Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
325324
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ðåìóìà íà ðèñ. 97 ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî
íå ñóùåñòâóåò. Ýòî îáùåå ïîëîæåíèå, ïîäòâåðæäà-
åìîå ñëåäóþùåé òåîðåìîé:
Ò.7.13. Åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò ýêñòðåìóì â
òî÷êå õ = à, òî ëèáî
,0)( =
¢
af
ëèáî
)(af
¢
íå ñóùå-
ñòâóåò (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Òî÷êè, â êîòîðûõ
0)( =
¢
af
èëè
)(af
¢
íå ñóùåñòâó-
åò è êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóí-
êöèè, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè. Òåîðåìà 7.13 îç-
íà÷àåò, ÷òî ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìîãóò äîñòèãàòüñÿ
òîëüêî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ. Îáðàòíàÿ òåîðåìà, îä-
íàêî, íåâåðíà:
íå âî âñÿêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóí-
êöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Òàê, ôóíêöèÿ ó = õ
3
èìååò
îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0 (â ýòîé òî÷êå
03
2
==
¢
xy ), íî â íåé ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñè-
ìóìà, íè ìèíèìóìà (ñì. ðèñ. 27). Ôóíêöèÿ, ãðàôèê
êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 98, èìååò êðèòè÷åñêóþ
òî÷êó õ = à ýòî òî÷êà èçëîìà, â íåé
y
¢
íå ñóùå-
ñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå íåò íè ìèíèìóìà, íè ìàêñè-
ìóìà.
Êàê óçíàòü, êîãäà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ
äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò.7.14. Ïóñòü õ = à êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
)(xfy =
è ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòåðâàë
),,( cb
ñî-
äåðæàùèé òî÷êó à âíóòðè ñåáÿ è òàêîé, ÷òî íà
êàæäîì èç èíòåðâàëîâ
),( ab
è
),( ca
ïðîèçâîä-
íàÿ
)(xf
¢
ñóùåñòâóåò è ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé
çíàê. Òîãäà:
ìåæóòîê
),3( ¥+
íà íåì
,0>
¢
y
çíà÷èò, ôóíêöèÿ
çäåñü âîçðàñòàåò. n
232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ
=y
)(xf=
èìååò ìàêñèìóì (ìèíèìóì) â òî÷êå õ = à,
åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé
)()( afxf <
(ñîîòâåòñòâåííî f(x) > f(a)) äëÿ
.ax ¹
Òàê,
ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 97, èìå-
åò ìàêñèìóì â òî÷êàõ õ
1
è õ
3
è ìèíèìóì â òî÷êàõ
õ
2
è õ
4
.
Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà îáúåäèíÿþòñÿ
îáùèì òåðìèíîì òî÷êè ýêòðåìóìà.
Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ðèñ. 97. Çàìå÷àåì, ÷òî â òî÷-
êàõ õ
1
è õ
4
ê ãðàôèêó ôóíêöèè ìîæíî ïðîâåñòè êà-
ñàòåëüíûå, ïðè÷åì ýòè êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû îñè
Îõ, à çíà÷èò, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàæäîé èç êàñà-
òåëüíûõ ðàâåí íóëþ; èòàê,
.0)(,0)(
41
=
¢
=
¢
xfxf
Â
òî÷êàõ õ
2
è õ
3
êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ïðîâåñòè
íåëüçÿ, çíà÷èò, â ýòèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
)(xf
íå ñóùåñòâóåò. Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êàõ ýêñò-
Ðèñ. 97 Ðèñ. 98
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
325324
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ðåìóìà íà ðèñ. 97 ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî
íå ñóùåñòâóåò. Ýòî îáùåå ïîëîæåíèå, ïîäòâåðæäà-
åìîå ñëåäóþùåé òåîðåìîé:
Ò.7.13. Åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò ýêñòðåìóì â
òî÷êå õ = à, òî ëèáî
,0)( =
¢
af
ëèáî
)(af
¢
íå ñóùå-
ñòâóåò (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Òî÷êè, â êîòîðûõ
0)( =
¢
af
èëè
)(af
¢
íå ñóùåñòâó-
åò è êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóí-
êöèè, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè. Òåîðåìà 7.13 îç-
íà÷àåò, ÷òî ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìîãóò äîñòèãàòüñÿ
òîëüêî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ. Îáðàòíàÿ òåîðåìà, îä-
íàêî, íåâåðíà:
íå âî âñÿêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóí-
êöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Òàê, ôóíêöèÿ ó = õ
3
èìååò
îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0 (â ýòîé òî÷êå
03
2
==
¢
xy ), íî â íåé ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñè-
ìóìà, íè ìèíèìóìà (ñì. ðèñ. 27). Ôóíêöèÿ, ãðàôèê
êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 98, èìååò êðèòè÷åñêóþ
òî÷êó õ = à ýòî òî÷êà èçëîìà, â íåé
y
¢
íå ñóùå-
ñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå íåò íè ìèíèìóìà, íè ìàêñè-
ìóìà.
Êàê óçíàòü, êîãäà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ
äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò.7.14. Ïóñòü õ = à êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
)(xfy =
è ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòåðâàë
),,( cb
ñî-
äåðæàùèé òî÷êó à âíóòðè ñåáÿ è òàêîé, ÷òî íà
êàæäîì èç èíòåðâàëîâ
),( ab
è
),( ca
ïðîèçâîä-
íàÿ
)(xf
¢
ñóùåñòâóåò è ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé
çíàê. Òîãäà:
ìåæóòîê
),3( ¥+
íà íåì
,0>
¢
y
çíà÷èò, ôóíêöèÿ
çäåñü âîçðàñòàåò. n
232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ
=y
)(xf=
èìååò ìàêñèìóì (ìèíèìóì) â òî÷êå õ = à,
åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé
)()( afxf <
(ñîîòâåòñòâåííî f(x) > f(a)) äëÿ
.ax ¹
Òàê,
ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 97, èìå-
åò ìàêñèìóì â òî÷êàõ õ
1
è õ
3
è ìèíèìóì â òî÷êàõ
õ
2
è õ
4
.
Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà îáúåäèíÿþòñÿ
îáùèì òåðìèíîì òî÷êè ýêòðåìóìà.
Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ðèñ. 97. Çàìå÷àåì, ÷òî â òî÷-
êàõ õ
1
è õ
4
ê ãðàôèêó ôóíêöèè ìîæíî ïðîâåñòè êà-
ñàòåëüíûå, ïðè÷åì ýòè êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû îñè
Îõ, à çíà÷èò, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàæäîé èç êàñà-
òåëüíûõ ðàâåí íóëþ; èòàê,
.0)(,0)(
41
=
¢
=
¢
xfxf
Â
òî÷êàõ õ
2
è õ
3
êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ïðîâåñòè
íåëüçÿ, çíà÷èò, â ýòèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
)(xf
íå ñóùåñòâóåò. Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êàõ ýêñò-
Ðèñ. 97 Ðèñ. 98
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
327326
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíê-
öèþ:
à)
;136152
23
++-= xxxy
á)
.
1
96
2
-
+-
=
x
xx
y
q à) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ õ.
2. Èìååì
.36306
2
+-=
¢
xxy
3. Èç óðàâíåíèÿ
036306
2
=+- xx
ïîëó÷èì õ
1
=
= 2, õ
2
= 3.
4. Ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ.
5. Îòìåòèì òî÷êè õ
1
= 2, õ
2
= 3 íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé.
6. Èìååì
).3()2(6 --=
¢
xxy
Çíàêè ïðîèçâîäíîé
íà ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 99.
7. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 2 ñëåâà íàïðàâî
ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «», çíà÷èò,
õ = 2 òî÷êà ìàêñèìóìà; ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó
õ = 3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «» íà «+», çíà÷èò,
õ = 3 òî÷êà ìèíèìóìà.  òî÷êå õ = 2 èìååì
,29
max
=y
â òî÷êå õ = 3 èìååì
.28
min
=y
á) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ:
.1¹x
2. Èìååì
=
-
¢
-+---
¢
+-
=
¢
2
22
)1(
)1()96()1()96(
x
xxxxxx
y
1) åñëè íà
),( ab
ïðîèçâîäíàÿ
,0>
¢
y
à íà
),( ca
ïðîèçâîäíàÿ
,0<
¢
y
òî õ = à òî÷êà ìàêñèìóìà
ôóíêöèè
)(xfy =
;
2) åñëè íà
),( ab
ïðîèçâîäíàÿ
,0<
¢
y
à íà
),( ca
ïðîèçâîäíàÿ
,0>
¢
y
òî õ = à òî÷êà ìèíèìóìà
ôóíêöèè
)(xfy =
;
3) åñëè è íà
),( ab
, è íà
),( ca
ïðîèçâîäíàÿ
0<
¢
y
èëè
,0>
¢
y
òî õ = à íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðå-
ìóìà ôóíêöèè
)(xfy =
(äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Èç òåîðåì 7.13 è 7.14 âûòåêàåò ñëåäóþùåå
ïðà-
âèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
íà ýêñòðåìóì:
1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
2. Íàõîäÿò
).(xf
¢
3. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåí-
ñòâî
0)( =
¢
xf
.
4. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ
)(xf
¢
íå ñóùåñòâóåò.
5. Îòìå÷àþò íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé âñå êðèòè-
÷åñêèå òî÷êè è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
);(xfy =
ïîëó÷àþò ïðîìåæóòêè îáëàñòè îïðåäåëå-
íèÿ ôóíêöèè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèè
)(xfy =
ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê.
6. Îïðåäåëÿþò çíàê
y
¢
íà êàæäîì èç ïðîìåæóò-
êîâ, ïîëó÷åííûõ â ï. 5.
7. Äåëàþò âûâîäû î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ýê-
ñòðåìóìà â êàæäîé èç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ òåîðåìîé 7.14.
Ðèñ. 99 Ðèñ. 100
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
327326
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíê-
öèþ:
à)
;136152
23
++-= xxxy
á)
.
1
96
2
-
+-
=
x
xx
y
q à) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ õ.
2. Èìååì
.36306
2
+-=
¢
xxy
3. Èç óðàâíåíèÿ
036306
2
=+- xx
ïîëó÷èì õ
1
=
= 2, õ
2
= 3.
4. Ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ.
5. Îòìåòèì òî÷êè õ
1
= 2, õ
2
= 3 íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé.
6. Èìååì
).3()2(6 --=
¢
xxy
Çíàêè ïðîèçâîäíîé
íà ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 99.
7. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 2 ñëåâà íàïðàâî
ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «», çíà÷èò,
õ = 2 òî÷êà ìàêñèìóìà; ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó
õ = 3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «» íà «+», çíà÷èò,
õ = 3 òî÷êà ìèíèìóìà.  òî÷êå õ = 2 èìååì
,29
max
=y
â òî÷êå õ = 3 èìååì
.28
min
=y
á) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ:
.1¹x
2. Èìååì
=
-
¢
-+---
¢
+-
=
¢
2
22
)1(
)1()96()1()96(
x
xxxxxx
y
1) åñëè íà
),( ab
ïðîèçâîäíàÿ
,0>
¢
y
à íà
),( ca
ïðîèçâîäíàÿ
,0<
¢
y
òî õ = à òî÷êà ìàêñèìóìà
ôóíêöèè
)(xfy =
;
2) åñëè íà
),( ab
ïðîèçâîäíàÿ
,0<
¢
y
à íà
),( ca
ïðîèçâîäíàÿ
,0>
¢
y
òî õ = à òî÷êà ìèíèìóìà
ôóíêöèè
)(xfy =
;
3) åñëè è íà
),( ab
, è íà
),( ca
ïðîèçâîäíàÿ
0<
¢
y
èëè
,0>
¢
y
òî õ = à íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðå-
ìóìà ôóíêöèè
)(xfy =
(äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Èç òåîðåì 7.13 è 7.14 âûòåêàåò ñëåäóþùåå
ïðà-
âèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
íà ýêñòðåìóì:
1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
2. Íàõîäÿò
).(xf
¢
3. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåí-
ñòâî
0)( =
¢
xf
.
4. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ
)(xf
¢
íå ñóùåñòâóåò.
5. Îòìå÷àþò íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé âñå êðèòè-
÷åñêèå òî÷êè è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
);(xfy =
ïîëó÷àþò ïðîìåæóòêè îáëàñòè îïðåäåëå-
íèÿ ôóíêöèè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèè
)(xfy =
ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê.
6. Îïðåäåëÿþò çíàê
y
¢
íà êàæäîì èç ïðîìåæóò-
êîâ, ïîëó÷åííûõ â ï. 5.
7. Äåëàþò âûâîäû î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ýê-
ñòðåìóìà â êàæäîé èç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ òåîðåìîé 7.14.
Ðèñ. 99 Ðèñ. 100
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
329328
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
âíóòðè îòðåçêà, òàê è íà åãî êîíöàõ. Åñëè íàèáîëü-
øåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò
âî âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà, òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ýêñòðåìóìà; âïðî÷åì, äëÿ ïðàêòèêè äîñòà-
òî÷íî òîãî, ÷òî ýòà òî÷êà êðèòè÷åñêàÿ. Íàèáîëüøåå
è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
íà îò-
ðåçêå [a, b] îáîçíà÷àþòñÿ òàê: ó
íàèá
, ó
íàèì
èëè
)
,
(
max
],[
xf
ba
)
.
(
min
],[
xf
ba
Ïðàâèëî îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f(x) íà îòðåçêå
[a, b]:
1. Íàõîäÿò
).(xf
¢
2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ
0)( =
¢
xf
èëè
)(xf
¢
íå ñóùåñòâóåò, è îòáèðàþò èç íèõ òå, ÷òî ëåæàò âíóò-
ðè îòðåçêà [a, b].
3. Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
â òî÷-
êàõ, ïîëó÷åííûõ â ï. 2, è íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì
âûáèðàþò èç íèõ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå; îíè è
áóäóò ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì
çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè
f
íà îòðåçêå [a, b].
Ï ð è ì å ð. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
xxxy 453
23
--=
íà îòðåçêå [0, 6].
q 1. Íàõîäèì
.4563
2
--=
¢
xxy
2. Ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. Íàé-
äåì òî÷êè, â êîòîðûõ
:0=
¢
y
,04563
2
=-- xx
=
-
×+----
=
2
2
)1(
1)96()1)(62(
x
xxxx
.
)1(
)1()3(
)1(
))3()1(2()3(
22
-
+-
=
-
----
=
x
xx
x
xxx
3. Ïðîèçâîäíàÿ
0=
¢
y
ïðè õ = 3 èëè ïðè õ = 1.
4. Ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
íå ñóùåñòâóåò ïðè õ = 1, íî
ýòà òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóí-
êöèè.
5. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé êðèòè÷åñ-
êèå òî÷êè õ = 1, õ = 3 è òî÷êó õ = 1.
6. Çíàêè ïðîèçâîäíîé â ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóò-
êàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 100.
7. Èòàê, õ = 1 òî÷êà ìàêñèìóìà,
.8
max
-=y
õ = 3 òî÷êà ìèíèìóìà,
.0
min
=y
n
233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà-
÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ãîâîðÿò, ÷òî
ôóíêöèÿ
),(xfy =
îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ,
äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøå-
ãî) çíà÷åíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà ñ, ïðèíàäëåæà-
ùàÿ ýòîìó ïðîìåæóòêó òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç Õ
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
)()( cfxf £
(ñîîòâåòñòâåííî
)).()( cfxf ³
Ò.7.15. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, äîñòèãà-
åò íà íåì ñâîèõ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà-
÷åíèé.
Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå Ì è íàèìåíüøåå çíà÷å-
íèå
m
íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìîãóò äîñòèãàòüñÿ êàê
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
329328
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
âíóòðè îòðåçêà, òàê è íà åãî êîíöàõ. Åñëè íàèáîëü-
øåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò
âî âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà, òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ýêñòðåìóìà; âïðî÷åì, äëÿ ïðàêòèêè äîñòà-
òî÷íî òîãî, ÷òî ýòà òî÷êà êðèòè÷åñêàÿ. Íàèáîëüøåå
è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
íà îò-
ðåçêå [a, b] îáîçíà÷àþòñÿ òàê: ó
íàèá
, ó
íàèì
èëè
)
,
(
max
],[
xf
ba
)
.
(
min
],[
xf
ba
Ïðàâèëî îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f(x) íà îòðåçêå
[a, b]:
1. Íàõîäÿò
).(xf
¢
2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ
0)( =
¢
xf
èëè
)(xf
¢
íå ñóùåñòâóåò, è îòáèðàþò èç íèõ òå, ÷òî ëåæàò âíóò-
ðè îòðåçêà [a, b].
3. Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
)(xfy =
â òî÷-
êàõ, ïîëó÷åííûõ â ï. 2, è íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì
âûáèðàþò èç íèõ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå; îíè è
áóäóò ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì
çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè
f
íà îòðåçêå [a, b].
Ï ð è ì å ð. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
xxxy 453
23
--=
íà îòðåçêå [0, 6].
q 1. Íàõîäèì
.4563
2
--=
¢
xxy
2. Ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. Íàé-
äåì òî÷êè, â êîòîðûõ
:0=
¢
y
,04563
2
=-- xx
=
-
×+----
=
2
2
)1(
1)96()1)(62(
x
xxxx
.
)1(
)1()3(
)1(
))3()1(2()3(
22
-
+-
=
-
----
=
x
xx
x
xxx
3. Ïðîèçâîäíàÿ
0=
¢
y
ïðè õ = 3 èëè ïðè õ = 1.
4. Ïðîèçâîäíàÿ
y
¢
íå ñóùåñòâóåò ïðè õ = 1, íî
ýòà òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóí-
êöèè.
5. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé êðèòè÷åñ-
êèå òî÷êè õ = 1, õ = 3 è òî÷êó õ = 1.
6. Çíàêè ïðîèçâîäíîé â ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóò-
êàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 100.
7. Èòàê, õ = 1 òî÷êà ìàêñèìóìà,
.8
max
-=y
õ = 3 òî÷êà ìèíèìóìà,
.0
min
=y
n
233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà-
÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ãîâîðÿò, ÷òî
ôóíêöèÿ
),(xfy =
îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ,
äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøå-
ãî) çíà÷åíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà ñ, ïðèíàäëåæà-
ùàÿ ýòîìó ïðîìåæóòêó òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç Õ
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
)()( cfxf £
(ñîîòâåòñòâåííî
)).()( cfxf ³
Ò.7.15. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, äîñòèãà-
åò íà íåì ñâîèõ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà-
÷åíèé.
Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå Ì è íàèìåíüøåå çíà÷å-
íèå
m
íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìîãóò äîñòèãàòüñÿ êàê
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
331330
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàè-
ìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí. Òàêèå çàäà÷è óäîáíî
ðåøàòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ
îáùóþ ñõåìó.
1. Âûÿâëÿþò îïòèìèçèðóåìóþ âåëè÷èíó (ò. å.
âåëè÷èíó, íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êî-
òîðîé òðåáóåòñÿ íàéòè) è îáîçíà÷àþò åå áóêâîé
ó (èëè S, p, r, R è ò. ä. â çàâèñèìîñòè îò óñëîâèé
çàäà÷è).
2. Îäíó èç íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (ñòîðîíó, óãîë è
ò. ä.) ïðèíèìàþò çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è îáî-
çíà÷àþò áóêâîé õ; óñòàíàâëèâàþò ðåàëüíûå ãðàíè-
öû èçìåíåíèÿ õ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è.
3. Èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ óñëîâèé çàäà÷è, âûðà-
æàþò ó ÷åðåç õ è èçâåñòíûå âåëè÷èíû.
4. Äëÿ ïîëó÷åííîé íà ïðåäûäóùåì ýòàïå ôóíê-
öèè
)(xfy =
íàõîäÿò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå (â çàâèñèìîñòè îò òðåáîâàíèé çàäà÷è) â ïðî-
ìåæóòêå ðåàëüíîãî èçìåíåíèÿ õ, íàéäåííîì â ï.2.
5. Èíòåðïðåòèðóþò ðåçóëüòàò ï. 4 äëÿ äàííîé
êîíêðåòíîé çàäà÷è.
Ï ð è ì å ð. ×åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó Ì âíóò-
ðè óãëà ïðîâåñòè ïðÿìóþ, îòñåêàþùóþ îò óãëà òðåó-
ãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè (ðèñ. 101).
q 1. Îïòèìèçèðóåìàÿ âåëè÷èíà ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ.
2. Ïðîâåäåì
,OBDM
.OAMK
Ïîëîæèì KB =
= õ; ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ òàêîâû: 0 < x <
.
+¥<
3. Ïîñêîëüêó Ì ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, îòðåçêè
DM è KM òàêæå ôèêñèðîâàíû; ïîëîæèì DM = à,
KM = b è âûðàçèì S ÷åðåç õ, à, b.
,0152
2
=-- xx îòêóäà
.3,5
21
-== xx Îòðåçêó
[0, 6] ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = 5.
3. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ õ = 0, õ =
= 5, õ = 6. Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì ó = 0, ó = 175, ó =
= 162. Íàèáîëüøèì èç ýòèõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ
÷èñëî 0, íàèìåíüøèì ÷èñëî 175. Èòàê, ó
íàèá
= 0,
ó
íàèì
= 175. n
234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì
ïðîìåæóòêå. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî (íàè-
ìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàì-
êíóòîì ïðîìåæóòêå, íàïðèìåð íà èíòåðâàëå (à, b), ðå-
øàåòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó, ÷òî è äëÿ îòðåçêà [a, b]
(ñì. ï.233) ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî íà òðåòüåì ýòàïå
âìåñòî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íà êîíöàõ
îòðåçêà íàõîäÿò ïðåäåëû ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè
õ ê êîíöàì èíòåðâàëà. Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííàÿ çà-
äà÷à íå âñåãäà èìååò ðåøåíèå, êàê ýòî èìååò ìåñòî â
ñëó÷àå îòðåçêà.
Èíîãäà äëÿ îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíü-
øåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
)(xfy =
â ïðî-
ìåæóòêå (à, b) îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äâà óòâåðæ-
äåíèÿ:
1
0
. Åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìàêñèìóìà, òî
)(cf
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
2
0
. Åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìèíèìóìà, òî
)(cf
íàèìåíüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
331330
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàè-
ìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí. Òàêèå çàäà÷è óäîáíî
ðåøàòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ
îáùóþ ñõåìó.
1. Âûÿâëÿþò îïòèìèçèðóåìóþ âåëè÷èíó (ò. å.
âåëè÷èíó, íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êî-
òîðîé òðåáóåòñÿ íàéòè) è îáîçíà÷àþò åå áóêâîé
ó (èëè S, p, r, R è ò. ä. â çàâèñèìîñòè îò óñëîâèé
çàäà÷è).
2. Îäíó èç íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (ñòîðîíó, óãîë è
ò. ä.) ïðèíèìàþò çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è îáî-
çíà÷àþò áóêâîé õ; óñòàíàâëèâàþò ðåàëüíûå ãðàíè-
öû èçìåíåíèÿ õ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è.
3. Èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ óñëîâèé çàäà÷è, âûðà-
æàþò ó ÷åðåç õ è èçâåñòíûå âåëè÷èíû.
4. Äëÿ ïîëó÷åííîé íà ïðåäûäóùåì ýòàïå ôóíê-
öèè
)(xfy =
íàõîäÿò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå (â çàâèñèìîñòè îò òðåáîâàíèé çàäà÷è) â ïðî-
ìåæóòêå ðåàëüíîãî èçìåíåíèÿ õ, íàéäåííîì â ï.2.
5. Èíòåðïðåòèðóþò ðåçóëüòàò ï. 4 äëÿ äàííîé
êîíêðåòíîé çàäà÷è.
Ï ð è ì å ð. ×åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó Ì âíóò-
ðè óãëà ïðîâåñòè ïðÿìóþ, îòñåêàþùóþ îò óãëà òðåó-
ãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè (ðèñ. 101).
q 1. Îïòèìèçèðóåìàÿ âåëè÷èíà ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ.
2. Ïðîâåäåì
,OBDM
.OAMK
Ïîëîæèì KB =
= õ; ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ òàêîâû: 0 < x <
.
+¥<
3. Ïîñêîëüêó Ì ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, îòðåçêè
DM è KM òàêæå ôèêñèðîâàíû; ïîëîæèì DM = à,
KM = b è âûðàçèì S ÷åðåç õ, à, b.
,0152
2
=-- xx îòêóäà
.3,5
21
-== xx Îòðåçêó
[0, 6] ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = 5.
3. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ õ = 0, õ =
= 5, õ = 6. Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì ó = 0, ó = 175, ó =
= 162. Íàèáîëüøèì èç ýòèõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ
÷èñëî 0, íàèìåíüøèì ÷èñëî 175. Èòàê, ó
íàèá
= 0,
ó
íàèì
= 175. n
234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì
ïðîìåæóòêå. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî (íàè-
ìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàì-
êíóòîì ïðîìåæóòêå, íàïðèìåð íà èíòåðâàëå (à, b), ðå-
øàåòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó, ÷òî è äëÿ îòðåçêà [a, b]
(ñì. ï.233) ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî íà òðåòüåì ýòàïå
âìåñòî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íà êîíöàõ
îòðåçêà íàõîäÿò ïðåäåëû ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè
õ ê êîíöàì èíòåðâàëà. Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííàÿ çà-
äà÷à íå âñåãäà èìååò ðåøåíèå, êàê ýòî èìååò ìåñòî â
ñëó÷àå îòðåçêà.
Èíîãäà äëÿ îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíü-
øåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
)(xfy =
â ïðî-
ìåæóòêå (à, b) îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äâà óòâåðæ-
äåíèÿ:
1
0
. Åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìàêñèìóìà, òî
)(cf
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
2
0
. Åñëè ôóíêöèÿ
)(xfy =
èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìèíèìóìà, òî
)(cf
íàèìåíüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
333332
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
òðåõ òî÷åê ïðîìåæóòêó
),0( ¥+
ïðèíàäëåæèò ëèøü
òî÷êà õ = à.
â) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó à ïðîèçâîäíàÿ
S
¢
ìåíÿåò çíàê ñ «» íà «+», çíà÷èò, õ = à åäèíñòâåí-
íàÿ â ïðîìåæóòêå
),0( ¥+
òî÷êà ýêñòðåìóìà, ïðè-
÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, è ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíê-
öèÿ S äîñòèãàåò â ýòîé òî÷êå ñâîåãî íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ (ñì. óòâåðæäåíèå 2
0
èç ï. 234).
5. Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å.
Òàê êàê
aKBx ==
è
,aOK =
òî
MK
ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ
,AOBD
çíà÷èò, Ì ñåðåäèíà ÀÂ. Òàêèì îáðà-
çîì, ÷òîáû îò ñòîðîí óãëà îòñå÷ü òðåóãîëüíèê íàè-
ìåíüøåé ïëîùàäè, íàäî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó Ì ïðÿ-
ìóþ òàê, ÷òîáû åå îòðåçîê, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ñòî-
ðîíàìè óãëà, äåëèëñÿ â òî÷êå Ì ïîïîëàì. n
236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëü-
ñòâà òîæäåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâ ñ ïîìîùüþ
ïðîèçâîäíîé îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå:
Ò.7.16. Äëÿ òîãî ÷òîáû íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóò-
êå Õ ôóíêöèÿ áûëà ïîñòîÿííà íà ýòîì ïðîìå-
æóòêå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ïðîèç-
âîäíàÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà Õ áûëà
ðàâíà íóëþ (óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
.25,0)60(cos)60(cossin
2
=°+°-+ xxx
q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
)60(cos)60(cossin)(
2
°+°-+= xxxxf
Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè MKB è AOB, îíè ïî-
äîáíû, çíà÷èò,
,
OB
KB
AO
MK
=
ò. å.
.
xa
x
AO
b
+
=
Îòñþ-
äà íàõîäèì
.
)(
x
xab
AO
+
=
Äàëåå èìååì
,sin5,0 a××= OBAOS
ãäå
=a
AOBÐ=
(ñì. ï. 277) . Ïîýòîìó
.
)(
sin5,0sin)(
)(
5,0
2
x
xa
bxa
x
xab
S
+
×a=a+×
+
×=
4. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
,
)(
2
x
xa
kS
+
×=
<< x0
.
+¥<
ãäå
.sin5,0 a= bk
Íàéäåì åå íàèìåíüøåå çíà-
÷åíèå.
à) Èìååì
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
22
2
x
axxa
k
x
xaxxa
kS
-+
×=
+-+
×=
¢
á) Ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå õ = 0, à
îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ õ = à, õ = à. Èç ýòèõ
Ðèñ. 101
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ÀËÃÅÁÐÀ
333332
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
òðåõ òî÷åê ïðîìåæóòêó
),0( ¥+
ïðèíàäëåæèò ëèøü
òî÷êà õ = à.
â) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó à ïðîèçâîäíàÿ
S
¢
ìåíÿåò çíàê ñ «» íà «+», çíà÷èò, õ = à åäèíñòâåí-
íàÿ â ïðîìåæóòêå
),0( ¥+
òî÷êà ýêñòðåìóìà, ïðè-
÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, è ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíê-
öèÿ S äîñòèãàåò â ýòîé òî÷êå ñâîåãî íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ (ñì. óòâåðæäåíèå 2
0
èç ï. 234).
5. Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å.
Òàê êàê
aKBx ==
è
,aOK =
òî
MK
ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ
,AOBD
çíà÷èò, Ì ñåðåäèíà ÀÂ. Òàêèì îáðà-
çîì, ÷òîáû îò ñòîðîí óãëà îòñå÷ü òðåóãîëüíèê íàè-
ìåíüøåé ïëîùàäè, íàäî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó Ì ïðÿ-
ìóþ òàê, ÷òîáû åå îòðåçîê, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ñòî-
ðîíàìè óãëà, äåëèëñÿ â òî÷êå Ì ïîïîëàì. n
236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëü-
ñòâà òîæäåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâ ñ ïîìîùüþ
ïðîèçâîäíîé îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå:
Ò.7.16. Äëÿ òîãî ÷òîáû íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóò-
êå Õ ôóíêöèÿ áûëà ïîñòîÿííà íà ýòîì ïðîìå-
æóòêå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ïðîèç-
âîäíàÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà Õ áûëà
ðàâíà íóëþ (óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
.25,0)60(cos)60(cossin
2
=°+°-+ xxx
q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
)60(cos)60(cossin)(
2
°+°-+= xxxxf
Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè MKB è AOB, îíè ïî-
äîáíû, çíà÷èò,
,
OB
KB
AO
MK
=
ò. å.
.
xa
x
AO
b
+
=
Îòñþ-
äà íàõîäèì
.
)(
x
xab
AO
+
=
Äàëåå èìååì
,sin5,0 a××= OBAOS
ãäå
=a
AOBÐ=
(ñì. ï. 277) . Ïîýòîìó
.
)(
sin5,0sin)(
)(
5,0
2
x
xa
bxa
x
xab
S
+
×a=a+×
+
×=
4. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
,
)(
2
x
xa
kS
+
×=
<< x0
.
+¥<
ãäå
.sin5,0 a= bk
Íàéäåì åå íàèìåíüøåå çíà-
÷åíèå.
à) Èìååì
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
22
2
x
axxa
k
x
xaxxa
kS
-+
×=
+-+
×=
¢
á) Ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå õ = 0, à
îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ õ = à, õ = à. Èç ýòèõ
Ðèñ. 101