Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 3
Подождите немного. Документ загружается.
256
1)
,
zxy
=
(
)
0
2;2;2;
N − 2)
22
2,
94
xy
z
−=
(
)
0
3;2;0;
N −
3)
(
)
tg2,
zxy
=
0
1;;1;
8
N
π
4)
33
,
zxy
=+
(
)
0
1;1;0;
N −
5)
,
xy
ze
+
=
(
)
0
1;1;1;
N − 6)
2
,
zxy
=+
(
)
0
1;0;1.
N
1.2. Найдите уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением
(
)
;;0
Fxyz
=
в точке
(
)
0000
;;:
Nxyz
1)
(
)
(
)
8,
zxyxyz
+−=
(
)
0
3;1;2;
N
2)
4432,
xy
zz
+=
(
)
0
2;2;1;
N
3)
222
0,
9816
xyz
−+=
(
)
0
3;4;4.
N
II уровень
2.1. Найдите уравнения касательных плоскостей к поверхно-
сти
16,
xyz++= перпендикулярных координатным плос-
костям.
2.2. Составьте уравнения касательных плоскостей к поверх-
ности
222
321140,
xyz
−++=
параллельных:
1) координатным плоскостям; 2) плоскости
20.
xyz
−+=
2.3. Составьте уравнение касательной плоскости и нормали
к поверхности, заданной уравнением
,
zuv
=−
где
( )
2
,
uxy
=−
2,
vxy
=−
в точке
(
)
0
1;1.
M
2.4. Найдите точки на поверхности
222
493681872130,
xyzxyz
++−−−+=
в которых нормаль к ее поверхности будет:
1) параллельна осям координат;
2) перпендикулярна осям координат.
257
III уровень
3.1. Определите, в каких точках сферы
222
1
xyz
++=
каса-
тельные плоскости к ней отсекают на осях координат равные
отрезки.
3.2. Найдите точки эллипсоида
222
1,
994
xyz
++=
в которых
нормаль к его поверхности образует равные углы с осями коор-
динат.
3.3. Выясните, является ли плоскость
0
z
=
в точке
(
)
0;0;0
O касательной:
1) к параболоиду вращения
22
;
zxy
=+
2) к конусу
22
;
zxy
=+
3) к гиперболическому параболоиду
.
zxy
=
3.4. Найдите точки на поверхности
222
22220,
xyzxyz
+−−−++=
касательная плоскость в которых к данной поверхности будет:
1) параллельна координатным плоскостям;
2) перпендикулярна координатным плоскостям.
3.5. Докажите, что
cos
,
cos
z
x
α
γ
∂
=−
∂
cos
,
cos
z
y
β
γ
∂
=−
∂
где
cos,
α
cos,
β
cos
γ
– направляющие косинусы нормали к поверхности
(
)
sin.
zxy
=
18.6. Частные производные и дифференциалы
высших порядков
Частными производными второго порядка функции
(
)
;
zfxy
= называются частные производные от ее частных
производных первого порядка:
258
2
2
;
zz
xx
x
∂∂∂
=
∂∂
∂
(18.21)
2
;
zz
xyxy
∂∂∂
=
∂∂∂∂
(18.22)
2
;
zz
yxyx
∂∂∂
=
∂∂∂∂
(18.23)
2
2
.
zz
yy
y
∂∂∂
=
∂∂
∂
(18.24)
Частные производные (18.21–18.24) обозначают также (со-
ответственно)
2
,
x
f
′′
,
xy
f
′′
,
yx
f
′′
2
.
y
f
′′
Аналогично определяются частные производные третьего,
четвертого и высших порядков.
В частности,
32
32
,
zz
x
xx
∂∂∂
=
∂
∂∂
32
22
.
zz
y
yxx
∂∂∂
=
∂
∂∂∂
Подобным образом определяются производные высшего по-
рядка функции трех и более переменных.
Частная производная второго порядка и выше, взятая по
различным переменным, называется смешанной частной про-
изводной.
Если частные производные высшего порядка непрерывны,
то смешанные производные одного порядка не зависят от поряд-
ка дифференцирования, например,
333
22
.
zzz
yxy
xyyx
∂∂∂
==
∂∂∂
∂∂∂∂
Дифференциал второго порядка функции
(
)
;
zfxy
= оп-
ределяется формулой
(
)
2
.
dzddz
= (18.25)
Аналогично определяются дифференциалы третьего и выс-
ших порядков.
Справедлива формула
(
)
1
,
nn
dzddz
+
=
.
n
∈
N
(18.26)
Если функция
(
)
;
zfxy
= имеет непрерывные частные про-
изводные, и переменные х и у являются независимыми, то диф-
259
ференциалы второго и третьего порядков вычисляются по фор-
мулам:
222
222
22
2;
zzz
dzdxdxdydy
xy
xy
∂∂∂
=++
∂∂
∂∂
(18.27)
3333
33223
3223
33.
zzzz
dzdxdxdydxdydy
xxyxyy
∂∂∂∂
=+++
∂∂∂∂∂∂
(18.28)
Для всякого
n
∈
N
формула вычисления дифференциала по-
рядка
n
по форме записи аналогична формуле бинома Ньютона:
011222
122
11
1
....
nnn
nnnn
nnn
nnn
nn
nnnn
nn
nn
zzz
dzCdxCdxdyCdxdy
xxyxy
zz
CdxdyCdy
xyy
−−
−−
−−
−
∂∂∂
=+++
∂∂∂∂∂
∂∂
+++
∂∂∂
(18.29)
Пример 1. Вычислить частные производные второго порядка
функции:
1)
23
;
zxy
= 2)
(
)
lnsin
y
zxyx
=+
в точке
0
;1.
2
M
π
Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:
3
2;
z
xy
x
∂
=
∂
22
3.
z
xy
y
∂
=
∂
Далее дифференцируем полученные производные по x и по y ка-
ждую:
( )
2
33
2
22;
z
xyy
x
x
∂∂
==
∂
∂
( )
2
222
2
36;
z
xyxy
y
y
∂∂
==
∂
∂
()
2
222
36;
z
xyxy
xyx
∂∂
==
∂∂∂
( )
2
32
26.
z
xyxy
yxy
∂∂
==
∂∂∂
2) Находим частные производные первого порядка:
11
cos
ctg;
sin
yy
zxy
yyxyxyyx
xxy
−−
∂
=+=+
∂
cos
lnctgln.
sin
yy
zxy
xxxxxyxx
yxy
∂
=+=+
∂
Полученные равенства дифференцируем еще раз по x и по y:
( )
( )
2
12
22
1
ctg1
sin
yy
z
yxyyxyyyyx
x
xxy
−−
∂∂
=+=−+−=
∂
∂
260
( )
2
2
2
1;
sin
y
y
yyx
xy
−
=−+−
( )
2
2
111
2
1
ctglnctg
sin
1
lnctgln;
sin
y
yyyy
z
xxyxxxyxy
xyx
xy
xy
yxxxxyyxxx
x
xy
−−−
∂∂
=+=+−+
∂∂∂
++=−++
( )
2
11
2
111
2
1
ctgctg
sin
lnctgln;
sin
yy
yyy
z
yxyyxxyyxx
yxy
xy
xy
yxxxyyxxx
xy
−−
−−−
∂∂
=+=+−++
∂∂∂
+=−++
( )
()
()
2
2
22
2
2
2
1
ctglnln
sin
ln.
sin
yy
y
z
xxyxxxxxx
y
yxy
x
xx
xy
∂∂
=+=⋅−+=
∂
∂
=−
Найдем значения частных производных в точке
0
;1:
2
M
π
( )
1
2
2
2
1
;11111;
22
sin
2
z
x
ππ
π
−
∂
=−+−=−
∂
00
22
2
2
;1;1ctgln
222222
sin
2
zz
xyyx
π
ππππππ
π
∂∂
==−++=
∂∂∂∂
ln1;
22
ππ
=−++
2
2
2
2
2
2
2
2
;1lnln.
222224
sin
2
z
y
π
ππππππ
π
∂
=−=−
∂
Пример 2. Найти частную производную
5
22
u
xzy
∂
∂∂∂
функции
ln.
x
z
uey
=
261
Решение. Найдем частную производную 1-го порядка
.
x
z
ue
yy
∂
=
∂
Продифференцировав полученное равенство дважды по z, получим:
2
22
;
xx
x
zz
z
ueexx
e
zyzyy
zyz
∂∂
==−=−
∂∂∂
3
22322
2
xxx
zzz
uxxxx
eee
z
zyyzyzyzz
∂∂
=−=−−=
∂
∂∂
22
3434
22
.
xxx
zzz
xxxx
eee
yzyzyzyz
=+=+
Дифференцируем последнее равенство дважды по х:
( )
422
23434
22
345
212
22
42;
xx
zz
x
x
z
z
uxxxx
ee
xz
xzyyzyzyzyz
xe
exzxz
yzyzyz
∂∂
=+=++
∂
∂∂∂
++=++
( ) ( )
5
2222
2255
1
4242
xx
zz
uee
xzxzxzxz
xz
xzyyzyz
∂∂
=++=⋅+++
∂
∂∂∂
()
( )( )
22222
566
42242466.
xxx
zzz
eee
zxxzxzxzzxzxz
yzyzyz
++=++++=++
Пример 3. Найти дифференциал четвертого порядка функции
cos
y
zex
= в точке
(
)
0
0;0.
M
Решение. По формуле (18.29) имеем:
444
40413222
444
4322
44
3344
44
34
,
zzz
dzCdxCdxdyCdxdy
xxyxy
zz
CdxdyCdy
xyy
∂∂∂
=+++
∂∂∂∂∂
∂∂
++
∂∂∂
где
k
n
C
– биномиальные коэффициенты, которые найдем по фор-
муле
262
( )
( )
!
4, 0, 1, 2, 3, 4
!!
k
n
n
Cnk
knk
===
−
или по треугольнику
Паскаля.
Формула вычисления
4
dz
принимает вид:
444
44322
4322
44
34
34
46
4.
zzz
dzdxdxdydxdy
xxyxy
zz
dxdydy
xyy
∂∂∂
=+++
∂∂∂∂∂
∂∂
++
∂∂∂
(18.30)
Найдем частные производные:
( )
sin,
y
z
ex
x
∂
=−
∂
2
2
cos,
y
z
ex
x
∂
=−
∂
3
3
sin,
y
z
ex
x
∂
=
∂
4
4
cos;
y
z
ex
x
∂
=
∂
234
234
cos;
y
zzzz
ex
y
yyy
∂∂∂∂
====
∂
∂∂∂
( )
44
33
sinsin;
yy
zz
exex
y
xyyx
∂∂∂
===
∂
∂∂∂∂
( )
442
22222
coscos;
yy
zz
exex
xyyxy
∂∂∂
==−=−
∂∂∂∂∂
( )
443
333
sinsin.
yy
zz
exex
xyyxy
∂∂∂
==−=−
∂∂∂∂∂
Вычислим значения частных производных в точке
(
)
0
0;0:
M
( )
4
0
4
1,
z
M
x
∂
=
∂
( )
4
0
3
0,
z
M
xy
∂
=
∂∂
( )
4
0
22
1,
z
M
xy
∂
=−
∂∂
( )
4
0
3
0,
z
M
xy
∂
=
∂∂
( )
4
0
4
1.
z
M
y
∂
=
∂
Подставляя все значения в формулу (18.30), получим:
(
)
44224
0
6.
dzMdxdxdydy
=−+
Задания
I уровень
1.1. Вычислите частные производные второго порядка
функции:
263
1)
322
3;
zxxyy
=−+ 2)
ln;
y
zex
=
3)
(
)
cos;
zxy
= 4)
( )
sin;
x
zxy
y
=++
5)
(
)
2
ln,
zxy
=+ в точке
(
)
0
1;0;
M
6)
,
x
y
ze
= в точке
(
)
0
0;1.
M
1.2. Найдите производную
6
24
z
xy
∂
∂∂
функции
.
xy
ze
=
1.3. Найдите производную
4
2
u
xyz
∂
∂∂∂
функции
.
xy
z
ue
=
1.4. Вычислите дифференциалы третьего порядка функции
(
)
;
zfxy
= в точке М
0
:
1)
(
)
ln1,
zxy
=++
(
)
0
0;0;
M
2)
(
)
(
)
cos,
zxyxy
=−+
(
)
0
0;0.
M
II уровень
2.1. Найдите частные производные указанного порядка:
1)
33
22
,,
zz
xyxy
∂∂
∂∂∂∂
если
(
)
cossin;
zxy
=+
2)
8
44
,
z
xy
∂
∂∂
если
44
sinsin;
zxyyx
=−
3)
10
46
,
z
xy
∂
∂∂
если
sin2cos;
zxy
=
4)
3
,
u
xyz
∂
∂∂∂
если
;
xyz
ue=
5)
222
,,,
uuu
xyxzyz
∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
если
;
x
y
u
z
=
264
6)
10
9
,
z
yx
∂
∂∂
если
(
)
10
2
tg.
zxyy
=+
2.2. Найдите дифференциалы второго порядка функции z в
точке
(
)
000
;:
Mxy
1)
tg0,
xzy
−=
(
)
0
1;1;
M 2)
22
ln0,
xyz
++=
(
)
0
1;1.
M
2.3. Найдите дифференциалы указанного порядка функции:
1)
2
,
du
если
3
32
2
;
x
uxyz
yz
=+ 2)
3
,
du
если
;
x
y
uz
=
3)
4
,
dz
если
;
xy
z
xy
−
=
+
4)
2
,
dz
если
arctg.
1
xy
z
xy
+
=
−
2.4. Докажите, что для функции
32
zxy
= справедливо ра-
венство
(
)
(
)
55
00
2332
0,
zz
yxxy
∂Μ∂Μ
−=
∂∂∂∂
если
(
)
0
1;1.
Μ
III уровень
3.1. Докажите, что указанная функция
(
)
;
zxy
имеет в точке
(
)
0;0
O смешанные частные производные второго порядка, но
при этом
( ) ( )
22
0;00;0:
zz
xyyx
∂∂
≠
∂∂∂∂
1)
( )
22
22
22
22
, 0,
;
0, 0;
xy
xyxy
zxyxy
xy
−
+≠
=+
+=
2)
( )
, ïðè ,
;
, ïðè .
xyyx
zxy
xyyx
≤
=
−>
3.2. Найдите второй дифференциал функции
(
)
;
zfuv
= в
точке
(
)
;,
Mxy
если
(
)
;,
uuxy
=
(
)
;
vvxy
= – дифференцируе-
265
мые функции:
1)
,
v
zu
=
,
uxy
=+
;
vxy
=
2)
,
zuv
=
,
uxy
=+
22
;
vxy
=+
3)
ln,
u
zv
=
,
uxy
=+
.
vx
=
3.3. Докажите, что функция
( )
2
0
2
4
1
2
xx
at
ue
atπ
−
−
= (а, х
0
– чис-
ла) удовлетворяет уравнению теплопроводности
2
2
2
.
uu
a
t
x
∂∂
=
∂
∂
3.4. Докажите, что произвольные дважды дифференцируе-
мые функции f и g удовлетворяют уравнениям:
1)
(
)
(
)
22,
zfxtgxt
=++−
22
22
4;
zz
tx
∂∂
=
∂∂
2)
,
yy
zfxg
xx
=+
222
22
22
20;
zzz
xxyy
xy
xy
∂∂∂
++=
∂∂
∂∂
3)
(
)
(
)
,
zfxgy
=+
22
2
.
zzzz
xxyy
x
∂∂∂∂
⋅=⋅
∂∂∂∂
∂
3.5. Найдите решение
(
)
;
zzxy
= уравнения:
1)
2
2
,
z
x
y
∂
=
∂
удовлетворяющее условиям
( )
( )
2
;0,
;0;
zxx
z
xx
y
=
∂
=
∂
2)
2
sin,
z
y
xy
∂
=−
∂∂
удовлетворяющее условиям
(
)
( )
;00,
0;.
zx
zyy
=
=
3.6. Проверьте равенства:
1)
2
2
22
22
916,
zzzz
zz
xy
xy
∂∂∂∂
−=−
∂∂
∂∂
если
34
;
43
yx
z
xy
+
=
−
2)
22
2
,
zzzz
xxyy
x
∂∂∂∂
=
∂∂∂∂
∂
если
.
xy
ze
+
=
266
18.7. Производная по направлению. Градиент
Производной функции
(
)
;;
ufxyz
= в точке
(
)
0000
;;
Mxyz
по направлению
l
называется предел
(
)
(
)
(
)
0000000
0
;;;;
,
lim
l
uMfxxyyzzfxyz
ll
∆→
∂+∆+∆+∆−
=
∂∆
где
0
,
lMM
=
(
)
000
;;,
Mxxyyzz
=+∆+∆+∆
222
0
,
lMMxyz
∆==∆+∆+∆
если предел существует.
Если функция
(
)
;;
ufxyz
= дифференцируема, то произ-
водная по направлению вычисляется по формуле
coscoscos,
uuuu
lxyz
αβγ
∂∂∂∂
=++
∂∂∂∂
(18.31)
где
cos,
α
cos,
β
cos
γ
– направляющие косинусы вектора
.
l
В частности, если
(
)
;
zfxy
= – функция двух переменных,
то формула (18.31) производной по направлению примет вид:
cossin,
zzz
lxy
αα
∂∂∂
=+
∂∂∂
(18.32)
где
α
– угол между вектором
l
и осью Ох.
Градиентом функции
(
)
;;
uxyz
в точке
(
)
0000
;;
Mxyz
на-
зывается вектор
(
)
(
)
(
)
000
; ;
uMuMuM
gradu
xyz
∂∂∂
=
∂∂∂
(18.33)
или, то же самое,
.
uuu
graduijk
xyz
∂∂∂
=++
∂∂∂
Связь между градиентом функции и производной по на-
правлению устанавливает формула
cos,
u
gradu
l
ϕ
∂
=⋅
∂
где
ϕ
– угол между векторами
gradu
и
.
l
267
Градиент функции указывает направление наибыстрейшего
возрастания функции. Наибольшее значение производной
,
u
l
∂
∂
достигаемое в направление градиента, равно
2
22
.
uuuu
gradu
lxyz
∂∂∂∂
==++
∂∂∂∂
В частности, если
(
)
;
zfxy
= – функция двух переменных, то
.
zz
gradzij
xy
∂∂
=+
∂∂
Пример 1. Найти производную функции
2
ln
zxy
=+ в точке
(
)
1; 1
A по направлению вектора
,
l
образующего с положительным
направлением оси Ох угол
.
6
π
α =
Решение. Используя формулу (18.32), вычислим частные произ-
водные функции z в точке A:
( )
2, 2;
1; 1
zz
x
xx
∂∂
==
∂∂
()
1
, 1.
1; 1
zz
yyy
∂∂
==
∂∂
Так как
3
coscos,
62
π
α ==
1
sinsin,
62
π
α == то
311
2132,2.
222
z
l
∂
=⋅+⋅=+≈
∂
Пример 2. Найти производную функции
22
uxyyz
=−+
в точке
(
)
1; 4; 3
A
−
по направлению к точке
(
)
1; 7; 4.
B −
Решение. Найдем вектор
:
AB
(
)
(
)
(
)
1174433.
ABlijkjk
==−+−+−+=−
Его направляющие косинусы равны:
cos0,
α
=
22
33
cos,
10
3(1)
β ==
+−
1
cos.
10
γ =−
268
Найдем значения частных производных функции u в точке
(
)
1; 4; 3:
A −
( )
1; 4; 3
()
4;
uA
y
x
−
∂
==
∂
( )
22
1; 4; 3
()41
1;
5
25
uAy
x
y
yz
−
∂
=−=−=
∂
+
( )
22
1; 4; 3
()3
.
5
uAz
z
yz
−
∂
=−=
∂
+
Тогда по формуле (18.31) получим:
1331
400.
55
1010
u
l
∂
=⋅+⋅+⋅−=
∂
Пример 3. Найти длину и направление (указать направляющие
косинусы) градиента функции
(
)
sin
uxyz
=++
в точке
(
)
0; 0; .
M
π
Решение. Вычислим частные производные функции u в точке М.
Используем формулу (18.33) при условии, что частные производ-
ные вычисляем в заданной точке
(0;0;).
π
( )
( )
0; 0;
()
coscos1;
uM
xyz
x
π
π
∂
=++==−
∂
( )
( )
0; 0;
()
coscos1;
uM
xyz
y
π
π
∂
=++==−
∂
( )
( )
0; 0;
()
coscos1.
uM
xyz
z
π
π
∂
=++==−
∂
Тогда
( )
(1;1;1).
0; 0;
gradu
π
=−−−
Вычисляем длину полученного вектора:
( )
( ) ( ) ( )
222
1113.
0; 0;
gradu
π
=−+−+−=
Используем тот факт, что направляющие косинуса равны коорди-
натам единичного вектора направления, определяемого вектором дро-
би. Поэтому
1
cos;
3
α =−
1
cos;
3
β =−
1
cos.
3
γ =−
269
Задания
I уровень
1.1. Найдите производную функции
(
)
;
zfxy
= в точке
(
)
000
;
Mxy
по направлению вектора
:
l
1)
22
3,
zxxyy
=−−
(
)
0
2; 0,
M
3;
lij
=+
2)
(
)
22
ln,
zxy
=+
(
)
0
1; 1,
M
13
;;
22
l
3)
2
tgsin,
zxy
=−
0
; ,
46
M
ππ
2;
lij
=+
4)
22
1
arcsin,
z
xy
=
+
(
)
0
1; 1,
M
63.
lij
=+
1.2. Найдите производную функции
(
)
22
ln
uyxz
=++ в
точке
(
)
0
3; 1; 4
N − по направлению вектора
22.
lijk
=−−+
1.3. Найдите величину и направление градиента функции
(
)
; ;
uxyz
в точке
(
)
0000
; ; :
Nxyz
1)
222
,
uxyz
=++
(
)
0
0; 0; 1;
N
2)
(
)
22
ln1,
uxyzx
=−−
(
)
0
2; 1; 1;
N
3)
(
)
2
ln,
uzyx
=−
(
)
0
3; 2; 1;
N
4)
,
z
uyz
x
=−
(
)
0
1; 3; 4;
N −−
5)
(
)
sin2,
uzxxyz
=+−
0
3
; 3; .
22
N
ππ
II уровень
2.1. Найдите производную указанной функции в точке
(
)
000
; ;
Axyz
по направлению к точке
(
)
111
; ; :
Bxyz
1)
2
25,
uxzy
=+−
(
)
1; 0; 1,
A
(
)
3; 1; 3;
B −
270
2)
22
,
uxyxyz
=+−
(
)
1; 5; 2,
A −
(
)
1; 7; 4;
B −
3)
(
)
3
arctg,
uxzy
=+−
(
)
2; 1; 1,
A
(
)
2; 4; 3;
B −
4)
sin,
xy
u
z
+
=
3
; ; 4,
22
A
ππ
3
4; 2; 3.
22
B
ππ
++
2.2. Найдите величину и направление градиента функции
(
)
;,
zfxy
= заданной неявно, в точке
(
)
000
;:
Mxy
1)
,
z
yxe
−=
(
)
0
0; 1;
M
2)
ln0,
z
yz
x
−=
(
)
0
1; 0;
M
3)
(
)
sincos0,
yxzy
−−=
0
; 0;
4
M
π
4)
3
sinsinsin,
2
xyyxzy
π
++=
0
; .
22
M
ππ
2.3. Найдите угол между градиентами функции
222
z
u
xyz
=
++
в точках
(
)
2; 2; 1
A и
(
)
0; 1; 3.
B −
2.4. Найдите производную функции
22
ln()
zxy
=+ в точке
0
(2;2)
M в направлении
,
l
−
перпендикулярном к линии уровня,
проходящей через эту точку.
III уровень
3.1. Найдите градиент функции
(
)
min;
zxy
= в точках
(
)
4; 2
A и
(
)
2; 4.
B
3.2. Определите, в каких точках градиент функции
333
3
uxyzxyz
=++− удовлетворяет условию:
1) параллелен оси Оу;
2) перпендикулярен оси Оу;
3) равен нулю.
271
3.3. Выясните, в каких точках градиент функции
22
2
zxyxy
=+− удовлетворяет условию:
1) перпендикулярен прямой
;
xy
=
2) равен нулю.
3.4. Определите, в каких точках выполнено равенство
1
ln2,
grad
r
=
если
222
.
rxyz
=++
3.5. Найдите градиент функции
(
)
; ,
zzxy
= заданной неявно
уравнением:
1)
3
34;
zxyz
−=
2) ;
z
ezyx =++ 3) .
zyx
ezyx
−−−
=++
3.6. Определите направление наибыстрейшего возрастания
функции:
1)
sin(2)2;
uxyxyz
=++ 2)
(
)
22
ln1;
uyxyz
=−+
3)
;
y
uxy
z
=− 4)
322
.
uyxz
=++
18.8. Экстремумы функций двух переменных
Функция
(
)
;
zfxy
= имеет в точке
(
)
000
;
Mxy
локальный
максимум (минимум), если существует такая δ-окрестность
точки М
0
, что для всех точек
(
)
;
Mxy
из этой окрестности (от-
личных от М
0
) выполняется неравенство
(
)
(
)
00
; ;
fxyfxy
<
(
)
(
)
(
)
00
; ; .
fxyfxy>
Максимум и минимум функции называются ее экстрему-
мами (локальными), а точка М
0
, в которой достигается экстре-
мум, называется точкой экстремума.
Необходимое условие экстремума: если в точке
(
)
000
;
Mxy
дифференцируемая функция
(
)
;
zfxy
= имеет экстремум, то ее
частные производные в этой точке равны нулю:
272
(
)
( )
0
0
0,
0.
fM
x
fM
y
∂
=
∂
∂
=
∂
(18.34)
Точки, в которых частные производные существуют и равны
нулю, называются стационарными.
Точки из области определения функции, в которых частные
производные равны нулю или не существуют, называются кри-
тическими точками.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточное условие экстремума. Пусть
(
)
000
;
Mxy
–
стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой
функции
(
)
; .
zfxy
= Обозначим:
(
)
2
0
2
,
fM
A
x
∂
=
∂
(
)
2
0
,
fM
B
xy
∂
=
∂∂
(
)
2
0
2
,
fM
C
y
∂
=
∂
2
.
ACB
∆=−
Тогда:
1) если
0,
∆>
то функция имеет в точке М
0
локальный экс-
тремум (максимум при
0
A
<
и минимум при
0
A
>
);
2) если
0,
∆<
то в точке М
0
функция не имеет экстремума;
3) если
0,
∆=
то в точке М
0
функция может иметь локаль-
ный экстремум, а может и не иметь его (нужны дополнительные
исследования).
Допустим, что функция f(x; y) определена на некотором
множестве
2
.
DR
⊆
Число С называют наибольшим значением функции (гло-
бальный максимум) на множестве D, если
(
)
;
fxy Ñ
≤
(
)
; ,
xyD
∀∈ записывают так:
( )
(
)
;
; .
max
xyD
Cfxy
∈
=
Число с называют наименьшим значением функции (гло-
бальным минимумом) на множестве D, если
(
)
;
fxy ñ
≥
(
)
; ,
xyD
∀∈ записывают так:
( )
(
)
. ;
min
;
yxfс
Dyx ∈
=
273
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на замкнутом огра-
ниченном множестве
D
функция
(
)
;
zfxy
= достигает на этом
множестве своего наибольшего и наименьшего значений.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции в области
D
нужно:
1) найти критические точки функции, принадлежащие D, и
вычислить значение функции в них;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на
границах области
;
D
3) сравнить все полученные значения функции и выбрать из
них наибольшее и наименьшее.
Если область определения функции не является замкнутой,
то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функ-
ции необходимо:
1) найти критические точки функции, принадлежащие D;
2) исследовать найденные критические точки на экстремум
(локальный);
3) вычислить значения функции в точках локального мак-
симума (минимума) и отобрать среди них наибольшее (наи-
меньшее).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
22
372.
zxxyyxy
=−+−−
Решение. Находим частные производные первого порядка:
237,
z
xy
x
∂
=−−
∂
322.
z
xy
y
∂
=−+−
∂
Приравниваем их к нулю, чтобы найти стационарные точки:
2370,
3220.
xy
xy
−−=
−+−=
Решая систему уравнений, получим:
4,
x
=−
5,
y
=−
т. е.
(
)
0
4; 5.
M −−
Вычисляем значения частных производных второго порядка в
точке М
0
:
2
2
0
2;
z
M
x
∂
=
∂
2
3;
z
xy
∂
=−
∂∂
2
2
2.
z
y
∂
=
∂
Тогда
2
4950.
ACB
∆=−=−=−<
Следовательно, в точке
(
)
0
4;5
M
−−
экстремума нет.
274
Пример 2. Найти экстремум функции
(
)
2
2.
xy
zexy
−
=−
Решение. Частные производные первого порядка:
( )
2
22;
xyxy
z
exyxe
x
−−
∂
=−+
∂
( )
2
22.
xyxy
z
exye
y
−−
∂
=−−−
∂
Стационарные точки:
2
2
220,
220;
xyx
xy
−+=
−+=
1,
3
;
2
x
y
=
=
0
3
1; .
2
M
Частные производные второго порядка:
( )
( )
2
2
2
2
2222
422;
xyxyxyxy
xy
z
exyxeexe
x
exxy
−−−−
−
∂
=−+++=
∂
=+−+
( ) ( )
2
22
222222;
xyxyxyxy
z
exyexeexxy
xy
−−−−
∂
=−−−−=−−+−
∂∂
( ) ( )
2
22
2
22224.
xyxyxyxy
z
exyeeexy
y
−−−−
∂
=−++=−+
∂
Тогда
( ) ( )
11
2
22
0
2
14324;
z
AMee
x
−−
∂
==+−+=
∂
( ) ( )
11
2
22
0
12322;
z
BMee
xy
−−
∂
==−−+−=−
∂∂
( ) ( )
11
2
22
0
2
1342.
z
Ñ Mee
y
−−
∂
==−+=
∂
Получаем:
2
111
2111
222
4228440.
ACBeeeeee
−−−
−−−
∆=−=⋅−−=−=>
Поскольку
1
2
40,
Ae
−
=>
то в точке
0
3
1;
2
M
функция имеет
минимум:
( )
11
22
min
1321,22.
zee
−−
=−=−≈−
275
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
22
3
zxyxyx
=+−+
в области
,
D
ограниченной прямыми
,
yx
=
0,
y
=
3.
x
=−
Решение. 1) Вычислим частные производные и найдем критиче-
ские точки:
23,
z
xy
x
∂
=−+
∂
2;
z
yx
y
∂
=−
∂
230,
20,
xy
yx
−+=
−=
2,
1.
x
y
=−
=−
Получим:
(
)
1
2; 1
M
−−
– критическая точка, принадлежащая об-
ласти
.
D
Вычислим в ней значение функции:
(
)
1
2; 141263.
zz
=−−=+−−=−
2) Исследуем функцию z на границе области
D
(рис. 18.4).
Рис. 18.4
Уравнение границы AB:
3.
x
=−
Подставляем число –3 вместо х в
аналитическое задание функции:
2
3,
zyy
=+ где
[
]
3; 0.
y∈−
Исследуем полученную функцию, как функцию одной перемен-
ной, на наибольшее значение.
Найдем критические точки:
23,
y
zy
′
=+
230.
y
+=
Получаем
3
2
y
=−
– критическая точка, при этом
3
(3;0).
2
−∈−
Вычисляем значение функции в точке
3
2
y
=−
и на концах отрезка:
2
39
;
24
zz
=−=−
(
)
(
)
3
300.
zzz
=−==
Уравнение границы BC:
.
yx
=
На этом участке уравнение функ-
х
= –3
0
у = х
у = 0
С
у
−
3
х
−3
А
В