Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

363

362

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3) , ïîëó÷èì

),1(32 -=- xy

îòêóäà

.013 =-- yx

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå

òî÷êè Ì

(õ

; ó

) è Ì

(õ

; ó

), èìååò âèä

(4)

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿ-

ùåé ÷åðåç òî÷êè Ì

(1; 2) è Ì

(3; 4).

q Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (4) ïðè

,2,1

== yx

,4,3

=-= yx

ïîëó÷èì

- xy

îòêóäà

.052 =-+ yx

252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðî-

ñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà. Ïëîñêîñòü  ýòî ïðî-

ñòåéøàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáû÷íî ïëîñêîñòè îáîçíà÷à-

þòñÿ òðåìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôà-

âèòà, à èíîãäà  îäíîé ñòðî÷íîé áóêâîé ãðå÷åñêîãî

àëôàâèòà (

gba ,,

è ò. ä).

Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîñêîñòè:

.×åðåç òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿ-

ìîé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî

îäíó.

. Ïðÿìàÿ, äâå òî÷êè êîòîðîé ëåæàò â ïëîñêîñòè,

öåëèêîì ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðÿìàÿ íå ëåæèò â ïëîñ-

êîñòè, òî îíà ëèáî èìååò ñ íåé îäíó îáùóþ òî÷êó (ýòî

òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè), ëèáî íå èìååò

ñ íåé îáùèõ òî÷åê (â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ ïàðàëëåëü-

íà ïëîñêîñòè; ñì. ï. 304).

. ×åðåç ïðÿìóþ è òî÷êó, íå ëåæàùóþ íà íåé,

ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.

. ×åðåç äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî

ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.

. ×åðåç äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ìîæíî ïðî-

âåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.

. Åñëè äâå ïëîñêîñòè èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî

îíè ëèáî èìåþò è îáùóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷å-

ðåç ýòó òî÷êó (ýòà ïðÿìàÿ  ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ

ïëîñêîñòåé), ëèáî ñîâïàäàþò öåëèêîì.

Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè, äåëèò ïëîñ-

êîñòü íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ

ïîëóïëîñêîñòüþ.

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå (àíàëîãè÷-

íî óðàâíåíèþ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè)  ýòî óðàâíå-

íèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèç-

âîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Â îáùåì ñëó÷àå îíî

èìååò âèä

.0=+++ DCzByAx

(1)

Ïðè ýòîì

};;{ CBAn =

 âåêòîð, ïåðïåíäèêó-

ëÿðíûé ïëîñêîñòè (íîðìàëü ê ïëîñêîñòè).

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíå-

íèÿ (1):

1. Åñëè D = 0, òî ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷à-

ëî êîîðäèíàò.

2. Åñëè À = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îõ.

3. Åñëè Â = 0 èëè Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëü-

íà îñè Îó èëè Oz ñîîòâåòñòâåííî.

4. Åñëè À = 0 è Â = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà

êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó.

5. Åñëè À = 0 è Ñ = 0 èëè Â = 0 è Ñ = 0, òî ïëîñ-

êîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎz èëè

yOz ñîîòâåòñòâåííî.

Íàïðèìåð,

052 =-- zyx

 óðàâíåíèå ïëîñêî-

ñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò;

-+ zx 43

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

363

362

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3) , ïîëó÷èì

),1(32 -=- xy

îòêóäà

.013 =-- yx

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå

òî÷êè Ì

(õ

; ó

) è Ì

(õ

; ó

), èìååò âèä

(4)

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿ-

ùåé ÷åðåç òî÷êè Ì

(1; 2) è Ì

(3; 4).

q Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (4) ïðè

,2,1

== yx

,4,3

=-= yx

ïîëó÷èì

- xy

îòêóäà

.052 =-+ yx

252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðî-

ñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà. Ïëîñêîñòü  ýòî ïðî-

ñòåéøàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáû÷íî ïëîñêîñòè îáîçíà÷à-

þòñÿ òðåìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôà-

âèòà, à èíîãäà  îäíîé ñòðî÷íîé áóêâîé ãðå÷åñêîãî

àëôàâèòà (

gba ,,

è ò. ä).

Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîñêîñòè:

.×åðåç òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿ-

ìîé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî

îäíó.

. Ïðÿìàÿ, äâå òî÷êè êîòîðîé ëåæàò â ïëîñêîñòè,

öåëèêîì ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðÿìàÿ íå ëåæèò â ïëîñ-

êîñòè, òî îíà ëèáî èìååò ñ íåé îäíó îáùóþ òî÷êó (ýòî

òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè), ëèáî íå èìååò

ñ íåé îáùèõ òî÷åê (â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ ïàðàëëåëü-

íà ïëîñêîñòè; ñì. ï. 304).

. ×åðåç ïðÿìóþ è òî÷êó, íå ëåæàùóþ íà íåé,

ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.

. ×åðåç äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî

ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.

. ×åðåç äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ìîæíî ïðî-

âåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.

. Åñëè äâå ïëîñêîñòè èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî

îíè ëèáî èìåþò è îáùóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷å-

ðåç ýòó òî÷êó (ýòà ïðÿìàÿ  ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ

ïëîñêîñòåé), ëèáî ñîâïàäàþò öåëèêîì.

Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè, äåëèò ïëîñ-

êîñòü íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ

ïîëóïëîñêîñòüþ.

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå (àíàëîãè÷-

íî óðàâíåíèþ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè)  ýòî óðàâíå-

íèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèç-

âîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Â îáùåì ñëó÷àå îíî

èìååò âèä

.0=+++ DCzByAx

(1)

Ïðè ýòîì

};;{ CBAn =

 âåêòîð, ïåðïåíäèêó-

ëÿðíûé ïëîñêîñòè (íîðìàëü ê ïëîñêîñòè).

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíå-

íèÿ (1):

1. Åñëè D = 0, òî ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷à-

ëî êîîðäèíàò.

2. Åñëè À = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îõ.

3. Åñëè Â = 0 èëè Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëü-

íà îñè Îó èëè Oz ñîîòâåòñòâåííî.

4. Åñëè À = 0 è Â = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà

êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó.

5. Åñëè À = 0 è Ñ = 0 èëè Â = 0 è Ñ = 0, òî ïëîñ-

êîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎz èëè

yOz ñîîòâåòñòâåííî.

Íàïðèìåð,

052 =-- zyx

 óðàâíåíèå ïëîñêî-

ñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò;

-+ zx 43

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

365

364

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

08 =-

 óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé îñè

Îó;

073 =-y

 óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëü-

íîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOz.

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çà-

äàííóþ òî÷êó Ì (õ

; ó

; z

) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåê-

òîðó

},;;{ CBAn =

èìååò âèä

.0)()()(

000

=-+-+- zzCyyBxxA

(2)

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðî-

õîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2; 3) è ïåðïåíäèêóëÿð-

íîé âåêòîðó

}.2;5;4{ -=n

q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (2), ïðè À = 4, Â = 5, Ñ =

= 2,

3,2,1

000

=== zyx

ïîëó÷èì

,0)3(2)2(5)1(4 =---+- zyx

îòêóäà

yx 54 +

.082

=-- z

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çà-

äàííûå òî÷êè Ì

(õ

; ó

; z

), Ì

(õ

; ó

; z

), Ì

(õ

;

; z

), èìååò âèä

131313

121212

111

---

zzyyxx

(3)

Ï ð è ì å ð 2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,

ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì

(1; 2; 3), Ì

(2; 1; 4),

(3; 2; 3).

q Èìååì

332213

342112

321

----

--- zyx

èëè

602

131

321

--- zyx

îòêóäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé

ñòðîêè, íàõîäèì

,0)3(6)2(8)1(18 =-+-+- zyx

èëè

9x + 4y + 3z  26 = 0.

Áóäåì íàçûâàòü ôèãóðîé íåêîòîðîå ñî÷åòàíèå îï-

ðåäåëåííûì îáðàçîì ðàñïîëîæåííûõ òî÷åê, ëó÷åé,

ïðÿìûõ, îòðåçêîâ. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ðàññìàòðè-

âàòü òîëüêî ïëîñêèå ôèãóðû, ò. å. òàêèå ôèãóðû, âñå

ýëåìåíòû êîòîðûõ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Íàïðè-

ìåð, ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò.

Òåëîì îáû÷íî íàçûâàþò ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, îã-

ðàíè÷åííóþ êàêîé-ëèáî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ.

Íàïðèìåð, êóá  ýòî òåëî, îãðàíè÷åííîå øåñòüþ êâàä-

ðàòíûìè ãðàíÿìè.

253. Óãîë. Óãëîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè,

îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ ëó÷àìè ñ îáùèì íà÷àëîì. Ïðè

ýòîì ëó÷è íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè óãëà, à èõ îáùåå

íà÷àëî  âåðøèíîé óãëà. Óãëû îáû÷íî îáîçíà÷àþò-

ñÿ èëè òðåìÿ ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (ãäå

âåðøèíà ïèøåòñÿ â ñåðåäèíå), èëè îäíîé ïðîïèñíîé

z  3

4  3

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

365

364

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

08 =-

 óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé îñè

Îó;

073 =-y

 óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëü-

íîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOz.

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çà-

äàííóþ òî÷êó Ì (õ

; ó

; z

) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåê-

òîðó

},;;{ CBAn =

èìååò âèä

.0)()()(

000

=-+-+- zzCyyBxxA

(2)

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðî-

õîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2; 3) è ïåðïåíäèêóëÿð-

íîé âåêòîðó

}.2;5;4{ -=n

q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (2), ïðè À = 4, Â = 5, Ñ =

= 2,

3,2,1

000

=== zyx

ïîëó÷èì

,0)3(2)2(5)1(4 =---+- zyx

îòêóäà

yx 54 +

.082

=-- z

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çà-

äàííûå òî÷êè Ì

(õ

; ó

; z

), Ì

(õ

; ó

; z

), Ì

(õ

;

; z

), èìååò âèä

131313

121212

111

---

zzyyxx

(3)

Ï ð è ì å ð 2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,

ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì

(1; 2; 3), Ì

(2; 1; 4),

(3; 2; 3).

q Èìååì

332213

342112

321

----

--- zyx

èëè

602

131

321

--- zyx

îòêóäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé

ñòðîêè, íàõîäèì

,0)3(6)2(8)1(18 =-+-+- zyx

èëè

9x + 4y + 3z  26 = 0.

Áóäåì íàçûâàòü ôèãóðîé íåêîòîðîå ñî÷åòàíèå îï-

ðåäåëåííûì îáðàçîì ðàñïîëîæåííûõ òî÷åê, ëó÷åé,

ïðÿìûõ, îòðåçêîâ. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ðàññìàòðè-

âàòü òîëüêî ïëîñêèå ôèãóðû, ò. å. òàêèå ôèãóðû, âñå

ýëåìåíòû êîòîðûõ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Íàïðè-

ìåð, ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò.

Òåëîì îáû÷íî íàçûâàþò ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, îã-

ðàíè÷åííóþ êàêîé-ëèáî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ.

Íàïðèìåð, êóá  ýòî òåëî, îãðàíè÷åííîå øåñòüþ êâàä-

ðàòíûìè ãðàíÿìè.

253. Óãîë. Óãëîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè,

îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ ëó÷àìè ñ îáùèì íà÷àëîì. Ïðè

ýòîì ëó÷è íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè óãëà, à èõ îáùåå

íà÷àëî  âåðøèíîé óãëà. Óãëû îáû÷íî îáîçíà÷àþò-

ñÿ èëè òðåìÿ ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (ãäå

âåðøèíà ïèøåòñÿ â ñåðåäèíå), èëè îäíîé ïðîïèñíîé

z  3

4  3

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

367

366

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ëàòèíñêîé áóêâîé  âåðøèíîé

(

AOBÐ

èëè

OÐ

íà ðèñ. 118),

èëè îäíîé ñòðî÷íîé ãðå÷åñêîé

áóêâîé. Çàìåòèì, ÷òî ïîä óãëîì

ÀÎÂ ìîæíî ïîíèìàòü êàê çàø-

òðèõîâàííóþ ÷àñòü ïëîñêîñòè,

òàê è îñòàëüíóþ åå ÷àñòü

(ðèñ. 118).

Âîçìîæíî, ÷òî ëó÷è ÎÀ è

ÎÂ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.

Ïðè ýòîì åñëè îíè ïðîäîë-

æàþò äðóã äðóãà (ðèñ. 119, à), òî êàæäûé èç îáðàçó-

åìûõ èìè óãëîâ çàíèìàåò ïîëóïëîñêîñòü; â ýòîì

ñëó÷àå óãîë ÀÎÂ íàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì. Åñëè

æå ÎÀ è ÎÂ ñëèâàþòñÿ (ðèñ. 119, á), òî îäèí èç óã-

ëîâ ÀÎÂ íàçûâàòñÿ íóëåâûì, à âòîðîé çàíèìàåò âñþ

ïëîñêîñòü è íàçûâàåòñÿ ïîëíûì.

Îáû÷íî ïîä óãëîì ìåæäó äâóìÿ ëó÷àìè ÎÀ

è ÎÂ ïîíèìàþò òîò óãîë, êîòîðûé ëåæèò âíóòðè

ðàçâåðíóòîãî óãëà, ò. å. çàøòðèõîâàííûé óãîë íà

ðèñ. 118.

Ðàññìîòðèì ðàçâåðíóòûé óãîë ÀÎÂ (ðèñ. 120).

Ïðîâåäåì ëó÷ ÎÑ. Óãëû ÀÎÑ è ÑÎÂ, íà êîòîðûå

ïîëóïëîñêîñòü ðàçáèâàåòñÿ ëó÷îì ÎÑ, íàçûâàþòñÿ

ñìåæíûìè. Ñòîðîíà ÎÑ äëÿ ýòèõ óãëîâ îáùàÿ, ñòî-

ðîíû ÎÀ è ÎÂ ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Ìîæíî ñêà-

çàòü, ÷òî ñìåæíûå óãëû äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî

ðàçâåðíóòîãî. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ äîïîëíè-

òåëüíûìè.

Ðàññìîòðèì äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ÀÂ è

CD. Ïóñòü Î  òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 121).

Ïðè ýòîì ñòîðîíû óãëîâ AOC è BOD, à òàêæå ñòîðî-

íû óãëîâ ÑÎÂ è DOA ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Òà-

êèå óãëû íàçûâàþòñÿ âåðòèêàëüíûìè. Òàêèì îá-

ðàçîì, óãëû ÀÎÑ è BOD  îäíà ïàðà âåðòèêàëüíûõ

óãëîâ,à óãëû ÑÎÂ è DOA  âòîðàÿ ïàðà âåðòèêàëü-

íûõ óãëîâ (ðèñ. 121).

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âåðòèêàëüíûå óãëû  ýòî

óãëû, ñìåæíûå ñ îäíèì è òåì æå óãëîì (íà ðèñ.

121 óãëû ÀÎÑ è BOD ñìåæíûå, íàïðèìåð, ñ óãëîì

ÑÎÂ).

Ò.8.1. Âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû.

254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ. Óãëû

ïðèíÿòî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ è ðàäèàíàõ. Çà åäèíè-

Ðèñ. 119

Ðèñ. 120

Ðèñ. 118

Ðèñ. 121

á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

367

366

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ëàòèíñêîé áóêâîé  âåðøèíîé

(

AOBÐ

èëè

OÐ

íà ðèñ. 118),

èëè îäíîé ñòðî÷íîé ãðå÷åñêîé

áóêâîé. Çàìåòèì, ÷òî ïîä óãëîì

ÀÎÂ ìîæíî ïîíèìàòü êàê çàø-

òðèõîâàííóþ ÷àñòü ïëîñêîñòè,

òàê è îñòàëüíóþ åå ÷àñòü

(ðèñ. 118).

Âîçìîæíî, ÷òî ëó÷è ÎÀ è

ÎÂ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.

Ïðè ýòîì åñëè îíè ïðîäîë-

æàþò äðóã äðóãà (ðèñ. 119, à), òî êàæäûé èç îáðàçó-

åìûõ èìè óãëîâ çàíèìàåò ïîëóïëîñêîñòü; â ýòîì

ñëó÷àå óãîë ÀÎÂ íàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì. Åñëè

æå ÎÀ è ÎÂ ñëèâàþòñÿ (ðèñ. 119, á), òî îäèí èç óã-

ëîâ ÀÎÂ íàçûâàòñÿ íóëåâûì, à âòîðîé çàíèìàåò âñþ

ïëîñêîñòü è íàçûâàåòñÿ ïîëíûì.

Îáû÷íî ïîä óãëîì ìåæäó äâóìÿ ëó÷àìè ÎÀ

è ÎÂ ïîíèìàþò òîò óãîë, êîòîðûé ëåæèò âíóòðè

ðàçâåðíóòîãî óãëà, ò. å. çàøòðèõîâàííûé óãîë íà

ðèñ. 118.

Ðàññìîòðèì ðàçâåðíóòûé óãîë ÀÎÂ (ðèñ. 120).

Ïðîâåäåì ëó÷ ÎÑ. Óãëû ÀÎÑ è ÑÎÂ, íà êîòîðûå

ïîëóïëîñêîñòü ðàçáèâàåòñÿ ëó÷îì ÎÑ, íàçûâàþòñÿ

ñìåæíûìè. Ñòîðîíà ÎÑ äëÿ ýòèõ óãëîâ îáùàÿ, ñòî-

ðîíû ÎÀ è ÎÂ ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Ìîæíî ñêà-

çàòü, ÷òî ñìåæíûå óãëû äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî

ðàçâåðíóòîãî. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ äîïîëíè-

òåëüíûìè.

Ðàññìîòðèì äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ÀÂ è

CD. Ïóñòü Î  òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 121).

Ïðè ýòîì ñòîðîíû óãëîâ AOC è BOD, à òàêæå ñòîðî-

íû óãëîâ ÑÎÂ è DOA ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Òà-

êèå óãëû íàçûâàþòñÿ âåðòèêàëüíûìè. Òàêèì îá-

ðàçîì, óãëû ÀÎÑ è BOD  îäíà ïàðà âåðòèêàëüíûõ

óãëîâ,à óãëû ÑÎÂ è DOA  âòîðàÿ ïàðà âåðòèêàëü-

íûõ óãëîâ (ðèñ. 121).

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âåðòèêàëüíûå óãëû  ýòî

óãëû, ñìåæíûå ñ îäíèì è òåì æå óãëîì (íà ðèñ.

121 óãëû ÀÎÑ è BOD ñìåæíûå, íàïðèìåð, ñ óãëîì

ÑÎÂ).

Ò.8.1. Âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû.

254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ. Óãëû

ïðèíÿòî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ è ðàäèàíàõ. Çà åäèíè-

Ðèñ. 119

Ðèñ. 120

Ðèñ. 118

Ðèñ. 121

á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

369

368

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

öó ãðàäóñíîãî èçìåðåíèÿ, ò. å. çà óãîë â îäèí ãðàäóñ

(îáîçíà÷åíèå: 1°), ïðèíÿòà

180

÷àñòü ðàçâåðíóòîãî

óãëà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 180°.

Óãîë, ðàâíûé 90°, íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Èíîãäà ïðÿ-

ìîé óãîë îáîçíà÷àþò d. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçâåð-

íóòûé óãîë ðàâåí 2d, à ïîëíûé óãîë ðàâåí 4d. Äâå

ïðÿìûå, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçà-

èìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Óãîë, ìåíüøèé 90°, íà-

çûâàåòñÿ îñòðûì; óãîë, áîëüøèé ïðÿìîãî, íî ìåíü-

øèé ðàçâåðíóòîãî, íàçûâàåòñÿ òóïûì. Ãðàäóñ äåëèò-

ñÿ äåëèòñÿ íà ìèíóòû (îäíà ìèíóòà îáîçíà÷àåòñÿ

) è ñåêóíäû (îäíà ñåêóíäà îáîçíà÷àåòñÿ

¢¢

), à èìåí-

íî:

061

=°

.061

¢¢

Áèññåêòðèñîé óãëà íàçûâàåòñÿ ëó÷, êîòîðûé èñ-

õîäèò èç åãî âåðøèíû è äåëèò óãîë ïîïîëàì.

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë, îáðàçîâàííûé áèññåê-

òðèñàìè ñìåæíûõ óãëîâ.

q Ðàññìîòðèì ñìåæíûå óãëû ÀÎÂ è ÂÎÑ è èõ

áèññåêòðèñû ÎÌ è ON (ðèñ. 122). Èìååì

=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð BOCAOBBONMOBMON 5,05,0

,90)(5,0 °=Ð+Ð= BOCAOB

ïîñêîëüêó

.180°=Ð+Ð BOCAOB

Òàêèì îáðàçîì, áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçà-

èìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. n

Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î. Óãîë, âåð-

øèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå Î, íàçûâàåòñÿ

öåíòðàëüíûì (ðèñ. 123). Äóãè îêðóæíîñòè ìîæíî

èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ. Ïðè ýòîì ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè

ðàâíà ãðàäóñíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóþùåãî åé öåíò-

ðàëüíîãî óãëà.

Íàïðèìåð, ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ÀÂ ðàâíà 90°

(

°=È 90AB

), òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèé åé öåíòðàëü-

íûé óãîë  ïðÿìîé (ðèñ. 123). Òîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà

ïîëóîêðóæíîñòè ðàâíà 180° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåí-

òðàëüíûé óãîë  ðàçâåðíóòûé), à ãðàäóñíàÿ ìåðà âñåé

îêðóæíîñòè ðàâíà 360° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëü-

íûé óãîë  ïîëíûé).

Ïåðåéäåì òåïåðü ê

ðàäèàííîé ìåðå óãëîâ è äóã.

Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé

äóãå, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ðàäèóñó. Òàêîé óãîë íà-

çûâàåòñÿ óãëîì â îäèí ðàäèàí (îáîçíà÷åíèå: 1). Òàê

êàê äëèíà îêðóæíîñòè ðàâíà

Rp2

(ñì. ï. 290), òî

ïîëíûé óãîë ðàâåí

...283,62 =p

ðàäèàíà, ðàçâåðíó-

òûé óãîë ðàâåí

ïðÿìîé óãîë ðàâåí

Çíà÷èò,

óãîë â 1° ñîäåðæèò

...0174,0

180

ðàäèàíà, à óãîë â

îäèí ðàäèàí ðàâåí ïðèìåðíî

.547157

¢¢¢

Ìåæäó ãðàäóñíîé è ðàäèàííîé ìåðàìè ñóùå-

ñòâóåò çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü

îò îäíîé ìåðû ê äðóãîé. Ïóñòü

°a

 ñîîòâåò-

Ðèñ. 122 Ðèñ. 123

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

369

368

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

öó ãðàäóñíîãî èçìåðåíèÿ, ò. å. çà óãîë â îäèí ãðàäóñ

(îáîçíà÷åíèå: 1°), ïðèíÿòà

180

÷àñòü ðàçâåðíóòîãî

óãëà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 180°.

Óãîë, ðàâíûé 90°, íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Èíîãäà ïðÿ-

ìîé óãîë îáîçíà÷àþò d. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçâåð-

íóòûé óãîë ðàâåí 2d, à ïîëíûé óãîë ðàâåí 4d. Äâå

ïðÿìûå, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçà-

èìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Óãîë, ìåíüøèé 90°, íà-

çûâàåòñÿ îñòðûì; óãîë, áîëüøèé ïðÿìîãî, íî ìåíü-

øèé ðàçâåðíóòîãî, íàçûâàåòñÿ òóïûì. Ãðàäóñ äåëèò-

ñÿ äåëèòñÿ íà ìèíóòû (îäíà ìèíóòà îáîçíà÷àåòñÿ

) è ñåêóíäû (îäíà ñåêóíäà îáîçíà÷àåòñÿ

¢¢

), à èìåí-

íî:

061

=°

.061

¢¢

Áèññåêòðèñîé óãëà íàçûâàåòñÿ ëó÷, êîòîðûé èñ-

õîäèò èç åãî âåðøèíû è äåëèò óãîë ïîïîëàì.

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë, îáðàçîâàííûé áèññåê-

òðèñàìè ñìåæíûõ óãëîâ.

q Ðàññìîòðèì ñìåæíûå óãëû ÀÎÂ è ÂÎÑ è èõ

áèññåêòðèñû ÎÌ è ON (ðèñ. 122). Èìååì

=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð BOCAOBBONMOBMON 5,05,0

,90)(5,0 °=Ð+Ð= BOCAOB

ïîñêîëüêó

.180°=Ð+Ð BOCAOB

Òàêèì îáðàçîì, áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçà-

èìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. n

Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î. Óãîë, âåð-

øèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå Î, íàçûâàåòñÿ

öåíòðàëüíûì (ðèñ. 123). Äóãè îêðóæíîñòè ìîæíî

èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ. Ïðè ýòîì ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè

ðàâíà ãðàäóñíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóþùåãî åé öåíò-

ðàëüíîãî óãëà.

Íàïðèìåð, ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ÀÂ ðàâíà 90°

(

°=È 90AB

), òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèé åé öåíòðàëü-

íûé óãîë  ïðÿìîé (ðèñ. 123). Òîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà

ïîëóîêðóæíîñòè ðàâíà 180° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåí-

òðàëüíûé óãîë  ðàçâåðíóòûé), à ãðàäóñíàÿ ìåðà âñåé

îêðóæíîñòè ðàâíà 360° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëü-

íûé óãîë  ïîëíûé).

Ïåðåéäåì òåïåðü ê

ðàäèàííîé ìåðå óãëîâ è äóã.

Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé

äóãå, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ðàäèóñó. Òàêîé óãîë íà-

çûâàåòñÿ óãëîì â îäèí ðàäèàí (îáîçíà÷åíèå: 1). Òàê

êàê äëèíà îêðóæíîñòè ðàâíà

Rp2

(ñì. ï. 290), òî

ïîëíûé óãîë ðàâåí

...283,62 =p

ðàäèàíà, ðàçâåðíó-

òûé óãîë ðàâåí

ïðÿìîé óãîë ðàâåí

Çíà÷èò,

óãîë â 1° ñîäåðæèò

...0174,0

180

ðàäèàíà, à óãîë â

îäèí ðàäèàí ðàâåí ïðèìåðíî

.547157

¢¢¢

Ìåæäó ãðàäóñíîé è ðàäèàííîé ìåðàìè ñóùå-

ñòâóåò çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü

îò îäíîé ìåðû ê äðóãîé. Ïóñòü

°a

 ñîîòâåò-

Ðèñ. 122 Ðèñ. 123

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

371

370

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ñòâåííî ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðà îäíîãî è òîãî

æå óãëà. Òîãäà

a°a :

.:180 p°=

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

;

180

a×°

=°a

180°

°pa

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè âåëè÷èíû ñìåæíûõ óãëîâ,

åñëè

îäíîãî èç íèõ ðàâíà 0,2 äðóãîãî.

q Ïóñòü õ  âûðàæåííàÿ â ãðàäóñàõ âåëè÷èíà

îäíîãî èç ñìåæíûõ óãëîâ; òîãäà 180  õ  âåëè÷èíà

äðóãîãî óãëà. Ïî óñëîâèþ,

180

xx -

îòêóäà 8õ =

= 540, ò. å. õ = 67,5, 180  õ = 112,5. Èòàê, èñêîìûå

óãëû ñîñòàâëÿþò

0367

.03112

Ï ð è ì å ð 3. Âûðàçèòü â ðàäèàíàõ óãëû

°=a 30

.45

°=a Íàéòè ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà

q Èìååì

;

6180

°×p

;

4180

°×p

.60

180

°=

×°

=°a

255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê. Ôèãóðà, îáðàçî-

âàííàÿ îòðåçêàìè, ðàñïîëîæåííûìè òàê, ÷òî êîíåö

ïðåäûäóùåãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùå-

ãî, íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé (ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äâà

ñîñåäíèõ îòðåçêà íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; ðèñ.

124). Ýòè îòðåçêè íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè ëîìàíîé

(èëè åå ñòîðîíàìè). Åñëè íà-

÷àëî ïåðâîãî îòðåçêà ñîâïàäà-

åò ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî, òî ëî-

ìàíàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé.

Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ñîñòî-

ÿùàÿ èç n çâåíüåâ, íàçûâàåò-

ñÿ n-óãîëüíèêîì (èëè ìíîãî-

óãîëüíèêîì). Ìíîãîóãîëüíèê

íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè

îí öåëèêîì ðàñïîëîæåí ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿ-

ìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò åãî ñòîðîíû. Íà ðèñ. 125, à

èçîáðàæåí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, à íà

ðèñ. 125, á  íåâûïóêëûé. Çâåíüÿ ëîìàíîé, îáðàçó-

þùèå ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàþòñÿ åãî ñòîðîíàìè,

êîíöû ýòèõ çâåíüåâ  âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíè-

êà. Îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå íåñîñåäíèå âåðøèíû ìíî-

ãîóãîëüíèêà, íàçûâàþòñÿ åãî äèàãîíàëÿìè. Óãëû,

îáðàçîâàííûå ïàðàìè ñòîðîí, èñõîäÿùèìè èç îäíîé

âåðøèíû, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óãëàìè ìíî-

ãîóãîëüíèêà, à ñìåæíûå ñ íèìè  âíåøíèìè óãëà-

ìè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàê, íà ðèñ. 126

,, ADCBAD ÐÐ

CBADCB ÐÐ ,

 âíóòðåííèå óãëû, à ñìåæíûå ñ íèìè

(îíè îáîçíà÷åíû äóãàìè)  âíåøíèå óãëû ÷åòûðå-

õóãîëüíèêà ABCD.

Ðèñ. 125

Ðèñ. 124

á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

371

370

Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ñòâåííî ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðà îäíîãî è òîãî

æå óãëà. Òîãäà

a°a :

.:180 p°=

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

;

180

a×°

=°a

180°

°pa

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè âåëè÷èíû ñìåæíûõ óãëîâ,

åñëè

îäíîãî èç íèõ ðàâíà 0,2 äðóãîãî.

q Ïóñòü õ  âûðàæåííàÿ â ãðàäóñàõ âåëè÷èíà

îäíîãî èç ñìåæíûõ óãëîâ; òîãäà 180  õ  âåëè÷èíà

äðóãîãî óãëà. Ïî óñëîâèþ,

180

xx -

îòêóäà 8õ =

= 540, ò. å. õ = 67,5, 180  õ = 112,5. Èòàê, èñêîìûå

óãëû ñîñòàâëÿþò

0367

.03112

Ï ð è ì å ð 3. Âûðàçèòü â ðàäèàíàõ óãëû

°=a 30

.45

°=a Íàéòè ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà

q Èìååì

;

6180

°×p

;

4180

°×p

.60

180

°=

×°

=°a

255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê. Ôèãóðà, îáðàçî-

âàííàÿ îòðåçêàìè, ðàñïîëîæåííûìè òàê, ÷òî êîíåö

ïðåäûäóùåãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùå-

ãî, íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé (ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äâà

ñîñåäíèõ îòðåçêà íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; ðèñ.

124). Ýòè îòðåçêè íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè ëîìàíîé

(èëè åå ñòîðîíàìè). Åñëè íà-

÷àëî ïåðâîãî îòðåçêà ñîâïàäà-

åò ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî, òî ëî-

ìàíàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé.

Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ñîñòî-

ÿùàÿ èç n çâåíüåâ, íàçûâàåò-

ñÿ n-óãîëüíèêîì (èëè ìíîãî-

óãîëüíèêîì). Ìíîãîóãîëüíèê

íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè

îí öåëèêîì ðàñïîëîæåí ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿ-

ìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò åãî ñòîðîíû. Íà ðèñ. 125, à

èçîáðàæåí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, à íà

ðèñ. 125, á  íåâûïóêëûé. Çâåíüÿ ëîìàíîé, îáðàçó-

þùèå ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàþòñÿ åãî ñòîðîíàìè,

êîíöû ýòèõ çâåíüåâ  âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíè-

êà. Îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå íåñîñåäíèå âåðøèíû ìíî-

ãîóãîëüíèêà, íàçûâàþòñÿ åãî äèàãîíàëÿìè. Óãëû,

îáðàçîâàííûå ïàðàìè ñòîðîí, èñõîäÿùèìè èç îäíîé

âåðøèíû, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óãëàìè ìíî-

ãîóãîëüíèêà, à ñìåæíûå ñ íèìè  âíåøíèìè óãëà-

ìè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàê, íà ðèñ. 126

,, ADCBAD ÐÐ

CBADCB ÐÐ ,

 âíóòðåííèå óãëû, à ñìåæíûå ñ íèìè

(îíè îáîçíà÷åíû äóãàìè)  âíåøíèå óãëû ÷åòûðå-

õóãîëüíèêà ABCD.

Ðèñ. 125

Ðèñ. 124

á)