå
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îò õ, ò. å. F =
= F (õ). Ïðèðàùåíèå ðàáîòû
AD
íà îòðåçêå
],[ dxxx +
íåëüçÿ òî÷íî âû÷èñëèòü êàê ïðîèçâåäåíèå
,)( dxxF
íî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ
dx
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
ñèëà ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî è óêàçàííîå ïðîèçâå-
äåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíóþ ÷àñòü
AD
, ò. å.
Ï ð è ì å ð. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàéòè ïðè-
áëèæåííîå çíà÷åíèå
.12,8
3
q Ïîëîæèì
.12,8,8,)(
0
3
=== xxxxf
Òîãäà
,
3
1
)
(
,28
)
(
3
2
3
0
x
xfxf =
¢
==
è, çíà÷èò,
=
¢
)(
0
xf
.
12
1
83
1
3
2
==
Ïî ôîðìóëå (1), íàõîäèì
)
,812,8
(
12
1
212,8
3
-+»
ò. å.
.01,212,8
3
» n
Èç ôîðìóëû (1), â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëè-
æåííàÿ ôîðìóëà
,1)1( xrx
r
D+»D+
ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà r è
äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé
.xD
Ðèñ. 94 Ðèñ. 95
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
321320
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
230. Äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè
íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå åå ïðîèçâîäíîé íà ïðèðàùå-
íèå àðãóìåíòà. Äëÿ ôóíêöèè
)(xfy =
äèôôåðåíöè-
àë îáîçíà÷àþò
dy
èëè
.df
Òàêèì îáðàçîì,
=dy
.)( xxf D
¢
=
Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèè ó = õ èìååì
=dy
,1 xD×=
ò. å.
,xdx D=
äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè
f
îáû÷íî çàïèñûâàþò â ôîðìå
.)( dxxfdy
¢
=
Èç ýòîé çàïèñè ïîëó÷àåòñÿ îäíî èç îáîçíà÷åíèé ïðî-
èçâîäíîé
,)(
dx
dy
xf =
¢
êîòîðîå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê
îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà äèôôåðåíöèà-
ëà:
1
0
. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ýòî ëèíåéíàÿ ôóí-
êöèÿ ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà.
2
0
. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ýòî ãëàâíàÿ ÷àñòü
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ò. å.
dyy »D
(ðèñ. 95).
Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ðàç-
íîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïðîèçâîäíîé.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøà-
åò çàäàííàÿ ñèëà F ïðè ïåðåìåùåíèè ïî îòðåçêó îñè
Îõ. Åñëè ñèëà ïîñòîÿííà, òî ðàáîòà À ðàâíà ïðîèçâå-
äåíèþ F íà äëèíó ïóòè. Åñëè æå ñèëà ìåíÿåòñÿ, òî åå
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îò õ, ò. å. F =
= F (õ). Ïðèðàùåíèå ðàáîòû
AD
íà îòðåçêå
],[ dxxx +
íåëüçÿ òî÷íî âû÷èñëèòü êàê ïðîèçâåäåíèå
,)( dxxF
íî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ
dx
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
ñèëà ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî è óêàçàííîå ïðîèçâå-
äåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíóþ ÷àñòü
AD
, ò. å.
Ï ð è ì å ð. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàéòè ïðè-
áëèæåííîå çíà÷åíèå
.12,8
3
q Ïîëîæèì
.12,8,8,)(
0
3
=== xxxxf
Òîãäà
,
3
1
)
(
,28
)
(
3
2
3
0
x
xfxf =
¢
==
è, çíà÷èò,
=
¢
)(
0
xf
.
12
1
83
1
3
2
==
Ïî ôîðìóëå (1), íàõîäèì
)
,812,8
(
12
1
212,8
3
-+»
ò. å.
.01,212,8
3
» n
Èç ôîðìóëû (1), â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëè-
æåííàÿ ôîðìóëà
,1)1( xrx
r
D+»D+
ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà r è
äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé
.xD
Ðèñ. 94 Ðèñ. 95
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
323322
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
åòñÿ â íóëü ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ôóíê-
öèÿ ó = õ
3
âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå
).,( ¥+-¥
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíê-
öèþ:
à)
;1
35
++= xxy
á)
).2(ln35,0
2
--= xxy
q à) Íàõîäèì
.35
24
xxy +=
¢
Ñïðàâåäëèâî íåðà-
âåíñòâî
,035
24
³+ xx
ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà èìååò
ìåñòî ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå
7.11 ôóíêöèÿ
1
35
++= xxy âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñ-
ëîâîé ïðÿìîé.
á) Èìååì
=
-
-=
-
×-×=
¢
2
3
2
1
32
2
1
x
x
x
xy
.
2
)1()3(
2
32
2
-
+-
=
-
--
=
x
xx
x
xx
Çíàêè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ìåíÿþòñÿ òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñ. 96. Íî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èññëå-
äóåìîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
.2>x
Ïî-
ýòîìó èç îòìå÷åííûõ íà ðèñóíêå ÷åòûðåõ ïðîìåæóò-
êîâ íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî äâà: ïðîìåæóòîê (2, 3)
íà íåì
,0<
¢
y
çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü óáûâàåò, è ïðî-
ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ðàáîòû
.)( dxxFdA =
Èòàê, ñèëó ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé ðàáîòû ïî
ïåðåìåùåíèþ.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå äèô-
ôåðåíöèàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ñèëó òîêà ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé çàðÿäà
ïî âðåìåíè;
òåïëîåìêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé òåï-
ëîòû ïî òåìïåðàòóðå.
231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå). Âî ìíîãèõ ñëó-
÷àÿõ ïðîèçâîäíàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî
èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà ìîíîòîííîñòü. Ýòî äîñòèãà-
åòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåì:
Ò.7.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ïðîèç-
âîäíóþ
).0)(( >
¢
xf
Òîãäà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò
íà Õ.
Ò.7.12. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèç-
âîäíóþ
).0)(( <
¢
xf
Òîãäà ôóíêöèÿ óáûâàåò
íà Õ.
Îòìåòèì, ÷òî îáå òåîðåìû ñîõðàíÿþò ñèëó è òîã-
äà, êîãäà âíóòðè ïðîìåæóòêà Õ ñîîòâåòñòâåííî
0)( ³
¢
xf
èëè
,0)( £
¢
xf
íî ðàâåíñòâî
0)( =
¢
xf
âûïîë-
íÿåòñÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ýòîãî ïðîìå-
æóòêà. Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = õ
3
ïðîèçâîäíàÿ
2
3)(
xxf =
¢
âñþäó íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì îáðàùà-
Ðèñ. 96
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
323322
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
åòñÿ â íóëü ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ôóíê-
öèÿ ó = õ
3
âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå
).,( ¥+-¥
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíê-
öèþ:
à)
;1
35
++= xxy
á)
).2(ln35,0
2
--= xxy
q à) Íàõîäèì
.35
24
xxy +=
¢
Ñïðàâåäëèâî íåðà-
âåíñòâî
,035
24
³+ xx
ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà èìååò
ìåñòî ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå
7.11 ôóíêöèÿ
1
35
++= xxy âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñ-
ëîâîé ïðÿìîé.
á) Èìååì
=
-
-=
-
×-×=
¢
2
3
2
1
32
2
1
x
x
x
xy
.
2
)1()3(
2
32
2
-
+-
=
-
--
=
x
xx
x
xx
Çíàêè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ìåíÿþòñÿ òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñ. 96. Íî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èññëå-
äóåìîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
.2>x
Ïî-
ýòîìó èç îòìå÷åííûõ íà ðèñóíêå ÷åòûðåõ ïðîìåæóò-
êîâ íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî äâà: ïðîìåæóòîê (2, 3)
íà íåì
,0<
¢
y
çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü óáûâàåò, è ïðî-
ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ðàáîòû
.)( dxxFdA =
Èòàê, ñèëó ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé ðàáîòû ïî
ïåðåìåùåíèþ.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå äèô-
ôåðåíöèàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ñèëó òîêà ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé çàðÿäà
ïî âðåìåíè;
òåïëîåìêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé òåï-
ëîòû ïî òåìïåðàòóðå.
231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå). Âî ìíîãèõ ñëó-
÷àÿõ ïðîèçâîäíàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî
èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà ìîíîòîííîñòü. Ýòî äîñòèãà-
åòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåì:
Ò.7.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ïðîèç-
âîäíóþ
).0)(( >
¢
xf
Òîãäà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò
íà Õ.
Ò.7.12. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèç-
âîäíóþ
).0)(( <
¢
xf
Òîãäà ôóíêöèÿ óáûâàåò
íà Õ.
Îòìåòèì, ÷òî îáå òåîðåìû ñîõðàíÿþò ñèëó è òîã-
äà, êîãäà âíóòðè ïðîìåæóòêà Õ ñîîòâåòñòâåííî
0)( ³
¢
xf
èëè
,0)( £
¢
xf
íî ðàâåíñòâî
0)( =
¢
xf
âûïîë-
íÿåòñÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ýòîãî ïðîìå-
æóòêà. Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = õ
3
ïðîèçâîäíàÿ
2
3)(
xxf =
¢
âñþäó íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì îáðàùà-
Ðèñ. 96