Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

453

452

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Àïîôåìó òàêîãî 2n-óãîëüíèêà ìîæíî âûðàçèòü

÷åðåç ñòîðîíó ñîîòâåòñòâóþùåãî n-óãîëüíèêà:

-+= (11)

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî âîñü-

ìèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R.

q Òàê êàê ñòîðîíà êâàäðàòà, âïèñàííîãî â îêðóæ-

íîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà

Ra =

òî, èñïîëüçóÿ ôîð-

ìóëó óäâîåíèÿ, ïîëó÷èì

.22

122

-=-=--= RR

294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëü-

íèêà. Ïóñòü Ð

 ïåðèìåòð ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíè-

êà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

180

sin2

nRnaP

nnn

(1)

Ïëîùàäü S

ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà âûðàæàåò-

ñÿ ÷åðåç åãî ñòîðîíó a

è ðàäèóñ R

ïî ôîðìóëàì

360

sin

1180

ctg

naS

nnn

(2)

Íàéäåì, íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòè-

óãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à:

30ctg

aaS =°=

Êðîìå òîãî, êàê è äëÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî îïè-

ñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èìååò ìåñòî ôîðìóëà

prS

ãäå ð  ïîëóïåðèìåòð, à r

 àïîôåìà ïðàâèëüíîãî

n-óãîëüíèêà.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðà-

âèëüíûõ âîñüìèóãîëüíèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ âïè-

ñàí â íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü, à äðóãîé îïèñàí îêîëî

íåå.

q Ïóñòü R  ðàäèóñ âïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíè-

êà. Îí ÿâëÿåòñÿ àïîôåìîé îïèñàííîãî âîñüìèóãîëü-

íèêà. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç R

ðàäèóñ ïîñëåäíåãî, çàêëþ-

÷àåì, ÷òî

.0322cos

180

cos

°=

Òàêèì îáðàçîì,

èñêîìîå îòíîøåíèå

°+

°==

45cos1

0322cos

25,01 +

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

453

452

Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Àïîôåìó òàêîãî 2n-óãîëüíèêà ìîæíî âûðàçèòü

÷åðåç ñòîðîíó ñîîòâåòñòâóþùåãî n-óãîëüíèêà:

-+= (11)

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî âîñü-

ìèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R.

q Òàê êàê ñòîðîíà êâàäðàòà, âïèñàííîãî â îêðóæ-

íîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà

Ra =

òî, èñïîëüçóÿ ôîð-

ìóëó óäâîåíèÿ, ïîëó÷èì

.22

122

-=-=--= RR

294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëü-

íèêà. Ïóñòü Ð

 ïåðèìåòð ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíè-

êà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

180

sin2

nRnaP

nnn

(1)

Ïëîùàäü S

ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà âûðàæàåò-

ñÿ ÷åðåç åãî ñòîðîíó a

è ðàäèóñ R

ïî ôîðìóëàì

360

sin

1180

ctg

naS

nnn

(2)

Íàéäåì, íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòè-

óãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à:

30ctg

aaS =°=

Êðîìå òîãî, êàê è äëÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî îïè-

ñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èìååò ìåñòî ôîðìóëà

prS

ãäå ð  ïîëóïåðèìåòð, à r

 àïîôåìà ïðàâèëüíîãî

n-óãîëüíèêà.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðà-

âèëüíûõ âîñüìèóãîëüíèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ âïè-

ñàí â íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü, à äðóãîé îïèñàí îêîëî

íåå.

q Ïóñòü R  ðàäèóñ âïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíè-

êà. Îí ÿâëÿåòñÿ àïîôåìîé îïèñàííîãî âîñüìèóãîëü-

íèêà. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç R

ðàäèóñ ïîñëåäíåãî, çàêëþ-

÷àåì, ÷òî

.0322cos

180

cos

°=

Òàêèì îáðàçîì,

èñêîìîå îòíîøåíèå

°+

°==

45cos1

0322cos

25,01 +

454

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

455

Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíû òî÷êè À (1; 1; 5) è

Â (3; 2; 1); òîãäà

}.6;3;2{ -=AB

Êîîðäèíàòû âåêòîðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê

ïðîåêöèè âåêòîðà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäè-

íàò.

Äëèíà âåêòîðà

};;{ ZYXAB =

íàõîäèòñÿ ïî ôîð-

ìóëå

222

ZYXAB ++=

(1)

ò. å. äëèíà âåêòîðà ðàâíà êâàäðàòíîìó êîðíþ èç

ñóììû êâàäðàòîâ åãî êîîðäèíàò.

Íàïðèìåð, äëèíà âåêòîðà

}12;3;4{ --=AB

ðàâ-

íà

.13144916

)

(

)

(

222

=++=-++-

Âåêòîð, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåò-

ñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì (èëè îðòîì).

Åñëè íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîâïàäàþò, òî âåê-

òîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì (îáîçíà÷åíèå:

). Äëèíà

íóëåâîãî âåêòîðà ðàâíà íóëþ; íàïðàâëåíèÿ íóëåâîé

âåêòîð íå èìååò.

Ðàçäåë X

ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Â ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåê-

òîðà. Âåêòîð  ýòî íàïðàâëåííûé îòðåçîê. ×àñòî

âåêòîð îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâà-

ìè ñî ñòðåëêîé èëè ÷åðòîé íàä áóêâîé (âåêòîð

âåêòîð

). Íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèå âåêòîðà îòìå-

÷àþò ñòðåëêîé. Åñëè íà÷àëîì âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷-

êà À, à êîíöîì  òî÷êà Â, òî âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ

(ðèñ. 230). Äëèíà îòðåçêà, èçîáðàæàþùåãî âåê-

òîð, íàçûâàåòñÿ äëèíîé (èëè ìîäóëåì) âåêòîðà è

îáîçíà÷àåòñÿ

èëè

.AB

Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå (èëè íà ïëîñêîñòè) ïðÿ-

ìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñì. ï. 22).

Ïóñòü èçâåñòíû êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà âåêòî-

ðà:

)

;;

(

111

ZYXA

)

.;;

(

222

ZYXB

Òîãäà ÷èñëà

XX -

1212

ZZYY --

íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòà-

ìè âåêòîðà

.AB

Çíà÷èò, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíà-

òû âåêòîðà, íàäî èç êîîðäèíàò êîíöà âåêòîðà âû-

÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà. Â îòëè÷èå îò êîîð-

äèíàò òî÷êè, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ â êðóãëûõ

ñêîáêàõ, êîîðäèíàòû âåêòîðà áóäåì çàïèñûâàòü â

ôèãóðíûõ ñêîáêàõ. Ïîëàãàÿ X

 X

= X, Y

 Y

ZZZY =-=

çàïèøåì

}.;;{ ZYXAB =

Ðèñ. 230 Ðèñ. 231

454

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

455

Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíû òî÷êè À (1; 1; 5) è

Â (3; 2; 1); òîãäà

}.6;3;2{ -=AB

Êîîðäèíàòû âåêòîðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê

ïðîåêöèè âåêòîðà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäè-

íàò.

Äëèíà âåêòîðà

};;{ ZYXAB =

íàõîäèòñÿ ïî ôîð-

ìóëå

222

ZYXAB ++=

(1)

ò. å. äëèíà âåêòîðà ðàâíà êâàäðàòíîìó êîðíþ èç

ñóììû êâàäðàòîâ åãî êîîðäèíàò.

Íàïðèìåð, äëèíà âåêòîðà

}12;3;4{ --=AB

ðàâ-

íà

.13144916

)

(

)

(

222

=++=-++-

Âåêòîð, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåò-

ñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì (èëè îðòîì).

Åñëè íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîâïàäàþò, òî âåê-

òîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì (îáîçíà÷åíèå:

). Äëèíà

íóëåâîãî âåêòîðà ðàâíà íóëþ; íàïðàâëåíèÿ íóëåâîé

âåêòîð íå èìååò.

Ðàçäåë X

ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Â ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåê-

òîðà. Âåêòîð  ýòî íàïðàâëåííûé îòðåçîê. ×àñòî

âåêòîð îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâà-

ìè ñî ñòðåëêîé èëè ÷åðòîé íàä áóêâîé (âåêòîð

âåêòîð

). Íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèå âåêòîðà îòìå-

÷àþò ñòðåëêîé. Åñëè íà÷àëîì âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷-

êà À, à êîíöîì  òî÷êà Â, òî âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ

(ðèñ. 230). Äëèíà îòðåçêà, èçîáðàæàþùåãî âåê-

òîð, íàçûâàåòñÿ äëèíîé (èëè ìîäóëåì) âåêòîðà è

îáîçíà÷àåòñÿ

èëè

.AB

Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå (èëè íà ïëîñêîñòè) ïðÿ-

ìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñì. ï. 22).

Ïóñòü èçâåñòíû êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà âåêòî-

ðà:

)

;;

(

111

ZYXA

)

.;;

(

222

ZYXB

Òîãäà ÷èñëà

XX -

1212

ZZYY --

íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòà-

ìè âåêòîðà

.AB

Çíà÷èò, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíà-

òû âåêòîðà, íàäî èç êîîðäèíàò êîíöà âåêòîðà âû-

÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà. Â îòëè÷èå îò êîîð-

äèíàò òî÷êè, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ â êðóãëûõ

ñêîáêàõ, êîîðäèíàòû âåêòîðà áóäåì çàïèñûâàòü â

ôèãóðíûõ ñêîáêàõ. Ïîëàãàÿ X

 X

= X, Y

 Y

ZZZY =-=

çàïèøåì

}.;;{ ZYXAB =

Ðèñ. 230 Ðèñ. 231

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

457

456

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Íàïðèìåð, åñëè äàí îòðåçîê ÀÂ, ãäå À (3; 2; 5),

Â (1; 2; 3), òî êîîðäèíàòû åãî ñåðåäèíû òàêîâû:

.4)35(5,0,0)22(5,0,1)13(5,0 =+==+-==-= zyx

296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðà-

ìè. Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæ-

íî ñîâìåñòèòü ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì (ðèñ. 231),

ò. å. ðàâíûå âåêòîðû ðàâíû ïî äëèíå è îäèíàêîâî

íàïðàâëåíû.

Òàê, âåêòîðû

,CD

íàïðàâëåííûå âäîëü ñòî-

ðîí ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD (ðèñ. 232), ðàâíû, à âåê-

òîðû

íå ðàâíû (õîòÿ îíè ðàâíû ïî äëèíå,

íî èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ).

Ò.10.1. Äâà âåêòîðà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,

êîãäà ðàâíû èõ êîîðäèíàòû.

Ï ð è ì å ð. Äàíû òî÷êè À (1; 1; 1), Â (2; 0; 1),

Ñ (0; 2; 6), D (1; 1; 4). Òðåáóåòñÿ: à) ïðîâåðèòü, ÷òî

;CDAB =

á) íàéòè òàêóþ òî÷êó Å, ÷òî

.EDBC =

q à) Èìååì

},2;1;1{},2;1;1{ --=--= CDAB

ò. å.

.CDAB =

Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè

);;(

111

zyxA

);;(

222

zyxB

íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

)

(

)

(

)

(

zzyyxxd -+-+-=

(2)

Òàê, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À (3; 4; 6)

è Â (1; 2; 3) ðàâíî

=-+++-

222

)

(

)

(

)

(

.79364 =++=

Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (1) è (2), çàêëþ÷àåì, ÷òî

ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è Â ðàâíî äëèíå âåê-

òîðà

.AB

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî-

÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Ñ (a; b; c) íà ðàññòî-

ÿíèå R.

q Ïóñòü

);;( zyxM

 òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ

èñêîìîìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó. Òîãäà

)

(

)

(

)

(

222

czbyax -+-+-=

îòêóäà

-+- yax ()(

222

)()

Rczb =-+

 ýòî óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì Ñ è ðàäèó-

ñîì R. n

Èñïîëüçóÿ âåêòîðû, ìîæíî äîêàçàòü (ñì. ï. 298),

÷òî êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè

);;(

111

zyxA

);;(

222

zyxB

íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì

),(5,0),(5,0),(5,0

212121

zzzyyyxxx +=+=+=

(3)

ò. å. êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ðàâíû ïîëóñóì-

ìàì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò åãî êîíöîâ.

Ðèñ. 232 Ðèñ. 233

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

457

456

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Íàïðèìåð, åñëè äàí îòðåçîê ÀÂ, ãäå À (3; 2; 5),

Â (1; 2; 3), òî êîîðäèíàòû åãî ñåðåäèíû òàêîâû:

.4)35(5,0,0)22(5,0,1)13(5,0 =+==+-==-= zyx

296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðà-

ìè. Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæ-

íî ñîâìåñòèòü ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì (ðèñ. 231),

ò. å. ðàâíûå âåêòîðû ðàâíû ïî äëèíå è îäèíàêîâî

íàïðàâëåíû.

Òàê, âåêòîðû

,CD

íàïðàâëåííûå âäîëü ñòî-

ðîí ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD (ðèñ. 232), ðàâíû, à âåê-

òîðû

íå ðàâíû (õîòÿ îíè ðàâíû ïî äëèíå,

íî èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ).

Ò.10.1. Äâà âåêòîðà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,

êîãäà ðàâíû èõ êîîðäèíàòû.

Ï ð è ì å ð. Äàíû òî÷êè À (1; 1; 1), Â (2; 0; 1),

Ñ (0; 2; 6), D (1; 1; 4). Òðåáóåòñÿ: à) ïðîâåðèòü, ÷òî

;CDAB =

á) íàéòè òàêóþ òî÷êó Å, ÷òî

.EDBC =

q à) Èìååì

},2;1;1{},2;1;1{ --=--= CDAB

ò. å.

.CDAB =

Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè

);;(

111

zyxA

);;(

222

zyxB

íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

)

(

)

(

)

(

zzyyxxd -+-+-=

(2)

Òàê, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À (3; 4; 6)

è Â (1; 2; 3) ðàâíî

=-+++-

222

)

(

)

(

)

(

.79364 =++=

Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (1) è (2), çàêëþ÷àåì, ÷òî

ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è Â ðàâíî äëèíå âåê-

òîðà

.AB

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî-

÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Ñ (a; b; c) íà ðàññòî-

ÿíèå R.

q Ïóñòü

);;( zyxM

 òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ

èñêîìîìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó. Òîãäà

)

(

)

(

)

(

222

czbyax -+-+-=

îòêóäà

-+- yax ()(

222

)()

Rczb =-+

 ýòî óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì Ñ è ðàäèó-

ñîì R. n

Èñïîëüçóÿ âåêòîðû, ìîæíî äîêàçàòü (ñì. ï. 298),

÷òî êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè

);;(

111

zyxA

);;(

222

zyxB

íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì

),(5,0),(5,0),(5,0

212121

zzzyyyxxx +=+=+=

(3)

ò. å. êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ðàâíû ïîëóñóì-

ìàì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò åãî êîíöîâ.

Ðèñ. 232 Ðèñ. 233

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

459

458

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

;bAD =

òîãäà

bac +=

 äèàãîíàëü

ïàðàëëå-

ëîãðàììà

ABCD

(ðèñ. 234, à). Åñëè â êà÷åñòâå âåê-

òîðà

âçÿòü âåêòîð

,BC

òî ìû ïîëó÷èì ïðàâèëî

òðåóãîëüíèêà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, à èìåííî, ñòðî-

èì âåêòîð

è ñîâìåùàåì ñ åãî êîíöîì íà÷àëî âåê-

òîðà

Òîãäà

bac +=

 ýòî âåêòîð, èäóùèé èç

íà÷àëà âåêòîðà

â êîíåö âåêòîðà

(ðèñ. 234, á).

Ñëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåêòîðîâ îñó-

ùåñòâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî. Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî

ñëîæèòü âåêòîðû

dcba ,,,

(ðèñ. 235). Èìååì

.,, rdqqcppba =+=+=+

Èòàê,

rdcba =+++

(î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïîñòðîåíèå ìîæíî áûëî ïðîâåñòè

ñðàçó, ñîâìåùàÿ íà÷àëî ñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî ñ êîí-

öîì ïðåäûäóùåãî). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàñïîëîæèëè

âñå âåêòîðû-ñëàãàåìûå â îäíîé ïëîñêîñòè, íî ýòî íå-

ñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó äâà âåêòîðà (èëè ðàâíûå èì)

á) Ïóñòü Å (õ; ó; z)  èñêîìàÿ òî÷êà. Òîãäà

},4;1;1{ zyxED ---=

}.7;2;2{-=BC

Ïðèðàâíÿâ

äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòî-

ðîâ, ïîëó÷èì 1  õ = 2, 1  ó = 2, 4  z = 7, îòêóäà

õ = 3, ó = 1, z = 3. Èòàê, Å (3; 1; 3). n

Äëÿ âåêòîðîâ îïðåäåëåíî òîëüêî îòíîøåíèå ðà-

âåíñòâà. Îòíîøåíèÿ «áîëüøå» è «ìåíüøå» äëÿ íèõ

íå îïðåäåëåíû.

Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè íàçûâàåòñÿ óãîë

ìåæäó âåêòîðàìè, ðàâíûìè äàííûì è èìåþùèìè

îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 233). Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

áóäåì îáîçíà÷àòü òàê:

.),( j=ba

Åñëè óãîë ìåæ-

äó âåêòîðàìè ðàâåí 90°, òî òàêèå âåêòîðû íàçûâàþò

ïåðïåíäèêóëÿðíûìè (èëè îðòîãîíàëüíûìè) è ïè-

øóò

.ba ^

Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, âåêòîð

}.2;1;1{ --=AB

Çäåñü Õ = 1, Y = 1, Z = 2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð

îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ îñòðûé óãîë, à ñ îñÿìè Îó è

Îz  òóïûå óãëû.

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ. Ñóììîé äâóõ âåêòî-

ðîâ

};;{

111

ZYXa =

};;{

222

ZYXb =

íàçûâàåòñÿ âåê-

òîð

}.;;{

212121

ZZYYXXbac +++=+=

Âåêòîðû

ìîæíî ñêëàäûâàòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïàðàëëåëîã-

ðàììà. Ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû

aAB =

Ðèñ. 234

à) á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

459

458

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

;bAD =

òîãäà

bac +=

 äèàãîíàëü

ïàðàëëå-

ëîãðàììà

ABCD

(ðèñ. 234, à). Åñëè â êà÷åñòâå âåê-

òîðà

âçÿòü âåêòîð

,BC

òî ìû ïîëó÷èì ïðàâèëî

òðåóãîëüíèêà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, à èìåííî, ñòðî-

èì âåêòîð

è ñîâìåùàåì ñ åãî êîíöîì íà÷àëî âåê-

òîðà

Òîãäà

bac +=

 ýòî âåêòîð, èäóùèé èç

íà÷àëà âåêòîðà

â êîíåö âåêòîðà

(ðèñ. 234, á).

Ñëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåêòîðîâ îñó-

ùåñòâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî. Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî

ñëîæèòü âåêòîðû

dcba ,,,

(ðèñ. 235). Èìååì

.,, rdqqcppba =+=+=+

Èòàê,

rdcba =+++

(î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïîñòðîåíèå ìîæíî áûëî ïðîâåñòè

ñðàçó, ñîâìåùàÿ íà÷àëî ñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî ñ êîí-

öîì ïðåäûäóùåãî). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàñïîëîæèëè

âñå âåêòîðû-ñëàãàåìûå â îäíîé ïëîñêîñòè, íî ýòî íå-

ñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó äâà âåêòîðà (èëè ðàâíûå èì)

á) Ïóñòü Å (õ; ó; z)  èñêîìàÿ òî÷êà. Òîãäà

},4;1;1{ zyxED ---=

}.7;2;2{-=BC

Ïðèðàâíÿâ

äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòî-

ðîâ, ïîëó÷èì 1  õ = 2, 1  ó = 2, 4  z = 7, îòêóäà

õ = 3, ó = 1, z = 3. Èòàê, Å (3; 1; 3). n

Äëÿ âåêòîðîâ îïðåäåëåíî òîëüêî îòíîøåíèå ðà-

âåíñòâà. Îòíîøåíèÿ «áîëüøå» è «ìåíüøå» äëÿ íèõ

íå îïðåäåëåíû.

Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè íàçûâàåòñÿ óãîë

ìåæäó âåêòîðàìè, ðàâíûìè äàííûì è èìåþùèìè

îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 233). Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

áóäåì îáîçíà÷àòü òàê:

.),( j=ba

Åñëè óãîë ìåæ-

äó âåêòîðàìè ðàâåí 90°, òî òàêèå âåêòîðû íàçûâàþò

ïåðïåíäèêóëÿðíûìè (èëè îðòîãîíàëüíûìè) è ïè-

øóò

.ba ^

Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, âåêòîð

}.2;1;1{ --=AB

Çäåñü Õ = 1, Y = 1, Z = 2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð

îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ îñòðûé óãîë, à ñ îñÿìè Îó è

Îz  òóïûå óãëû.

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ. Ñóììîé äâóõ âåêòî-

ðîâ

};;{

111

ZYXa =

};;{

222

ZYXb =

íàçûâàåòñÿ âåê-

òîð

}.;;{

212121

ZZYYXXbac +++=+=

Âåêòîðû

ìîæíî ñêëàäûâàòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïàðàëëåëîã-

ðàììà. Ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû

aAB =

Ðèñ. 234

à) á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

461

460

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

âåêòîð

êîëëèíåàðåí âåêòîðó

(ñì. ï. 299), à íà-

ïðàâëåíèå âåêòîðà

ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåê-

òîðà

åñëè

,0>l

è ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè

.0<l

Çàìåòèì, ÷òî

00 =× a

äëÿ ëþáîãî âåêòîðà

Íà ðèñ. 237 èçîáðàæåíû âåêòîðû

aa 2,

.5,0 a-

âñåãäà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, à â êàæäîé îïåðà-

öèè ñëîæåíèÿ ó÷àñòâóþò òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñëîæåíèè íåíóëåâûõ âåêòîðîâ

èõ ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîé íóëåâîìó âåêòîðó

(ðèñ. 236).

Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ îáëàäàåò ñëåäóþùè-

ìè ñâîéñòâàìè (

cba ,,

 ëþáûå âåêòîðû):

abba +=+

(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).

)

(

)

(

cbacba ++=++

(ñî÷åòàòåëüíûé çà-

êîí).

298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî. Ïðîèçâåäå-

íèåì âåêòîðà

};;{ ZYXa =

íà ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ

âåêòîð

}

;;

{

ZYXb lll=

(îáîçíà÷åíèå:

ab l=

èëè

l= ab

). Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

,ab

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ðàçíîñòü âåêòîðîâ

.ba -

q Òàê êàê

)

(

bb ×-=-

òî

).( baba -+=-

Îò-

ñþäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà ê âåêòî-

Ðèñ. 236

Ðèñ. 237

Ðèñ. 235

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

461

460

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

âåêòîð

êîëëèíåàðåí âåêòîðó

(ñì. ï. 299), à íà-

ïðàâëåíèå âåêòîðà

ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåê-

òîðà

åñëè

,0>l

è ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè

.0<l

Çàìåòèì, ÷òî

00 =× a

äëÿ ëþáîãî âåêòîðà

Íà ðèñ. 237 èçîáðàæåíû âåêòîðû

aa 2,

.5,0 a-

âñåãäà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, à â êàæäîé îïåðà-

öèè ñëîæåíèÿ ó÷àñòâóþò òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñëîæåíèè íåíóëåâûõ âåêòîðîâ

èõ ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîé íóëåâîìó âåêòîðó

(ðèñ. 236).

Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ îáëàäàåò ñëåäóþùè-

ìè ñâîéñòâàìè (

cba ,,

 ëþáûå âåêòîðû):

abba +=+

(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).

)

(

)

(

cbacba ++=++

(ñî÷åòàòåëüíûé çà-

êîí).

298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî. Ïðîèçâåäå-

íèåì âåêòîðà

};;{ ZYXa =

íà ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ

âåêòîð

}

;;

{

ZYXb lll=

(îáîçíà÷åíèå:

ab l=

èëè

l= ab

). Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

,ab

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ðàçíîñòü âåêòîðîâ

.ba -

q Òàê êàê

)

(

bb ×-=-

òî

).( baba -+=-

Îò-

ñþäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà ê âåêòî-

Ðèñ. 236

Ðèñ. 237

Ðèñ. 235