Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
345344
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
q Äëÿ ôóíêöèè
32
1
)(
+
=
x
xf
ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-
ëÿåòñÿ
.32ln5,0
)
(
+= xxF
Çíà÷èò,
.
5
7
ln
2
1
)
5ln7
(
ln5,032ln5,0
32
2
1
2
1
=-=+=
+
ò
x
x
dx
n
244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ.
1
0
. Èíòåãðàë ñóììû ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ:
òòò
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf
.)()())()((
2121
2
0
. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà
çíàê èíòåãðàëà:
òò
=
b
a
b
a
dxxfkxdxxkf
.)()(
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.)432(
1
2
3
ò
-
-+ dxxx
q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà 1
0
è 2
0
, ïîëó÷èì
òòòò
----
=-++=-+
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
)4(32)432(
dxxdxdxxdxxx
=-+=
òòò
---
1
2
1
2
1
2
3
432
dxxdxdxx
 èòîãå ïîëó÷àåì
.
2
1
2
1
2
1
2
)
1
(
2
nn
n
n
nn
S
n
-=
-
=
-
=
Äàëåå èìååì
.
2
1
2
1
2
1
limlim =
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
¥®¥®
n
S
n
n
n
Èòàê,
.
2
1
1
0
=
ò
xdx
n
243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé
(ôîðìóëà Íüþòîíà Ëåéáíèöà). Åñëè
)(xF
ïåð-
âîîáðàçíàÿ äëÿ
)(xf
íà îòðåçêå
],,[ ba
òî
)()()( aFbFdxxf
b
a
-=
ò
(1)
(ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà).
Íà ïðàêòèêå â ôîðìóëå (1) âìåñòî
)()( aFbF -
ïèøóò
b
a
xF
)
(
.
Èíîãäà ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà ïðèíèìàþò
çà îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, ò. å. èíòåãðàëîì îò ôóí-
êöèè
)(xf
íà îòðåçêå
],[ ba
íàçûâàþò ðàçíîñòü
),()( aFbF -
ãäå
)(xF
ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ
).(xf
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.
32
2
1
ò
+x
dx
dx =
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
345344
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
q Äëÿ ôóíêöèè
32
1
)(
+
=
x
xf
ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-
ëÿåòñÿ
.32ln5,0
)
(
+= xxF
Çíà÷èò,
.
5
7
ln
2
1
)
5ln7
(
ln5,032ln5,0
32
2
1
2
1
=-=+=
+
ò
x
x
dx
n
244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ.
1
0
. Èíòåãðàë ñóììû ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ:
òòò
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf
.)()())()((
2121
2
0
. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà
çíàê èíòåãðàëà:
òò
=
b
a
b
a
dxxfkxdxxkf
.)()(
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.)432(
1
2
3
ò
-
-+ dxxx
q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà 1
0
è 2
0
, ïîëó÷èì
òòòò
----
=-++=-+
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
)4(32)432(
dxxdxdxxdxxx
=-+=
òòò
---
1
2
1
2
1
2
3
432
dxxdxdxx
 èòîãå ïîëó÷àåì
.
2
1
2
1
2
1
2
)
1
(
2
nn
n
n
nn
S
n
-=
-
=
-
=
Äàëåå èìååì
.
2
1
2
1
2
1
limlim =
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
¥®¥®
n
S
n
n
n
Èòàê,
.
2
1
1
0
=
ò
xdx
n
243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé
(ôîðìóëà Íüþòîíà Ëåéáíèöà). Åñëè
)(xF
ïåð-
âîîáðàçíàÿ äëÿ
)(xf
íà îòðåçêå
],,[ ba
òî
)()()( aFbFdxxf
b
a
-=
ò
(1)
(ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà).
Íà ïðàêòèêå â ôîðìóëå (1) âìåñòî
)()( aFbF -
ïèøóò
b
a
xF
)(
.
Èíîãäà ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà ïðèíèìàþò
çà îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, ò. å. èíòåãðàëîì îò ôóí-
êöèè
)(xf
íà îòðåçêå
],[ ba
íàçûâàþò ðàçíîñòü
),()( aFbF -
ãäå
)(xF
ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ
).(xf
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.
32
2
1
ò
+x
dx
dx =
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
347346
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
è ñíèçó ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé
)
(
1
xfy =
è
),(
2
xfy =
òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç [a, b]
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
).()(
21
xfxf ³
Ïðèìåðû òàêèõ
ôèãóð ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 105110.  ÷àñòíîñòè,
ôèãóðà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 107, îãðàíè÷åíà ñâåðõó
ãðàôèêîì ôóíêöèè
),(xfy =
à ñíèçó ïðÿìîé ó =
= 0. Òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðà-
ïåöèåé.
Ïëîùàäü S ôèãóðû Ô âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
.))()((
21
ò
-=
b
a
dxxfxfS
(1)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 107, ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà
,)(
ò
=
b
a
dxxfS
(2)
à äëÿ ïëîùàäè ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 108,
ôîðìóëà
.)(
ò
-=
b
a
dxxfS
(3)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åí-
íîé ëèíèÿìè: à)
;0,4
2
=-= yxy
á)
=-= yxy ,2
;24
2
+-= xx
â)
.2, -== xyxy
q à) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íàäî íàéòè, èçîáðà-
=-×+×=
---
1
2
1
2
2
1
2
4
4
2
3
4
2
x
xx
.24
)
21
(
4
)
41
(
2
3
4
4
1
2 -=+--+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
n
245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ
ôèãóðó Ô, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ìíîæåñòâî òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó, ëåæàùåå â ïîëîñå ìåæ-
äó ïðÿìûìè õ = à, õ = b (a < b) è îãðàíè÷åííîå ñâåðõó
(1 16)
1
2
Ðèñ. 107
Ðèñ. 105
Ðèñ. 108
Ðèñ. 106
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
347346
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
è ñíèçó ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé
)
(
1
xfy =
è
),(
2
xfy =
òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç [a, b]
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
).()(
21
xfxf ³
Ïðèìåðû òàêèõ
ôèãóð ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 105110.  ÷àñòíîñòè,
ôèãóðà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 107, îãðàíè÷åíà ñâåðõó
ãðàôèêîì ôóíêöèè
),(xfy =
à ñíèçó ïðÿìîé ó =
= 0. Òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðà-
ïåöèåé.
Ïëîùàäü S ôèãóðû Ô âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
.))()((
21
ò
-=
b
a
dxxfxfS
(1)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 107, ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà
,)(
ò
=
b
a
dxxfS
(2)
à äëÿ ïëîùàäè ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 108,
ôîðìóëà
.)(
ò
-=
b
a
dxxfS
(3)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åí-
íîé ëèíèÿìè: à)
;0,4
2
=-= yxy
á)
=-= yxy ,2
;24
2
+-= xx
â)
.2, -== xyxy
q à) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íàäî íàéòè, èçîáðà-
=-×+×=
---
1
2
1
2
2
1
2
4
4
2
3
4
2
x
xx
.24
)
21
(
4
)
41
(
2
3
4
4
1
2 -=+--+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
n
245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ
ôèãóðó Ô, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ìíîæåñòâî òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó, ëåæàùåå â ïîëîñå ìåæ-
äó ïðÿìûìè õ = à, õ = b (a < b) è îãðàíè÷åííîå ñâåðõó
(1 16)
1
2
Ðèñ. 107
Ðèñ. 105
Ðèñ. 108
Ðèñ. 106
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
349348
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
æåíà íà ðèñ. 109. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì
=-=-=
òòò
---
2
2
2
2
2
2
2
2
4)4(
dxxdxdxxS
.
3
32
)
88
(
3
1
)
22
(
4
3
4
2
2
3
2
2
=+-+=-=
--
x
x
á) Ïîñòðîèâ ïðÿìóþ ó = õ 2 è ïàðàáîëó ó = õ
2
4õ + 2, ïîëó÷èì ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé òðåáóåò-
ñÿ âû÷èñëèòü (ðèñ. 110). Åå ïëîùàäü íàéäåì ïî ôîð-
ìóëå (1), ãäå
,24
)
(
,2
)
(
2
21
+-=-= xxxfxxf
à ïðåäå-
ëû èíòåãðèðîâàíèÿ à è b àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷å-
íèÿ ïàðàáîëû è ïðÿìîé. Äëÿ îòûñêàíèÿ ýòèõ àáñ-
öèññ ðåøèì óðàâíåíèå
)
,
(
)
(
21
xfxf =
ò. å.
=- 2x
,24
2
+-= xx
îòêóäà
.4,1
21
== xx
Èòàê,
=+---=
ò
4
1
2
))24()2((
dxxxxS
=--×=--=
ò
4
1
4
1
3
4
1
2
4
1
2
4
32
5)4)5(
x
xx
dxxx
.5,4)14(4)164(
3
1
)116(
2
5
=-----=
â) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íóæíî íàéòè, èçîáðà-
æåíà íà ðèñ. 111. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ õ = 2. Òîãäà
ïëîùàäü S èíòåðåñóþùåé íàñ ôèãóðû ðàâíà ñóììå
,
21
SS +
ãäå
1
S
è
2
S
ïëîùàäè êðèâîëèíåéíûõ òðà-
ïåöèé îòìå÷åííûõ íà ðèñ. 111 ñîîòâåòñòâåííî ãîðè-
çîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé øòðèõîâêîé. Èìååì
=-+=--=
òò
2
1
5,0
2
1
1
)2())2((
dxxxdxxxS
=-+=
2
1
2
1
2
2
1
5,1
2
25,1
x
xx
;
6
728
)12(2)14(
2
1
)122(
3
2 -
=---+-=
4) dx =
Ðèñ. 109 Ðèñ. 110
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
349348
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
æåíà íà ðèñ. 109. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì
=-=-=
òòò
---
2
2
2
2
2
2
2
2
4)4(
dxxdxdxxS
.
3
32
)
88
(
3
1
)
22
(
4
3
4
2
2
3
2
2
=+-+=-=
--
x
x
á) Ïîñòðîèâ ïðÿìóþ ó = õ 2 è ïàðàáîëó ó = õ
2
4õ + 2, ïîëó÷èì ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé òðåáóåò-
ñÿ âû÷èñëèòü (ðèñ. 110). Åå ïëîùàäü íàéäåì ïî ôîð-
ìóëå (1), ãäå
,24
)
(
,2
)
(
2
21
+-=-= xxxfxxf
à ïðåäå-
ëû èíòåãðèðîâàíèÿ à è b àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷å-
íèÿ ïàðàáîëû è ïðÿìîé. Äëÿ îòûñêàíèÿ ýòèõ àáñ-
öèññ ðåøèì óðàâíåíèå
)
,
(
)
(
21
xfxf =
ò. å.
=- 2x
,24
2
+-= xx
îòêóäà
.4,1
21
== xx
Èòàê,
=+---=
ò
4
1
2
))24()2((
dxxxxS
=--×=--=
ò
4
1
4
1
3
4
1
2
4
1
2
4
32
5)4)5(
x
xx
dxxx
.5,4)14(4)164(
3
1
)116(
2
5
=-----=
â) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íóæíî íàéòè, èçîáðà-
æåíà íà ðèñ. 111. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ õ = 2. Òîãäà
ïëîùàäü S èíòåðåñóþùåé íàñ ôèãóðû ðàâíà ñóììå
,
21
SS +
ãäå
1
S
è
2
S
ïëîùàäè êðèâîëèíåéíûõ òðà-
ïåöèé îòìå÷åííûõ íà ðèñ. 111 ñîîòâåòñòâåííî ãîðè-
çîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé øòðèõîâêîé. Èìååì
=-+=--=
òò
2
1
5,0
2
1
1
)2())2((
dxxxdxxxS
=-+=
2
1
2
1
2
2
1
5,1
2
25,1
x
xx
;
6
728
)12(2)14(
2
1
)122(
3
2 -
=---+-=
4) dx =
Ðèñ. 109 Ðèñ. 110
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
351350
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
=+-=--=
òò
4
2
5,0
4
2
2
)2())2((
dxxxdxxxS
=+-=
4
2
4
2
2
4
2
5,1
2
25,1
x
xx
.
3
2410
)24(2)416(
2
1
)228(
3
2 -
=-+---=
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
.
6
13
3
2410
6
728
21
=
-
+
-
=+= SSS
n
246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåã-
ðàëà. Ïóñòü çàäàíî òåëî Ò (ðèñ. 112), îáëàäàþùåå
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) òåëî ðàñïîëîæåíî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè
a
è
,b
ïàðàëëåëüíûìè çàäàííîé ïëîñêîñòè
p
è óäà-
ëåííûìè îò íåå íà ðàññòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî à è b,
(a < b), ïðè÷åì è â ïëîñêîñòè
a
, è â ïëîñêîñòè
b
åñòü òî÷êè òåëà Ò;
2) åñëè
bxa <<
è ïëîñêîñòü
g
ïàðàëëåëüíà ïëîñ-
êîñòè
p
è óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå õ, òî â ïåðå-
ñå÷åíèè ïëîñêîñòè
g
è òåëà Ò îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå,
ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôóíêöèåé
),(xS
íå-
ïðåðûâíîé íà îòðåçêå
].,[ ba
Òîãäà îáúåì
V
òåëà Ò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
.)(
ò
=
b
a
dxxSV
(1)
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ò òåëî,
Ðèñ. 111 Ðèñ. 112
Ðèñ. 113 Ðèñ. 114
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
ÀËÃÅÁÐÀ
351350
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
=+-=--=
òò
4
2
5,0
4
2
2
)2())2((
dxxxdxxxS
=+-=
4
2
4
2
2
4
2
5,1
2
25,1
x
xx
.
3
2410
)24(2)416(
2
1
)228(
3
2 -
=-+---=
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
.
6
13
3
2410
6
728
21
=
-
+
-
=+= SSS
n
246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåã-
ðàëà. Ïóñòü çàäàíî òåëî Ò (ðèñ. 112), îáëàäàþùåå
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) òåëî ðàñïîëîæåíî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè
a
è
,b
ïàðàëëåëüíûìè çàäàííîé ïëîñêîñòè
p
è óäà-
ëåííûìè îò íåå íà ðàññòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî à è b,
(a < b), ïðè÷åì è â ïëîñêîñòè
a
, è â ïëîñêîñòè
b
åñòü òî÷êè òåëà Ò;
2) åñëè
bxa <<
è ïëîñêîñòü
g
ïàðàëëåëüíà ïëîñ-
êîñòè
p
è óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå õ, òî â ïåðå-
ñå÷åíèè ïëîñêîñòè
g
è òåëà Ò îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå,
ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôóíêöèåé
),(xS
íå-
ïðåðûâíîé íà îòðåçêå
].,[ ba
Òîãäà îáúåì
V
òåëà Ò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
.)(
ò
=
b
a
dxxSV
(1)
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ò òåëî,
Ðèñ. 111 Ðèñ. 112
Ðèñ. 113 Ðèñ. 114
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
ÀËÃÅÁÐÀ
353352
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè
âîêðóã îñè àáñöèññ (ðèñ. 113), òî îáúåì òàêîãî òåëà
âðàùåíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
.))((
22
òò
p=p=
b
a
b
a
dxydxxfV
(2)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáúåì êîíóñà, ðàäèóñ êîòîðî-
ãî ðàâåí R, à âûñîòà ðàâíà Í.
q Êîíóñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåëî, îáðàçî-
âàííîå âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ
êàòåòàìè Í è R âîêðóã êàòåòà Í (ðèñ. 114). Ñîñòà-
âèì óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k
ýòîé ïðÿìîé, ò. å.
,tg j
ðàâåí
,
H
R
OB
AB
=
ò. å.
.
H
R
k =
Çíà÷èò, óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ èìååò âèä
,kxy =
ò. å.
x
H
R
y =
(ñì. ï. 99).
Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ôîð-
ìóëîé (2), ïîëó÷èì
.
0
2
dxx
H
R
V
H
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
p=
Îñòàåòñÿ âû-
ïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ:
ò
=×
p
=
p
=
H
H
x
H
R
dxx
H
R
V
0
0
3
2
2
2
2
2
3
.
3
1
0
3
2
3
2
2
HR
H
H
R
p=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-×
p
=
n
247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà. Ïîíÿ-
òèå èíòåãðàëà ëåæèò â îñíîâå åãî ðàçíîîáðàçíûõ
ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïóñòü, íàïðèìåð, òåëî äâè-
æåòñÿ ïî îñè Îõ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé ïðèëîæåíà
íåêîòîðàÿ ñèëà
)(xFF =
(ñ÷èòàåì, ÷òî âåêòîð ñèëû
íàïðàâëåí ïî îñè èëè â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó,
ò. å. ôàêòè÷åñêè, ÷òî ñèëà çäåñü íå âåêòîðíàÿ, à ñêà-
ëÿðíàÿ âåëè÷èíà). Òîãäà ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøà-
åòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà èç òî÷êè à â òî÷êó b,
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
ò
=
b
a
dxxFA
.)(
Òàêèì îáðà-
çîì, ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå èí-
òåãðàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ïåðåìåùåíèå òåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî
ñêîðîñòè;
ìàññà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ëè-
íåéíîé ïëîòíîñòè;
ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò
ñèëû òîêà.
§ 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè
248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ è åãî ðåøåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíå-
íèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, ñîäåð-
æàùåå ïðîèçâîäíóþ èñêîìîé ôóíêöèè, ñàìó ôóíê-
öèþ è åå àðãóìåíò. Îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
,0),,( =
¢
yyxF
ïðè÷åì
óðàâíåíèå ìîæåò áûòü è íåïîëíûì (íå ñîäåðæàùèì
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
ÀËÃÅÁÐÀ
353352
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè
âîêðóã îñè àáñöèññ (ðèñ. 113), òî îáúåì òàêîãî òåëà
âðàùåíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
.))((
22
òò
p=p=
b
a
b
a
dxydxxfV
(2)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáúåì êîíóñà, ðàäèóñ êîòîðî-
ãî ðàâåí R, à âûñîòà ðàâíà Í.
q Êîíóñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåëî, îáðàçî-
âàííîå âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ
êàòåòàìè Í è R âîêðóã êàòåòà Í (ðèñ. 114). Ñîñòà-
âèì óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k
ýòîé ïðÿìîé, ò. å.
,tg j
ðàâåí
,
H
R
OB
AB
=
ò. å.
.
H
R
k =
Çíà÷èò, óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ èìååò âèä
,kxy =
ò. å.
x
H
R
y =
(ñì. ï. 99).
Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ôîð-
ìóëîé (2), ïîëó÷èì
.
0
2
dxx
H
R
V
H
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
p=
Îñòàåòñÿ âû-
ïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ:
ò
=×
p
=
p
=
H
H
x
H
R
dxx
H
R
V
0
0
3
2
2
2
2
2
3
.
3
1
0
3
2
3
2
2
HR
H
H
R
p=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-×
p
=
n
247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà. Ïîíÿ-
òèå èíòåãðàëà ëåæèò â îñíîâå åãî ðàçíîîáðàçíûõ
ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïóñòü, íàïðèìåð, òåëî äâè-
æåòñÿ ïî îñè Îõ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé ïðèëîæåíà
íåêîòîðàÿ ñèëà
)(xFF =
(ñ÷èòàåì, ÷òî âåêòîð ñèëû
íàïðàâëåí ïî îñè èëè â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó,
ò. å. ôàêòè÷åñêè, ÷òî ñèëà çäåñü íå âåêòîðíàÿ, à ñêà-
ëÿðíàÿ âåëè÷èíà). Òîãäà ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøà-
åòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà èç òî÷êè à â òî÷êó b,
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
ò
=
b
a
dxxFA
.)(
Òàêèì îáðà-
çîì, ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå èí-
òåãðàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ïåðåìåùåíèå òåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî
ñêîðîñòè;
ìàññà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ëè-
íåéíîé ïëîòíîñòè;
ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò
ñèëû òîêà.
§ 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè
248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ è åãî ðåøåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíå-
íèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, ñîäåð-
æàùåå ïðîèçâîäíóþ èñêîìîé ôóíêöèè, ñàìó ôóíê-
öèþ è åå àðãóìåíò. Îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
,0),,( =
¢
yyxF
ïðè÷åì
óðàâíåíèå ìîæåò áûòü è íåïîëíûì (íå ñîäåðæàùèì