Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

ÀËÃÅÁÐÀ

355354

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

õ èëè ó). Åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò

âèä

,0),,,( =

¢¢¢

yyyxF

òî îíî íàçûâàåòñÿ äèôôåðåí-

öèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà.

Íàïðèìåð:

yyxyxyy 2,cos,0 =

=-+

 äèôôåðåíöè-

àëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà;

yyxyyxyy

,1,02

¢¢

=--

¢¢

 äèô-

ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.

Ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íà-

çûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé

â óðàâíåíèå îíî îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî.

Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ

âèäà

Cey

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

.kyy =

q Èìåì

Cey

, îòêóäà

Ckey

Çàìå÷àåì,

÷òî ó è

ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

.kyy =

Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ

âèäà

xCxCy w+w= cossin

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

óðàâíåíèÿ

=w+

¢¢

q Èìååì:

,cossin

xCxCy w+w=

,sincos

xCxCy ww-ww=

.cossin

xCxCy ww-ww-=

¢¢

Òîãäà

+w+ww-=w+

¢¢

)

cossin

(

xCxCyy

)

cossin

(

=w+ww+ xCxC

Èòàê, ôóíêöèÿ

xCxCy w+w= cossin

îáðàùàåò

óðàâíåíèå

=w+

¢¢

â òîæäåñòâî. n

Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå

.sin xy =

q Íàì íóæíî íàéòè ôóíêöèþ, ïðîèçâîäíàÿ êî-

òîðîé ðàâíà

,sinx

ò. å. íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ äëÿ

ôóíêöèè sin x. Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ 

,cos

à òî÷íåå,

ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà

.cos Cx +-

Çíà÷èò,

+-= xy cos

C+

 ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

íåíèÿ. n

Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäå-

ëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé Ñ

 â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî

ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåðû 1 è 3) èëè ñ òî÷íîñòüþ äî ïî-

ñòîÿííûõ Ñ

è Ñ

 â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåð 2). Èíîãäà ê

äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîáàâëÿþò óñëîâèÿ

(èõ íàçûâàþò íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè), ñ ïîìîùüþ

êîòîðûõ ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ.

Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòü óðàâíåíèå

,sin xy =

åñëè

.3)( =py

q Â ïðèìåðå 3 ìû íàøëè, ÷òî

.cos Cxy +-=

Òàê

êàê

,3)( =py

òî

,cos3 C+p-=

ò. å. 3 = 1 + Ñ, îòêóäà

Ñ = 2. Çíà÷èò,

.2cos +-= xy

249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëü-

íîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. ×àñòî áû-

âàåò, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû

ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû â äàííûé

ìîìåíò âðåìåíè. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü ðàäèîàêòèâíî-

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

ÀËÃÅÁÐÀ

355354

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

õ èëè ó). Åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò

âèä

,0),,,( =

¢¢¢

yyyxF

òî îíî íàçûâàåòñÿ äèôôåðåí-

öèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà.

Íàïðèìåð:

yyxyxyy 2,cos,0 =

=-+

 äèôôåðåíöè-

àëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà;

yyxyyxyy

,1,02

¢¢

=--

¢¢

 äèô-

ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.

Ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íà-

çûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé

â óðàâíåíèå îíî îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî.

Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ

âèäà

Cey

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

.kyy =

q Èìåì

Cey

, îòêóäà

Ckey

Çàìå÷àåì,

÷òî ó è

ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

.kyy =

Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ

âèäà

xCxCy w+w= cossin

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

óðàâíåíèÿ

=w+

¢¢

q Èìååì:

,cossin

xCxCy w+w=

,sincos

xCxCy ww-ww=

.cossin

xCxCy ww-ww-=

¢¢

Òîãäà

+w+ww-=w+

¢¢

)

cossin

(

xCxCyy

)

cossin

(

=w+ww+ xCxC

Èòàê, ôóíêöèÿ

xCxCy w+w= cossin

îáðàùàåò

óðàâíåíèå

=w+

¢¢

â òîæäåñòâî. n

Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå

.sin xy =

q Íàì íóæíî íàéòè ôóíêöèþ, ïðîèçâîäíàÿ êî-

òîðîé ðàâíà

,sinx

ò. å. íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ äëÿ

ôóíêöèè sin x. Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ 

,cos

à òî÷íåå,

ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà

.cos Cx +-

Çíà÷èò,

+-= xy cos

C+

 ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

íåíèÿ. n

Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäå-

ëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé Ñ

 â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî

ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåðû 1 è 3) èëè ñ òî÷íîñòüþ äî ïî-

ñòîÿííûõ Ñ

è Ñ

 â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåð 2). Èíîãäà ê

äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîáàâëÿþò óñëîâèÿ

(èõ íàçûâàþò íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè), ñ ïîìîùüþ

êîòîðûõ ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ.

Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòü óðàâíåíèå

,sin xy =

åñëè

.3)( =py

q Â ïðèìåðå 3 ìû íàøëè, ÷òî

.cos Cxy +-=

Òàê

êàê

,3)( =py

òî

,cos3 C+p-=

ò. å. 3 = 1 + Ñ, îòêóäà

Ñ = 2. Çíà÷èò,

.2cos +-= xy

249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëü-

íîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. ×àñòî áû-

âàåò, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû

ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû â äàííûé

ìîìåíò âðåìåíè. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü ðàäèîàêòèâíî-

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

ÀËÃÅÁÐÀ

357356

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ãî ðàñïàäà ïðîïîðöèîíàëüíà íàëè÷íîé ìàññå âåùå-

ñòâà; ïðèðîñò äåíåã ïî âêëàäó â áàíêå ïðîïîðöèîíà-

ëåí âåëè÷èíå âêëàäà è ò. ä.

Òàê êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ó ïðî-

ïîðöèîíàëüíà ñàìîé âåëè÷èíå ó, òî âûïîëíÿåòñÿ

ðàâåíñòâî

.kyy =

(1)

Êîýôôèöèåíò k ïîëîæèòåëåí, åñëè âåëè÷èíà ó óâå-

ëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íàïðèìåð, âêëàä â

áàíêå), è îòðèöàòåëåí, åñëè ó óìåíüøàåòñÿ (íàïðè-

ìåð, ìàññà âåùåñòâà ïðè ðàäèîàêòèâíîì ðàñïàäå).

Âî âòîðîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1) îáû÷íî çàïèñûâà-

þò â âèäå

,kyy -=

ñ÷èòàÿ, ÷òî

.0>k

Óðàâíåíèå

ky íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì

ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà, à óðàâíåíèå

kyy -=

 äèô-

ôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî óáû-

âàíèÿ.

Ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ïðèìåð 1 èç ï. 248), ïðè÷åì èíûõ

ðåøåíèé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò. ×èñëî Ñ èìååò ïðî-

ñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíî ðàâíî çíà÷åíèþ ó ïðè

õ = 0, ò. å. íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ó. Â ñàìîì äåëå,

ïðè õ = 0 ïîëó÷àåì

CCeCey

===

Ï ð è ì å ð 1. Óðàâíåíèå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïà-

äà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

mkmm (-=

 ìàññà). Åãî

ðåøåíèå åñòü

Cem

(ïîñêîëüêó çäåñü àðãóìåí-

òîì ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, èñïîëüçóåì ïðèâû÷íîå îáîçíà÷å-

íèå t). Êàê îòìå÷åíî âûøå, Ñ  íà÷àëüíîå êîëè÷å-

ñòâî âåùåñòâà, ò. å.

mC =

Ïîýòîìó çàêîí ðàäèîàê-

òèâíîãî ðàñïàäà èìååò âèä

emm

(2)

Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèàëüíîå

óðàâíåíèå íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîãî âèäà, ÷åì (1):

).( ayky -=

Åãî ðåøåíèå èìååò âèä

Ceay

Â ñàìîì

äåëå,

).()()( aykaaCekCkeCeay

kxkxkx

-=-+==

Ï ð è ì å ð 2. Ñêîðîñòü îñòûâàíèÿ òåëà ïðî-

ïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû Ò ýòîãî òåëà

è òåìïåðàòóðû Ò

îêðóæàþùåé ñðåäû. Ýòî çíà÷èò,

÷òî

)

(

TTkT --=

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä +=

Åñëè ñíà÷àëà (ïðè t = 0) òåìïåðàòóðà òåëà

áûëà ðàâíà Ò

, òî Ò

= Ò

+ Ñ è ïîòîìó Ñ = Ò

 Ò

ò. å.

)

(

010

eTTTT

-+= Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè

ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è â ïðåäåëå òåìïåðàòóðà òåëà ñðàâ-

íÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò

îêðóæàþùåé åãî ñðåäû.

250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Íà

ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ïðîöåññû, êîòîðûå ïå-

ðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, íàïðèìåð êîëåáàòåëüíûå

äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà, ñòðóíû, ïðóæèíû è ò. ä.; ïðî-

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

ÀËÃÅÁÐÀ

357356

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ãî ðàñïàäà ïðîïîðöèîíàëüíà íàëè÷íîé ìàññå âåùå-

ñòâà; ïðèðîñò äåíåã ïî âêëàäó â áàíêå ïðîïîðöèîíà-

ëåí âåëè÷èíå âêëàäà è ò. ä.

Òàê êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ó ïðî-

ïîðöèîíàëüíà ñàìîé âåëè÷èíå ó, òî âûïîëíÿåòñÿ

ðàâåíñòâî

.kyy =

(1)

Êîýôôèöèåíò k ïîëîæèòåëåí, åñëè âåëè÷èíà ó óâå-

ëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íàïðèìåð, âêëàä â

áàíêå), è îòðèöàòåëåí, åñëè ó óìåíüøàåòñÿ (íàïðè-

ìåð, ìàññà âåùåñòâà ïðè ðàäèîàêòèâíîì ðàñïàäå).

Âî âòîðîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1) îáû÷íî çàïèñûâà-

þò â âèäå

,kyy -=

ñ÷èòàÿ, ÷òî

.0>k

Óðàâíåíèå

ky íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì

ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà, à óðàâíåíèå

kyy -=

 äèô-

ôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî óáû-

âàíèÿ.

Ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ïðèìåð 1 èç ï. 248), ïðè÷åì èíûõ

ðåøåíèé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò. ×èñëî Ñ èìååò ïðî-

ñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíî ðàâíî çíà÷åíèþ ó ïðè

õ = 0, ò. å. íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ó. Â ñàìîì äåëå,

ïðè õ = 0 ïîëó÷àåì

CCeCey

===

Ï ð è ì å ð 1. Óðàâíåíèå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïà-

äà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

mkmm (-=

 ìàññà). Åãî

ðåøåíèå åñòü

Cem

(ïîñêîëüêó çäåñü àðãóìåí-

òîì ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, èñïîëüçóåì ïðèâû÷íîå îáîçíà÷å-

íèå t). Êàê îòìå÷åíî âûøå, Ñ  íà÷àëüíîå êîëè÷å-

ñòâî âåùåñòâà, ò. å.

mC =

Ïîýòîìó çàêîí ðàäèîàê-

òèâíîãî ðàñïàäà èìååò âèä

emm

(2)

Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèàëüíîå

óðàâíåíèå íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîãî âèäà, ÷åì (1):

).( ayky -=

Åãî ðåøåíèå èìååò âèä

Ceay

Â ñàìîì

äåëå,

).()()( aykaaCekCkeCeay

kxkxkx

-=-+==

Ï ð è ì å ð 2. Ñêîðîñòü îñòûâàíèÿ òåëà ïðî-

ïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû Ò ýòîãî òåëà

è òåìïåðàòóðû Ò

îêðóæàþùåé ñðåäû. Ýòî çíà÷èò,

÷òî

)

(

TTkT --=

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä +=

Åñëè ñíà÷àëà (ïðè t = 0) òåìïåðàòóðà òåëà

áûëà ðàâíà Ò

, òî Ò

= Ò

+ Ñ è ïîòîìó Ñ = Ò

 Ò

ò. å.

)

(

010

eTTTT

-+= Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè

ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è â ïðåäåëå òåìïåðàòóðà òåëà ñðàâ-

íÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò

îêðóæàþùåé åãî ñðåäû.

250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Íà

ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ïðîöåññû, êîòîðûå ïå-

ðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, íàïðèìåð êîëåáàòåëüíûå

äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà, ñòðóíû, ïðóæèíû è ò. ä.; ïðî-

ÀËÃÅÁÐÀ

358

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

öåññû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òî-

êîì, ìàãíèòíûì ïîëåì è ò. ä. Ðåøåíèå ìíîãèõ òà-

êèõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ

=w+

¢¢

(1)

ãäå

 çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðåøåíèÿ-

ìè óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿþòñÿ ëþáûå ôóíêöèè âèäà

xCxCy w+w= cossin

(ñì. ïðèìåð 2 èç ï. 248), ãäå

è Ñ

 ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè êîí-

êðåòíîé çàäà÷è. Óðàâíåíèå (1) íàçûâàþò äèôôåðåí-

öèàëüíûì óðàâíåíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.

Âûðàæåíèå

xCxC w+w cossin

ìîæíî ïðåîáðà-

çîâàòü ê âèäó

)sin( j+wxA

(ñì. ï. 87). Ïîýòîìó

îáû÷íî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) çàïèñûâàþò â âèäå

).sin()( j+w= xAty

Ýòî çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; çäåñü À 

àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ,

w  ÷àñòîòà,

 íà÷àëüíàÿ

ôàçà. Ãðàôèêîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñëóæèò

ñèíóñîèäà (ñì. ï. 137).

ÀËÃÅÁÐÀ

358

Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

öåññû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òî-

êîì, ìàãíèòíûì ïîëåì è ò. ä. Ðåøåíèå ìíîãèõ òà-

êèõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ

=w+

¢¢

(1)

ãäå

 çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðåøåíèÿ-

ìè óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿþòñÿ ëþáûå ôóíêöèè âèäà

xCxCy w+w= cossin

(ñì. ïðèìåð 2 èç ï. 248), ãäå

è Ñ

 ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè êîí-

êðåòíîé çàäà÷è. Óðàâíåíèå (1) íàçûâàþò äèôôåðåí-

öèàëüíûì óðàâíåíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.

Âûðàæåíèå

xCxC w+w cossin

ìîæíî ïðåîáðà-

çîâàòü ê âèäó

)sin( j+wxA

(ñì. ï. 87). Ïîýòîìó

îáû÷íî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) çàïèñûâàþò â âèäå

).sin()( j+w= xAty

Ýòî çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; çäåñü À 

àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ,

w  ÷àñòîòà,

 íà÷àëüíàÿ

ôàçà. Ãðàôèêîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñëóæèò

ñèíóñîèäà (ñì. ï. 137).

359

Ðàçäåë VIII

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿ-

ìîé íà ïëîñêîñòè. Íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ïîíÿòèÿ

ãåîìåòðèè, òàêèå êàê òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, íå

îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíûõ ïîíÿòèé ïðè èçëîæå-

íèè ãåîìåòðèè. Â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷-

êè ïðîïèñíûìè, à ïðÿìûå  ñòðî÷íûìè áóêâàìè ëà-

òèíñêîãî àëôàâèòà (ïðÿìûå òàêæå ÷àñòî îáîçíà÷àþò-

ñÿ äâóìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè).

Òî÷êà Ì, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé à, ðàçáèâàåò åå íà

äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿ-

ìîé (èëè ëó÷îì). Òî÷êà Ì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì êàæ-

äîãî èç ýòèõ ëó÷åé (MP è MQ íà ðèñ. 115). ×àñòü

ïðÿìîé, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ åå òî÷êàìè, íà-

çûâàåòñÿ îòðåçêîì (MN íà ðèñ. 115).

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðÿìîé:

. ×åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïðîõîäèò åäèí-

ñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 115

359

Ðàçäåë VIII

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿ-

ìîé íà ïëîñêîñòè. Íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ïîíÿòèÿ

ãåîìåòðèè, òàêèå êàê òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, íå

îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíûõ ïîíÿòèé ïðè èçëîæå-

íèè ãåîìåòðèè. Â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷-

êè ïðîïèñíûìè, à ïðÿìûå  ñòðî÷íûìè áóêâàìè ëà-

òèíñêîãî àëôàâèòà (ïðÿìûå òàêæå ÷àñòî îáîçíà÷àþò-

ñÿ äâóìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè).

Òî÷êà Ì, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé à, ðàçáèâàåò åå íà

äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿ-

ìîé (èëè ëó÷îì). Òî÷êà Ì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì êàæ-

äîãî èç ýòèõ ëó÷åé (MP è MQ íà ðèñ. 115). ×àñòü

ïðÿìîé, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ åå òî÷êàìè, íà-

çûâàåòñÿ îòðåçêîì (MN íà ðèñ. 115).

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðÿìîé:

. ×åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïðîõîäèò åäèí-

ñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 115

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

361

360

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

. Äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå èìåþò íå áîëåå îäíîé

îáùåé òî÷êè; åñëè ïðÿìûå èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó,

òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â ýòîé òî÷êå; åñëè

æå ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, òî îíè íàçûâàþò-

ñÿ ïàðàëëåëüíûìè.

Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè  ýòî óðàâíå-

íèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèç-

âîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Â îáùåì ñëó÷àå îíî

èìååò âèä

.0=++ CByAx

(1)

Ïðè ýòîì

};{ BAn =

 âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé

ïðÿìîé (íîðìàëü ê ïðÿìîé).

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíå-

íèÿ (1):

1. Åñëè Ñ = 0, òî ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî

êîîðäèíàò.

2. Åñëè À = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îx.

3. Åñëè Â = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îó.

Íàïðèìåð õ = ó  óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿ-

ùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; ó = 2  óðàâíåíèå ïðÿ-

ìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îõ; õ = 1  óðàâíåíèå ïðÿ-

ìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó (ðèñ. 116).

Åñëè â óðàâíåíèè (1)

,0¹B

òî åãî ìîæíî çàïè-

ñàòü â âèäå

y --=

Ïîëàãàÿ

,, b

=-=-

ïîëó÷èì

.bkxy +=

(2)

Ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåí-

òîì k. Çäåñü ÷èñëî k  óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿ-

ìîé (ñì. ï. 100), êîòîðûé ðàâåí òàíãåíñó óãëà

ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíè-

åì îñè Îõ. Ïðè

0>k

óãîë a  îñòðûé (ðèñ. 117, à),

à ïðè

0<k

 òóïîé (ðèñ. 117, á).

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷-

êó Ì (õ

; ó

) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôè-

öèåíò k, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

)

(

xxkyy -=-

(3)

Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðî-

õîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2) è èìåþùåé óãëîâîé

êîýôôèöèåíò k = 3.

a) á)

Ðèñ. 116

Ðèñ. 117

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

361

360

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

. Äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå èìåþò íå áîëåå îäíîé

îáùåé òî÷êè; åñëè ïðÿìûå èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó,

òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â ýòîé òî÷êå; åñëè

æå ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, òî îíè íàçûâàþò-

ñÿ ïàðàëëåëüíûìè.

Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè  ýòî óðàâíå-

íèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèç-

âîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Â îáùåì ñëó÷àå îíî

èìååò âèä

.0=++ CByAx

(1)

Ïðè ýòîì

};{ BAn =

 âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé

ïðÿìîé (íîðìàëü ê ïðÿìîé).

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíå-

íèÿ (1):

1. Åñëè Ñ = 0, òî ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî

êîîðäèíàò.

2. Åñëè À = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îx.

3. Åñëè Â = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îó.

Íàïðèìåð õ = ó  óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿ-

ùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; ó = 2  óðàâíåíèå ïðÿ-

ìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îõ; õ = 1  óðàâíåíèå ïðÿ-

ìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó (ðèñ. 116).

Åñëè â óðàâíåíèè (1)

,0¹B

òî åãî ìîæíî çàïè-

ñàòü â âèäå

y --=

Ïîëàãàÿ

,, b

=-=-

ïîëó÷èì

.bkxy +=

(2)

Ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåí-

òîì k. Çäåñü ÷èñëî k  óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿ-

ìîé (ñì. ï. 100), êîòîðûé ðàâåí òàíãåíñó óãëà

ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíè-

åì îñè Îõ. Ïðè

0>k

óãîë a  îñòðûé (ðèñ. 117, à),

à ïðè

0<k

 òóïîé (ðèñ. 117, á).

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷-

êó Ì (õ

; ó

) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôè-

öèåíò k, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

)

(

xxkyy -=-

(3)

Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðî-

õîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2) è èìåþùåé óãëîâîé

êîýôôèöèåíò k = 3.

a) á)

Ðèñ. 116

Ðèñ. 117