Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

ÀËÃÅÁÐÀ

335334

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

).(xfy =

Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäó-

þùåé

îáùåé ñõåìû:

1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.

2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ

0)( =xf

(ýòî òî÷êè

ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ àáñöèññ).

3. Îòìå÷àþò íà îñè Îõ òî÷êè, íàéäåííûå â ï. 2, è

òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà, íàéäåííûå

â ï. 1; ýòè òî÷êè ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà íåñêîëüêî

ïðîìåæóòêîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ ñî-

õðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Óñòàíàâëèâàþò çíàê ôóí-

êöèè â êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ.

4. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ÷åòíîñòü è íå÷åòíîñòü

(â ñëó÷àå ÷åòíîñòè èëè íå÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî

îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì è ïîñòðîåíèåì ãðàôè-

êà ïðè

,0³x

à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðèåé

ãðàôèêà).

5. Íàõîäÿò âåðòèêàëüíûå è ãîðèçîíòàëüíûå àñèì-

ïòîòû (ñì. ïï. 218 è 215).

6. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóìû.

7. Íàõîäÿò íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ êîíò-

ðîëüíûõ òî÷åê è ñòðîÿò ãðàôèê.

Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëåçíî ñ ñàìîãî

íà÷àëà íàéòè îñíîâíîé ïåðèîä Ò (ñì. ï. 96), ñ òåì

÷òîáû, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ è ïîñòðîèâ âåòâü ãðàôè-

êà íà ïðîìåæóòêå

],5,0,5,0[ TT-

çàòåì, âîñïîëüçîâàâ-

øèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ, ïîñòðîèòü âåñü ãðàôèê.

Åñëè âûïîëíåíèå êàêèõ-ëèáî øàãîâ ïðåäëîæåí-

íîé ñõåìû ñîïðÿæåíî ñ òåõíè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè,

òî èõ ìîæíî îïóñòèòü.

Ï ð è ì å ð . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ. Èìååì

-°+°--=

)60(cos)60(sincossin2)( xxxxxf

-=°+°-- xxx 2sin)60sin()60cos(

.02sin2sin))60()60((sin =-=°++°-- xxxx

Çíà÷èò,

0)( =

ïðè âñåõ õ, à ïîòîìó

)(xf



ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ,

.)( Cxf =

Îñòàåòñÿ íàéòè çíà-

÷åíèå ïîñòîÿííîé Ñ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñ-

ëèòü çíà÷åíèå

)(xf

ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ, íàïðè-

ìåð ïðè õ = 0. Íàõîäèì

.25,05,05,0060cos)60(cos0sin)0(

=×+=°°-+=f

Èòàê,

,25,0)0( =f

ò. å. Ñ = 0,25. Òåì ñàìûì ñïðà-

âåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîãî òîæäåñòâà óñòàíîâëåíà.n

237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëü-

ñòâà íåðàâåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè

,b<a

òî

.coscos b+b<a+a

q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

xxxf cos)( +=

è íàé-

äåì åå ïðîèçâîäíóþ

.sin1)( xxf -=

Çàìå÷àåì, ÷òî

,0)( ³

ò. å. ôóíêöèÿ

)(xf

âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñ-

ëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, èç

b<a

âûòåêàåò

),()( b<a ff

ò. å.

.coscos b+b<a+a

238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíê-

öèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

ÀËÃÅÁÐÀ

335334

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

).(xfy =

Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäó-

þùåé

îáùåé ñõåìû:

1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.

2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ

0)( =xf

(ýòî òî÷êè

ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ àáñöèññ).

3. Îòìå÷àþò íà îñè Îõ òî÷êè, íàéäåííûå â ï. 2, è

òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà, íàéäåííûå

â ï. 1; ýòè òî÷êè ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà íåñêîëüêî

ïðîìåæóòêîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ ñî-

õðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Óñòàíàâëèâàþò çíàê ôóí-

êöèè â êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ.

4. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ÷åòíîñòü è íå÷åòíîñòü

(â ñëó÷àå ÷åòíîñòè èëè íå÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî

îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì è ïîñòðîåíèåì ãðàôè-

êà ïðè

,0³x

à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðèåé

ãðàôèêà).

5. Íàõîäÿò âåðòèêàëüíûå è ãîðèçîíòàëüíûå àñèì-

ïòîòû (ñì. ïï. 218 è 215).

6. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóìû.

7. Íàõîäÿò íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ êîíò-

ðîëüíûõ òî÷åê è ñòðîÿò ãðàôèê.

Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëåçíî ñ ñàìîãî

íà÷àëà íàéòè îñíîâíîé ïåðèîä Ò (ñì. ï. 96), ñ òåì

÷òîáû, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ è ïîñòðîèâ âåòâü ãðàôè-

êà íà ïðîìåæóòêå

],5,0,5,0[ TT-

çàòåì, âîñïîëüçîâàâ-

øèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ, ïîñòðîèòü âåñü ãðàôèê.

Åñëè âûïîëíåíèå êàêèõ-ëèáî øàãîâ ïðåäëîæåí-

íîé ñõåìû ñîïðÿæåíî ñ òåõíè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè,

òî èõ ìîæíî îïóñòèòü.

Ï ð è ì å ð . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ. Èìååì

-°+°--=

)60(cos)60(sincossin2)( xxxxxf

-=°+°-- xxx 2sin)60sin()60cos(

.02sin2sin))60()60((sin =-=°++°-- xxxx

Çíà÷èò,

0)( =

ïðè âñåõ õ, à ïîòîìó

)(xf



ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ,

.)( Cxf =

Îñòàåòñÿ íàéòè çíà-

÷åíèå ïîñòîÿííîé Ñ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñ-

ëèòü çíà÷åíèå

)(xf

ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ, íàïðè-

ìåð ïðè õ = 0. Íàõîäèì

.25,05,05,0060cos)60(cos0sin)0(

=×+=°°-+=f

Èòàê,

,25,0)0( =f

ò. å. Ñ = 0,25. Òåì ñàìûì ñïðà-

âåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîãî òîæäåñòâà óñòàíîâëåíà.n

237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëü-

ñòâà íåðàâåíñòâ.

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè

,b<a

òî

.coscos b+b<a+a

q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

xxxf cos)( +=

è íàé-

äåì åå ïðîèçâîäíóþ

.sin1)( xxf -=

Çàìå÷àåì, ÷òî

,0)( ³

ò. å. ôóíêöèÿ

)(xf

âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñ-

ëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, èç

b<a

âûòåêàåò

),()( b<a ff

ò. å.

.coscos b+b<a+a

238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíê-

öèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

ÀËÃÅÁÐÀ

337336

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 1  ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèì-

ïòîòà ãðàôèêà (ñì. ï. 215).

6. Íàõîäèì

----

2222

)4(

)4()9()4()9(

xxxx

+--

×---

)4(

18282

)4(

2)9()4(2

xxxx

)4(

Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå õ = 0 è

íå ñóùåñòâóåò â òî÷êàõ

.2±=x

Íî ïîñëåäíèå íå ïðè-

íàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çíà÷èò, ôóí-

êöèÿ èìååò ëèøü îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0. Ïðè

ïåðåõîäå ÷åðåç íåå ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «»

q 1. Íàõîäèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ:

.2±¹x

2. Ðåøèâ óðàâíåíèå

, íàõîäèì

.3,3

-== xx

3. Òî÷êè 2, 2, 3 è 3 ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà

ïÿòü ïðîìåæóòêîâ. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè ïî

ïðîìåæóòêàì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 102; ñîîòâåòñòâó-

þùàÿ èëëþñòðàöèÿ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíà

íà ðèñ. 103, à (çàøòðèõîâàíû òå ïîëóïîëîñû, ãäå ãðà-

ôèêà íå áóäåò).

4. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê

).()( xfxf =-

Çíà÷èò,

åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.

5. Ïðÿìûå õ = 2, õ = 2  âåðòèêàëüíûå àñèìï-

òîòû (ñì. ï. 218).

×òîáû íàéòè ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó, âû÷èñ-

ëèì

lim

¥®

Äëÿ ýòîãî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

äðîáè ðàçäåëèì ïî÷ëåííî íà õ

(ñì. ï. 216). Ïîëó÷èì

lim

¥®¥®¥®

xxx

à)

á)

Ðèñ. 102

Ðèñ. 103

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

ÀËÃÅÁÐÀ

337336

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 1  ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèì-

ïòîòà ãðàôèêà (ñì. ï. 215).

6. Íàõîäèì

----

2222

)4(

)4()9()4()9(

xxxx

+--

×---

)4(

18282

)4(

2)9()4(2

xxxx

)4(

Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå õ = 0 è

íå ñóùåñòâóåò â òî÷êàõ

.2±=x

Íî ïîñëåäíèå íå ïðè-

íàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çíà÷èò, ôóí-

êöèÿ èìååò ëèøü îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0. Ïðè

ïåðåõîäå ÷åðåç íåå ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «»

q 1. Íàõîäèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ:

.2±¹x

2. Ðåøèâ óðàâíåíèå

, íàõîäèì

.3,3

-== xx

3. Òî÷êè 2, 2, 3 è 3 ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà

ïÿòü ïðîìåæóòêîâ. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè ïî

ïðîìåæóòêàì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 102; ñîîòâåòñòâó-

þùàÿ èëëþñòðàöèÿ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíà

íà ðèñ. 103, à (çàøòðèõîâàíû òå ïîëóïîëîñû, ãäå ãðà-

ôèêà íå áóäåò).

4. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê

).()( xfxf =-

Çíà÷èò,

åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.

5. Ïðÿìûå õ = 2, õ = 2  âåðòèêàëüíûå àñèìï-

òîòû (ñì. ï. 218).

×òîáû íàéòè ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó, âû÷èñ-

ëèì

lim

¥®

Äëÿ ýòîãî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

äðîáè ðàçäåëèì ïî÷ëåííî íà õ

(ñì. ï. 216). Ïîëó÷èì

lim

¥®¥®¥®

xxx

à)

á)

Ðèñ. 102

Ðèñ. 103

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

ÀËÃÅÁÐÀ

339338

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ

äëÿ ôóíêöèè

,)(

xxf

ãäå

.1-¹r

q Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

)(

ïîñêîëüêó

(

)

(

).()1 xfxx

==+

Çíà÷èò,

 îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ.n

240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îòûñ-

êàíèå ïåðâîîáðàçíîé åñòü îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ äèôôå-

ðåíöèðîâàíèþ, è èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ (ñì.

ï. 222), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ

òàáëèöó ïåðâîîáðàçíûõ

(äëÿ ïðîñòîòû â íåé ïðèâåäåíà îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ F(x),

à íå îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ F(x) + C):

íà «+», ïîýòîìó õ = 0  òî÷êà ìèíèìóìà:

.25,2

)

(

min

== fy

7. Â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ âîçüìåì òî÷-

êè

,1±=x

.4±=x

Èìååì

==-=

)

(

)

(

)

(

fff

)4( =-= f

Èñïîëüçîâàâ íàéäåííûå òî÷êè, ñòðîèì ãðàôèê

(ðèñ. 103, á). n

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

239. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Ôóíêöèÿ F (õ) íàçûâàåòñÿ

ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ,

åñëè äëÿ ëþáîãî õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

).()( xfxF =

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü

.)(

xxf =

Òîãäà ïåðâîîá-

ðàçíàÿ èìååò âèä

,25,0)(

xxF =

òàê êàê

)(xF

= (0,25õ

)¢

).()25,0(

xfxx ==

Ýòî íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Òàê, â êà÷å-

ñòâå ïåðâîîáðàçíîé ìîæíî áûëî âçÿòü è ôóíêöèþ

,325,0

)

(

+= xxF

è ôóíêöèþ

525,0

)

(

-= xxF

âîîáùå ëþáóþ ôóíêöèþ âèäà

.25,0

Cx +

Ò.7.17. Åñëè F (õ)  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (õ)

íà ïðîìåæóòêå Õ, òî ó ôóíêöèè f (õ) áåñêîíå÷íî

ìíîãî ïåðâîîáðàçíûõ, è âñå ýòè ïåðâîîáðàçíûå èìå-

þò âèä F (õ) + Ñ, ãäå Ñ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿí-

íàÿ (îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðâîîáðàçíîé).

axf

=)(

)( =

)(

xxF arcsin)( =

xxF arctg)( =

Ôóíêöèÿ Ïåðâîîáðàçíàÿ Ôóíêöèÿ Ïåðâîîáðàçíàÿ

cos

)(

xxf

=)(

)1( -¹r

kxf =)(

kxxF =)(

)(

xxF ln)( =

exF

=)(

xxf sin)( =

xxf cos)( =

sin

)(

xxF cos)( -=

xxF sin)( =

xxF ctg)( -=

xxF tg)( =

f(x) = e

f(x) = 

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

ÀËÃÅÁÐÀ

339338

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ

äëÿ ôóíêöèè

,)(

xxf

ãäå

.1-¹r

q Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

)(

ïîñêîëüêó

(

)

(

).()1 xfxx

==+

Çíà÷èò,

 îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ.n

240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îòûñ-

êàíèå ïåðâîîáðàçíîé åñòü îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ äèôôå-

ðåíöèðîâàíèþ, è èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ (ñì.

ï. 222), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ

òàáëèöó ïåðâîîáðàçíûõ

(äëÿ ïðîñòîòû â íåé ïðèâåäåíà îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ F(x),

à íå îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ F(x) + C):

íà «+», ïîýòîìó õ = 0  òî÷êà ìèíèìóìà:

.25,2

)

(

min

== fy

7. Â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ âîçüìåì òî÷-

êè

,1±=x

.4±=x

Èìååì

==-=

)

(

)

(

)

(

fff

)4( =-= f

Èñïîëüçîâàâ íàéäåííûå òî÷êè, ñòðîèì ãðàôèê

(ðèñ. 103, á). n

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

239. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Ôóíêöèÿ F (õ) íàçûâàåòñÿ

ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ,

åñëè äëÿ ëþáîãî õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

).()( xfxF =

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü

.)(

xxf =

Òîãäà ïåðâîîá-

ðàçíàÿ èìååò âèä

,25,0)(

xxF =

òàê êàê

)(xF

= (0,25õ

)¢

).()25,0(

xfxx ==

Ýòî íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Òàê, â êà÷å-

ñòâå ïåðâîîáðàçíîé ìîæíî áûëî âçÿòü è ôóíêöèþ

,325,0

)

(

+= xxF

è ôóíêöèþ

525,0

)

(

-= xxF

âîîáùå ëþáóþ ôóíêöèþ âèäà

.25,0

Cx +

Ò.7.17. Åñëè F (õ)  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (õ)

íà ïðîìåæóòêå Õ, òî ó ôóíêöèè f (õ) áåñêîíå÷íî

ìíîãî ïåðâîîáðàçíûõ, è âñå ýòè ïåðâîîáðàçíûå èìå-

þò âèä F (õ) + Ñ, ãäå Ñ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿí-

íàÿ (îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðâîîáðàçíîé).

axf

=)(

)( =

)(

xxF arcsin)( =

xxF arctg)( =

Ôóíêöèÿ Ïåðâîîáðàçíàÿ Ôóíêöèÿ Ïåðâîîáðàçíàÿ

cos

)(

xxf

=)(

)1( -¹r

kxf =)(

kxxF =)(

)(

xxF ln)( =

exF

=)(

xxf sin)( =

xxf cos)( =

sin

)(

xxF cos)( -=

xxF sin)( =

xxF ctg)( -=

xxF tg)( =

f(x) = e

f(x) = 

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

ÀËÃÅÁÐÀ

341340

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

q Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî

)4cos1(22sin4

xx -=

(ñì. ï. 83). Òîãäà

.4cos22)( xxf -=

Äëÿ ôóíêöèè

)

(

=xf

ïåðâîîáðàçíàÿ åñòü 2õ, à äëÿ ôóíêöèè

xxf 4cos)(

ñîãëàñíî ïðàâèëó 3

ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-

ëÿåòñÿ

.4sin25,0 x

Òîãäà äëÿ ôóíêöèè =)(xf

)(2)(

xfxf -=

â ñèëó ïðàâèë 1

è 2

ïåðâîîáðàçíàÿ

èìååò âèä

,4sin25,022 xx ×-

ò. å.

.4sin5,02 xx -

Èòàê,

Cxx +- 4sin5,02

 ýòî îáùèé âèä ïåðâîîáðàç-

íîé äëÿ äàííîé ôóíêöèè.n

242. Èíòåãðàë. Ïóñòü ôóíêöèÿ

)(xfy =

íåïðå-

ðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n

÷àñòåé òî÷êàìè õ

, õ

, ..., õ

n1

: äëÿ îäíîðîäíîñòè îáî-

çíà÷åíèé ïîëîæèì

xbxa

Ââåäåì îáîçíà-

÷åíèÿ:

112001

xxxxxx D=-D=-

223

xxx D=-

...,

11 --

D=-

nnn

xxx

è ðàññìîòðèì ñóììó

.)(...)()()(

11221100

D++D+D+D

xxfxxfxxfxxf

(1)

Îíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóí-

êöèè

)(xfy =

ïî îòðåçêó [a, b].

Íà ïðàêòèêå óäîáíåå äåëèòü îòðåçîê [a, b] íà

ðàâíûõ ÷àñòåé. Òîãäà

=D==D=D=D

-1210

...

xxxx

ab -

è ñóììà (1) ïðèíèìàåò âèä

))

(

...

)

(

)

(

)

(

1210

++++

xfxfxfxf

241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. Ïóñòü

íóæíî íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè

).(xfy =

Èíîãäà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåð-

âîîáðàçíûõ èç ï. 240; íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè

6,0

)(

xxf =

ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå òàáëèöû

íàõîäèì

16,0

)

(

16,0

ò. å.

)

(

6,1

xxF =

à îáùèé

âèä ïåðâîîáðàçíûõ òàêîâ:

6,1

Cx +

Îäíàêî ÷àùå,

ïðåæäå ÷åì âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé, ïðèõîäèòñÿ

ïðèìåíÿòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâî-

îáðàçíûõ.

. Åñëè

)(xF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

),(xf

)(xH



ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

),(xh

òî

)()( xHxF +

 ïåðâî-

îáðàçíàÿ äëÿ

).()( xhxf +

Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâîîáðàçíàÿ ñóììû ðàâíà ñóì-

ìå ïåðâîîáðàçíûõ.

. Åñëè

)(xF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

)(xf

è k 

ïîñòîÿííàÿ, òî

)(xkF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

).(xkf

Èíûìè ñëîâàìè, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî

âûíåñòè çà çíàê ïåðâîîáðàçíîé.

. Åñëè

)(xF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

)(xf

è k, b 

ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì

,0¹k

òî

)

(

bkxF

 ïåðâî-

îáðàçíàÿ äëÿ

).( bkxf +

Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ

äëÿ ôóíêöèè

.2sin4)(

xxf =

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

ÀËÃÅÁÐÀ

341340

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

q Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî

)4cos1(22sin4

xx -=

(ñì. ï. 83). Òîãäà

.4cos22)( xxf -=

Äëÿ ôóíêöèè

)

(

=xf

ïåðâîîáðàçíàÿ åñòü 2õ, à äëÿ ôóíêöèè

xxf 4cos)(

ñîãëàñíî ïðàâèëó 3

ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-

ëÿåòñÿ

.4sin25,0 x

Òîãäà äëÿ ôóíêöèè =)(xf

)(2)(

xfxf -=

â ñèëó ïðàâèë 1

è 2

ïåðâîîáðàçíàÿ

èìååò âèä

,4sin25,022 xx ×-

ò. å.

.4sin5,02 xx -

Èòàê,

Cxx +- 4sin5,02

 ýòî îáùèé âèä ïåðâîîáðàç-

íîé äëÿ äàííîé ôóíêöèè.n

242. Èíòåãðàë. Ïóñòü ôóíêöèÿ

)(xfy =

íåïðå-

ðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n

÷àñòåé òî÷êàìè õ

, õ

, ..., õ

n1

: äëÿ îäíîðîäíîñòè îáî-

çíà÷åíèé ïîëîæèì

xbxa

Ââåäåì îáîçíà-

÷åíèÿ:

112001

xxxxxx D=-D=-

223

xxx D=-

...,

11 --

D=-

nnn

xxx

è ðàññìîòðèì ñóììó

.)(...)()()(

11221100

D++D+D+D

xxfxxfxxfxxf

(1)

Îíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóí-

êöèè

)(xfy =

ïî îòðåçêó [a, b].

Íà ïðàêòèêå óäîáíåå äåëèòü îòðåçîê [a, b] íà

ðàâíûõ ÷àñòåé. Òîãäà

=D==D=D=D

-1210

...

xxxx

ab -

è ñóììà (1) ïðèíèìàåò âèä

))

(

...

)

(

)

(

)

(

1210

++++

xfxfxfxf

241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. Ïóñòü

íóæíî íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè

).(xfy =

Èíîãäà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåð-

âîîáðàçíûõ èç ï. 240; íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè

6,0

)(

xxf =

ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå òàáëèöû

íàõîäèì

16,0

)

(

16,0

ò. å.

)

(

6,1

xxF =

à îáùèé

âèä ïåðâîîáðàçíûõ òàêîâ:

6,1

Cx +

Îäíàêî ÷àùå,

ïðåæäå ÷åì âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé, ïðèõîäèòñÿ

ïðèìåíÿòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâî-

îáðàçíûõ.

. Åñëè

)(xF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

),(xf

)(xH



ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

),(xh

òî

)()( xHxF +

 ïåðâî-

îáðàçíàÿ äëÿ

).()( xhxf +

Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâîîáðàçíàÿ ñóììû ðàâíà ñóì-

ìå ïåðâîîáðàçíûõ.

. Åñëè

)(xF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

)(xf

è k 

ïîñòîÿííàÿ, òî

)(xkF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

).(xkf

Èíûìè ñëîâàìè, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî

âûíåñòè çà çíàê ïåðâîîáðàçíîé.

. Åñëè

)(xF

 ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

)(xf

è k, b 

ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì

,0¹k

òî

)

(

bkxF

 ïåðâî-

îáðàçíàÿ äëÿ

).( bkxf +

Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ

äëÿ ôóíêöèè

.2sin4)(

xxf =

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

ÀËÃÅÁÐÀ

343342

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

íàÿ ñóììà S

èìååò âèä

+++++=

nnnn

...

321

)

(

...321

n -++++

Â ÷èñëèòåëå ñîäåðæèòñÿ ñóììà ïåðâûõ (n  1) ÷ëå-

íîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé ïåðâûé

÷ëåí ðàâåí 1, à (n  1)-é ðàâåí n  1. Òîãäà ñóììà

÷ëåíîâ ÷èñëèòåëÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2) èç

ï. 209:

)1(

)1(1 -

-+ nn

Çíà÷åíèå ñóììû çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà

, ïî-

ýòîìó îáîçíà÷èì åå

Åñëè ôóíêöèÿ

íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

,...,...,,

SSS

èìååò ïðåäåë,

êîòîðûé íàçûâàþò èíòåãðàëîì ôóíêöèè

îò à äî

è îáîçíà÷àþò

dxxf

)(

(÷èòàåòñÿ: «èíòåãðàë îò à

äî

ýô îò èêñ äý èêñ»):

.lim

)

(

Sdxxf

¥®

×èñëà à è

íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è

âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, çíàê



çíàêîì èíòåãðàëà, ôóíêöèþ

)(xf

 ïîäûíòåã-

ðàëüíîé ôóíêöèåé, à ïåðåìåííóþ õ  ïåðåìåííîé

èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè

xdx

q Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó S

äëÿ ôóíêöèè

xxf =)(

íà îòðåçêå

].1,0[

Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì óêà-

çàííûé îòðåçîê íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè

,...,

3 -

(ðèñ. 104). Èìååì

,0)0(

ff =

f =

...,,

Èíòåãðàëü-

Ðèñ. 104

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

ÀËÃÅÁÐÀ

343342

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

íàÿ ñóììà S

èìååò âèä

+++++=

nnnn

...

321

)

(

...321

n -++++

Â ÷èñëèòåëå ñîäåðæèòñÿ ñóììà ïåðâûõ (n  1) ÷ëå-

íîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé ïåðâûé

÷ëåí ðàâåí 1, à (n  1)-é ðàâåí n  1. Òîãäà ñóììà

÷ëåíîâ ÷èñëèòåëÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2) èç

ï. 209:

)1(

)1(1 -

-+ nn

Çíà÷åíèå ñóììû çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà

, ïî-

ýòîìó îáîçíà÷èì åå

Åñëè ôóíêöèÿ

íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

,...,...,,

SSS

èìååò ïðåäåë,

êîòîðûé íàçûâàþò èíòåãðàëîì ôóíêöèè

îò à äî

è îáîçíà÷àþò

dxxf

)(

(÷èòàåòñÿ: «èíòåãðàë îò à

äî

ýô îò èêñ äý èêñ»):

.lim

)

(

Sdxxf

¥®

×èñëà à è

íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è

âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, çíàê



çíàêîì èíòåãðàëà, ôóíêöèþ

)(xf

 ïîäûíòåã-

ðàëüíîé ôóíêöèåé, à ïåðåìåííóþ õ  ïåðåìåííîé

èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè

xdx

q Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó S

äëÿ ôóíêöèè

xxf =)(

íà îòðåçêå

].1,0[

Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì óêà-

çàííûé îòðåçîê íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè

,...,

3 -

(ðèñ. 104). Èìååì

,0)0(

ff =

f =

...,,

Èíòåãðàëü-

Ðèñ. 104