Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 3
Подождите немного. Документ загружается.
19
22222
32132122132
321212123232
32121232321213
()()()()()
()()()()()()
()()()()()().
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
+−=−−+−−=
=−−+−−−+=
=−−+−−=−−−
Значит,
0
∆≠
, при
321213
,,
xxxxxx
≠≠≠
.
Пример 4. Доказать равенство
011...1
110...0
111
!1....
102...0
23
...............
100...
n
n
n
n
∆==−++++
Решение. Для доказательства используем метод математической
индукции. Проверим справедливость утверждения при n = 1 и 2.
1
01
0111!1.
11
∆==−=−=−⋅
2
011011
111
1102110211212!1.
222
1021
01
2
∆==⋅=−−=−⋅+=−+
Пусть равенство выполняется при n = k, где k > 2, т. е.
11
!1....
2
k
k
k
∆=−+++
Докажем истинность при n = k + 1.
1
011...11
110...00
102...00
(1)
..................
100...0
1
00...01
1
k
k
k
k
+
∆=+=
+
2221
11...11
10...00
1
(1)1(1)(1)
02...00
1
...............
00...0
kkk
k
k
k
k
+++++
=+⋅−∆+−=
+
20
311
10...0
02...0
1
(1)(1)(1)1(1)
............
1
00...
kk
k
kk
k
k
+++
=+∆++−⋅⋅−=
+
11!(1)
(1)!(1)(!)1...
21
k
kk
kkkk
kk
+
=+∆−=+−+++−=
+
111111
(1)!1...(1)!(1)!1....
2121
kkk
kkkk
=−++++−+=−+++++
++
Утверждение доказано методом математической индукции.
Пример 5. Вычислить определитель:
1)
2
23cossin
44
;
425
i
ii
ei
π
ππ
−+
−
2)
2
2
110
110
,
0050
01
a
a
aa
где
22
cossin.
33
ai
ππ
=+
Решение. 1) Перейдем к алгебраической форме записи всех эле-
ментов заданной матрицы:
22
3cossin3,
4422
ii
ππ
+=+
2
44.
i
ei
π
=
Тогда
( )( )
2
22
22
23(cossin)
23
44
225
22
425
425
22
12410256262(962)862.
22
i
ii
ii
ii
ii
ei
iiiiiiii
π
ππ
−+
−+
==−−−
−
−
−+=−−+−−=−−+
2) Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:
2
22
22
2
110
1111
110
511500
0050
11
01
a
aa
a
aaa
aaaa
aa
==−=
21
22
2
222
11
11
5(1)5(1)5(1)(1)
1
5(1)(1)5(1).
aaaaaaa
a
aa
aaaaa
=−−=−−=−−−=
=−−=−=∆
Поскольку
2213
cossin,
3322
aii
ππ
=+=−+ то
33
1,
22
ai−=−+
2
4413
cossin.
3322
aii
ππ
=+=−− Значит,
( )
2
2
1333513
59633
2222422
iiiii
∆=−−−+=−−−+=
( )( ) ( )( )
( )
()
2
556
136631313
88
1515
1(3)1315.
44
iiii
i
⋅
=−+−=−+−=
=−−=−+=−
Задания
I уровень
1.1. Вычислите определитель:
1)
35
;
24
2)
;
ab
с d
3)
;
xyxy
xyxy
−+
+−
4)
sincos
.
cossin
ϕϕ
ϕϕ
−
1.2. Вычислите определитель с помощью правила треуголь-
ников:
1)
132
213;
321
−
−
2)
345
872;
218
−
−
−
3)
213
042.
123
−
1.3. Найдите миноры М
11
, М
21
и алгебраические дополнения
А
13
, А
32
для матрицы
123
454.
321
1.4. Вычислите определитель, используя разложения по 1-й
22
строке и по 2-му столбцу:
1)
101
234;
121
−
−
2)
211
123;
322
−
−
3)
123;
456
abc
4)
124.
302
ijk
−
II уровень
2.1. Вычислите определитель, используя разложение по пер-
вой строке:
1)
211;
132
xyxy
+
− 2)
222
132;
123
abñ
−−
3)
3936
5827
;
4532
7845
−
−
−−−
−−−
4)
2543
3475
.
4985
3253
−
−
−
−−
2.2. Вычислите определитель:
1)
1
;
1
i
i
e
e
ϕ
ϕ
−
2)
2
;
xiyx
yxiy
−
−+
3)
12
;
32
ii
ii
+−
+
4)
33
1
266
cossin3
.
cossin
ii
i
ππ
ππ
++
−−
2.3. Вычислите определитель:
1)
2141
3212
;
4312
abcd
−
−
2)
124
213
.
354
421
a
b
c
d
−
−
−
23
2.4. Используя метод эффективного понижения порядка,
вычислите определитель:
1)
0112
1210
;
3213
1611
−
−
−
2)
3131
0213
.
3424
6252
−−
2.5. Вычислите определитель приведением к треугольному
виду:
1)
1223
0345
;
0023
1425
−
−
2)
1234
1123
.
1253
1322
−
−
−
2.6. Вычислите степень определителя:
1)
3
12
;
34
ii
ii
−
+−
2)
4
102
1323.
2211
ii
i
ii
−
−+−
−−
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1)
9
0;
11
zz
z
−
=
+
2)
cos7sin4
0.
sin7cos4
xx
xx
−
=
3.2. Определите, при каких действительных a, b, c и d урав-
нение
0
axcdi
cdibx
−+
=
−−
имеет два равных действительных корня.
3.3. Вычислите определитель:
1)
2
10
(2)
;
1
13
22
ii
i
i
+
−+
2)
2
1
.
3
1
i
i
i
i
i
i
−
+
+
−
24
3.4. Найдите определитель:
1)
2
2
2
1
1;
1
aabac
abbbc
acbcc
+
+
+
2)
22
22
22
3sincos
3sincos;
3sincos
αα
ββ
γγ
3)
222
111
;
abc
abc
abc
+++
4)
cos30sin60tg60
cos90sin90sin360.
sin450cos120ctg45
°°°
°°°
°°°
3.5. Решите неравенство:
1)
21
010;
202
x
x
−≤
2)
222
111
11.
(1)(1)
xxxx
xxx
−+<
−+
3.6. Постройте график функции
222
1
111,
xab
y
ba
xab
=
−
если
.
ab
<
3.7. Вычислите определитель:
1)
2353
6211023
;
1021556
2261015
−
2)
234
2123
;
3222
4323
iiii
i
ii
ii
−
−−
−
3)
2
2
110
110
,
0050
01
x
x
xx
где
22
cossin.
33
xi
ππ
=+
25
3.8. Вычислите определитель:
1)
123...
103...
;
120...
...............
123...0
n
n
n
−
−−
−−−
2)
210...0
121...0
.
012...0
...............
000...2
13.3. Обратная матрица. Ранг матрицы
Квадратная матрица B, удовлетворяющая совместно с за-
данной матрицей A того же порядка равенствам
,
ABBAE
==
называется обратной к матрице A и обозначается A
–1
. Обратная
матрица A
–1
существует при условии, что A – невырожденная
матрица, т. е.
0.
A
≠
Обратную матрицу можно вычислить следующими способами:
1-й способ. Используют формулу
1
1
,
T
AC
A
−
= (13.4)
где С – матрица, составленная из алгебраических дополне-
ний соответствующих элементов матрицы A.
2-й способ. Для данной матрицы A n-го порядка строится
прямоугольная матрица
[
]
/
AE
размера
2
nn
×
путем приписы-
вания к матрице A справа единичной матрицы n-го порядка, за-
тем с помощью элементарных преобразований над строками
матрица
[
]
/
AE
приводится к виду
[
]
/.
EB
Тогда
1
.
BA
−
=
Рангом матрицы A размера
mn
×
называется максимальный
порядок r
A
отличных от нуля ее миноров. При этом под минором
k-го порядка матрицы понимают определитель, составленный из
элементов матрицы A, стоящих на пересечении k ее строк и k
столбцов. Любой ненулевой минор порядка r называется базис-
ным минором матрицы A.
Основные методы нахождения ранга матрицы A
Метод окаймляющих миноров
Если в матрице A найден ненулевой минор M
k
порядка k,
26
,
k
∈
N
а все окаймляющие его миноры
(1)
k
+
-го порядка равны
нулю, то ранг матрицы равен k (r
A
= k).
Метод элементарных преобразований
Используя элементарные преобразования строк, матрицу
приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг
находят по определению.
Как частный случай последнего метода, может быть рас-
смотрен метод нулей и единиц: элементарным преобразовани-
ем строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из
нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых
содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нуле-
вые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.
Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти А
–1
,
если она существует, результат проверить.
111
211.
132
A
−
=
Решение. Вычислим определитель матрицы A
111100
31
2112313470.
41
132141
A
−
−
==−==+=≠
Невырожденность матрицы A означает, что существует единст-
венная обратная ей матрица А
–1
.
1-й способ. Используя формулу (13.4), найдем алгебраические до-
полнения:
11
11
231;
32
A
==−=−
21
11
(23)5;
32
A
−
=−=−−−=
31
11
112;
11
A
−
==−−=−
12
21
(41)3;
12
A
=−=−−=−
22
11
211;
12
A
==−=
32
11
(12)1;
21
A
=−=−−=
13
21
615;
13
A
==−=
23
11
(31)4;
13
A
−
=−=−+=−
33
11
123.
21
A
−
==+=
27
Тогда
152
311,
543
Ò
Ñ
−−
=−
−
и по формуле (13.4) имеем:
1
152
777
311
.
777
543
777
À
−
−−
=−
−
(13.5)
2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц
[
]
/
AE
и
1
/:
EA
−
111100111100
211 010~031 210~
132001041101
111100
~011/3 2/31/30~
007/35/34/31
1102/74/73/71001/75/72/7
~010 3/71/71/7~010 3/71/71/7
0015/74/73/70015/7
−−
−−
−
−
−−
−
−−−−
−−
−−
.
4/73/7
Следовательно,
1
1/75/72/7
3/71/71/7.
5/74/73/7
A
−
−−
=−
−
Для контроля правильности результата достаточно проверить ус-
ловия
11
.
AAAAE
−−
⋅=⋅=
Действительно,
1
1111/75/72/7111152
1
2113/71/71/7211311
7
1325/74/73/7132543
135514213700
11
2351014413070
77
1910538236007
AA
−
−−−−−−
⋅=⋅−=⋅−=
−−
−++−−−−+
=−−++−−++=
−−++−−++
100
010.
001
E
==
Аналогично
1
.
AAE
−
⋅=
28
Пример 2. Решить матричное уравнение
110121
.
211231
X
−
⋅⋅=
−−
Решение. Запишем уравнение в виде
,
AXBC
=
(13.6)
где A, B, C – заданные матрицы.
11
,
21
A
−
=
01
,
12
B
=
−
21
.
31
C
=
−
Умножим уравнение (13.6) слева на А
–1
и справа на В
–1
. Тогда
справедливо
1111
AAXBBACB
−−−−
⋅⋅=⋅⋅
или, учитывая определение
обратной матрицы,
11
.
XACB
−−
=
Найдем А
–1
и В
–1
:
1
1111
11
;
2121
123
A
−
==
−−
+
1
2121
1
.
1010
01
B
−
−−
==
+
Тогда
11
1121215021105
111
.
213110131051
333
ACB
−−
−−−
=⋅⋅=⋅=
−−−−−
Значит,
10/35/3
.
5/31/3
X
−
=
−
Пример 3. Доказать, что матрица A является ортогональной, т. е.
для нее выполняется равенство
1
:
T
AA
−
=
31
1
.
13
10
A
=
−
Решение. Найдем А
Т
и проверим равенство
.
TT
AAAAE
==
31
1
;
13
10
T
A
−
=
3131100
111
;
1313010
10
1010
3131100
111
.
1313010
10
1010
T
T
AAE
AAE
−
=⋅==
−
−
=⋅==
−
Мы доказали ортогональность матрицы A.
29
Пример 4. Найти ранг матрицы
1215
2318.
3141
A
=
−−
Решение. 1-й способ. Воспользуемся методом окаймляющих ми-
норов. Фиксируем
2
12
3410.
23
M
==−=−≠
Для М
2
окаймляющими
будут два минора 3-го порядка:
(1)
3
(2)
3
121100
2312110;
314377
1251475
238221180.
311001
M
M
==−−=
−−−−
−
==−=
−
Значит, r
A
= 2, а базисным минором можно считать, например, М
2
.
2-й способ. Преобразуем матрицу A:
121512151215
2318~0112~0112~
3141077140000
101110001000
~0112~0112~0100.
000000000000
−−−
−−−−−
−
Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же ранг
исходной матрицы.
З а м е ч а н и е. О том, что ранг матрицы A равен 2, можно было
судить на третьем шаге преобразований (во 2-м способе), когда полу-
чили нулевую строку и ненулевой минор (выделен) максимального
порядка 2.
Задания
I уровень
1.1. Найдите обратные матрицы для следующих матриц:
1)
13
;
57
2)
12
;
31
−
−
3)
123
012;
001
4)
111
123.
134
30
1.2. Решите матричное уравнение:
1)
1123
;
2114
X
=
−
2)
1221
;
1332
X
=
−
3)
5643
3322;
4521
X
−
−=
−
4)
[ ]
564
332321.
452
X
−
−=
−
1.3. Найдите какой-либо базисный минор матрицы:
1)
11
33;
55
−
−
−
2)
000
700;
001
3)
10021
10031.
20050
−
1.4. Определите ранг матрицы:
1)
1351
2134
;
5117
7791
−
−−
−
2)
12312
41123.
5811712
−−
−−
−−
II уровень
2.1. Найдите обратную матрицу для заданной матрицы, ис-
пользуя формулу (13.4):
1)
111
123;
134
2)
1111
1111
;
1111
1111
−−
−−
−−
−−
3)
20
20;
003
i
i
−
4)
134
.
1223
i
ii
+
−+
2.2. Методом эквивалентных преобразований найдите об-
ратные для следующих матриц:
1)
101
022;
003
2)
153
294;
3138
3)
133
313.
331
−
−
31
2.3. Решите матричное уравнение (найдите матрицу X):
1)
12226
;
22754
iii
X
iii
−++
=
+−++
2)
[ ]
11
13102030;
221
i
Xii
ii
−=
−−−
3)
123123123
231456456;
021780780
X
−
−=
−
4)
11215
1034143.
23455323
iiii
iiXi
iii
++
−+=−
−−−
2.4. Найдите ранг матрицы:
1)
21447
00579
;
21132
2191116
84151
−
−−
−
2)
21126
15234
;
34157
37417
011544
−−
−
−
−−
−−
3)
10014
01025
;
00136
1231432
4563277
4)
11234
21120
.
12113
158512
378913
−
−
−
−−−
−
III уровень
3.1. Найдите ранг матрицы в зависимости от значения пара-
метра а:
1)
112
1106;
215
а
а
а
−
−
−
2)
1241
237.
372
а
а
−−
32
3.2. Определите, какие из приведенных матриц удовлетво-
ряют соотношению
,
T
AA
= где
A
– матрица, элементы которой
являются комплексно-сопряженными с элементами матрицы A:
1)
1
234
3057;
4578
ii
Aii
ii
+
=−−
−+
2)
2
16
1232;
623
ii
Aii
+
=−−
3)
3
135
324;
543
A
=
4)
4
123
424.
121
A
=
3.3. Найдите обратные матрицы для следующих матриц:
1)
1
2
3
1111...(1)
0111...(1)
;
0011...(1)
..................
0000...1
n
n
n
−
−
−
−−−
−−
−−
2)
1000...0
1100...0
0110...0
.
0011...0
..................
0000...1
−
−
−
13.4. Системы линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (или линей-
ная система) имеет вид:
11112211
21122222
1122
...,
...,
........................................
........
...,
nn
nn
mmmnnm
axaxaxb
axaxaxb
axaxaxb
+++=
+++=
+++=
(13.7)
где a
ij
и b
j
– заданные числа.
Эту систему можно записать в матричной форме
,
AXB
=
(13.8)
где
ij
mn
Aa
×
=
– матрица системы, состоящая из коэффи-
циентов a
ij
,
1, ,
im
=
1, ;
jn
= B – матрица-столбец свободных
33
элементов b
j
,
1, ;
im
=
X – матрица-столбец неизвестных, т. е.
такая, которая обращает матричное уравнение (13.8) в равенство
(является решением этого уравнения).
Решением системы (13.7) называется упорядоченная сово-
купность
(
)
000
12
,,...,
n
xxx
n чисел, которые после подстановки в
уравнения системы вместо соответствующих переменных обра-
щают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Система (13.7) называется совместной, если у нее сущест-
вует хотя бы одно решение, в противном случае она называется
несовместной. Совместная система называется определенной,
если она имеет одно решение, и неопределенной – если более
одного решения. Две системы называются эквивалентными
(равносильными), если множества их решений совпадают.
Ответ на вопрос о совместности системы дает теорема
Кронекера-Капелли: для того чтобы система (13.7) была совме-
стной, необходимо и достаточно, чтобы
/
,
AAB
rr
=
где
[
]
/
AB
– расширенная матрица системы (13.7), т. е. мат-
рица А системы, к которой добавлен столбец B свободных членов.
Рассмотрим систему
,
nn
×
имеющую вид:
11112211
21122222
1122
...,
...,
........................................
.......
...,
nn
nn
nnnnnn
axaxaxb
axaxaxb
axaxaxb
+++=
+++=
+++=
(13.9)
или в матричном виде
АХ = В,
где
0.
À
∆=≠
Определителем системы (13.9) называется определитель
матрицы этой системы (т. е. состоящий из коэффициентов сис-
темы):
.
A
∆= Если
0,
∆≠
то система называется невырожден-
ной; если
0
∆=
– вырожденной.
Методы решения невырожденных систем используются
для решения линейных систем (13.9), состоящих из n уравнений
с n неизвестными, для которых
0.
∆≠
Метод обратной матрицы состоит в решении матричного
уравнения
1
.
XAB
−
=⋅
34
Метод Крамера также используют для решения невырож-
денных систем. Неизвестные находят по формулам Крамера
,
i
i
x
∆
=
∆
1, ,
in
=
(13.10)
где ∆
i
– определитель, получаемый из определителя ∆ сис-
темы (13.8) заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Решение произвольной линейной системы из m уравнений и
n неизвестных начинается с нахождения ранга. Пусть
/AAB
rrr
==
и система (13.7) сведена к эквивалентной системе
11112211,1111
21122222,1122
1122,11
......,
......,
.................
......,
rrrrnn
rrrrnn
rrrrrrrrrnnr
axaxaxaxaxb
axaxaxaxaxb
axaxaxaxaxb
++
++
++
++++++=
++++++=
++++++=
(13.11)
Если
,
rn
=
то система (13.11) имеет единственное решение,
которое можно получить указанными выше методами; если
,
rn
<
то существует бесконечное множество решений. Для его
получения неизвестные x
1
, x
2
, …, x
r
называют базисными, x
r + 1
,
x
r + 2
, …, x
n
– свободными, система (13.11) записывается в виде
111122111,111
1122,11
......,
........................................
........................................
.......
rrrrnn
rrrrrrrrrrnn
axaxaxbaxax
axaxaxbaxax
++
++
+++=−−−
+++=−−−
Свободным переменным присваиваются произвольные чис-
ленные значения с
1
, с
2
, …, с
n – r
.
Последняя система решается, например, методом Крамера.
Метод Гаусса используют для решения произвольных сис-
тем. С помощью элементарных преобразований над строками
расширенную матрицу системы (13.7) приводят к виду
1,11
1
2,12
2
,1
1
10...0...
01...0...
......
00...1....
00...00...0
...
...
00...00...0
rn
rn
rrrnr
r
m
à a
b
à a
b
à ab
b
b
+
+
+
+
′′
′
′′
′
′′′
′
′
35
Соответствующая ей система, равносильная (13.7), примет вид:
11,1111
22,1122
,11
1
...,
...,
...
...,
0,
...
0.
rrnn
rrnn
rrrrrnnr
r
m
xaxaxb
xaxaxb
xaxaxb
b
b
++
++
++
+
′′′
+++=
′′′
+++=
′′′
+++=
′
=
′
=
(13.12)
Если хотя бы одно из чисел
1
,
r
b
+
′
…,
m
b
′
отлично от нуля, то
система (13.12), а значит, и исходная система (13.7) не совместны.
Если
1
r
b
+
′
= … =
m
b
′
= 0, то система (13.12) позволяет полу-
чить явное выражение для базисных неизвестных x
1
, …, x
r
через
свободные неизвестные x
r+1
, …, x
n
. Таким образом получают
бесконечное множество решений.
Если r = n, то свободные переменные отсутствуют, а значит,
системы (13.12) и (13.7) имеют единственное решение.
На практике обычно обходятся приведением матрицы сис-
темы (13.7) к треугольной или трапециевидной форме, после че-
го значения базисных переменных ищутся в обратном порядке.
Решение произвольной линейной системы (13.7) из m урав-
нений и n неизвестных целесообразно начинать с нахождения
ранга. Пусть
/AAB
rrr
==
и система (13.7) сведена к эквивалент-
ной системе.
Если r = n, то система (13.7) имеет единственное решение,
которое можно получить указанными выше методами. Если
r < n, то существует бесконечное множество решений. Для его
получения неизвестные х
1
, х
2
, …, х
r
объявляют базисными, x
r+1
,
x
r+2
, …, x
n
– свободными, систему (13.12) записывают в виде
111,111
222,112
,11
...,
...,
....
rrnn
rrnn
rrrrrrnn
xbaxax
xbaxax
xbaxax
++
++
++
′′′
=−−−
′′′
=−−−
′′′
=−−−
Присваивая x
r+1
, x
r+2
, …, x
n
произвольные численные значе-
ния с
1
, с
2
, …, с
n–r
соответственно, получают решение в виде
36
111,111
,11
11
...,
...,
,
.
rnnr
rrrrrnnr
r
nnr
xbacac
xbacac
xc
xc
+−
+−
+
−
′′′
=−−−
′′′
=−−−
=
=
Пример 1. Решить разными способами систему уравнений
12
123
123
52,
24,
322.
xx
xxx
xxx
+=−
−+=
++=
Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Запи-
шем матрицу системы:
150
211.
321
A
=−
Матрица А невырожденная, так как ее определитель не равен ну-
лю. Действительно,
150150
15
21121120.
13
321130
∆=−=−=−=≠
(13.13)
Найдем обратную матрицу А
–1
:
А
11
= –3; А
21
= –5; А
31
= 5;
А
12
= 1; А
22
= 1; А
32
= –1;
А
13
= 7; А
23
= 13; А
33
= –11.
Следовательно,
1
355
1
111.
2
71311
À
−
−−
=−
−
Используем далее формулу (13.10):
1
355242
11
111400,
22
713112168
XÀÂ
−
−−−−−
==−==
−
т. е. x
1
= –2, x
2
= 0, x
3
= 8 – единственное решение.
Получаем ответ: (–2; 0; 8).
2-й способ. Используя формулы Крамера (13.10), вычисляем опре-
делитель системы (13.13).
37
Заменяем в определителе ∆ первый столбец столбцом свободных
членов и вычисляем
1
250250
25
4114114.
23
221230
−−
−
∆=−=−=−=−
−
−
Заменяем в определителе ∆ второй столбец столбцом свободных
членов и вычисляем
2
120120
12
2412410.
12
321120
−−
−
∆===−=
−
−
Заменяем в определителе ∆ третий столбец столбцом свободных
членов. Тогда
( )
3
152152
49
21449022283616.
47
322470
−−
∆=−==−=−−=
Тогда, используя формулы (13.10), получим:
1
1
4
2;
2
x
∆ −
===−
∆
2
2
0
0;
2
x
∆
===
∆
3
3
16
8.
2
x
∆
===
∆
Таким образом получаем решение (–2; 0; 8).
3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систе-
му к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразова-
ния строк расширенной матрицы системы:
1502150215021502
2114~01118~0200~0100.
321201318013180018
−−−−
−−
−−
Последней матрице соответствует система
12
2
3
52,
0,
8.
xx
x
x
+=−
=
=
Из нее последовательно находим неизвестные, начиная с x
3
:
321
8,0,2502,
xxx
===−−⋅=−
Таким образом, приходим к ответу (–2; 0; 8).
38
Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение
12345
12345
2345
12345
7,
3232,
22623,
543312.
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
++++=
+++−=−
+++=
+++−=
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
111117111117
3211320122623
~~
01226230122623
54331120122623
111117
0122623
~.
000000
000000
ÀÂ
−−
=
−−−−−
−−−−−−
Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как
любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, то он будет ра-
вен нулю). Значит,
2,
A
AB
rr
==
т. е. исходная система совместна.
Поскольку ранг меньше количества неизвестных (2 < 5), то систе-
ма имеет бесконечное множество решений.
Выберем в качестве базисного минор
2
11
.
01
Ì = Тогда х
1
, х
2
– ба-
зисные неизвестные, х
3
, х
4
, х
5
– свободные. Система, равносильная ис-
ходной, имеет вид:
12345
2346
7,
23226.
xxxxx
xxxx
+=−−−
=−−−
Полагаем х
3
= с
1
, х
4
= с
2
, х
5
= с
3
,
где с
1
, с
2
, с
3
– произвольные постоянные, и решаем указанную сис-
тему.
Получаем:
2123
1123123123
23226,
723226165.
xccc
xccccccccc
=−−−
=−−−−+++=−+++
Таким образом, решение примет вид:
(
)
123123123
165;23226;,,,
ccccccccc
−+++−−−
где
123
,,.
ccc
∈
R